Thông tin tài liệu
TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki
ệt 73 NGUYỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GS Đ
ỈNH CAO VÀ CHẤT L
ƯỢNG
SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU
Ế
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ
LUY
ỆN
THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* Tính đơn đi
ệu của hàm số
* Ứng dụng tính
đơn điệu hàm số chứng minh bất
đ
ẳng thức
*
Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph
ương
trình, b
ất phương t
rình, h
ệ phương trình
* C
ực trị hàm số
* M
ặt nón
- Kh
ối nón (Diện tích, thể tích)
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
1
BÀI 1. S
Ự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. KI
ẾN THỨC CẦN NHỚ:
I. TÍNH ĐƠN ĐI
ỆU CỦA HÀM SỐ:
1. Nh
ắc lại định nghĩa:
Ta kí hiêu K là kho
ản
g ho
ặc nửa khoảng. Giả sử hàm
s
ố
( )y f x
xác đ
ịnh trên K.
Hàm s
ố f đồng biến (tăng) trên K
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm s
ố f nghịch biến (giảm) trên
K
x
1
, x
2
K, x
1
< x
2
f(x
1
) > f(x
2
)
Hàm s
ố đồng biến hoặc nghịc
h bi
ến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu
trên K
2. Đi
ều kiện cần
để hàm số đơn điệu
Gi
ả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu f đồng biến trên khoảng K thì
f
(x)
0,
x
K
b) N
ếu f nghịch biến trên khoảng K thì
f
(x)
0,
x
K
3. Đi
ều kiện đủ
đ
ể hàm số đơn điệu
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K.
a) N
ếu
f
(x)
0,
x
K (f
(x) = 0 t
ại một số hữu hạn
điểm) thì f đồng biến
trên K.
b) N
ếu
f
(x)
0,
x
K (f
(x) = 0 t
ại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến
trên K.
c) N
ếu
f
(x) = 0,
x
K thì f không đ
ổi trên K.
Chú ý:
N
ếu khoảng K được thay bởi
đo
ạn
ho
ặc
n
ửa khoảng
thì f ph
ải
liên t
ục
trên đó.
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
2
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x)
đồng biến trên [a;b]
N
ếu hàm f liên tục trên đoạn [a
;b] và có đ
ạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b)
thì hàm s
ố f(x) nghịch biến trên [a;b]
II. QUY T
ẮC XÉT TÍNH
ĐƠN ĐI
ỆU CỦA HÀM SỐ
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
. Tìm các điểm
( 1,2, , )
i
x i n
mà tại đó y
= 0 hoặc y
không tồn tại
(g
ọi là các điểm tới hạn của hàm sô)
– S
ắp xếp các điểm
i
x
theo th
ứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Nêu k
ết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP:
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
3 2 3 2 3 2
) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên (
-4;2) và ngh
ịch biến trên các khoảng
; 4 và 2;
b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng
;0 và 2;
2
)y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàm
số đồng biến trên
c x
và
Ho
ặc ta có thể trình bày:
T
ừ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên
Bài 2. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
1
) 2 1; ) 2 3; ) 6 8 1
4
a y x x b y x x c y x x x
Hướng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên
; 2
và (0;2), Hàm ngh
ịch biến trên (
-2;0) và
(2; )
D
ẠNG TỐN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
D
ự
a vào quy t
ắc xét tính đơn điệu của hàm số
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
4
b) Hàm đ
ồng biến trên
0;
và ngh
ịch biến trên
;0
c) Hàm đ
ồng biến trên khoảng
2;
và ngh
ịch biến trên
;2
Nh
ận xét:
Đ
ối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và
m
ột khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R.
Bài 3. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
2 2
2 1 2
) ; )
1 1
2 1 4 3
) ; )
2 2
x x
a y b y
x x
x x x x
c y d y
x x
Hư
ớng dẫn:
a) Hàm đ
ồng biến trên
; 1 vaø 1;
b) Hàm ngh
ịch biến trên
;1 vaø 1;
c) Hàm đ
ồng biến trên
5; 2 vaø 2;1
,
Hàm ngh
ịch biến trên
; 5 vaø 1;
d) Hàm đ
ồng biến trên
; 2 vaø 2;
,
Nh
ận xét:
Đ
ối với hàm số
ax
. 0
b
y a c
cx d
luôn đ
ồng biến hoặc nghịch biến trên
kho
ảng xác định của chúng
Đ
ối với hàm số
2
ax bx c
y
dx e
luôn có ít nh
ất hai khoảng đơn điệu .
C
ả hai hàm số trên không thể luôn đơn đ
i
ệu trên
Bài 4. Xét tính đơn đi
ệu của hàm số sau:
2 2 3
) 2 3 ; ) 3a y x x b y x x
Hư
ớng dẫn:
a) Ta có:
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
5
2
2
2 3 khi 1 3
2 3 khi 1 3
2 2 khi 1 3
' ' 0 1
2 2 khi 1 3
Hàm không có đạo hàm tại -1 3
Bảng biến thiên:
x x x x
y
x x x
x x x
y y x
x x
x và x
Hàm đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 3; , nghich biến trên
; 1 và 1;3
3
2 3
) Hàm đã cho xác đònh trên nưả khoảng ;3
3 2
Ta có: y'= , 3, 0
2 3
3, 0: ' 0 2. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3
b
x x
x x
x x
x x y x
Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng 0;2 , nghòch biến
trên ;0 và 2;3
Bài 5. Tìm các kho
ảng đơn điệu của hàm số
siny x
trên kho
ảng
0;2
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
3
' 0, 0;2 ,
2 2
y x x x
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
6
B
ảng biến thiên:
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
2
3 2
1 2
) 3 8 2; )
3 1
x x
a y x x x b y
x
Bài 2. Xét chi
ều biến thiên của hàm số
3 3 2
4 2 2
4 2
) 2 3 1; ) 6 9
3 3
) 2 5; ) 2
a y x x b y x x x
c y x x d y x x
Hư
ớng dẫn:
)Trình bày tương tự bài mẫu 1c); d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)c
Bài 3. Ch
ứng minh rằng
2
3
) 4 nghòch biến trên đoạn 0;2
) cos 4 đồng biến trên
c) cos2 2 3 nghòch biến trên
a y x
b y x x x
y x x
Hướng dẫn:
2
2
) Hàm số liên tục trên đoạn 0;2 và có đạo hàm '( ) 0
4
với mọi 0;2 . Do đó hàm số nghòch biến trên đoạn 0;2
) Hàm số xác đònh trên . Ta thấy '( ) 3 1 sin 0,
x
a f x
x
x
b f x x x
) '( ) 2 sin2 1 0, và '( ) 0 ,
4
Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn ; 1 ,
4 4
Do đó hàm số nghòch biến trên
x
c f x x x f x x k k
k k k
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
7
Bài 4.
a) Cho hàm s
ố
2
sin cosy x x
. Ch
ứng minh rằng hàm
s
ố đồng biến trên
đo
ạn
0; và nghòch biến trên đoạn ;
3 3
b) Ch
ứng minh rằng với mọi
1;1m
, phương tr
ình
2
sin cosx x m
có
nghi
ệm duy nhất thuộc đoạn
0;
Hư
ớng dẫn:
) Hàm số liên tục trên đoạn 0; và có '( ) sin 2cos 1 , 0;
1
Vì 0; sin 0 nên trong khoảng 0; : '( ) 0 cos
2 3
* ' 0, 0; nên hàm số đồng biến trên 0;
3 3
* '
a f x x x x
x x f x x x
y x
y
0, ; nên hàm số nghòch biến trên ;
3 3
x
b)
Ta có:
* 0; ta có: y(0) y y 1 5 nên phương trình không có
3 3
nghiệm thuộc 1;1
5
* ; ta có: y( ) y y 1 . Theo đònh lí giá trò trung
3 3 4
gian củahàm số liên
x y
x y
5
tục m 1;1 1; , nên tồn tại số thực c ;
4 3
sao cho y(c)=0.
2
Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghòch
biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất.
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên 0;
x x m
BTTT: Cho hàm s
ố
2 2
( ) sin cosf x x x
www.VNMATH.com
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
8
a) Ch
ứng minh rằng hàm số đồng biến trên
0;
3
và ngh
ịch biến trên
đo
ạn
;
3
b) Ch
ứng minh rằng với mọi
1;1m
phương tr
ình
2 2
sin cosx x m
BÀI T
ẬP TỰ GIẢI:
Bài 1. Xét s
ự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
3 2 3 2
2
4 2 5 4 3
. y = 2 3 2 b. y = x 3 3 1
1 1
c. y = x 2 1 . y = 2 1
5 4 2
a x x x x
x
x d x x x x
Bài 2. Xét s
ự biến thiên của các hàm số sau:
2
2
2 1 3 3
. y = b. y =
3 3 1
1 4x+5
. y = 2x-3- d. y =
x + 2
4x -4
x x x
a
x x
c
Bài 3. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
2 2
2 1
) 2 6 ) 2 )
3 2
x
a y x x b y x x c y
x
Bài 4. Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
) sin6 treân 0; ) cot treân ;0 0;
6 2
x
a y x b y vaø
Bài 5 Xét chi
ều biến thiên của hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
; b)
3 2 2y x x
; c)
2 1 3y x x
d)
2
2y x x
e)
2
2y x x
f)
sin2
2 2
y x x
g)
sin2
2 2
y x x x
Bài 6. Ch
ứng minh hàm số
2
2y x x
ngh
ịch biến trên đoạn [1; 2]
LUY
ỆN THI
ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn: Trần Đình Cư
9
Bài 7.
a) Ch
ứng minh hàm số
2
y= x -9
đ
ồng biến trên nửa khoảng [3; +
).
b) Hàm số
4
y x
x
nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Bài 8. Ch
ứng minh rằng
a) Hàm s
ố
3
2 1
x
y
x
ngh
ịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm s
ố
2
2 3
2 1
x x
y
x
đ
ồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c) Hàm s
ố
2
8y x x
ngh
ịch biến trên R.
Bài 9. Ch
ứng minh hàm số
2
( ) cosf x x x
đ
ồng biến trên R
Bài 10. Cho hàm s
ố
2
( ) 2 2f x x x
a) Ch
ứng minh rằng hàm số
f đ
ồng biến trên nửa khoảng
2;
b) Ch
ứng minh rằng phương trình
2
2 2 11x x
có m
ột nghiệm duy
nh
ất
www.VNMATH.com
[...]... hàm số y 3 x 3 2 x 2 mx 4 đồng biến trên khoảng 1; Bài 6 Cho hàm số y 4 x 3 m 3 x 2 mx Tìm m để a) Hàm số tăng trên R b) Hàm số tăng trên khoảng [2; ) 1 1 c) Nghịch biến trên khoảng ; 2 2 d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Bài 7: Cho hàm số y Chun đề LTĐH x 1 Tìm m để hàm số: xm 28 Biên soạn: Trần Đình Cư 2 3 www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI... 2 4 Bảng xét dấu ' Chun đề LTĐH 11 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO *-20,x 2 Do đó hàm số đồng biến trên 2 mỗi nửa khoảng ; 2 và 2; nên hàm số y đồng biến trên *a 2 hoặc a 2 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 Hàm số nghòch biến trên khoảng ...LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN Phương pháp: Cho hàm số y f ( x , m) , m là tham số, có tập xác định Hàm số f đồng biến trên f(x) 0, x Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm Hàm số f nghịch biến trên f 0, x Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm Từ đó suy ra điều... a, x 2 2 2 2 2 17 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA Phương pháp: Hàm số y f ( x , m) tăng x I y' 0,x I min y' 0,x I Hàm số y f ( x , m) giảm x I y' 0,x I max y' 0, x I BÀI TẬP MẪU: Bài 1 Tìm giá trị của m để hàm số mx 4 luôn nghòch biến trên khoảng ;1 xm 2) y x 3... Cách 2: Chun đề LTĐH 19 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Hàm số đã cho xác đònh trên y'=3x 2 6 x m 1 Hàm số nghòch biến trên 1;1 y ' 0, x 1;1 m 3 x 2 6 x 1 , x 1;1 m min g( x ), với g( x ) 3 x 2 6 x 1 1;1 Hàm số g( x ) nghòch biến trên 1;1 và lim g( x) 2; lim g( x ) 10 x 1 x 1 Bảng biến thi n m ... www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 2 5 thì y'=- x 2 0,x , y ' 0 chỉ tại điểm x=2 Do đó hàm số nghòch 2 biến trên *m=- *m- Cách giải sau đây khơng “phù hợp” ở điểm nào? Hàm số nghòch biến... www.VNMATH.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Tăng trên khoảng (0; ) Bài 8 Cho hàm số y x 2 x m2 Với giá trị nào của m: x 1 a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4) Bài 9 Tìm tham số m sao cho y 4mx 3 6 x 2 2m 1 x 1 tăng trên khoảng (0;2) Bài 10 Cho hàm số y x 4 ... Chun đề LTĐH 13 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO a 0 * m 1hoặc m> 2 : hàm số y đồng biến trên do ' 0 * m=2 :hàm số y đồng biến trên * 1 m 2, m 1: trường hợp này không thỏa mãn Vậy hàm đồng biến trên khi và chỉ khi m . TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki ệt 73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GS Đ ỈNH CAO VÀ CHẤT L ƯỢNG SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU Ế CHUYÊN Đ Ề HÀM SỐ LUY ỆN THI T ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG,. NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * Tính đơn đi ệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đ ẳng thức * Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph ương trình,. trình * C ực trị hàm số * M ặt nón - Kh ối nón (Diện tích, thể tích) LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 1 BÀI 1. S Ự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KI ẾN
Ngày đăng: 01/04/2014, 17:20
Xem thêm: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG ppt, CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG ppt