Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ GV. ĐỖ VĂN THỌ 2012 Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 2 CHUYÊN ĐỀ: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN - Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số - Bước 2: Tính đạo hàm ' y - Bước 3: Xét dấu ' y - Bước 4: Kết luận Ta cần nhớ: Với tam thức bậc hai   2 f x ax bx c    , với 0 a  có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x  Nếu   f x vô nghiệm   0   hoặc có nghiệm kép   0   thì dấu của   f x phụ thuộc và hệ số a  Nếu   f x có hai nghiệm phân biệt   0   1 2 ; x x với 0 a  ta có bảng xét dấu sau: - + + 0 0 f x( ) +∞-∞ x 2 x 1 x a. Nếu   1 2 0 0 0 2 a x x af S                       Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 3 b. Nếu   1 2 0 0 0 2 a x x af S                       c. Nếu     1 2 0 0 0 a x x af af                  Giả sử   f x có hai nghiệm phân biệt   0   1 2 ; x x với 0 a  ta có bảng xét dấu sau: - - + 0 0 f x( ) +∞-∞ x 2 x 1 x d. Nếu   1 2 0 0 0 2 a x x af S                       e. Nếu   1 2 0 0 0 2 a x x af S                       Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 4 Ví dụ 1: Cho hàm số     2 y f x x m x m     . Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng 1 2 x   Giải: Miền xác định: D R      3 2 2 ' 3 2 f x x mx m f x x mx         Xét   1 2 2 ' 0 0 3 m f x x x     Vì 3 0 a    nên ta có bảng xét dấu sau - - + 0 0 f' x( ) +∞-∞ x 2 x 1 x Hàm số đồng biến trong khoảng       1,2 ' 0, 1,2 f x x    Hay         1 2 1 1 2 ' 1 0 1,2 , 2 ' 2 0 af x x x x x af                  3 3 2 3 0 3 2 3 4 12 0 3 m m m m m                      Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số       3 2 1 3 4 3 x y f x a x a x         . Xác định a để hàm số đồng biến trong khoảng   0,3 ĐS: 12 7 a  Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 5 Bài 2: Cho hàm số   3 2 3 6 1 y f x x mx mx      . Xác định m để hàm số nghịch biến trong 1 0; 2       . ĐS: 1 4 m   Bài 3: Cho hàm số     2 2 1 1 x m x m y f x m x        . Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng   2,3 ĐS: 5 3 2 7 4 2 m m      Bài 4: Cho hàm số     2 2 1 1 x m x m y f x x m         . Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng   2;  . ĐS: 5 3 2 m   Bài 5: Cho hàm số 4 2 8 9 y x mx m    . Tìm m để hàm số đồng biến trên   2;  . ĐS: 1 m  Bài 6: Tìm m để hàm số         3 2 2 2 2 8 1 3 x y f x m m x m x m          luôn nghịch biến R x   . ĐS: 2 m   Bài 7: Cho hàm số   2 2 2 3 2 x mx m y f x m x      . Xác định m để hàm số nghịch biến trong khoảng   1,2 . ĐS: 2 3 4 2 3 m m      Bài 8: Cho hàm số     3 2 1 2 1 2 3 y f x x mx m x m        . Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng   2,0  . ĐS: 1 2 m   Bài 9: Cho hàm số   4 2 2 y f x x mx m     . Tìm m để hàm số đồng biến trên     1,0 2,3   . ĐS: 4 1 m     Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 6 Bài 10: Cho hàm số   2 1 1 x mx y f x x      . Tìm m để hàm số đồng biến trên     , 1 1,     . ĐS: x  khi 0 a  Bài 11: Tìm các giá trị của m để hàm số   3 2 1 3 2 1 3 y x mx m x      đồng biến trên khoảng   1,2 . ĐS: 1 5 m  Bài 12: Tìm các giá trị của m để hàm số     3 2 2 1 2 1 9 9 2 3 y x m x m m x        đồng biến trên khoảng   ,1  ĐS: 1 m  Bài 13: Tìm các giá trị của m để hàm số   2 2 1 1 2 x m x y x      nghịch biến trên khoảng   0,1 . ĐS: 3 2 m   Bài 14: Tìm các giá trị của m để hàm số   2 1 2 1 2 x m x m y x m       đồng biến trên khoảng   1;  . ĐS: 1 m  CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài toán định tham số m để hàm số   f x có cực trị Các dạng đặc biệt của hàm số   f x a.   2 ' ' ax bx c y f x b x c      Tập xác định ' \ ' c D R b           2 2 ' ' ' Ax Bx C y b x c     Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 7  Hàm số có cực đại, cực tiểu 2 0 Ax Bx C     có hai nghiệm phân biệt 0 0 A        Hàm số không có cực trị 2 0 Ax Bx C     vộ nghiệm 0 0 A       b. Hàm số 3 2 y ax bx cx d     Tập xác định D R  2 ' 3 2 y ax bx c     Hàm số có hai cực trị 2 3 2 0 ax bx c     có hai nghiệm phân biệt  Hàm số không có cực trị 2 3 2 0 ax bx c     vô nghiệm c. Hàm số 4 2 y ax bx c    Tập xác định D R    3 2 ' 4 2 2 2 y ax bx x ax b      Hàm số có 3 cực trị 2 2 0 ax b    có 2 nghiệm phân biệt khác 0 a  và b trái dấu . 0 a b    Hàm số chỉ có 1 cực trị 0; 0 0; 0 . 0 a b a b a b           Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT:  Đối với hàm bậc 3: 3 2 y ax bx cx d     - Bước 1: Tính ' y . - Bước 2: Thực hiện phép chia y cho ' y ta được     '. y y p x q x   - Bước 3: Khi đó phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là   y q x  Ví dụ: Cho hàm số     3 2 2 3 1 6 2 1 y x m x m x       a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 8 b. Xác định m để (d) song song với đường thẳng y kx  , với k cho trước. Biện luận theo k số giá trị của m Giải: a. Tập xác định: D=R Đạo hàm:     2 ' 6 6 1 6 2 y x m x m          2 ' 0 6 6 1 6 2 0 y x m x m          2 1 2 0 x m x m       (1) Hàm số có CĐ, CT   1  có hai nghiệm phân biệt       2 2 0 1 4 2 0 3 0 3 m m m m              - Cách 1: “Tìm ra tọa độ hai điểm CĐ, CT” Tọa độ CĐ, CT là           2 1;3 2 ; 2 ; 2 5 1 A m B m m m       Phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT nhận AB  làm véctơ chỉ phương     2 2 : 6 9 3 3 0 d m m x y m m        Cách hai: “ chia y cho y’ ” Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn:         ' 0 ' 0 '. y y y q x y f x y y p x q x               Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 9                     2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 6 1 6 2 0 2 3 1 6 2 1 6 6 1 6 2 0 1 1 6 6 1 6 2 3 6 6 6 9 3 3 6 9 3 3 x m x m y x m x m x x m x m m y x x m x m m m x m m y m m x m m                                                             Vậy     2 2 : 6 9 3 3 0 d m m x y m m        b. Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y kx  nên 2 2 6 9 6 9 0 k m m m m k          (2) Ta có ' 9 9 k k       Vậy số nghiệm của phương trình (2) thỏa mãn điều kiện 3 m  bằng số giá trị của m - Nếu 0 k  không tồn tại giá trị m - Nếu 0 k  tồn tại một giá trị m - Nếu 0 k  tồn tại hai giá trị m  Đối với hàm   2 ax bx c y f x dx e      Toạ độ các điểm CĐ, CT của đồ thị thỏa mãn hệ: Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 10           2 2 2 2 0 ' 0 ax b dx e d ax bx c y dx e y f x ax bx c y dx e                             2 2 1 2 1 2 ax bx c ax b dx e d y ax b d ax bx c y dx e                     Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là đường thẳng có dạng 2 ax b y d   Ví dụ: Cho hàm số   2 2 x mx m y f x x m       . Viết phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT của hàm số Giải:   \ D R m  Tọa độ các điểm CĐ, CT thỏa mãn hệ:         2 2 2 2 2 2 0 ' 0 x m x m x mx m y x m y f x x mx m y x m                           2 2 2 2 2 2 x mx m x m x m y x m x mx m y x m                         Vậy 2 y x m    là đường thẳng đi qua CĐ, CT [...].. .Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ Bài tập tự luyện: 2 2 2 x  2m x  m Bài 1: Cho hàm số y  Tìm m để hàm số có cực trị x 1 ĐS: 1  m  1 Bài 2: Định m để hàm số y  f  x   x  3 x  3mx  1  m có CĐ, CT với hoành độ điểm cực trị đều nhỏ hơn 2 ĐS: 0  m  1 Bài 3: Cho hàm số y  f  x   2 x  3  m  1 x  6  m  2  x  1 Tìm m để hàm số có CĐ, CT với hoành độ các... 2009) Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm m để phương trình x 2 x 2  2  m có 6 nghiệm phân biệt ĐS: b 0  m  1 Bài 46: (Khối A - 2006) Cho hàm số y  2 x 3  9 x 2  12 x  4 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho 3 b Tìm m để phương trình 2 x  9 x 2  12 x  m có 6 nghiệm phân biệt ĐS: 4  m  5 30 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ 31 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn... a Xác định m để hàm số có cực trị b Tìm m để tích các giá trị CĐ, CT đạt giá trị nhỏ nhất 7 ĐS: a 1  m  2 b m  5 mx 2  m 2  1 x  4m 3  m Bài 7: Cho hàm số y  Xác định m để xm hàm số có một cực trị thuộc góc phần tư thứ (II), một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) Bài 2: Cho hàm số y    22 Chuyên Đề Hàm Số ĐS: m   GV Đỗ Văn Thọ 1 5 x 2  mx  m  8 Bài 8: Cho hàm số y  Xác định...  x3  Vậy tọa độ các điểm cực trị của hàm số là: A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  * Đồ thị hàm số y  f  x  : Đồ thị hàm số y  f  x  gồm 2 phần: - Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y  f  x  - Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y  f  x  qua trục hoành * Đồ thị hàm số y  f  x  13 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ Đồ thị hàm số y  f  x  gồm 2 phần: - Phần bên... m thì hàm số có hai cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y  x  2 1  17 ĐS: m  1, m  4 Bài 4: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  m 2 x  m Xác định m để điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng x  2y  5 Bài 5: Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 Xác định m để hàm số có các CĐ, CT lập thành một tam giác đều ĐS: m  3 3 x 2   m  1 x  m 2  4 m  2 Bài 6: Cho hàm số y ... x1    x2  BÀI TẬP Bài 1: Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m 3 Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng yx 1 ĐS: m   2 21 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ 1 3 x  mx 2  x  m  1 Chứng minh rằng 3 với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ, CT Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm CĐ, CT là nhỏ nhất ĐS: m  0 Bài 3: Cho hàm số y  2 x 3  3  2m  1 x 2 ... Đồ thị hàm số y  f  x   g  x  Đồ thị gồm 2 phần: - Phần đồ thị (C): y  f  x   g  x  tương ứng với x sao cho g x  0 14 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ - Phần đồ thị (C): y  f  x   g  x  tương ứng với x sao cho g x  0 * Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng” Cách 1: - Bước 1: Thi t lập... để đồ thị hàm số y  x  mx  x  có 3 3 hai điểm cực trị nằm cùng phía đối với đường thẳng    : y  2 x 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2 4 2 2 3 2 3 ĐS: m  1 và m  2 11 2 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ 1 Bài 9: Tìm các giá trị của m để hàm số y  x  x  mx  m có CĐ, CT 3 đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 15 ĐS: m  2 x  mx  3 Bài 10: Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số y  có hai...  h  x     y2  y  x2   h  x2   Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  * Khảo sát hàm bậc bốn tổng quát y  ax 4  bx 3  cx 2  dx  e - Bước 1:  Tập xác định D  R 12 Chuyên Đề Hàm Số GV Đỗ Văn Thọ  y '  4ax 3  3bx 2  2cx  d (1) - Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu  1 có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn định lý Viet 3b   x1  x2  x3... Oy f x * Đồ thị hàm số y  g x - Lấy các phần của đồ thị y  f x g x tưng ứng với x sao cho g x  0 - Lấy đối xứng qua trục Ox của các phần của đồ thị hàm số f x y tương ứng với x sao cho g  x   0 g x * Đồ thị hàm số y  f  x g x - Lấy các phần của đồ thị y  f x g x tưng ứng với x sao cho f x  0 - Lấy đối xứng qua trục Ox của các phần của đồ thị hàm số f x y tương ứng . TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ GV. ĐỖ VĂN THỌ 2012 Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 2 CHUYÊN ĐỀ: SỰ BIẾN THI N CỦA HÀM SỐ. CĐ, CT Chuyên Đề Hàm Số GV. Đỗ Văn Thọ 11 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số 2 2 2 2 1 x m x m y x     . Tìm m để hàm số có cực trị. ĐS: 1 1 m    Bài 2: Định m để hàm số   3. biến trên khoảng   1;  . ĐS: 1 m  CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ Bài toán định tham số m để hàm số   f x có cực trị Các dạng đặc biệt của hàm số   f x a.   2 ' ' ax