Chuyên đề hàm số luyện thi đại học

TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH – 36/ ki ệt 73 NGUYỄN HOÀNG TRUNG TÂM GS Đ ỈNH CAO VÀ CHẤT L ƯỢNG SĐT: 01234332133 – 0978421673. TP HU Ế CHUYÊN Đ Ề HÀM SỐ LUY ỆN THI T ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * Tính đơn đi ệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đ ẳng thức * Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph ương trình, b ất phương t rình, h ệ phương trình * C ực trị hàm số * M ặt nón - Kh ối nón (Diện tích, thể tích) LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 1 BÀI 1. S Ự ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KI ẾN THỨC CẦN NHỚ: I. TÍNH ĐƠN ĐI ỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Nh ắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là kho ản g ho ặc nửa khoảng. Giả sử hàm s ố  ( )y f x xác đ ịnh trên K. Hàm s ố f đồng biến (tăng) trên K   x 1 , x 2  K, x 1 < x 2  f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm s ố f nghịch biến (giảm) trên K   x 1 , x 2  K, x 1 < x 2  f(x 1 ) > f(x 2 ) Hàm s ố đồng biến hoặc nghịc h bi ến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K 2. Đi ều kiện cần để hàm số đơn điệu Gi ả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) N ếu f đồng biến trên khoảng K thì f  (x)  0,  x  K b) N ếu f nghịch biến trên khoảng K thì f  (x)  0,  x  K 3. Đi ều kiện đủ đ ể hàm số đơn điệu Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K. a) N ếu f  (x)  0,  x  K (f  (x) = 0 t ại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K. b) N ếu f  (x)  0,  x  K (f  (x) = 0 t ại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K. c) N ếu f  (x) = 0,  x  K thì f không đ ổi trên K. Chú ý:  N ếu khoảng K được thay bởi đo ạn ho ặc n ửa khoảng thì f ph ải liên t ục trên đó. www.VNMATH.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 2  N ếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b) thì hàm s ố f(x) đồng biến trên [a;b]  N ếu hàm f liên tục trên đoạn [a ;b] và có đ ạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b) thì hàm s ố f(x) nghịch biến trên [a;b] II. QUY T ẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐI ỆU CỦA HÀM SỐ Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y  . Tìm các điểm ( 1,2, , ) i x i n mà tại đó y  = 0 hoặc y  không tồn tại (g ọi là các điểm tới hạn của hàm sô) – S ắp xếp các điểm i x theo th ứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên – Nêu k ết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số. LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chun đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 3 B. PHƯƠNG PHÁP GI ẢI BÀI TẬP: BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:             3 2 3 2 3 2 ) 3 24 26; ) 3 2; ) 3 3 2a y x x x b y x x c y x x x Hư ớng dẫn: a) Hàm đ ồng biến trên ( -4;2) và ngh ịch biến trên các khoảng       ; 4 và 2; b) Hàm nghịch biến trên (0;2) và nghịch biến trên các khoảng      ;0 và 2;     2 )y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1 Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàm số đồng biến trên c x và             Ho ặc ta có thể trình bày: T ừ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên  Bài 2. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:            4 2 4 2 4 2 1 ) 2 1; ) 2 3; ) 6 8 1 4 a y x x b y x x c y x x x Hướng dẫn: a) Hàm đ ồng biến trên    ; 2 và (0;2), Hàm ngh ịch biến trên ( -2;0) và (2; ) D ẠNG TỐN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Phương pháp: D ự a vào quy t ắc xét tính đơn điệu của hàm số www.VNMATH.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 4 b) Hàm đ ồng biến trên   0; và ngh ịch biến trên   ;0 c) Hàm đ ồng biến trên khoảng    2; và ngh ịch biến trên   ;2 Nh ận xét: Đ ối với hàm số bậc 4 luôn có ít nhất một khoảng đồng biến và m ột khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm số không thể đơn điệu trên R. Bài 3. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:                2 2 2 1 2 ) ; ) 1 1 2 1 4 3 ) ; ) 2 2 x x a y b y x x x x x x c y d y x x Hư ớng dẫn: a) Hàm đ ồng biến trên        ; 1 vaø 1; b) Hàm ngh ịch biến trên      ;1 vaø 1; c) Hàm đ ồng biến trên       5; 2 vaø 2;1 , Hàm ngh ịch biến trên       ; 5 vaø 1; d) Hàm đ ồng biến trên        ; 2 vaø 2; , Nh ận xét:  Đ ối với hàm số       ax . 0 b y a c cx d luôn đ ồng biến hoặc nghịch biến trên kho ảng xác định của chúng  Đ ối với hàm số     2 ax bx c y dx e luôn có ít nh ất hai khoảng đơn điệu .  C ả hai hàm số trên không thể luôn đơn đ i ệu trên  Bài 4. Xét tính đơn đi ệu của hàm số sau:      2 2 3 ) 2 3 ; ) 3a y x x b y x x Hư ớng dẫn: a) Ta có: LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chun đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 5                                        2 2 2 3 khi 1 3 2 3 khi 1 3 2 2 khi 1 3 ' ' 0 1 2 2 khi 1 3 Hàm không có đạo hàm tại -1 3 Bảng biến thiên: x x x x y x x x x x x y y x x x x và x             Hàm đồng biến trên mỗi khoảng 1;1 và 3; , nghich biến trên ; 1 và 1;3                  3 2 3 ) Hàm đã cho xác đònh trên nưả khoảng ;3 3 2 Ta có: y'= , 3, 0 2 3 3, 0: ' 0 2. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3 b x x x x x x x x y x        Dựa vào bảng biến thiên: Hàm đồng biến trên khoảng 0;2 , nghòch biến trên ;0 và 2;3 Bài 5. Tìm các kho ảng đơn điệu của hàm số  siny x trên kho ảng    0;2 Hư ớng dẫn: Ta có:           3 ' 0, 0;2 , 2 2 y x x x www.VNMATH.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chun đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 6 B ảng biến thiên: BÀI T ẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:        2 3 2 1 2 ) 3 8 2; ) 3 1 x x a y x x x b y x Bài 2. Xét chi ều biến thiên của hàm số              3 3 2 4 2 2 4 2 ) 2 3 1; ) 6 9 3 3 ) 2 5; ) 2 a y x x b y x x x c y x x d y x x Hư ớng dẫn: )Trình bày tương tự bài mẫu 1c); d)Trình bày tương tự bài mẫu 2b)c Bài 3. Ch ứng minh rằng                2 3 ) 4 nghòch biến trên đoạn 0;2 ) cos 4 đồng biến trên c) cos2 2 3 nghòch biến trên a y x b y x x x y x x Hướng dẫn:                     2 2 ) Hàm số liên tục trên đoạn 0;2 và có đạo hàm '( ) 0 4 với mọi 0;2 . Do đó hàm số nghòch biến trên đoạn 0;2 ) Hàm số xác đònh trên . Ta thấy '( ) 3 1 sin 0, x a f x x x b f x x x                                         ) '( ) 2 sin2 1 0, và '( ) 0 , 4 Hàm số nghòch biến trên mỗi đoạn ; 1 , 4 4 Do đó hàm số nghòch biến trên x c f x x x f x x k k k k k LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chun đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 7 Bài 4. a) Cho hàm s ố   2 sin cosy x x . Ch ứng minh rằng hàm s ố đồng biến trên đo ạn                0; và nghòch biến trên đoạn ; 3 3 b) Ch ứng minh rằng với mọi    1;1m , phương tr ình   2 sin cosx x m có nghi ệm duy nhất thuộc đoạn      0; Hư ớng dẫn:                                               ) Hàm số liên tục trên đoạn 0; và có '( ) sin 2cos 1 , 0; 1 Vì 0; sin 0 nên trong khoảng 0; : '( ) 0 cos 2 3 * ' 0, 0; nên hàm số đồng biến trên 0; 3 3 * ' a f x x x x x x f x x x y x y                    0, ; nên hàm số nghòch biến trên ; 3 3 x b)   Ta có: * 0; ta có: y(0) y y 1 5 nên phương trình không có 3 3 nghiệm thuộc 1;1 5 * ; ta có: y( ) y y 1 . Theo đònh lí giá trò trung 3 3 4 gian củahàm số liên x y x y                                                 5 tục m 1;1 1; , nên tồn tại số thực c ; 4 3 sao cho y(c)=0.                                2 Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghòch biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất. 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên 0; x x m     BTTT: Cho hàm s ố   2 2 ( ) sin cosf x x x www.VNMATH.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 8 a) Ch ứng minh rằng hàm số đồng biến trên        0; 3 và ngh ịch biến trên đo ạn         ; 3 b) Ch ứng minh rằng với mọi    1;1m phương tr ình   2 2 sin cosx x m BÀI T ẬP TỰ GIẢI: Bài 1. Xét s ự đồng biến và nghịch biến của hàm số:             3 2 3 2 2 4 2 5 4 3 . y = 2 3 2 b. y = x 3 3 1 1 1 c. y = x 2 1 . y = 2 1 5 4 2 a x x x x x x d x x x x Bài 2. Xét s ự biến thiên của các hàm số sau:      2 2 2 1 3 3 . y = b. y = 3 3 1 1 4x+5 . y = 2x-3- d. y = x + 2 4x -4 x x x a x x c Bài 3. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:         2 2 2 1 ) 2 6 ) 2 ) 3 2 x a y x x b y x x c y x Bài 4. Xét chi ều biến thiên của hàm số sau:                 ) sin6 treân 0; ) cot treân ;0 0; 6 2 x a y x b y vaø Bài 5 Xét chi ều biến thiên của hàm số sau: a)      2 2 1 1 x x y x x ; b)    3 2 2y x x ; c)    2 1 3y x x d)   2 2y x x e)   2 2y x x f)             sin2 2 2 y x x g)              sin2 2 2 y x x x Bài 6. Ch ứng minh hàm số   2 2y x x ngh ịch biến trên đoạn [1; 2] LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO Chuyên đ ề LTĐH Biên so ạn: Trần Đình Cư 9 Bài 7. a) Ch ứng minh hàm số 2 y= x -9 đ ồng biến trên nửa khoảng [3; +  ). b) Hàm số   4 y x x nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] Bài 8. Ch ứng minh rằng a) Hàm s ố    3 2 1 x y x ngh ịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b) Hàm s ố    2 2 3 2 1 x x y x đ ồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. c) Hàm s ố     2 8y x x ngh ịch biến trên R. Bài 9. Ch ứng minh hàm số   2 ( ) cosf x x x đ ồng biến trên R Bài 10. Cho hàm s ố   2 ( ) 2 2f x x x a) Ch ứng minh rằng hàm số f đ ồng biến trên nửa khoảng     2; b) Ch ứng minh rằng phương trình   2 2 2 11x x có m ột nghiệm duy nh ất www.VNMATH.com [...]... Bài 5 Xác định m để hàm số y  3 x 3  2 x 2  mx  4 đồng biến trên khoảng  1;   Bài 6 Cho hàm số y  4 x 3   m  3  x 2  mx Tìm m để a) Hàm số tăng trên R b) Hàm số tăng trên khoảng [2;  )  1 1 c) Nghịch biến trên khoảng   ;   2 2 d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 Bài 7: Cho hàm số y  Chun đề LTĐH x 1 Tìm m để hàm số: xm 28 Biên soạn: Trần Đình Cư 2 3 www.VNMATH.com... LƯỢNG CAO a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Tăng trên khoảng (0; ) Bài 8 Cho hàm số y  x 2  x  m2 Với giá trị nào của m: x 1 a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4) Bài 9 Tìm tham số m sao cho y  4mx 3  6 x 2   2m  1 x  1 tăng trên khoảng (0;2) Bài 10 Cho hàm số y   x 4  2mx 2  m 2 Với giá trị nào... có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Hàm số nghòch biến trên khoảng  x1; x2  , đồng biến trên mỗi khoảng  ; x1  và  x2 ;   Trường hợp này không thỏa mãn vậy hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi -2  a  2 Bài 3 Tìm m để hàm số y  x  m cos x ln tăng (đồng biến) trên  Hướng dẫn: Cách 1: Hàm số xác đònh trên  Ta có: y '  1  m sin x Hàm số đồng biến trên   y'  0,x    msinx... sin      a, x     2 2 2 2 2 17 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 3: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN TẬP CON CỦA  Phương pháp:  Hàm số y  f ( x , m) tăng x  I  y'  0,x  I  min y'  0,x  I  Hàm số y  f ( x , m) giảm x  I  y'  0,x  I  max y'  0, x  I BÀI TẬP MẪU: Bài 1 Tìm giá trị của m để hàm số mx  4 luôn nghòch biến trên khoảng  ;1 xm 2) y ... hàm số đồng biến trên  ; 1 a2 )tìm giá trò m để hàm số đồng biến trên  2;   a3 )tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên khoảng có độ dài bằng 2 a4 )tìm giá trò m để hàm số nghòch biến trên mỗi khoảng  0;1 và 1;2  a5 )gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình  x  1  m  0 Tìm m để 2  x1  2 x2 ;  x1  3 x2  m  5  x1  3 x2 ;  x1  5 x2  m  12 Bài 6 Với giá trị nào của m, hàm. .. hợp” ở điểm nào? Hàm số nghòch biến trên  khi và chỉ khi a  1  0 5 m y '   x 2  4 x  2m  1  0, x     ' 2   0 5 Vậy hàm số nghòch biến trên  khi và chỉ khi m  2 Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lý Tuy nhiên về mặt lý luận thì trình bày như trên chưa thỏa đáng, hơi tự nhiên Do đó mất đi tính trong sáng và chặt chẻ trong tốn học Bài 2.Tìm a để hàm số y  1 3 x  ax...LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN  Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x , m) , m là tham số, có tập xác định   Hàm số f đồng biến trên   f(x)  0, x   Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm  Hàm số f nghịch biến trên   f  0, x   Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm Từ đó suy ra điều kiện của m Chú ý:... 2 x  2m Bài 4 Tìm giá trị của tham số m để hàm số f ( x )  x 3 -3x 2  mx  1 đồng biến trên R Bài 5 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó m a) y  x  2  x 1 b) y  2 x 2   m  2  x  3m  1 x 1 Hướng dẫn: a) *m  0 : hàm đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và 1;   *m  0 : y '  0  x  1  m Lập bảng biến thiên ta thấy, hàm số nghòch     biến... tăng (đồng biến) trên  3 Hướng dẫn: Hàm số xác đònh trên  Ta có: y '  x 2  2 ax  4,  '  a 2  4 Bảng xét dấu ' Chun đề LTĐH 11 Biên soạn: Trần Đình Cư LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO *-20,x  2 Do đó hàm số đồng biến trên 2 mỗi nửa khoảng  ; 2  và 2;   nên hàm số y đồng biến trên    *a  2 hoặc... ;  x1  5 x2  m  12 Bài 6 Với giá trị nào của m, hàm số: y  mx 3  3 x 2   m  2  x  3 nghịch biến trên R x x Bài 7 Tìm điều kiện của tham số a để hàm số y  sin - cos  ax đồng 2 2 biến trên R Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định trên  x  1 x x 2 Ta có: y '   cos  sin   sin     a 2 2 2 2 2 4 Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi y '  0, x    Chun đề LTĐH x  2 2 2  . 7/2012 * Tính đơn đi ệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đ ẳng thức * Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận ph ương trình, b ất phương t rình, h ệ phương trình * C ực trị hàm. trên    ; 2 và (0;2), Hàm ngh ịch biến trên ( -2;0) và (2; ) D ẠNG TỐN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Phương pháp: D ự a vào quy t ắc xét tính đơn điệu của hàm số www.VNMATH.com LUY ỆN. (a;b) thì hàm s ố f(x) nghịch biến trên [a;b] II. QUY T ẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐI ỆU CỦA HÀM SỐ Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính