Đề thi cao học môn Giải tích

ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4,0 ñiểm) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1 2010 cosx dx, ( 0). x x 1 ∞ α + α > + ∫ 2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lỹu thừa n n n 0 a x ∞ = ∑ hội tụ tại một ñiểm x = α ( 0)α ≠ thì nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x 0 thoả mãn 0 x .< α 3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội f(x, y,z)dxdydz Ω ∫∫∫ trong ñó Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 với thứ tự cho trong hai trường hợp sau: dx dy f(x,y,z)dz ∫ ∫ ∫ và dz dx f(x, y,z)dy. ∫ ∫ ∫ Câu II (3,0 ñiểm) Cho Q là tập các số hữu tỉ. Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có): x 1, khi x A [0;e] f(x) . xln x, khi x B [0;e]\ A + ∈ = ∩  =  ∈ =  Câu III (3,0 ñiểm) Cho [ ] C a;b là không gian các hàm liên tục trên ñoạn [ ] a;b với chuẩn [ ] [ ] t a;b x max x(t) , x C a;b . ∈ = ∈ Với [ ] (t) C a;b ,α ∈ toán tử A xác ñịnh trên [ ] C a;b bởi công thức [ ] b a Ax(s) (s).x(t)dt, x(t) C a;b , a s b.= α ∈ ≤ ≤ ∫ Chứng minh rằng A là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm chuẩn của A. Q . ðỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 9 – 2011 ðHSP HÀ NỘI 2 Môn: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (4,0 ñiểm) 1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng 1 2010 cosx dx,. Câu II (3,0 ñiểm) Cho Q là tập các số hữu tỉ. Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số sau trên ñoạn [0; e] và tính các tích phân tương ứng (nếu có): x 1, khi x A [0;e] f(x) . xln. nó sẽ hội tụ tuyệt ñối tại mọi ñiểm x 0 thoả mãn 0 x .< α 3) Xác ñịnh cận lấy tích phân khi tính tích phân bội f(x, y,z)dxdydz Ω ∫∫∫ trong ñó Ω là miền giới hạn bởi các mặt x + 3y