DAI HQC QUOC GIA HA NQIDE THI TUYEN SINH SAU DAI HOC XATU 2OII Thcri gian lim bni: 180 phrit C0u 1... DAI HQc QuOc GIA ue mOToE rHI TUvEN srxH sAU DAI Hoc xAnt zoLL vtOx THr cd sd' crAr
Trang 1DAI HQC QUOC GIA HA NQI
DE THI TUYEN SINH SAU DAI HOC XATU 2OII
Thcri gian lim bni: 180 phrit
C0u 1 Xdt tinh d6ng ntrAt bang nhau trong dai s6 mOnh d€
1) Chring minh rdng m5i hdm trong l6p P2 dOu co thO biOu diSn qua cdc hdm { e4, &} trong d6 & ld tich l6gic
\ HAy biOu diSn cdc hdm sau ddy qua hg { 94, &.} :
a) (A,B): ,((-A)-+(A&B)) b) h(A,B) : Arr(-'(AvB)) cflu 3 Dua cdng thuc sau ddy trong l6gic vi tu ve dpng
r i , 3 / , , r \ r , a , a ' a
chu6n tac ( tfc ld dun g cdc phdp biOn d6i tucrng ducrng, dua tdt ch cdc 4eu lugng tu dring trudc cdng thric, kh6ng cdn d6u liOn k6t -+,
vd d6u phu dinh chi dung trpc ti6p voi cdc bie; m6nh eO ho4 c cdc
vf tu) :
tx(P(x,y)-+R(x,y)) v Vz(P (r,y)-+Q(r,y))
( P, Q vaR ld cfrc v i t u b A t k i , x , y , z l d c6c UiOtr t u )
Cdn bo coi thi khong giai thfch gi thAnt
u oay tro
0 0
0 1
1 0
1 1
I 0 1 0
Trang 2DAI HQc QuOc GIA ue mOT
oE rHI TUvEN srxH sAU DAI Hoc xAnt zoLL
vtOx THr cd sd' crAr ricH
Thdi gian ldm bhi: 180 phfrt
C A u I
1 Ph6t bieti v), chfing minh ti€u chud,n Cauchy v€ dicu ki6n ca,n vb, dii dd dav s6 hOi tu
2 C h o d a y s6 {r(nliP, trong R", tLong cl6
/ k ) - ( r r o , r 2 k t , x , r k ) , ( k : I , 2 , ) Chfing minh rhng diy {r(k)}P, hOi tu trong R'khi vd chi hhi c6c day {r'*ip,,
j : I , 2 , , n i r O i t u t r o n g R
C d u I I
/ -
t h l c t r X n g d a o h b , m r i € n g c 6 p m o t
# , i : r , 2 , , 7 1 l d c a c h d , m b i c h 6 , n trong A Chftng minh r6ng / ld, hd,m li€n tuc cl€u tron g A
2 Cho f (r) lb, hb,m x5,c dinh vb, khA vi c6.p hai trong khoAng (a,+-) Gie thiet r5,ng gi6i han
l f " ( r ) l < M l r e ( a , , + o o )
C A u I I I
2 Cho chu6i hdm
oo
, , " r c L g ^ r
m - l
tu, r6t tfnh li€n tuc va tfnh khA vi cria tcing cria chrr6i cria no
C A U I V
Xet tinh hOi tu ctia tidh phAn
+oo l' sin:r
, l r o * r n
0
r r L
f i e t
Hiy x5,c dinh mi€n hOi
ham trong mi€n hOi tU
r , r )
- il L-hlt
Trang 3Dai h o c Qudc Gia Ftrh Ndi
Dtr THI TUYEN SINH SAU DAI HQC NAM 2OL1
Thdi gi,an ld,m bd,i,: 180 phtt
Gqi ,4 la rna tr6,n cua phdn tod,n phrrong cua ,5 d5i vOi hO toa do dA cho Tirn cac gi6 tri ri€ng ciia 4
Tim mot ma trdn trdc giao Q sao cho Q-t lQ Id mot ma tr6.n ch6o
T)m phr-tong trinh cr-ra ,9 trong h€ toa dO mdi sau ph6p bicn doi thi-rc hi€n b6i ma trd,n 8 Ttl d6 ket lr-r6,n ,9 t'6 bi chdn hay khOng (I\6i cach khdc co chd,ng m6t hinh cS,u chfta tobn bO S?)
Cdn bo coi thi kh6ng giai thich gi rh/m
)
C d u 1 C h o p h a n t r t o - ( 1 , 3 , 5 ) - ' ( 2 , 1 , 4 ) ( 1 , 3 , 5 ) 3 t r o n g n h 6 m d 6 i x f i n g , g 5
(u) Viet o thd,nh tfch cfra nhrlng xich rdi rac
(b) Tinh c6p vh, d6,u cria, o
C6.u 2.Ki hi€u Q chi trudng s5 hiru ty
(u) Gi6 sit / , Q -+ Q ld mOt dong c6u vbnh Tim tat c6 cd,c gi5, tri md, /(1) c6 thc nhdn TrOn co sd d6 tim tdt, ch c5,c d6ng c6u vb.nh tl) Q vdo e
(b) T)m tdt cit c5,c dong c6u nh5m til nh6m cong Q vdo chinh n6
Cd.u 3 Chrlng minh rang n€u a + b th\ dinh thfic cria ma trA,n c6p n drrdi ddy
| " L r t r - T u u , v
I
M n _ l
I
bbng {H:: Ncu a: b thi dinh thirc nay bang bao nhicu?
CAu 4 Cho / id rn6t ph6p bi€n dOi tuyen tfnh tr€n khOng gian v6c td ihuc V c6 nra tr6,n
t r o n g c d s d ( " t , " z , e g , e a ) Ib "
1 1 2 5 5 f _ , t r / ,
(u) Tim hat nhdn crta f
fia f
"t
- f ,;;
,, lt t,i, r ,
i
Cdu 5 Cho 3 didm n - @r,a) ('i - r,2,3) trong mAt phd,ng Org v6i cd,c tung dO doi mOt kh6c nhau Chrlng minh rAng t6n tai duy nh6t mOt drrdng cong bac hai xd,c dinh b,6i
p h u o n g t r i n h r : a U 2 * b a * c d i q r r a 3 d i 6 m n d y , ,
i , t , C6.u 6 Gie si? ,S lb, mat bac hai x6c dinh bdi ptrrrong trinh {.-!
4r2 + 4a' + 422 + 4ry -t 4gz * 4zr -3 : 0
(a,)
( b )
( )