Đề thi cao học môn Toán 2011

DAI HQC QUOC GIA HA NQI DE THI TUYEN SINH SAU DAI HOC XATU 2OII ruOx rHr coBAN: ToAx rOcrc Thcri gian lim bni: 180 phrit C0u 1. Xdt tinh d6ng ntrAt bang nhau trong dai s6 mOnh d€ cria cdc c6ng thric : Av(A&B) vlr A-+B CAU 2.K! hiQu g4 lA hdm sau ddy trong l6p hdm P2 1) Chring minh rdng m5i hdm trong l6p P2 dOu co thO biOu diSn qua cdc hdm { e4, &} trong d6 & ld tich l6gic \ HAy biOu diSn cdc hdm sau ddy qua hg { 94, &.} : a) (A,B): ,((-A)-+(A&B)) b) h(A,B) : Arr(-'(AvB)) cflu 3. Dua cdng thuc sau ddy trong l6gic vi tu ve dpng r i ,3 / ,, r\ r, a , a ' a chu6n tac ( tfc ld dun g cdc phdp biOn d6i tucrng ducrng, dua tdt ch cdc 4eu lugng tu dring trudc cdng thric, kh6ng cdn d6u liOn k6t -+, vd d6u phu dinh chi dung trpc ti6p voi cdc bie; m6nh eO ho4 c cdc vf tu) : tx(P(x,y)-+R(x,y)) v Vz(P (r,y)-+Q(r,y)) ( P, Q vaR ld cfrc vi tu bAtki, x,y,zld c6c UiOtr tu ) Cdn bo coi thi khong giai thfch gi thAnt u oay tro XY 94(X,Y) 00 01 10 11 I 0 1 0 DAI HQc QuOc GIA ue mOT oE rHI TUvEN srxH sAU DAI Hoc xAnt zoLL vtOx THr cd sd' crAr ricH Thdi gian ldm bhi: 180 phfrt CAu I. 1. Ph6t bieti v), chfing minh ti€u chud,n Cauchy v€ dicu ki6n ca,n vb, dii dd dav s6 hOi tu. 2. Cho day s6 {r(nliP, trong R", tLong cl6 /k) - (rro,r2kt . . .,x,rk), (k : I,2,. . .). Chfing minh rhng diy {r(k)}P, hOi tu trong R'khi vd chi hhi c6c day {r'*ip,, j : I,2, . , n irOi tu trong R. Cdu II. ' .I. Cho ,4 1d tQp hOp mo, l6i trong IR' vb, f , A + R Id h),m kh6 vi trong A. Gie / af(r\ / - thlct rXng dao hb,m ri€ng c6p mot #, i : r,2, ,71ld cac hd,m bi ch6,n trong A. Chftng minh r6ng / ld, hd,m li€n tuc cl€u tron g A. 2. Cho .f (r) lb, hb,m x5,c dinh vb, khA vi c6.p hai trong khoAng (a,+-). Gie thiet r5,ng gi6i han ,ITL f @) t6n tai hrfu han va tOn tai s6 M > 0 sao cho lf" (r)l < M lr e (a,, +oo). Chfing minh rXng iim f '(r) - 0. CAu III. 1. Ph5,t bi6u vb, chr'rng minh dinh lf vC tinh li€n tuc cria tdng crfa chu6i hb,m. 2. Cho chu6i hdm oo \-o J| , .,"rcLg ^r. m-l tu, r6t tfnh li€n tuc va tfnh khA vi cria tcing cria chrr6i cria no. CAU IV. Xet tinh hOi tu ctia tidh phAn +oo l' sin:r | -ch, a)0, !3>0. ,l ro*rn 0 rr L fiet Giri chir: Can bocoz thi l;hAng gidz thiclt gi t,h€nt Hiy x5,c dinh mi€n hOi ham trong mi€n hOi tU r,r )- P'J 'i()t l'/ t / - il L-hlt Dai hoc Qudc Gia Ftrh Ndi \? Dtr THI TUYEN SINH SAU DAI HQC NAM 2OL1 Mon thi Co b6,n: Dai s6 Thdi gi,an ld,m bd,i,: 180 phtt Gqi ,4 la rna tr6,n cua phdn tod,n phrrong cua ,5 d5i vOi hO toa do dA cho. Tirn cac gi6 tri ri€ng ciia .4. Tim mot ma trdn trdc giao Q sao cho Q-t lQ Id mot ma tr6.n ch6o. T)m phr-tong trinh cr-ra ,9 trong h€ toa dO mdi sau ph6p bicn doi thi-rc hi€n b6i ma trd,n 8. Ttl d6 ket lr-r6,n ,9 t'6 bi chdn hay khOng. (I\6i cach khdc. co chd,ng m6t hinh cS,u chfta tobn bO S?) Cdn bo coi thi kh6ng giai thich gi rh/m. ) Cdu 1. Cho phan trt o - (1,3,5)-'(2,1,4)(1,3,5)3 trong nh6m d6i xfing ,g5. (u) Viet o thd,nh tfch cfra nhrlng xich rdi rac. (b) Tinh c6p vh, d6,u cria, o. C6.u 2.Ki hi€u Q chi trudng s5 hiru ty. (u) Gi6 sit / , Q + Q ld mOt dong c6u vbnh. Tim tat c6 cd,c gi5, tri md, /(1) c6 thc nhdn. TrOn co sd d6. tim tdt, ch c5,c d6ng c6u vb.nh tl) Q vdo e. (b) T)m tdt cit c5,c dong c6u nh5m til nh6m cong Q vdo chinh n6. Cd.u 3. Chrlng minh rang n€u a + b th\ dinh thfic cria ma trA,n c6p n drrdi ddy /a-tb ab 0 0 \ I r a*b ab o I I g L a+b ab I | " L r.tr-Tu u,v I Mn_l I ll t atb ab I \ o L a+b/ bbng {H::. Ncu a: b thi dinh thirc nay bang bao nhicu? CAu 4. Cho / id rn6t ph6p bi€n dOi tuyen tfnh tr€n khOng gian v6c td ihuc V c6 nra tr6,n trong cd sd ("t,"z,eg,ea) Ib" /t o 2 1\ fl l-r 2 1 3 | / 11 2 5 5f _,tr/ , \z -2 r -2/ ( (u) Tim hat nhdn crta f . fia f "t - f ,;; ,, lt t,i, .r , i (b) Tim khOng gian 5nh cria /. ' 'r7 -'l ' r Cdu 5. Cho 3 didm n - @r,a) ('i - r,2,3) trong mAt phd,ng Org v6i cd,c tung dO doi mOt kh6c nhau. Chrlng minh rAng t6n tai duy nh6t mOt drrdng cong bac hai xd,c dinh b,6i phuongtrinh r:aU2 *ba *cdi qrra 3 di6m ndy. ,, i, t., C6.u 6. Gie si? ,S lb, mat bac hai x6c dinh bdi ptrrrong trinh { ! 4r2 + 4a' + 422 + 4ry -t 4gz * 4zr -3 : 0. (a,) (b) (.) . Can bocoz thi l;hAng gidz thiclt gi t,h€nt Hiy x5,c dinh mi€n hOi ham trong mi€n hOi tU r,r )- P'J 'i()t l'/ t / - il L-hlt Dai hoc Qudc Gia Ftrh Ndi ? Dtr THI TUYEN. doi thi- rc hi€n b6i ma trd,n 8. Ttl d6 ket lr-r6,n ,9 t'6 bi chdn hay khOng. (I6i cach khdc. co chd,ng m6t hinh cS,u chfta tobn bO S?) Cdn bo coi thi kh6ng giai thich. I | " L r.tr-Tu u,v I Mn_l I ll t atb ab I o L a+b/ bbng {H::. Ncu a: b thi dinh thirc nay bang bao nhicu? CAu 4. Cho / id rn6t ph6p bi€n dOi tuyen tfnh tr€n khOng