Đề thi cao học môn Toán - Đại học Huế

e0 ctRo DUc vA DAo rAo .{ DAI HOC HUE Hq vd t€n thf sinh Sd bdo danh KV rHr ruydN srNH sAU DAr Hoc NAM 2006 Mdn thi: Dai sd (ddnh cho: Cao hgc) Thdi gian ldm bdi: 180 phut Cflu 1. a. Cho n1,r2, ,r, id cr{c vecto khr{c khOng ctia m6t khOng gian vecto, cbn A le mQt ph6p bidn ddi tuydn tinh cfia khOng gian vectd d6 sao cho Art - 11, Anp : trk * rt -t, k :2,3, )n. Chtrng minh rang cdc vectd rr,n2, ,rn dOc ldp tuyOn tfnh. b. Cho B lil ma trAn vuOng cdp n sao cho Bk :0, vdi k le mQt sd tu nhiOn ndo d6. Tim (E^ - B)-t, trong d6 E- ld ma trAn vuOng don vr cdp n. Chu 2. Cho c le nh6m sinh boi hai phdn tir r vd a vu cdc quan h€: tr4:a2:!,ar-r3a. a. X6c dinh nhfrng phdn tr? cfra nh6m G. b. Tim tdt ca ciic nh6m con cfia nh6m G. CAu 3. Cho n le mQt vdnh. DFtt" Z(R) - {, e Rlra: an,Vo e R}. a. Chtnrg minh rang Z(R) lh mOt vdnh con giao ho6n cira R. b. Xdc dinh z(Mt(n)), trong d5 twt(n) lh vinh cdc ma trQn vuOng cdp 3 h0 sd thuc. CAu 4. Chtnrg minh rang ndu da thrlc 13 + arz + br * c c6 3 nghiOm thuc, phAn biet thi da thrlc 13 + ar2 + i@' + b)r + # cflng c6 3 nghigm th1rc, phAn bigt. Ghi chri: C6n b0 coi thi khOng giii thfch gi thOm VIETMATHS.NET f te"t l '\)*- {.*?e e0 ctAo DUc vA oao rAo DAr HQC HU6 Hg ud, t€,n th{ s'inh: Sd b6,o danh,: KV rnr ruyiN srNH sAU o4l Hec NAnn zoor M6n thi: DAI SO (dd,nh, cho Cao hoc) TlLdi gian ld,m bd,i: 180 phrit Cdu f. 1. Cho nrtfr2t tnn Ib cri,c vecto khdc kh6ng crla m6t kh6ng gian vecto vh, A th, mQt ph6p bi6n ddi tuydn tfnh cria kh6ng gian vectcr d6 sao cho An1 : 11, Ann : frk * rn-r, k : 2,3r rfl. Chfrng minh rH,ng c6c vecto nttn2r ,tfrn dgc 16,p tuy6n tfnh. 2. Cho B Ie ma tr$n vu6ng cdp n x6c dinh tr6n trudng F sao cho Bk:0, v6i k th mQt s6 tu nhi6n ni,o d6. Tim (E^ - B)-1, trong d6 En lir, ma trAn vu6ng dsn vi cd,p n. tl a .12000 / n g.Tfnr(0 1\ t-:(0 1\ Lnxdcdinhtr6nt.rbnsF. o ( _, 0 ) v6i ( _, 0 ) lb, ma trdn xac dinh tran trulng F. Ciu II. 1. Cho p ve ',h L hai tu dbng cdu tuydn tfnh cria mQt kh6ng gian vectcr hfru han chibu tr6n lrubng s6 phirc C sao cho po{s : tog. Chfrng -Ln rXng p ve 4t cd chung mQt vects ri€ng, 2. Cho E lb m6t kh6ng gian vectcr Euclid htru han chibu vh (u1 , ,un) lb, m6t hO trgc chudn trong A CA*ng minh rXng n6u vcri ngi u e E tu dbu c6'-' rur'- iro,,,r' 'i,:L thi (u1,. , or) lb mQt ccr s& a3,a E. C6.u IU. Cho G th mQt nh6m nh6,n hfru hg,o sao cho G c6 mQt tu d8ng c6,u g th6a p(a) # o,Va t' 16. Chfrng minh rB,ng: 1. vcri m.oi a e G tbn tq,i g e G sao cho d': g-Lp(g); 2. ndu g c6 cdp bXng 2,tftcIi, p+i,d,vdp2 - id, thi p(.q) : g-L v6i moi g € G vb, G te mQt nh6m aben c6 cd,p 14, m6t sd 16. C6.u IV. 1. Cho E le mQt vh,nh Biao hod,n v6i don vi 1 I 0 vA, / lb mQt id€an crla E. Chfrng minhrXng v6i m5i a € R, t6,p con J - {ar* I | * € l?} C RlI lh, m6t id6an cda Rl I sinh bdi o + f € R/1. Tri d6 suy ra rXng khi f ld, id6an t6i dai crla vA,nh R thi moi phb,n trl kh6c kh6ng c,la RII dEu khd, nglrieh. 2. Chirng minh rXng t$p hqp c6c s6 hfru tj dang ? usimAu sd Ih, mQt s6 nguyOn 16 n tao thb,nh m6t mibn nguy6n chfnh. Ghi chri: Cd,n b6 coi, th,i, kh,6ng gi,di, th{ch gi, th€,m. VIETMATHS.NET e0 ctao DIJc vA DAo T4.o .f DAI HQC HUE Hg ud, t€n tht s'inh: Sd bd"o danh: KV rHr ruYiN srNH sAU D+r HQC NAnn 2oo7 M6n thi: D'F:'I 56 (dd,nh cho Cao hpr) Thdi g'ian lam bd,i,: 180 phft CAu I. GiA su y ld tap tdt cA cdc 6nh xa tri tAp s6 thuc lR, vA,o R vdi cdc ph6p todn xdc dinh bdi: Va,a € R,Yf ,g €V : (/ + s)@): f (o) + g(a), ("f )(o) - af (a), . 1. Chring minh r},ng y ld kh6ng gian vectcr tr6n trubng s6 thuc. Tbong khong gian vectcr V, t4p {f. t n - I,2, . } v6i f"(t): sin' t c6 d6c l6,p tuy6n tinh kh6ng? 2. Trong V, x6t t6,p con E gbm tdt cA c6,c 6nh xq, f c6 dang sau il6,y: f (t) - as + t (47, cos kt + b7, sin kt), k 7 trong d.6 n li, m6t s6 nguy6n duong de cho; ai)'i:0, 1, ,fribi,i - 1,2, ,n Ih c5,c s6 thuc tiy y. Chirng minh rXng E Id mQt kh6ng gian vectcv con crla V. 3. Tim mQt co sd ci,a E vh xd,c dinh dimE. CAu II. ' ' 1. Cho ,p te, mQt to5,n tri tuy6n tinh crla F-' c6 n gi5 tri ri6ng phan bi6t (F Ib mQt trubng vh n th, m6t s6 nguyOn ducrng). Tim tdt cA cdc khong gian con bdt bi6n ci"a g. 2. Chirng t6 rXng khong gian M(r,R) gbm c5c ma trA,n vu6ng thuc ci,p n v6i ph6p tod,n \A, B) - tr(ABt) lAp thd,nh m6t kh6ng gian (vectcr) Euclid. CAU III. Kf hiOu G lb nh6m nhan c6,c ma trq,n vu6ng cdp n khA nghich tr6n trubng s6 thuc. Goi /J th, tap con cta G chfra cd,c ma trAn c6 dinh thitc bXng t hay -1. Goi /( Ii, t6,p con cta G gbm c6c ma trA,n c6 dinh thitc ducrng. Chirng minh rXng' 1. H vit" /{ Ie c6c nh6m con chudn tic ctja G; 2. nh6m thucrng G I H dXng cdu vdi nh6m nh6,n cdc s6 thuc ducrng; 3. nh5m thucrng GIK d8ng cdu vdi nh6m cyclic c6,p 2. Cdu fV. 1. Cho (A,+,.) lA,mQt vA,nh,5ld mQt t|p hqp vd ? : S * A Ie mQt song 6nh. Chfrng minh rXng 5 v6i hai ph6p to6n a@b - q-'(rt(o)+ ?(b)), vA a*b - q-th@) 'q(b)) , Ya,,b e 5 lb, mot vhnh. 2. Chring minh rXng mQt vh,nh (R, +, .) bdt kj, c6 dcvn vi 1 cfrng cbn 14, mot vh,nh v6i hai ph6p toSn a@b - a -lb - l, vb a*b : a *b - ab, Ya,b €R. Ghi chri: Cd,n b6 coi, thi, klt}ng gi,d,i, th,fuh gi tlt'€m. VIETMATHS.NET Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh: Đại Học Huế Số báo danh: Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét chuỗi hàm n=1 u n với u n (x)= x 2 n 1 x 2 n+1 , |x| < 1. a) Với mỗi a :0<a<1, chứng minh |u n (x)| a n 1 a x [a, a]. Từ đó suy ra n=1 u n hội tụ đều trên [a, a]. b) Tính tổng S của chuỗi hàm n=1 u n trên (1, 1). Câu 2. Cho hàm hai biến: f(x, y)= 1 nếu y<x 2 0 nếu y = x 2 1 nếu y>x 2 Chứng minh rằng hàm f(x, y) khả tích Riemann trên hình chữ nhật D =[1, 2] ì [0, 5] và tính D f(x, y)dxdy. Câu 3. Cho (X, d) là không gian mêtric, A là tập con khác trống của X, x 0 X và x 0 / A. Đặt d(x 0 ,A) = inf aA d(x 0 ,a). a) Giả sử A đóng, chứng minh d(x 0 ,A) > 0. b) Giả sử A compact, chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). c) Giả sử X = R n với mêtric Euclide thông th-ờng và A R n là tập đóng. Chứng minh tồn tại y 0 A sao cho d(x 0 ,A)=d(x 0 ,y 0 ). Câu 4. Trong không gian C[0, 1] với chuẩn "max" cho dãy (x n ) C[0, 1] với x n (t)= 2nt n 4 + t 2 , t [0, 1] và toán tử A : C[0, 1] C[0, 1] cho bởi: Ax(t)= t 0 x(s)ds, với x C[0, 1],t [0, 1]. a) Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục. b) Chứng minh (Ax n ) hội tụ về 0 trong C[0, 1]. Câu 5. Giả sử {e n } là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H và X là không gian Banach. Giả sử A L(H, X) sao cho chuỗi n=1 Ae n 2 hội tụ. Chứng minh A là toán tử compact. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm VIETMATHS.NET e0 crAo DUC vA. oao TAo DAI HQC HUE xi THr ruYiN srNH sAU DAr M6n thi: GiAi tfch . (dd,nh cho Cao hpc) Hg ud, t€n th{ s'inh: Sd b6,o danh,: HOC NAM 2OO7 I. Thdi g'ian ld,m bd,i: 1-80 phrit Tim mibn h6i tu crla chu6i nbm Er+l '[rj]; KhAo s6t suh6i tu dbu cria chu6i hb; Er#' Tfnh tich ph6,n ff I I @'+v2)ardv, J Jo' trong d6 D: {(r, y) € R.2l2ar < 12 *92 <2br},0 ( a 1b. fl. 1" U t (:-'t z , '! i t \ tr€n mibn (0, +oo). a. b. c. II. Cho X Ib tQp hqp gbm tdt cd, c6c tA,p con compact khdc 0 crla IR., a. V6i moi r € R, d{,t d(r,A) : inf{l* -yl , A € A}. Chfrng minh rXng, v6i moi z € IR., A eX, tbn t4i ro€ A sao cho lr - nol - d(r,A). b. Goi d: X x X + R 1A, 6nh xa dusc x6c dinh nhu sau: d,(A,B) :- inf{d : A c Bt, B C At}, trong d.6, A5 - inf{r € R : d,(n,A) < d}. Chfrng minh rB,ng d Ih, mQt metric tr6n X. III. Kf hiQu X - Cp,zl th kh6ng gian dinh chudn cr{,c hhm s6 li6n tuc tr6n 10, 2] v,ii chudn ll"ll : mil({|"(t)l : t € lo, 2l} vh kh6ng gian con Y - {r e X : r(0) - 0} cda X. Cho r{,nh xa A : X -> Y. fr n Ar xdc dinh bdi: Ar(t)- ['*(s)ds; telo,z]. Jo Chfrng minh rXng A Ib to6n trl tuy6n tfnh Ii€n tuc tli X vho Y. Tfnh llAll. Anh xq Ac6 phd,i th, mQt toir,n anh hay kh6ng? Cho kh6ng gian Hilbert phfrc If vi, tQp hqp {O"ln € N} c H thod md,n lld"ll :1 v6i moi n € N vA, sao cho vdi mgi / e H, ta c6: - lt ttt2 -i,/r ], tt2 ' ll/ll- : k\LQn)l Chirng minh rH,ng: a. {d"ln € N} th, m6t co sd truc chudn cta I{. b. Day (d",),ex h6i tu y6u ddn 0. 0'. b. IV. Ghi chri: C6,n b6 coi, thi, kh6ng gi,d,i, thfuh gi, th€m. VIETMATHS.NET BO GIAO DAI VA DAO TAO HUE Ho vd, ten thi sinh: 56 b6o danh: DVC HQC KV Sv THI TUYEN SrNH SAU DAr HOC NAM 2AO7 M6n thi: Giai tich (dd,nh cho Cao hpr) Thdi gi,an ld,m bd,i,; 180 phirt CAu I. 1. Cho hdm hai bi6n f (r,a) KliAo s6t tinh liOn tuc cria hilm / 1x ', A2f lr6n hsp d;N(O,0) khong tbn n6u (*,y) + (0,0), n6u (*,a) - (0,0). Chirng minh rHng dao hA"m riOng cia R. hoi tu vb 0 -I -I 2ra ,2 + a'' 0, tai didm (0,0) tai (huu hat) 2 F_{i 1I I P' ^ tz'J')4)s)" Cdu III. Kj' liiOu X : co z. KhAo s6,t su hoi tu dbu cria chu6i hd,m f ," .i" ,,fu tr6n c6,c tAp sau: fl':L ,) A: lp,+-), p ) 0i ii) B - (0, +oo). Cdu II. Trong khong gian metric IR. v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng, 1. E - {t,2, 1, 1, 1, . !.u-L^'-,2,3)4) 1n' ).*^^^Y""7 . , 1, . . . . ) U.Ong phai th, mot t6,p con compact ) th, khong gian dinh chudn gbm c6c day s6 thuc llrll - sup lrnl,, Yr - (r.)n e co chudn Euclide rL llsll - WiZ, va - (ar,. . .,un) eY. V6i m6i s6 tu nhien k ta x6t 5nh x? An : X * Y x6"c dinh bdi Anr - ("n+r, fr1xa2t'' ) rk+n), Yr : (rt)zeN € X. 1. Chirng minh Ap lit" c6,c 6nh xa tuy6n tinh lien tuc tri X vh,o Y. 2. Chirng td rXng J* Ann - 0 € R.' v6i moi z e X. CAu IV. Tren khong gian Hilbert phitc 12 vsi tich vo hu6ng / \ S @,il :2*^y,, *ong d6 ,: (r,-)n e {2, U : (Un)- e 12. '"_ : Cho o - (a), ie mQt duy c5,c s6 phric bi ch5,n vA, ,4. : 12 - t2 Ib" mot to5,n trl ducvc x6c dinh bdi Ar - (onrn)n, Yr e !2. 1. Chirng minh rXng ,4 th mQt to6n trl tuy6n tinh lien tuc vd, tinh chudn c:d:a A. 2. Tim to6n trl liOn hiep A* cia A. Khi nb,o thi A ld mQt to6n tr] tu lien hiep? v6i chudn vb,Y-lR'v6i Ghi chri z Cd,n bo coi, thi, khong gi,d,i, thi,ch gi, th€m VIETMATHS.NET . tạo Họ và tên thí sinh: Đại Học Huế Số báo danh: Tr-ờng Đại học S- phạm kỳ thi tuyển sinh sau đại học Đợt II - năm 2005 Môn thi: Giải tích (Dành cho Cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu. - a -lb - l, vb a*b : a *b - ab, Ya,b €R. Ghi chri: Cd,n b6 coi, thi, klt}ng gi,d,i, th,fuh gi tlt'€m. VIETMATHS.NET Bộ Giáo dục và đào tạo Họ và tên thí sinh: Đại Học. sau: fl':L ,) A: lp, +-) , p ) 0i ii) B - (0, +oo). Cdu II. Trong khong gian metric IR. v6i khoAng c6ch thong thulng, chitng minh rXng, 1. E - {t,2, 1, 1, 1, . !.u-L^&apos ;-, 2,3)4) 1n'