BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a. Chứng minh bất đẳng thức 2 + 2 < ln + 1 , + . b. Cho > 1, tìm tất cả các số thực để chuỗi sau hội tụ 1 =1 . c. Cho hàm số xác định trên hình vuông = 0; 1 0; 1 , = 1 nếu 1 nếu > . Khảo sát tính khả vi của hàm tại các điểm trong của . Câu 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên > 1, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất trong tập = 0; 1 0; 1 : + + = 3 2 + 2 + = 6. Câu 3. Cho = 0;1 với chuẩn = max : 0; 1 . Cho ánh xạ : xác định bởi = 1 1 , , 0; 1 . Chứng minh là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tìm . Câu 4. Cho là một không gian Hilbert. a. Giả sử , là hệ trực giao trong . Chứng minh rằng, chuỗi =1 hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn). b. Cho là dãy hội tụ yếu về trong . Giả sử dãy hội tụ về trong . Chứng minh dãy hội tụ mạnh về . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm = ln 1 + 2 +2 , 0. Ta có = +4 +1 +2 2 , > 0. Do vậy > 0 = 0 hay ln 1 + > 2 +2 , > 0. (1đ) b. Đặt = 1 thì > 0 và = 1 + . Theo trên ta có 2 + 2 < 1 ln = ln 1 + < hay 2 + 2 < ln < (0,5) Suy ra lim = ln . Nên các chuỗi 1 =1 và 1 =1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Vậy chuỗi đã cho hội tụ khi > 1 và phân kỳ khi 1. (1đ) c. Dễ thấy khả vi tại các điểm của mà < hay > . (0,5đ) Để xét tính khả vi của tại các điểm , , < 1, ta xét hàm = , , khi đó + = = 1 tại mọi < 1. Suy ra không khả vi tại các điểm , , < 1. (1đ) Câu 2. (2đ) Xét không gian metric = 2 với khoảng cách xác định bởi 1 , 1 , 2 , 2 = max 1 2 , 1 2 , 1 , 1 , 2 , 2 , là không gian metric đầy đủ. (0,5đ) Xét hàm : xác định bởi , = + + 3 , 2 + 2 + 2 6 , , . 1 , 1 , 2 , 2 ta có 1 , 1 , 2 , 2 = = max 1 2 + 1 2 3 , 1 2 2 2 + 1 2 2 2 6 (0,5) Chú ý 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 1 , 1 , 2 , 2 . 1 2 2 2 + 1 2 2 2 1 2 2 2 + 1 2 2 2 2 1 2 + 1 2 4 1 , 1 , 2 , 2 . (0,5) Do đó 1 , 1 , 2 , 2 2 3 1 , 1 , 2 , 2 . Theo nguyên lý ánh xạ co, có duy nhất , sao cho , = , , tức là hệ phương trình có duy nhất nghiệm. (0,5đ) Câu 3. (2đ) Kiểm tra tính tuyến tính của . (0,5đ) , 0; 1 ta có 1 + 1 . Nên .Vậy A liên tục và 1 (1đ) Xét hàm = 21, 0; 1 . Ta có = 1 còn = max 0;1 1 2 =1 Vậy = 1. (0,5đ) Câu 4. (2đ) a. Đặt = =1 . Giả sử lim = 0. Khi đó với mọi ta có lim < 0 , > lim 0 = 0. Vậy 0 . (0,5) Ngược lại, giả sử 0 khi đó với mọi ta có lim < , > =< 0 , >. Do đó dãy < , > bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều , . Suy ra 2 = 2 =1 2 , . Vì vậy 2 =1 hội tụ nên =1 hội tụ. (0,5đ) b. Giả sử . Ta có 2 =< , >=< , > < , > < , > + +< , > = 2 < , > < , > + 2 (0,5) Theo giả thiết lim = nên lim = 0. Vậy lim = . (0,5) . Họ và tên thí sinh:……………………………… ĐẠI HỌC HUẾ Số báo danh:……………………………… KỲ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2010 ( Đợt 1) Môn thi: GIẢI TÍCH (Dành cho cao học) Thời gian làm bài: 180 phút . dãy hội tụ mạnh về . Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN ĐỀ GIẢI TÍCH CAO HỌC ĐỢT 1 NĂM 2010 Câu 1. (4đ) a. Xét hàm = ln 1 + 2 +2 ,. > =< 0 , >. Do đó dãy < , > bị chặn. Theo nguyên lý bị chặn đều , . Suy ra 2 = 2 =1 2 , . Vì vậy 2 =1