Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006 Môn: Giải tích Thời gian: 180 phút Câu 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ∞ n=1 (−1) n n x − 1 x + 1 n Câu 2. Xét tính liên tục và khả vi của hàm f(x, y) = (x 2 + y 2 ) sin 1 y nếu y = 0 0 nếu y = 0 Câu 3. Giả sử f : R → R là hàm đo được và tồn tại tích phân Lơbe If. Với mỗi n = 1, 2, . . . cho hàm f n (x) = f(x) nếu |f(x)| < n n + 1 nếu |f(x)| ≥ n 1) Chứng minh rằng lim n→∞ f n (x) = f(x), với mọi x ∈ R. 2) Có kết luận được lim n→∞ If n = If hay không? Câu 4. Giả sử C [−1,1] là không gian các hàm số liên tục trên [−1, 1] với chuẩn f = sup x∈[−1,1] |f(x)|, với mọi f ∈ C [−1,1] . và X = {f ∈ C [−1,1] : f(1) = 0}, còn Y là không gian các dãy số hội tụ với chuẩn x = sup n∈N |x n |, với mọi x = {x n } ∈ Y. Cho ánh xạ T : X → Y được xác định bởi công thức T (f) = f n n + 1 , với mọi f ∈ X. 1) Chứng minh rằng Y là không gian Banach 2) Xét tính compact của tập K = {f ∈ X : f ≤ 1} trong X 3) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của T . 4) Xét tính trù mật của Y \ T (X) trong Y . 1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh. 1 Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn: Đại số Thời gian: 180 phút Câu 1. Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phần tử thực. Xét ánh xạ f : V → V a b c d → −a −b −c −d 1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của V . 2) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của V . 3) Tìm Kerf, Imf. Câu 2. Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính và có ma trận đối với cơ sở đã cho là A = 1 1 0 0 1 0 5 3 −2 1) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f. 2) Vectơ riêng của f tìm được ở câu 1) có tọa độ đối với cơ sở nào? 3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao? Câu 3. 1) Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đối với phép nhân các số phức thông thường, G là nhóm Cyclic. 2) Cho A là một vành và I là một tập con của A. Chứng minh rằng I là Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu nào đó từ A. Câu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trên vành A giao hoán có đơn vị. 1) Chứng minh rằng nếu A là trường thì A[x] là vành chính. 2) Gọi R là trường các số thực và I là Ideal của vành R[x] sinh bởi x 2 +1. Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường. 3) Nếu A là một trường thì A[x] có phải là một trường không ? Tại s ao? Câu 5. Cho A là một ma trận vuông cấp 2 phần tử thực và n ∈ N, n ≥ 2. Chứng minh rằng A n = 0 khi và chỉ khi A 2 = 0. 1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh. 2 . của Y T (X) trong Y . 1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh. 1 Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn: Đại số Thời gian: 180 phút Câu 1. Cho V là không gian. Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006 Môn: Giải tích Thời gian: 180 phút Câu 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng. 2. Chứng minh rằng A n = 0 khi và chỉ khi A 2 = 0. 1 Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh. 2