TOÁN GIẢI TÍCH- ĐẠO HÀM_VI PHÂN

Bài giảng Giải tích 2- Phần : đạo hàm và vi phân

Chương 1: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phần Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0) f (x0  x, y0)  f (x0, y0) f fx (x0, y0)  (x0, y0)  lim x0 x x (Cố định y0, biểu thức hàm biến theo x, tính đạo hàm hàm x0) Đạo hàm riêng cấp f theo biến y (x0, y0) f (x0, y0  y)  f (x0, y0) f fy (x0, y0)  (x0, y0)  lim y 0 y y Ý nghĩa đhr cấp Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 qua P (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b) f’x(a, b) = g’(a) hệ số góc tiếp tuyến T1 C1 x = a f’y(a, b) hệ số góc tiếp tuyến T2 C2 ( phần giao Svới mp x = a) y = b Các ví dụ cách tính 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx (1,2) : fx (1,2), fy (1,2) cố định y0 = 2, ta có hàm biến f ( x , 2)  x  x 2  f (1,2) (6 x  x   x ) |x 1  12 x  |x 1  16 f(x,y) = 3x2y + xy2 fy (1,2) cố định x0 = 1, ta có hàm biến f (1, y )  3y  y  fy (1,2)  (3y  y ) |y   (3  y ) |y   2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fx ( x , y ), fy ( x , y ) với (x, y)  R2 fx ( x , y ) Xem y hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x  fx ( x , y )  xy  y , ( x , y ) Áp dụng tính: f  (1,2)  (6 xy  y ) | x x 1, y   16 (Đây cách thường dùng để tính đạo hàm điểm) f(x,y) = 3x2y + xy2 fy ( x , y ) Xem x hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo y  fy ( x , y )  3x  x y , ( x , y ) Áp dụng tính: fx (1,2)  (3x  xy ) |x 1, y 2  2/ Tính fx (1,1), fy (1,1) với f(x, y) = xy y 1  fx ( x , y )  yx , x  11  fx (1,1)    1; y fy ( x , y )  x ln x , x   fy (1,1)  ln1  Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F ( x , y , z )  z  xz  y   (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) z(1, -2) =  Lấy vi phân pt (1): dF  3z dz  4zdx  xdz  ydy  (2) Thay x = 1, y = - 2, z = vào (2): 12dz (1, 2)  8dx  4dz (1, 2)  4dy   dz (1, 2)  dx  dy  Lấy vi phân pt (2):   d F  d 3z dz  4zdx  xdz  ydy   d F  2zdz  z d z 2  2   4dzdx 4 dxdz  xd z 2dy 2 0 (3) (Vì x, y biến độc lập nên dx = dy = hằng) Thay x = 1, y =-2, z = 2, dz = dz(1, -2) = dx + 1/2dy vào (3) d z (1, 2)   dx  dxdy  dy Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F  f ( x  z, y )  (1) với f hàm khả vi cấp Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y  F(x, y, z) = f(u, v) = Fx  fu ux  fv v x  fu , Fy  fu uy  fv v y  fv Fz  fu uz  fv v z  fu fu zx    1, fu fv zy   fu zxx  fv zy   fu  fv  zyy      fu  y  u = x+ z, v = y  f   f  u  f  v   f       f u f v  vu y vv y  u  uu y uv y  v y y  fu   zy  fvv   fu   fuu  zy  fuv   fv fvu    fu  zyy  zy  fvv   fu   fuu  zy  fuv   fv fvu    fu  fv zy   fu   fv     fv        fvv   fu   fuu      fuv   fv  fvu fu  fu         zyy    fu  ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần (khai triển Taylor) KHAI TRIỂN TAYLOR Cho f(x, y) khả vi đến cấp (n+1) lân cận (x0, y0), lân cận ta có: n k d f ( x0 , y )  Rn f ( x , y )  f ( x0 , y )   k! k 1 Cụ thể: k 1    f (x, y )  f (x0 , y0 )    x  y  f (x0 , y0 )  Rn y  k 1 k ! x n n1 Rn  d (x0  x, y0  y ) Phần dư Lagrange (n  1)! Có thể thay Rn o(n) (Peano) (là VCB bậc cao n  0),   x  y , o (  ) 2 n Khai triển lân cận (0, 0) gọi kt Maclaurin Thông thường sử dụng pd Peano Sử dụng khai triển Maclaurin hàm biến kt Taylor hàm nhiều biến Viết kt lân cận (x0, y0) viết kt theo lũy thừa x = (x – x0), y = (y – y0) Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy fx  yx y 1, fy  x y ln x  df (1,1)  x  0.y   y ( y  1) x fxx y 2 , y 1 y 1  fxy  x  yx ln x ,   x ln x fyy y  d f (1,1)  0.x  2.x y  0.y 2 df (1,1)  x  0.y d f (1,1)  0.x  2.x y  0.y 2 2 df (1,1) d f (1,1) z  f ( x , y )  f (1,1)    o(  ) 2! 1! x 2x y z  1   o(  ) 1! 2!   ( x  1)  ( x  1)( y  1)  o (  ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp cho z  f (x, y )   x  y  xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 2 z   u  u  o (u ) 1 u   ( x  y  xy )  ( x  y  xy )  o (u )   x  y  x  3xy  y  o (  ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (0,1) cho z  f (x, y )  e x  xy Đặt X = x, Y = y – 1, ze X  X  XY   X  X  XY ( X  X  XY ) ( X  X  XY )    o(  ) 2 z   X  X  XY ( X  X  XY ) ( X  X  XY )    o(  ) 2 3 3   X  X  XY  X  X Y  o (  ) 3 z   x  x  x ( y  1)  x  x ( y  1)  o (  ) Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (1,2) cho z  f ( x , y )  x sin( y  2) Suy f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành  Y   o (Y )  z  ( X  1)sin Y  ( X  1) Y    Y  Y  XY   o(  ) (y  2)  (y  2)  (x 1)(y  2)   o( ) (y  2) f (x, y )  (y  2)  (x 1)(y  2)   o( ) d f (1,2)  ( x  1)( y  2)  x y  dxdy 2!  (1,2)x  2fxy  (1,2)xy  fyy  (1,2)y fxx   f”xy(1, 2) =  xy ...Nội dung Đạo hàm riêng cấp z = f(x,y) Đạo hàm riêng cấp cao z = f(x,y) Sự khả vi vi phân ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP Đạo hàm riêng cấp f(x, y) theo biến x (x0, y0)... với hàm sơ cấp thường gặp, đònh lý Schwartz điểm đạo hàm tồn •Đònh lý Schwartz cho đạo hàm cấp trở lên   f xyx   fyxx  f xxy Cách viết đạo hàm cấp cao cách tính: (mn ) f m n x y mn... phân hàm n biến: z  f  x1, x , , xn  dz  fx1 dx1  fx2 dx2   fxn dxn VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp f vi phân df(x,y) xem dx, dy số (ta xét trường hợp đhr hỗn hợp nhau) Cách viết: d2f(x,