Đề cương ôn tập môn giải tích 2

Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Lý thuyết: Định nghĩa ánh xạ khả vi, đạo hàm ánh xạ tuyến tính Cho ví dụ? Cho E = Rn, F không gian vectơ, Ω mở Rn Cho f : Ω → F x ∈ Ω Ta nói ánh xạ f khả vi x0 tồn S ∈ L(Rn, F) cho: f ( x + h ) − f ( x ) − S ( h ) = ( h ) (1) Có nghĩa là: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀ h < δ f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − S ( h ) < h = (1) viết dạng quen thuộc: lim h →0 f ( x0 + h ) − f ( x0 ) − S ( h ) h =0 Ánh xạ f gọi khả vi Ω khả vi điểm thuộc Ω Nhận xét: + Tính khả vi f x0 không phụ thuộc vào chuẩn E F + Ánh xạ S ∈ L(Rn, F) thỏa mãn (1) nhất, kí hiệu F’(x0) hay D f (x0) gọi đạo hàm hay vi phân f x0 Thật T ∈ L(Rn, F) thỏa mãn (1) ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀h ∈ R n : S ( h ) − T ( h ) ≤ f ( x + h ) − f ( x ) − S ( h ) + f ( x + h ) − f ( x ) − T ( h ) ≤ 2ε h Vậy: S − T < 2ε Cho ε → ta nhận S − T = S = T Như f khả vi Ω ta có ánh xạ f ′ : Ω → L(En, F) Hàm f gọi khả vi liên tục hay thuộc lớp C1 Ω f khả vi Ω f ′ : Ω → L(En, F) liên tục Do f ′ ( x ) ∈ L(En, F) liên tục từ (1) suy f liên tục x0 f khả vi Ví dụ: + Nếu f : Ω → F , f = cos t f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ Ω + Xét f = S Ω : Ω → F S ∈ L(En, F) Khi đó: f ′ ( x ) = S , ∀x ∈ Ω Vì: f ( x + h ) − f ( x ) − S ( h ) = S ( x + h ) − S ( x ) − S ( h ) = S ( x ) + S ( h ) − S ( x ) − S ( h ) = 0, ∀h Định nghĩa đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng hàm số hai biến số điểm? a) Định nghĩa đạo hàm riêng: D ⊆ ¡ 2, f : D → ¡ ( x, y ) a f ( x, y ) = z hàm hai biến xác định D Cho z = f ( x, y ) xác định D mở ⊆ ¡ , M ( x0 , y0 ) ∈ D Gắn cho y = y0 giá trị không đổi Khi z = f ( x0 , y0 ) hàm biến x ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên Cho x0 số gia ∆x ( ∆x đủ nhỏ, M ( x0 + ∆x, y0 ) ∈ D ) Hàm số nhận số gia tương ứng: ∆ x z = ∆ x f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) gọi số gia riêng z = f ( x, y ) theo biến x M ( x0 , y0 ) ∆ x z f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = có giới hạn hữu hạn ∆x → giới hạn ∆x ∆x gọi đạo hàm riêng z = f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) Nếu tỷ số ∂z ∂x ∂f ( x0 , y0 ) hay , z′x ( x0 , y0 ) hay f x′ ( x0 , y0 ) ∂x Kí hiệu: Theo định nghĩa: ∆ z ( x0 , y0 ) f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z = z ′x ( x0 , y0 ) = lim x = lim ∆x → ∆x → ∂x ∆x ∆x Hoàn toàn tương tự cố định x cho y thay đổi điều kiện y ta có định nghĩa đạo hàm riêng z = f ( x, y ) mở theo biến y điểm M ( x0 , y0 ) Kí hiệu: ∂z ∂f ( x0 , y0 ) , z ′y ( x0 , y0 ) hay f y′ ( x0 , y0 ) hay ∂y ∂y ∆ z f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) ∂z = z′y ( x0 , y0 ) = lim y = lim ∆y →0 ∆y ∆y →0 ∂y ∆y b) Đạo hàm theo hướng: Giả sử Ω ⊂ R n tập mở, f : Ω → F h ∈ R n , h ≠ Cố định x ∈ Ω Do Ω mở nên x + th ∈ Ω với t đủ bé Vì xét giới hạn: lim f ( x + th ) − f ( x ) t →0 t Nếu giới hạn tồn ta nói f khả vi theo hướng h x0 kí hiệu ∂f ( x0 ) ∂sh Định nghĩa vi phân toàn phần hàm số hai biến số điểm? Cho hàm số z = f ( x, y ) xác định D mở ⊂ ¡ , M ( x0 , y0 ) ∈ D Cho x0, y0 số gia tương ứng ∆x, ∆y ( ∆x , ∆y đủ nhỏ): M ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ∈ D Khi hàm số nhận số gia tương ứng ∆z = ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) gọi số gia toàn phần hàm z = f ( x, y ) M ( x0 , y0 ) Gọi khoảng cách M0 M ρ ( M , M ) ρ ( M , M ) = ∆2 x + ∆2 y Giả sử số gia toàn phần hàm z = f ( x, y ) điểm M ( x0 , y0 ) biểu diễn dạng ∆z = A∆x + B∆y + ( ρ ) ( ρ ) ρ →0  →0 ρ Khi phần tuyến tính ∆x, ∆y số gia ∆z : A∆x + B∆y Trong đó: A, B số không đổi phụ thuộc vào ∆x, ∆y , ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên gọi vi phân toàn phần hàm z = f ( x, y ) điểm M ( x0 , y0 ) Kí hiệu dz hay df ( x0 , y0 ) Mối liên hệ đạo hàm riêng tính khả vi hàm số hai biến số? Mối liên hệ tính khả vi đạo hàm theo hướng hàm hai biến a) Mối liên hệ đạo hàm riêng tính khả vi hàm số hai biến số Nếu hàm u = f ( x, y ) có đạo hàm riêng lân cận điểm M ( x0 , y0 ) đạo hàm riêng liên tục M0 f ( x, y ) khả vi M0 ta có: ∂u ( x, y ) ∂u ( x, y ) ∂u ∂u dx + dy ∆x + ∆y = df hay du = df = ∂x ∂y ∂x ∂y Nếu hàm số u = f ( x, y ) khả vi điểm ( x, y ) điểm hàm số tồn hai đạo hàm du = theo biến x y b) Mối liên hệ tính khả vi đạo hàm theo hướng hàm hai biến Nếu hàm số u = f ( x, y ) khả vi điểm ( x, y ) hàm số có đạo hàm theo hướng ( x, y ) Dϕ f ( x, y ) = ∂u ( x, y ) ∂u ( x, y ) cosϕ + sin ϕ ∂x ∂y Định nghĩa cực trị địa phương hàm số hai biến số? Cho hàm u = f ( x, y ) xác định miền mở D ⊂ ¡ Hàm u gọi đạt cực đại địa phương điểm M ( x0 , y0 ) ∈ D tồn lân cận M0: S(M0, r), r > cho ∀M ( x, y ) ∈ S ( M , r ) f ( x, y ) < f ( x0 , y0 ) , M ≠ M Tương tự hàm số đạt cực tiểu địa phương điểm M ( x0 , y0 ) ∈ D tồn lân cận S(M0, r), r > cho ∀M ( x, y ) ∈ S ( M , r ) f ( x, y ) > f ( x0 , y0 ) , M ≠ M Cực đại địa phương, cực tiểu địa phương gọi cực trị địa phương Phát biểu chứng minh định lý điều kiện cần để hàm đạt cực trị địa phương? Nếu f đạt cực đại a hàm f đạt cực tiểu a Vậy cần phát biểu định lý cực tiểu địa phương Định lý: Nếu f : U → U khả vi a ∈ U đạt cực tiểu địa phương (cực đại địa phương) a f ′ ( a ) = CM: Lấy h ∈ E bất kì, ta chứng minh f ′ ( a ) ( h ) = Xét hàm g ( t ) = f ( a + th ) Từ giả thiết t = điểm mà g đạt cực tiểu địa phương, định lý Fermat g ′ ( ) = g ′ ( ) = f ′ ( a ) ( h ) Vậy f ′ ( a ) ( h ) = Định nghĩa ba loại tích phân phụ thuộc tham số? a) Tích phân phụ thuộc tham số với cận số: a ≤ x ≤ b α ≤ u ≤ β Giả sử hàm số f ( x, u ) xác định hình chữ nhật R  Với u ∈ [ α , β ] hàm số f ( x, u ) khả tích theo biến x ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên b Tức tồn ∫ a b f ( x, u ) dx Tích phân hàm u Kí hiệu ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u ) dx gọi tích a phân phụ thuộc tham số với cận số b) Tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm tham số: a ≤ x ≤ b α ≤ u ≤ β Cho hàm f ( x, u ) khả tích R  a ( u ) , b ( u ) hàm u ∈ [ α , β ] Khi hàm ψ ( u ) = b( u ) ∫ f ( x, u ) dx a( u ) tích phân phụ thuộc tham số với cận hàm tham số c) Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận:  a ≤ x ≤ +∞ α ≤ u ≤ β Cho hàm số f ( x, u ) xác định R  Với u ∈ [ α , β ] tích phân +∞ ∫ f ( x, u ) dx hội tụ a Kí hiệu: I ( u ) = +∞ ∫ f ( x, u ) dx gọi tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận a I ( u ) = lim A→+∞ A ∫ f ( x, u ) dx = a +∞ ∫ f ( x, u ) dx a Tương tự I ( u ) = a ∫ f ( x, u ) dx = lim A′→−∞ −∞ I ( u ) == +∞ ∫ f ( x, u ) dx = −∞ a ∫ f ( x, u ) dx A′ A lim ∫ f ( x, u ) dx A′→−∞ A→+∞ A′ Phát biểu chứng minh định lí tính liên tục, khả vi, khả tích cử tích phân phụ thuộc tham số với cận số? a) Định lí 1: Tính liên tục a ≤ x ≤ b hàm ϕ ( u ) liên tục [ α , β ] α ≤ u ≤ β Nếu hàm f ( x, u ) liên tục hình chữ nhật R  CM: ∆ϕ ( u ) = Lấy u thuộc [ α , β ] Ta chứng minh hàm ϕ ( u ) liên tục u ⇔ ∆lim u →0 + Vì hàm f ( x, u ) liên tục hình chữ nhật R nên hàm f ( x, u ) liên tục theo biến x b [ a, b] tức ∃∫ f ( x, u ) dx a Cho u số gia ∆u cho u + ∆u =∈ [ α , β ] ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ∆ϕ ( u ) = ϕ ( u + ∆u ) − ϕ ( u ) b b a a = ∫ f ( x, u + ∆u ) dx − ∫ f ( x, u ) dx b = ∫  f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) dx a b ⇒ ∆ϕ ( u ) ≤ ∫ f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) dx ( 1) a + Vì hàm f ( x, u ) liên tục R kín bị chặn Theo định lí Canto hàm f ( x, u ) liên tục R ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀p1 , p2 ∈ R : ρ ( p1 , p2 ) < δ Thì f ( p1 ) − f ( p2 ) < ε Chọn p1 ( x, u + ∆u ) , p2 ( x, u ) ρ ( p1 , p2 ) = ∆ 2u = ∆u < δ ⇒ f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) < ε ( 2) b ∆ϕ ( u ) < ∫ ε dx = ε ( b − a ) = ε ′ a ∆ϕ ( u ) = Vậy ∆ϕ ( u ) < ε ′ với ∆ ( u ) < δ → ∆lim u →0 ⇒ Hàm ϕ liên tục u ⇒ Hàm ϕ liên tục [ α , β ] b) Định lí 2: Tính khả vi Giả sử: i) Với u ∈ [ α , β ] hàm f ( x, u ) liên tục theo biến x [ a, b] a ≤ x ≤ b α ≤ u ≤ β ii) fu′ ( x, u ) liên tục R  b Khi hàm ϕ ( u ) khả vi [ α , β ] ϕ ′ ( u ) = ∫ fu′ ( x, u ) dx a CM: Từ giả thiết i), ii) ⇒ ∃ tích phân b b a a ∫ f ( x, u ) dx, ∫ f ′ ( x, u ) dx u Cho u số gia ∆u cho u + ∆u ∈ [ α , β ] Ta có b b a a ∆ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u + ∆u ) − ∫ f ( x, u ) dx b = ∫ ( f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) ) dx a ∆ϕ ( u ) b f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) =∫ dx ( 1) ∆u ∆ u a + Từ giả thiết ii) ⇒ fu′ liên tục hình chữ nhật R Áp dụng định lý Lagrăng theo biến u ta f ( x, u + ∆u ) − f ( x, u ) = fu′ ( x, u + ∆u ) ∆u ( < θ < 1) ( ) Thay (2) vào (1) ta được: ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ∆ϕ ( u ) b = ∫ f u′ ( x, u + θ∆u ) dx ∆u a ( < θ < 1) Ta có: b b b ∆ϕ ( u ) b ′ ′ ′ − ∫ f u ( x, u ) dx = ∫ fu ( x, u + θ∆u ) dx − ∫ f ( x, u ) dx ≤ ∫ f u′ ( x, u + θ∆u ) − f u′ ( x, u ) dx ∆u a a a a ′ ′ Do fu liên tục R nên theo định lý Canto fu liên tục R ( 3) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀p1 , p2 ∈ R có ρ ( p1 , p2 ) < δ f u′ ( p1 ) − f u′ ( p2 ) < ε Chọn p1 ( x, u + θ∆u ) , p2 ( x, u ) Ta có: ρ ( p1 , p2 ) = θ ∆u < ∆u < δ < θ < ⇒ fu′ ( p1 ) − f u′ ( p2 ) < ε ⇔ fu′ ( x, u + θ∆u ) − fu′ ( x, u ) < ε ( 4) Thay (4) vào (3): b ∆ϕ ( u ) b − ∫ f u′ ( x, u ) dx < ∫ ε dx = ε ( b − a ) = ε ′ ∆u a a Với ∆u < δ ⇒ ∆lim u →0 ∆ϕ ( u ) b = ∫ f u′ ( x, u ) dx ∆u a c) Định lí 3: Tính khả tích a ≤ x ≤ b liên tục hình chữ nhật R  hàm ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u ) dx liên α ≤ u ≤ β a b Nếu hàm f ( x, u ) β b b β     α , β f x , u dx du = ] ∫  ∫ ( ) ÷ ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷÷dx tục [ αa a α   ( 1) CM: β Với giả thiết ⇒ ∃∫ ϕ ( u ) du Ta chứng minh đẳng thức (1) α Để chứng minh (1) ta chứng minh kết tổng quát hơn: α ≤v≤β b v b    f x , u dx du = f x , u du ( ) ( )  ÷  ÷dx ∫ ∫ ∫a  α∫ αa   v ( 2) Đạo hàm vế trái (2) theo biến v ta được: ′ b vb   v ′ = ϕ u du = ϕv = ∫ f ( x, v ) dx ( 3)  ∫  ∫ f ( x, u ) dx ÷du ÷ ÷ ∫ ( ) ÷ a   v α v α  a Vế phải (2): Từ giả thiết hàm f ( x, u ) liên tục hình chữ nhật R nên f ( x, u ) liên tục a ≤ x ≤ b hình chữ nhật R′  α ≤ u ≤ v v Theo định lý ⇒ ϕ ( x, v ) = ∫ f ( x, u ) du liên tục theo biến x [ a, b] với α ≤ v ≤ β α v ′ ′ Mặt khác: ϕv =  ∫ f ( x, u ) du ÷ = f ( x, v ) liên tục R′ α v ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên ′ bβ b bv ′   Áp dụng định lý 2:  ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷dx ÷÷ = ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷÷ dx = ∫ f ( x, v ) dx a   v a α v  a α Từ (3) (4) ⇒ VT ( ) = VP ( ) (Đạo hàm hai vế nhau) ( 4) v b v   ⇒ ∫ ϕ ( u ) du = ∫  ∫ f ( x, u ) du ÷dx + C α a α  Đặc biệt cho v = α C = ⇒ Ta (2) Cho v = β (2) ta (1) Định nghĩa tích phân hai lớp, tích phân ba lớp? a) ĐN tích phân hai lớp: Cho f ( x, y ) xác định (D) đóng, bị chặn đo Dùng phép phân hoạch π chia miền (D) thành n miền nhỏ (D1), (D2), , (Dn) điểm chung Các miền (D i) bị đóng, bị chặn đo có diện tích tương ứng D 1, D2, , Dn Trên Di chon điểm M i ( ξ ,i η i ) i = 1, n n Lập tổng σ π = ∑ f ( ξi ,ηi ) Di (tổng tích phân) i =1 Gọi d( π ) đường kính lớn (Di) tồn tại: lim σ π = lim d( π ) → d( π ) →0 n ∑ f ( ξ ,η ) D i i i hữu hạn không phụ thuộc vào phép phân hoạch π cách chọn điểm Mi giá trị giới hạn gọi tích phân hai lớp f ( x, y ) (D) Kí hiệu ∫∫ f ( x, y ) dxdy ( D) Khi f ( x, y ) khả tích (D) b) ĐN tích phân ba lớp: Cho hàm số f ( x, y, z ) xác định miền (V) đóng, bị chặn, đo Dùng phép phân hoạch π chia miền (V) thành (V1), (V2), , (Vn) đóng, bị chặn, đo Độ đo tương ứng V1, V2, , Vn Chọn điểm M i ( ξ ,i ηiτ i ) ∈ Vi n Lập tổng σ π = ∑ f ( ξi ,ηi ,τ i )Vi (tổng tích phân) i =1 Gọi d( π ) = Max (Vi) Nếu tồn tại: lim σ π = lim d( π ) → d( π ) →0 n ∑ f ( ξ ,η ,τ )V i =1 i i i i hữu hạn không phụ thuộc vào phép phân hoạch π cách chọn điểm Mi giá trị giới hạn gọi tích phân ba lớp f ( x, y, z ) (V) Kí hiệu ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz (V ) Bài tập: Phép tính vi phân hàm nhiều biến ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên + Tính đạo hàm riêng cấp một, cấp cao Tính vi phân cấp một, cấp cao + Xét tính đạo hàm riêng, khả vi đạo hàm theo hướng + Cực trị hàm hai biến Tính tích phân phụ thuộc tham số Xét hội tụ tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận Tính tích phân hai lớp Tính tích phân ba lớp Ứng dụng tích phân bội ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH ... biến Tính tích phân phụ thuộc tham số Xét hội tụ tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận Tính tích phân hai lớp Tính tích phân ba lớp Ứng dụng tích phân bội ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH ... theo biến x ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên b Tức tồn ∫ a b f ( x, u ) dx Tích phân hàm u Kí hiệu ϕ ( u ) = ∫ f ( x, u ) dx gọi tích a phân... phần tuyến tính ∆x, ∆y số gia ∆z : A∆x + B∆y Trong đó: A, B số không đổi phụ thuộc vào ∆x, ∆y , ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN GIẢI TÍCH 2 Vũ Viết Tiệp Lớp Toán BK45 Trường ĐH Sư Phạm Thái Nguyên gọi vi