Đề cương ôn tập môn Giải tích lớp 12 học kì II

Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất CHƯƠNG III III CHƯƠNG NGUYÊNN HÀ HÀM M,, TÍCH TÍCH PHÂ PHÂNN VÀ VÀ ỨỨNNGG DỤ DỤNNGG NGUYÊ I NGUYÊ NGUYÊN N HÀ HÀM M I Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác đònh K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: , F '( x ) = f ( x ) ∀x ∈ K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C , C ∈ R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất • • )dx==∫ f ( x )dx + C± ∫ g( x )dx ∫ [ f ( x ) ± ∫g(f x'()x]dx • ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx (k ≠ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp Trang 78 Nguyên hàm – Tích phân • • Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất ∫ 0dx = C ∫x α dx = • • • ∫αdx+1 = x + C x + C, α +1 x ∫ a dx = • (α ≠ −1) ∫ cos xdx = sin x + C • ∫ xedx x = ln xx + C ∫ dx = e + C ∫ sin xdx = − cos x + C • ∫ • ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C (a ≠ 0) • ∫a mx + n dx = mx + n ax + b • dx = tan x + C dx = ax + b e + C , (a ≠ 0) a 1 ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C • ∫ cos2 (ax + b) dx = tan(ax + b) + C a ∫ (ax + b)α +1 ( ax + b ) dx = +C ∫ a α +1 α ∫e a +C m ln a cos2 x 1 • ∫ sin2 x dx = − cot x + C • ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0) ax + C (0 < a ≠ 1) ln a 1 dx = − cot(ax + b) + C a sin (ax + b) Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu có đạo hàm liên ∫ f (u)udu==u(Fx()u) + C tục thì: ∫ f [ u( x )] u '( x )dx = F [ u( x )] + C nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ∫ udv = uv − ∫ vdu b) Phương pháp tính VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm Trang 79 Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: 22 x −+13 f (fx(f)x(=)x= )x= –3 x + x2 x b) § a) d) § f) § x g) § tan f f((xx))==2cos sin x i) § f ( x ) = 2sincos 3x12cos x x k) § f (x) = xx +1− 2x ) x  x2 x3.cos n) § o) § p) § f ( xf)(=xsin –e x)e= (ee f ( x ) = e  + ÷ ÷ Bài Tìm nguyên hàm F(x) cos2 x   hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: ff((xx))== 3x−3 5cos FF((1) π ) == 32 − x +x;5; e) F ((1) −2)= =−20 l) § a) c) i) k) Bài Tìm nguyên hàm e) x + x23 x+ 3x − F  π  = π f ( xf )( x=) == sin ; ;  F÷(0) = 2 ( x +21)2 f (x) = x x 23 x m) § b) x32−+51x ff((xx))== ; ; xx FF(1) (e)== f) g) h) 422 § f ( x ) = x + (31xx2 +− 1) f (x) = − x h) § d) ) =xx −x1 ;+ ; f (xx)= x x2 c) § 3x − x +  π  f ( xf)(=x )sin = x.cos x; F;' F (1)÷ = 3 x2 F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: f ( x ) = x cos x; F(π )= a) b) f ( x ) = x sin x; F  F ÷ =3 c) d) f(x) = (x + f ( x ) = ln x;  (2) = −2 4).ex ; F(2) = e) f(x) = sin( ) ; F() = -2 f) x 2π+2−π5πx + f(x) = ; F(4) = 2x − 36 g) f(x) = 2xlnx ; F(1) = -1 − 4e − x h) f(x) = 3x - ; F(1) = 4e x i) Tính đạo hàm hàm số : y = , x2 (ln x − ) từ suy nguyên hàm G(x) 2 f(x) = x(2 –lnx), biết G(1) = Bài Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): a)  F ( x ) = F (tan x ) 4= x(4+x3−x 5) − e5x   b) ) = 5(4xx+−41)tan e x3 x +  f ( x )=f (4xtan c) tìm  F ( x ) = ( x + 3).e x  x nguyên hàm G(x) f(x) biết G(2) =  f ( x ) = ( x + 4).e ∫ f ( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số t = u(gx [)u⇒ dt = u '( x ) dx ( x )] u '( x ) • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = ta đặt dx ∫∫ fg((xt)dt Trang 80 Khi đó: =, dễ dàng tìm Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất Chú ý: Sau tính theo t, ta phải ∫ g(t )dt thay lại t = u(x) • Dạng 2: Thường gặp trường hợp f(x) có chứa sau: Cách đổi biến π π x = a sin t , − ≤t≤ 2 a2 − x x = a cos t, 0≤t ≤π a2 + x x = a tan t, Bài Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): a) § b) § c) § x = a cot t, −2xdx 1)dx ∫∫(55x−dx (3 − x ) π π