Hướng dẫn chi tiết giải bài tập động học chất điểm

I CÂU HỎI ÔN TẬP Hệ qui chiếu gì? Tại nói chuyển động hay đứng yên có tính chất tương đối? Cho ví dụ Phương trình chuyển động gì? Quỹ đạo chuyển động gì? Nêu cách tìm phương trình quỹ đạo Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo khác nào? Phân biệt vận tốc trung bình vận tốc tức thời? Nêu ý nghĩa vật lý chúng Định nghĩa nêu ý nghĩa vật lý gia tốc? Tại phải đưa thêm khái niệm gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến? Từ định nghĩa gia tốc suy dạng chuyển động có Tìm biểu thức vận tốc góc, gia tốc góc chuyển động tròn, phương trình chuyển động chuyển động tròn tròn biến đổi Tìm mối liên hệ đại lượng a, v, R, ω , β , at, an chuyển động tròn Nói gia tốc chuyển động tròn không? Viết biểu thức gia tốc tiếp tuyến gia tốc pháp tuyến chuyển động Chuyển động thẳng biến đổi gì? Phân biệt trường hợp: a = 0, a >0, a< 10 Thiết lập công thức tính toạ độ, vận tốc chất điểm chuyển động thẳng đều, chuyển động thẳng biến đổi 11 Khi vận tốc không đổi vận tốc trung bình khoảng thời gian có khác vận tốc tức thời thời điểm không? Giải thích II BÀI TẬP MẪU Bài 1: Một ô tô chuyển động thẳng nhanh dần đều, qua hai điểm A B cách 20m thời gian t = 2s Vận tốc ô tô qua điểm B 12 m/s Tìm: a) Gia tốc chuyển động vận tốc ô tô qua điểm A b) Quãng đường mà ô tô từ điểm khởi hành đến điểm A Giải: ⎧ AB = 20m ⎪ Cho ⎨t = 2s ⎪v = 12m / s ⎩ B ⎧a ? ⎪ Tìm ⎨v A ? ⎪s ? ⎩ A a) Từ phương trình chuyển động thẳng biến đổi ta có: a= vB − v A hay vA = vB − at t (1) Chọn gốc thời gian lúc ô tô qua điểm A, phương trình chuyển động ô tô: AB = at + v At (2) Từ (1) (2) ta có: a= 2(vB t − AB ) 2(12.2 − 20) = = (m / s ) t2 22 v A = vB − at = 12 − 2.2 = (m / s ) b) Vì vận tốc ô tô lúc khởi hành v0 = nên ta có: v A = a.t A 1 ⎛v ⎞ v A2 82 s A = a.t A2 = a ⎜ A ⎟ = = = 16 (m) 2 ⎝ a ⎠ a 2 Bài 2: Trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy, chất điểm có phương trình chuyển động: ⎧ x = v0 cosα t ⎪ ⎨ gt = − sin α y v t ⎪ ⎩ (1) (2) α góc không đổi cho, v0 > 0, g > a) Tìm quỹ đạo, vận tốc gia tốc chất điểm? b) Tìm bán kính cong quỹ đạo ứng với lúc t = lúc chất điểm lên cao Giải: y a) - Quỹ đạo: JJG v0 Rút t từ phương trình (1) ta có: t= x v0 cosα Thay t vào phương trình (2) ta được: A J JG vA α O x Hình y = v0 sin α x g⎛ x ⎞ gx − ⎜ ⎟ = xtgα − 2 v0 cosα ⎝ v0 cosα ⎠ 2v0 cos α Quỹ đạo đường parabol (hình 1) - Gia tốc: Ta có: ax = 0, ay = -g G => Gia tốc toàn phần: a = g, vectơ gia tốc a hướng thẳng đứng xuống - Vận tốc: Lấy đạo hàm bậc theo thời gian biểu thức (1) (2) ta được: dx = v0 cosα dt dy = v0 sin α − gt vy = dt vx = => v = vx2 + v y2 = b) Từ công thức: an = ( v cos α ) + ( v 2 sin α − gt ) v2 v2 => R = an R G Để xác định R cần phải xác định an Phân tích a thành hai thành phần theo đường tiếp tuyến pháp tuyến quỹ đạo Chú ý vận tốc hướng theo đường tiếp tuyến, lúc đầu t = o thì: vx = v0 cosα v y = v0 sin α G => v = vx2 + v y2 = v0 v làm với trục Ox góc α , đường pháp tuyến trục G tương ứng vuông góc, chiếu a lên phương pháp tuyến ta có: an = acosα = gcosα Vật lúc đầu quỹ đạo có bán kính cong là: R= v02 gcosα Lúc chất điểm lên cao nhất, tương ứng với điểm A hình vẽ (tức vy = 0, vận tốc toàn phần lúc vận tốc nằm ngang có trị số v = vx = v0 cosα ), đường JG pháp tuyến quỹ đạo trùng với phương gia tốc g ta có: an = a = g Vậy tương ứng quỹ đạo có bán kính cong là: R = (v0 cosα )2 v02 cos 2α = g g Bài 3: Một viên đạn bắn lên với vận tốc 800 m/s hợp với phương ngang góc 300 a) Viết phương trình chuyển động y viên đạn JJG v0 b) Cho biết dạng quỹ đạo viên đạn c) Tính thời gian mà viên đạn bay từ α = 300 thời điểm ban đầu đến thời điểm chạm đất O d) Xác định tầm xa viên đạn Hình e) Tính độ cao lớn mà viên đạn đạt f) Xác định bán kính cong quỹ đạo thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn Coi sức cản không khí không đáng kể, gia tốc trọng lượng g = 9,81m/s2 x Giải: ⎧ - Phương trình chuyển động ⎪ - Dạng quỹ đạo ⎪ Tìm ⎨ ⎪- t = ? ⎪⎩ - x = ?, y = ?, R = ? max max ⎧ v = 800 m / s ⎪ ⎪ Cho ⎨ α = 30 ⎪ g = 9,81 m / s ⎪⎩ sức cản không đáng kể Khi viên đạn bay khỏi nòng súng, mặt tiếp tục chuyển động theo quán G JG tính, mặt khác chuyển động sức hút đất với gia tốc a = g (gia tốc rơi tự do) hướng thẳng đứng từ xuống Do đó, chuyển động viên đạn chuyển động cong Để khảo sát chuyển động viên đạn, ta chọn hệ toạ độ vuông góc Oxy Gốc điểm mà viên đạn bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng a) Viết phương trình chuyển động Chuyển động viên đạn coi tổng hợp hai chuyển: + Chuyển động theo phương Ox chuyển động ax = Vận tốc theo phương Ox là: vx = v0x = v0cosα Phương trình chuyển động theo phương Ox là: x = vx t = (v0 cosα ).t + Chuyển động theo phương Oy chuyển động biến đổi với gia tốc ay = - g Vận tốc ban đầu theo phương Oy là: v0y = v0 sin α => Phương trình vận tốc theo phương Oy: vy = v0y + ayt= v0sin α - gt Phương trình chuyển động theo phương Oy là: y = (v0 sin α ).t − gt Do phương trình chuyển động viên đạn là: ⎧ x = (v0 cosα ).t ⎪ ⎨ ⎪⎩ y = (v0 sin α ).t − gt (1) (2) b) Dạng quỹ đạo: Khử t hai phương trình (1) (2) ta phương trình quỹ đạo y=− g x + (tgα ).x 2v02 cos 2α => Quỹ đạo viên đạn đường parabol, có bề lõm quay xuống c) Khi viên đạn đạt đến điểm cao vy = tức là: vy = v0sin α - gt = => Thời gian để viên đạn đạt đến điểm cao nhất: t= v sin α 800 sin 300 = = 40,7(s) 9,81 g Từ điểm cao đến chạm đất, viên đạn phải bay thời gian thời gian từ lúc viên đạn bắt đầu bay đến đạt điểm cao Do thời gian chuyển động viên đạn là: t’ = 2t = 2.40,7 = 81,4(s) d) Gọi tầm bay xa viên đạn Sx Theo phương ngang viên đạn bay với vận tốc không đổi: vx = v0cos α = 800.cos300 = 694(m/s) => Tầm bay xa (tức quãng đường mà viên đạn bay theo phương ngang) là: Sx = vxt’ = 694.81,4 = 5,65.104 (m) e) Biết thời gian mà viên đạn cần để đạt tới điểm cao t = 40,7s, nên độ cao lớn mà viên đạn đạt bằng: ymax = (v0 sin α ).t - gt2 = (800.0,5) 40,7 G 9,81(40,7)2 = 8100 (m) f) Ở điểm cao gia tốc toàn phần a trùng với gia tốc pháp tuyến nên: an = g = => Bán kính cong: R = v vx2 = (vì điểm vy = 0, v = vx) R R v x2 (694) = = 4,91.104 (m) g 9,81 III BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Tìm phương trình quỹ đạo chất điểm biết phương trình chuyển động có dạng sau: a) x = Rcosωt ; b) x = 2sin πt ; y = R sin ω t y = 3cos πt c) x = a (sin ωt + cosωt ) ; y = b(sin ωt − cosωt ) d) x = 3t ; y = - 4t2 + Trong a, b, R, ω số, t biến số thời gian Đáp số: a) Đường tròn x2 + y2 = R2 x2 y2 b) Đường elip: + =1 c) Đường elip: x2 y + =1 a b2 d) Một nhánh parabol (x > 0): y = - x2 + Bài Một xe chạy theo đường thẳng từ A đến B với vận tốc v1 = 40 km/h, lại chạy từ B trở A với vận tốc v2 = 30 km/h Tính vận tốc trung bình xe quãng đường Hướng dẫn: Dùng định nghĩa vận tốc trung bình vtb = S1 + S t1 + t2 Đáp số : v = 2v1 v =34,3 (km/h) v1 + v Bài Một hành khách đứng sân ga xe lửa (đứng ngang đầu trước toa xe thứ nhất) nhận thấy khoảng thời gian để toa thứ chạy qua hết giây Coi xe lửa chuyển động nhanh dần với vận tốc ban đầu không a) Xác định khoảng thời gian để xe lửa qua n toa xe (các toa xe có chiều dài nhau)? b) Khoảng thời gian để toa thứ n qua bao nhiêu? Đáp số: a) tn = n (s) b) ∆t = 4( n − n − 1) (s) Bài Một động tử chuyển động với gia tốc không thay đổi quãng đường A B giây Vận tốc qua A m/s, qua B 15 m/s Tính chiều dài quãng đường AB Đáp số: AB = 60m Bài Một vật rơi tự từ độ cao h = 19,6 m a) Tính thời gian để vật rơi hết độ cao b) Tìm quãng đường mà vật 0,1 giây đầu 0,1 giây cuối c) Tính thời gian để vật rơi 1m 1m cuối độ cao Không kể ma sát không khí Cho g = 9,8m/s2 Hướng dẫn đáp số: a) t = 2s b) h1 = 4,9cm (tìm quãng đường 1,9 giây đầu, từ suy quãng đường 0,1 giây cuối) h2 = 191cm c) t1 = 0,45s d) t2 = 0,05 s Bài Một chuyển động thẳng qua quãng đường nhau, quãng đường dài s = 10m, với gia tốc không đổi a Vật quãng đường thứ thời gian t1= 1,06s quãng đường thứ hai thời gian t2 = 2,2s Tính gia tốc a vận tốc v0 vật đầu quãng đường thứ Từ suy đặc điểm chuyển động vật Hướng dẫn đáp số: Viết phương trình chuyển động thẳng biến đổi (có gia tốc, vận tốc ban đầu) cho hai quãng đường, hai phương trình hai ẩn a = 2s (t − t1 ) = - 3,1m/s2 t t (t + t ) v0 = 11,1m/s (Chuyển động chậm dần đều) Bài Từ đỉnh tháp cao h = 25 m ta ném đá theo phương nằm ngang với vận tốc ban đầu v0 = 15 m/s a) Thiết lập phương trình chuyển động đá b) Suy dạng quỹ đạo đá c) Tính thời gian đá rơi từ đỉnh tháp xuống mặt đất d) Tầm xa (theo phương ngang) e) Tính vận tốc gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến lúc chạm đất Coi ma sát không khí không đáng kể; g = 9,8 m/s2 Hướng dẫn đáp số: Chọn hệ toạ độ có gốc chân đỉnh tháp, trục tung đường thẳng đứng hướng xuống, trục hoành nằm ngang a) x = v0 t, y = b) y = gt g x2, dạng parabol 2v 02 c) Cho y = h, suy t = 2, 26 s d) 33,9m e) v = 26,7m/s, at = dv = 8,1m/s2, an = 5,6m/s2 dt Bài Một máy bay bay ngang độ cao 2000m so với mặt đất với vận tốc 360 km/s để ném bom vào mục tiêu M mặt đất a) Lập phương trình quỹ đạo bom b) Sau bom chạm đất Để bom trúng mục tiêu phi công cần phải thả bom cách mục tiêu đoạn theo phương nằm ngang? c) Tìm vận tốc bom chạm đất Đáp số: a) Một nhánh parabol y = b) tM = 20 (s) x2 2592.107 Thả bom cách mục tiêu đoạn 72.105 (m) c) vM = 360 (km/s) Bài Từ độ cao h = 2,1m, ta ném đá lên cao với vận tốc ban đầu v0, nghiêng góc α = 450 so với phương ngang Hòn đá đạt tầm xa l = 42m Tính: a) Vận tốc ban đầu đá b) Thời gian đá chuyển động c) Độ cao lớn mà đá đạt Đáp số: a) 19,8m/s b) 3s c) ymax = 12m Bài 10 Trong nguyên tử Hyđrô, ta coi êlectrôn chuyển động tròn xung quanh hạt nhân với bán kính quỹ đạo R = 0,5.10- 8cm vận tốc êlectrôn quỹ đạo v = 2,2.108cm/s Tìm: a) Vận tốc góc êlectrôn b) Thời gian êlectrôn quay vòng quanh hạt nhân c) Gia tốc pháp tuyến êlectrôn Đáp số: a) 4,4.1016 rad/s b) 1,4.10-16 s c) 9,7.1022 m/s2 Bài 11: Vệ tinh nhân tạo (do Liên Xô cũ phóng ngày 4/10/1957) chuyển động tròn quanh Trái Đất với vận tốc v = km/s có chu kì quay T = 36 phút hay 5750 giây Tâm đường tròn quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm Trái Đất Cho biết bán kính Trái Đất R = 6370 km Xác định độ cao vệ tinh nhân tạo (khoảng cách từ mặt đất đến vệ tinh) Đáp số: h ≈ 967,58 (km) Bài 12 Một bánh xe bán kính 10 cm lúc đầu đứng yên, sau quay tròn quanh trục với gia tốc 3,14 rad Hỏi sau giây đầu tiên: s2 a) Vận tốc góc bánh xe bao nhiêu? b) Vận tốc dài, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến gia tốc toàn phần điểm vành bánh xe bao nhiêu? Đáp số: a) α = β t = 3,14rad/s b) v = 0,314 m/s at = 0,314m/s2 an = 0,986m/s2 Bài 13 Hai vật ném lúc góc khác phương nằm ngang với vận tốc ban đầu khác Hãy chứng minh lúc chuyển động vận tốc tương đối chúng không đổi độ lớn phương Hướng dẫn đáp số: Tìm thành phần vectơ vận tốc hai trục toạ độ vuông góc tính thành phần vận tốc tương đối chúng hai trục Bài 14 Một đĩa tròn bán kính R lăn không trượt vành đĩa cố định khác có bán kính 2R Muốn lăn hết vòng quanh đĩa lớn đĩa nhỏ phải quay vòng quanh trục nó? Đáp số: vòng Bài 15 Một vật nặng treo vào khí cầu lên cao với vận tốc không đổi Đột nhiên ta cắt đứt dây treo Xét xem vật nặng chuyển động nào? Bỏ qua sức cản không khí (xem khí cầu bay thẳng đứng) Hướng dẫn đáp số: Vật nặng chuyển động ta ném độ cao khí cầu có vận tốc khí cầu theo phương khí cầu  ... kính cong: R = v vx2 = (vì điểm vy = 0, v = vx) R R v x2 (694) = = 4,91.104 (m) g 9,81 III BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Tìm phương trình quỹ đạo chất điểm biết phương trình chuyển động có dạng sau: a) x =... chuyển động theo quán G JG tính, mặt khác chuyển động sức hút đất với gia tốc a = g (gia tốc rơi tự do) hướng thẳng đứng từ xuống Do đó, chuyển động viên đạn chuyển động cong Để khảo sát chuyển động. .. vuông góc Oxy Gốc điểm mà viên đạn bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang, trục Oy thẳng đứng a) Viết phương trình chuyển động Chuyển động viên đạn coi tổng hợp hai chuyển: + Chuyển động theo phương