Đề cương bài tập giải tích 2 – nhóm 2 (cập nhật 14 01 2018)

Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau 8... Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau 14.. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau 15... CHƯƠNG 2 Ứng dụng của phép tính vi phân

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 (Nhóm 2)

CHƯƠNG 1 Hàm số nhiều biến số

1 Tìm miền xác định của các hàm số sau

a)

2 2

1

1

z



c) z arcsin y 1

x





d) = sin

2 Tìm giới hạn (nếu có) của các hàm số sau

a) ( , ) = , ( → 0, → 0) b) ( , ) = sin , ( → ∞, → ∞)

c) ( , ) = , ( → 0, → 0) d) ( , ) = , ( → 0, → 0)

3 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau

d) = , ( > 0) e) = , ( , , > 0) f) =

4 Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của các hàm số sau

a) ( , ) = arctan , ế ≠ 0,

0, ế = 0

b) ( , ) = , ế ( , ) ≠ (0; 0),

0, ế ( , ) = (0; 0)

5 Giả sử = ( − ), ở đây là hàm số khả vi Chứng minh rằng đối với hàm

số hệ thức sau luôn thỏa mãn

1 +1 =

6 Tìm đạo hàm riêng của các hàm số hợp sau đây

b) = ln( + ), = , =

c) = arcsin( − ), = 3 , = 4

7 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số sau

8 Tính gần đúng

a) = (1,02) + (0,05) b) = ln √1,03 + √0,98 − 1

9 Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau

c) arctan = , ( ≠ 0) tính ′ d) + + − 3 = 0, tính ,

10 Cho = , tính , biết rằng là hàm số ẩn của , xác định bởi phương

11 Tìm đạo hàm của hàm số ẩn ( ), ( ) xác định bởi hệ

+ + = 0,

12 Phương trình + = − , xác định hàm số ẩn = ( , ) Chứng minh rằng

+1 =1

13 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau

14 Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau

15 Tìm cực trị của các hàm số sau

16 Tìm cực trị có điều kiện

a) = + với điều kiện + =

b) = với điều kiện + = 1

17 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số

a) = (4 − − ) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng = 0, = 0, + = 6

b) = sin + sin + sin( + ) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng

= 0, = , = 0, =

CHƯƠNG 2 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Ứng dụng trong hình học phẳng

1 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

a) yx32x2 4x tại điểm ( 2;5)3 

b) ye 1 x 2 tại giao điểm của đường cong với đường thẳng y  1

c)

3

3

1

2 2

t

x

t

y

t t













tại điểm (2;2)A

d)

x y  tại điểm M(8;1)

Ứng dụng trong hình học không gian

1 Giả sử p t( )

, q t( )

, ( ) t là các hàm khả vi Chứng minh rằng:

a) d p t( ) q t( ) d p t( ) d q t( )

b) ( ( ) ( )) ( ) ( ) '(t)p(t)

dt

t p d t t

p

t

dt





c) d p t q t( ) ( ) p t( )d q t( ) q t( )d p t( )

d) d p t( ) q t( ) p t( ) d q t( ) d p t( ) q t( )

2 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

2

2

sin

sin cos

cos

 













tại điểm ứng với

4

t 

 , ( , ,a b c 0)

x y z  tại điểm ứng với t 0

3 Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:

a) x2 4y2 2z2  tại điểm (2;2;3) 6

b) z2x2 4y2 tại điểm (2;1;12) c) zln(2x y) tại điểm ( 1;3;0)

4 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

a)

10 25







tại điểm (1;3;4)A b)

2







tại điểm ( 2;1;6)B 

CHƯƠNG 3 Tích phân kép

1 Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau

a)

2

2

( , )

x

x

dx f x y dy



2

1 1 1

( , )

y

y

 



2

( , )

x

x x

dx f x y dy



d)

2

1

2

0 sin

( , )

y

y

dy f x y dx





2

4

y y

dy f x y dx dy f x y dx





2 Tính các tích phân sau

a) sin( )

D

x x y dxdy

 với = {( , ) ∈ : 0 ≤ ≤ ; 0 ≤ ≤ }

b)

2

D

x yx dxdy

 với D là miền giới hạn bởi các đường cong 2

x y và 2

yx c) | |

D

x y dxdy

 với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; | | ≤ 1}

d) | 2|

D

yx dxdy

 , với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 2}

e) 2 3

D

yx dxdy

 , với = {( , ) ∈ : | | ≤ 1 ; 0 ≤ ≤ 2}

f) 2

D

xydxdy

 với D giới hạn bởi các đường 2

x y x  y và y 1

| | | | 1

| | | |

x y

x y dxdy

 



D

x y dxdy

 với D giới hạn bởi các đường 2 2

x  y  x  y 

3 Tìm cận lấy tích phân trong tọa độ cực của ( , )

D

f x y dxdy

 trong đó D là miền xác

định như sau:

a) ≤ + ≤ , ( , > 0)

c) + ≤ 1, ≥ 0, ( , > 0).

4 Dùng phép đổi biến trong tọa độ cực, hãy tính các tích phân sau

a)  







2

2

0

2 2 0

) 1

ln(

x

R

R

dy y x











2

2

2 2 0

x Rx

x Rx

R

dy y x Rx

c) 

D

xydxdy, với

1) D là mặt tròn (x2)2 y2 1

2) D là nửa mặt tròn (x2)2 y2 1, y0

d)

D

xydxdy

 , với D là miền giới hạn bởi các đường tròn x2  y( 1)2 1 và

0 4

2

2





5 Chuyển tích phân sau theo hai biến u và v:

a)  



x

x

dy y x

f

1

0

, nếu đặt















y x v

y x u

b) Áp dụng tính với f(x,y)  ( 2 xy) 2

6 Tính các tích phân sau

a)  

D x y

dxdy

2 2

2

) ( , trong đó



















x y x

y y x y D

3

8 4

:

2 2

b)   

D

dxdy y x

y x

2 2

2 2

1

1

, trong đó D: x2  y2  1

c)  

D

dxdy y

x

xy

2

2 , trong đó































0 , 0

3 2 2 12

:

2 2

2 2

2 2

y x

y y

x

x y x

y x D

d)  

D

dxdy y

9

9 4 :

2 2



 y

x D

e)  

D

dxdy y

4

( 2 2 , trong đó















x y x

xy D

4

4 1

:

Ứng dụng của tích phân kép

1 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường y 2x, y2x, y 4

2 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

2

y  , x y2 2x, x2  y, x2 2y

3 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi

0

y  , y2 4ax, x y3a, y 0, (a 0)

4 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi 2x  x2  y2  4x, 0  y  x

5 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường tròn r 1; cos

3

2



6 Tính diện tích của miền D giới hạn bởi các đường

a) (x2  y2 2) 2a xy2 , (a 0) b) x3 y3 axy, (a 0)

c) r a(1 cos )  , (a 0)

7 Chứng minh rằng diện tích miền D xác định bởi x2 (x y)2  không đổi 1



  

8 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt

3x y1, 3x2y 2, y 0, 0   z 1 x y

9 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 4 x2 y2, 2z 2 x2 y2

10 Tính thể tích của miền giới hạn bởi 0  z 1 x2  y2, y , x y 3x

11 Tính thể tích của miền V giới hạn bởi mặt cầu 2 2 2 2

4a z

y

x    và nằm trong mặt trụ x2  y2  2ay 0, (a 0)

12 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt z 0,

z

2

a

( ,a b 0)

13 Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt az x2  y2, z  x2  y2 , (a 0)

CHƯƠNG 4 Tích phân đường

Tích phân đường loại 1

Tính các tích phân sau:

1 ( )

C

xy ds

 , C là đường tròn x2  y2 2x

2 2

C

y ds

 , C là đường có phương trình ( sin )

(1 cos )







(0 t 2 , a0)

C

x y ds

 , C là đường cong (cos sin )







(0 t 2 , a0)

Tính phân đường loại 2

Tính các tích phân sau:

AB

x  xy dx xyy dy

 , trong đó AB là cung parabol y x2 từ (1;1)A đến (2;4)

2 (2 )

C

xy dxxdy

 , trong đó C là đường cong ( sin )

(1 cos )







theo chiều tăng của ,

(0 t 2 , a0)

ABCA

x  y dxx y dy

 , trong đó ABCA là đường gấp khúc đi qua (0;0) A , (1;1)

B , (0;2)C

4

| | | |

ABCDA





 , trong đó ABCDA là đường gấp khúc đi qua A(1;0), B(0;1), ( 1;0)

C  , (0; 1)D 

5

4

2

C

x y dx

dy





 , trong đó C là đường cong sin

cos

 









theo chiều tăng của

0 ≤ ≤ /4

6 Tính tích phân sau

C

xy x y dx xy x y dy



bằng hai cách: tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là

đường:

a) x2  y2 R2 b) x2  y2 2x c)

a b  , ( ,a b 0)

7

2 2

 

8 x[(1 cos ) ( sin ) ]

OABO

e  y dx y y dy

(0;0)

O , (1;1)A , (0;2)B

9

2 2

2

 

10

3

3

C

x

xy x y xy dx xy  x x xy dy

sin











(a 0)

11 Dùng tích phân đường loại 2 tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp xycloit: ( sin )

xa t t ; ya(1 cos ) t và trục Ox, (a 0)

12

(3;0)

( 2; 1)

(x 4xy dx) (6x y 5y )dy

 

13

(2;2 ) 2

2 (1; )

(1 y cos )y dx (sin y ycos )y dy

x





14 Tìm hằng số  để tích phân sau không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định

(1 )

AB

xy 



15 Tìm các hằng số ,a b để biểu thức

(y axy ysin(xy dx)) (x bxyxsin(xy dy))

là vi phân toàn phần của một hàm số ( , )u x y nào đó Hãy tìm hàm số ( , )u x y đó

16 Tìm hàm số ( )h x để tích phân

2

AB

h x xy dx xyx dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với ( )h x vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ A(1;1) đến (2;3)B

17 Tìm hàm số ( )h y để tích phân

AB

h y y xy dxx x y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với ( )h y vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ (0;1)A đến ( 3;2)B 

18 Tìm hàm số (h xy) để tích phân

AB

h xy yx y dx xx y dy



không phụ thuộc vào đường đi trong miền xác định Với (h xy) vừa tìm được, hãy tính tích phân trên từ (1;1)A đến (2;3)B

CHƯƠNG 5

Lý thuyết trường

1 Tính đạo hàm theo hướng l

của hàm u x3 2y33z3 tại điểm A(2;0;1) với

l AB

, (1;2; 1)B 

2 Tính môđun của grad u

, với

ux  y z  xyz

tại (2;1;1)A Khi nào thì grad u

vuông góc với Oz , khi nào thì grad u 0

?

3 Tính grad u

, với

2 1

ln

r

   , r  x2  y2 z2

4 Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số uxsinz ycosz từ gốc (0;0;0)O là lớn nhất?

5 Tính góc giữa hai vectơ grad z

của các hàm số z  x2  y2 và z x 3y 3xy

tại (3;4)

6 Trong các trường sau đây, trường nào là trường thế:

a) a5(x2 4xy i)(3x2 2 )y jk

b) a yzi xzj xyk

c) a(x y i)(x z j)(z y k)

7 Cho F xz i2  yx j2 zy k2

Tính thông lượng của F

qua mặt cầu S :

x  y z  , hướng ra ngoài

8 Cho F  x y(  z i) y z(  x j) z x(  y k)

, L là giao tuyến của mặt trụ

x  y  y  và nửa mặt cầu x2 y2 z2  , 2 z 0 Chứng minh rằng lưu số của

F



dọc theo L bằng 0