Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất III Ứ ỨN NG G DỤ DỤN NG G TÍCHTÍCH PHÂ PHÂN N III Diện tích hình phẳng • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b là: S = ∫ f ( x ) dx (1) a • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b b là: S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx (2) a Chú ý: b • Nếu đoạn [a; b], hàm b f ( x ) dx = số f(x) không đổi dấu thì: ∫ ∫ f ( x )dx a a • Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b = ∫ f ( x )cdx = ∫ f ( x )ddx + ∫ f ( x )bdx + ∫ f ( x ) dx a (vì ∫ f ( x )adx + ∫ f ( x )cdx + ∫ f ( x )ddx c d đoạn [a; c], [c; d], a [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S = ∫ g( y ) − h( y ) dy Thể tích vật thể c • Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V = ∫ S ( x )dx a • Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: b V = π ∫ f ( x )dx Trang 96 a Nguyên hàm – Tích phân Tổ Tốn – Tin Trường THPT THống Nhất Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d là: V = π ∫ g2 ( y )dy c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = xy 2=−ln4 xx −, y6,=y0,= x0,=x1=, − x 2, = xe = x e 1) 3) 2) 4) y = x – x2 y = 5) x 3x, ,yy==0,0,xx==−12,, xx == 1e yy == ln e 6) 2 7) y = x -2 , y = -3x + 8) y = x – x + , y = 2x + 9) y = x -12x + 36 , y = 6x – x2 10) y = lnx, x = , x = e , y = 11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 12 ) y = x2 + 2x, x –y +2 = e 13) y = x +2 y = x2 + x – 14) y = –x2 x = 15) y = – x2 y = -x 16) y = x3 – x = + ln x y = x3 − x , y = 0, x = 1, x = e x VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: 1) 2) π y =y = sin x −x ,xy2 ,=y0,= x0,=x0,= x0,=x = 3) y =x = x0,, xx == π y = sin x + cos6 x , y = 0, 4) 5) y = x −y1,= yx =, 0, y =x = x−1, x = 6) 2 7) 8) y = − x x+ x , y =x x + y= ,y= π 9) π x −cos 2)2x ,+xy= = 9, y = sin x , y( = , xy== 10) 2y = ln x , y = 0, x 2= 11) y = x − x + 6, y = − x − x + 12) 13) y = 3x – x , y = 14) y = , y = 0, x = 0, x = πx sin π 15) y = cosx, y = 0, x = , x = π4 16) y = tanx, y = 0, x = 0, x = 17) y = lnx, y = 0, x = e 18) y = sinx, y = 0, x = 0, x = −34π 19) y = -x2 + 1, y = 20) y = xlnx, y = 0, x = e 21) y = (e +1)x, y = ( + e x)x y = x , y = 0, x = 22) 23) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e Trang 97 Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 98 ... ,yy==0,0,xx== 12, , xx == 1e yy == ln e 6) 2 7) y = x -2 , y = -3x + 8) y = x – x + , y = 2x + 9) y = x -12x + 36 , y = 6x – x2 10) y = lnx, x = , x = e , y = 11) y = x4 – 2x2 + 2, y = 12 ) y = x2 + 2x,... 2x, x –y +2 = e 13) y = x +2 y = x2 + x – 14) y = –x2 x = 15) y = – x2 y = -x 16) y = x3 – x = + ln x y = x3 − x , y = 0, x = 1, x = e x VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể... V = π ∫ g2 ( y )dy c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = xy 2= −ln4 xx −, y6,=y0,= x0,=x1=, − x 2, = xe = x e 1) 3) 2) 4) y = x – x2 y = 5)