b Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì: Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.. – Trong phương pháp tích phân từ
Trang 11 Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f
từ a đến b và kí hiệu là
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x,
tức là:
Ý nghĩa hình
học: Nếu hàm số
y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
2 Tính chất của tích phân
(k: const))
Nếu f(x) 0 trên [a;
b] thì
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì
3 Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
trong đó: u = u(x) có
đạo hàm liên tục trên K,
y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
Chú ý: – Cần xem lại các
phương pháp t)ìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp t)ích phân t)ừng phần, t)a cần chọn sao cho dễ
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
II TÍCH PHÂN
( )
b a
f x dx
b a
f x dx F b F a
f x dx f t) dt) f u du F b F a
( )
b a
Sf x dx
0 0
f x dx
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
b ( ) c ( ) b ( )
f x dx f x dx f x dx
a
f x dx
f x dx g x dx
( ) ( ) '( ) u b ( )
b
f u x u x dx f u du
a
udv uv vdu
b a
vdu
b a udv
Trang 2VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu t)hức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng t)rực t)iếp định nghĩa t)ích phân:
Chú ý: Để sử dụng phương
pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép t)ính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
f) g) k) l) m)
Bài 2. Tính các tích phân sau:
c)
f)
Bài 3. Tính các tích phân sau:
f)
i)
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng
phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử t)a cần t)ính
Nếu viết) được g(x) dưới dạng: t)hì
Dạng 2: Giả sử t)a cần t)ính
.
Đặt) x = x(t)) (t) K) và a,
b K t)hoả mãn = x(a), = x(b)
t)hì
Dạng 2 t)hường gặp
ở các t)rường hợp sau:
b a
f x dx F b F a
2
1
3 2 1) (x x dx
2
1
1 3
x
2
1 2
1
dx x
x
2 2
1 x dx2
x
1
2 2
2
4 4
dx x
2 1
e
x x
1
0 ( 1)
2 2 3 1
2
x x dx x
2 3 1
2
x
1 3 0
1 1
x
2 1 1
x dx
5 2
dx
x 2 x 2
2
1
(x x x x dx)
2
1xdx dx x
2 2
3 1
x dx x
0 x x 9dx
0
) 6 2 sin( x dx
2
3
(2sinx3cosx x dx )
6 0 sin3x cos2x dx
2 0
tan cos
x dx x
3 2 4
3tan x dx
4
2 6
(2 cot x5)dx
01 sin
dx x
2 0
1 cos
1 cosx dx
x
0
sin cosx xdx
6
(tanx cot )x dx
0
cos x dx
( )
b a
g x dx
g x( )f u x u x ( ) '( )( )
( ) ( ) u b ( )
b
g x dx f u du
( )
f x dx
f x dx f x t) x t) dt) g t) dt)
g t)( )f x t) x t)( ) '( )
Trang 3f(x) có chứa Cách đổi biến
hoặc hoặc
hoặc
Bài 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Bài 2. Tính các tích phân sau :
a) b) c) d)
i i) k) m) n)
Bài 3 Tính các tích phân sau :
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10) 11) 12)
15)
16) 17) 18)
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng
phương pháp tích phân từng
phần
Với P(x) là đa t)hức của x, t)a t)hường gặp các dạng sau:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
1
0
19
) 1
x
1
2 3
0(1 )
x dx x
1
0 2x 1
xdx
1
2 0
1
x x dx
2
0 1
ln2
0 1
x x
e dx e
e
x
dx x
ln 2
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
0ln2(e x 1) 2e dx x
1
4 5ln
x
ln2
x
x e dx
e
2
1 e x(1 e x)dx
x
02
x x
e dx
cos
2
0 e xsinxdx
4 1
x
e dx x
1
1 ln
x
1
ln
e x dx x
2
1 0
x
xe dx
1 0
1
1e x dx
1 2 0
1
1 x dx
3
0
4
x
4 2 1 3
x x dx
5 2
dx x
3 2 2
1
x
2 3 0 sin cosx xdx
2 1
1
x dx x
2 0 sin3 sin 7x xdx
3 0 cos cos3x xdx
6 2 0
tan xdx
3 1
1 ln
e
x dx x
2 0
sin
1 3cosx dx
x
x
2 4
x
0 sin cosx xdx
6 5 0
cos xdx
2 4 4
1 sin x dx
2 sin 0
.sin 2
x
ln2 3 0
1
x x
e
4
0
2 sin
xdx x
2
0
2 )cos sin
(
xdx x
2
0
2cos xdx
x
1 (1 x e dx )x
tan
1
2
) 2 (x e x dx
2 ln
e
3
x a t) t)
cos , 0
x a t) t)
x a t) t)
cot , 0
x a t) t)
a
t)
( )
b
x a
P x e dx
a
a
a
P x l xdx
x
a
t)
Trang 4i)
Bài 2 : Tính các tích phân sau :
7) 8) 9)
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các
hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để t)ính t)ích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, t)a cần xét) dấu f(x) rồi sử dụng công
t)hức phân đoạn để t)ính t)ích phân t)rên t)ừng đoạn nhỏ.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
c)
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách t)ìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
c)
f)
2 3 1
(2x ln )x dx
2
0 (x 1) cosxdx
0 cos3
x xdx
5 2
2 ln(x x 1)dx
cos
0
(e x x)sinxdx
4 0 tan
x xdx
ln2
2 0
(e x 1) dx
0 (1 cos )
2 0 (1 sin ).cosx xdx
2 2 1
ln
e x xdx x
2
2 0
(x 1)e dx x
2
0
2 dx
x
2
0
2 x dx
x
2
0
2 2 3
3 2 3 1
4 2 1
x x dx
4
0
cos 2 sin
xdx x
4
0 tan
xdx
2
01 3cos sin
dx x x
2
0
3 sin
xdx dx x
0
2
sin
0
2 3 cos x
0 sin cosx xdx
2 3 0 sin xcosxdx
2 0 sin cosx xdx