ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP – MÔN GIẢI TÍCH 2
Chương 1: Tính độ cong của đường cong được xác định bởi hàm vectơ ⃗( )
-
Nếu ⃗( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉 thì độ cong
( )=
-
| ⃗ ( ) × ⃗ ( )|
| ⃗ ( )|
Nếu đường cong phẳng có phương trình y = f(x) thì độ cong
|
( )|
1+
( )
( )=
Chương 2:
Dạng 1: Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến z = f(x,y)
-
Bước 1: Giải hệ
-
Bước 2: Tính
=0
. Tìm các điểm tới hạn
=0
=
=
.
( ,
).
−
+ Nếu D(M) < 0 thì M không là cực trị.
+ Nếu D(M) > 0 và
( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M).
Nếu D(M) > 0 và
( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M).
+ Nếu D(M) = 0 thì xét dấu Δ ( ) = (
+Δ ,
+Δ )− ( ,
) (với Δ ≠ 0
và Δ ≠ 0 là các số gia của biến x và biến y).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M).
Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) không xác định dấu thì M không là cực trị.
Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện (sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange)
1) Hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0.
Bước 1: Xét hàm
( , , )= ( , )+
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Xét dấu
1|
Nếu
(
=
, ) > 0 thì
( , )
=0
= 0 . Tìm các điểm tới hạn
( , )=0
+
( ,
).
+2
là điểm cực tiểu. Tính
(
).
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
-
Nếu
(
, ) < 0 thì
-
Nếu
(
, ) không xác định dấu thì xét dấu Δ (
(
là điểm cực đại. Tính
).
) với điều kiện
Nếu Δ (
) > 0 thì
là điểm cực tiểu. Tính
(
).
Nếu Δ (
) < 0 thì
là điểm cực đại. Tính
(
).
(
) = 0.
( ,
, ).
(
) = 0.
2) Hàm ba biến: Tìm cực trị hàm u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0.
Bước 1: Xét hàm
( , , , )= ( , , )+
( , , )
=0
=0
Bước 2: Giải hệ phương trình
. Tìm các điểm tới hạn
=0
⎨
⎩ ( , , )=0
⎧
Bước 3: Xét dấu
=
+
+
+2
+
+
-
Nếu
(
, ) > 0 thì
là điểm cực tiểu. Tính
(
).
-
Nếu
(
, ) < 0 thì
là điểm cực đại. Tính
(
).
-
Nếu
(
, ) không xác định dấu thì xét dấu Δ (
) với điều kiện
Nếu Δ (
) > 0 thì
là điểm cực tiểu. Tính
(
).
Nếu Δ (
) < 0 thì
là điểm cực đại. Tính
(
).
Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến z = f(x,y) trên một miền đóng và bị chặn D.
-
Nếu
-
=0
. Tìm các điểm tới hạn
=0
Bước 1: Giải hệ phương trình
∈
thì tính
(
( ,
).
).
Bước 2: xét trên các đường biên của D, thay phương trình đường biên của D vào f để f
trở thành hàm một biến, quay lại bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm một biến trên
một đoạn. Tính giá trị của f tại các điểm biên và các điểm làm cho đạo hàm của f bằng
0.
-
Bước 3: so sánh tất cả các giá trị của f tại các điểm tìm được ở bước 1 và bước 2 để
tìm ra GTLN và GTNN.
Chương 3
Dạng 1: Tính tích phân hai lớp
=
( , )
Cách 1: Dùng tọa độ Đề - Các, mô tả D về dạng miền loại I hoặc loại II.
2|
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
Miền loại I:
= {( , )| ≤
( )≤
≤ ,
≤
( )}. Khi đó
( )
=
( , )
( )
Miền loại II:
= {( , )| ≤
( )≤
≤ ,
≤
( )}. Khi đó
( )
( , )
=
( )
= cos
, | |= ,
= sin
Cách 2: Dùng tọa độ cực, đặt
≤
( )≤
≤
≤
( )
. Khi đó
( )
( cos , sin ).
=
( )
Cách 3: Dùng tọa độ cực suy rộng (chỉ trong trường hợp D là miền elip)
+
Đặt
=
=
cos
, | |=
sin
0≤
≤
,
≤1
≤1
(tùy điều kiện đầu bài để suy ra miền
≤
. Khi đó
của
(
=
sin )
cos ,
Dạng 2: Ứng dụng của tích phân hai lớp
Cho một bản phẳng không đồng chất choán một miền D có hàm tỷ trọng là
-
Diện tích miền D là
=
-
.
Khối lượng của bản phẳng là
( , )
=
-
Tọa độ trọng tâm của bản phẳng là
̅=
-
1
3|
( , ).
,
=
1
( , ).
Mômen quán tính của bản phẳng theo các trục tọa độ là
=
-
( , ). Khi đó
( , ).
,
=
( , ).
Mômen quán tính của bản phẳng theo gốc tọa độ là
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
(
=
-
) ( , )
+
Thể tích vật thể giới hạn bởi phía dưới là mặt có phương trình
là mặt
=
( , ), phía trên
( , ), hình chiếu của vật xuống xOy là miền D:
( , )−
=
=
( , )
Chú ý: Nếu bản phẳng đồng chất thì hàm tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k.
Dạng 3: Tính tích phân ba lớp
( , , )
=
Cách 1: Dùng tọa độ Đề các, mô tả V theo một trong ba trường hợp
TH1:
= {( , , )|( , ) ∈
⊂
( , )≤
,
≤
( , )}. Khi đó
( , )
( , , )
=
( , )
TH2:
= {( , , )| ( , ) ∈
⊂
,
( , )≤
≤
( , )} .
⊂
,
( , )≤
≤
( , )}
Thay vào I tương tự
= {( , , )| ( , ) ∈
TH3:
Thay vào I tương tự
Cách 2: Dùng tọa độ trụ, đổi biến theo một trong các trường hợp
= cos
= sin , | | = ,
=
TH1: đặt
( )
≤
( )≤
( , )≤
( ) . Khi đó
( , )
( , )
( cos , sin , ).
=
( )
4|
≤
≤
≤
( , )
TH2: đặt
= cos
= sin . Thay vao I tương tự như trên.
=
TH3: đặt
= cos
= sin . Thay vao I tương tự như trên.
=
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
Cách 3: dùng tọa độ cầu, đặt
= cos sin
= sin sin ,
= cos
| |=
sin
( cos sin
=
≤
≤
≤
,
≤
≤
≤
, cos ).
, sin sin
sin
Dạng 4: Ứng dụng của tích phân ba lớp
a) Tính thể tích vật thể
=
b) Tính khối lượng vật thể V có hàm tỷ trọng là
( , , )
( , , )
=
( , , )
c) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể V có hàm tỷ trọng là
̅=
1
( , , ).
̅=
,
1
=
1
( , , ).
,
( , , ).
d) Tính mômen quán tính theo các trục tọa độ của vật thể V có hàm khối lượng riêng là
( , , )
=
=
M =
( , , ). (
+
)
,
( , , )(
+
)
,
ρ(x, y, z)(x + y )dxdydz
Chú ý: Nếu vật thể đồng chất thì tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k.
Chương 4:
Dạng 1: Tính tích phân đường
a) Tích phân đường loại 1 trong mặt phẳng
=
5|
( , )
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
= {( , )|
Cách 1: đưa về biến x, mô tả
, ( )
=
= ( ),
≤ }. Khi đó
= ( ), ≤
≤ }. Khi đó
( )
1+
= {( , )|
Cách 2: đưa về biến y, mô tả
≤
( ( ), ) 1 +
=
= {( , )|
Cách 3: đưa về biến t, mô tả
( ), ( )
=
( )
= ( ),
= ( ),
( )+
( )
≤ ≤ }. Khi đó
b) Ứng dụng của tích phân đường loại 1
-
Tính độ dài của một dây L nằm trong mặt phẳng
=
-
( , )
=
-
( , )
Tính khối lượng của một dây L nằm trong mặt phẳng có hàm tỷ trọng là
Tìm tọa độ trọng tâm của một dây L nằm trong phẳng có hàm tỷ trọng
̅=
1
( , ).
,
=
1
( , )
( , ).
c) Tính tích phân đường loại 2 trong mặt phẳng
=
= {( , )|
Cách 1: đưa về biến x, mô tả
=
Cách 2: đưa về biến y, mô tả
=
Cách 3: đưa về biến t, mô tả
=
6|
( , )
[
+ ( , )
= ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó
, ( ) + ( , ( ).
= {( , )|
= ( ),
( )]
∈ 〈 , 〉 }. Khi đó
[ ( ( ), ) ( ) + ( ( ), )]
= {( , )|
( ), ( )
= ( ),
( )+
= ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó
( ), ( )
( )
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
Cách 4 (áp dụng trong trường hợp L là đường kín giới hạn một miền kín D trong mặt
phẳng, đi trên L theo chiều dương – công thức Green)
=
−
Dạng 2: Tính tích phân mặt
a) Tính tích phân mặt loại 1
( , , )
=
Cách 1: đưa về biến x và y, tìm hình chiếu D của S lên mp(xOy)
, , ( , )
=
1+
+
Cách 2: đưa về biến y,z, tìm hình chiếu D của S xuống mặt yOz
( ( , ), , ) 1 +
=
+
Cách 3: đưa về biến z, x, tìm hình chiếu D của S xuống mặt zOx
( , ( , ), ) 1 +
=
+
b) Tính tích phân mặt loại 2
=
( , , )
Cách 1: Tính lần lượt
+ ( , , )
( ⃗,
( ( , ), , )
) < 90 , lấy dấu (-) nếu
=
( , ( , ), )
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xOz, lấy dấu (+) nếu
> 90 .
=±
7|
+
> 90 .
=±
( ⃗,
+
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOz, lấy dấu (+) nếu
) < 90 , lấy dấu (-) nếu
Trong đó
=
, ,
=±
Trong đó
+ ( , , )
, , ( , )
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
=
Trong đó
( ⃗,
là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) nếu
) < 90 , lấy dấu (-) nếu
=
> 90 .
Cách 2: đưa về tích phân ba lớp (trong trường hợp S là mặt kín giới hạn một vật thể V
- sử dụng công thức Ostrograsky, tích phân lấy theo phía ngoài của mặt S)
=
+
+
Dạng 3: Ứng dụng của tích phân mặt
a) Tính diện tích mặt
ặ
=
( , , )
b) Tính khối lượng của mặt S có hàm tỷ trọng là
=
( , , )
( , , )
c) Tìm tọa độ trọng tâm của mặt S có hàm tỷ trọng là
̅=
1
( , , ).
,
=
1
( , , ).
,
̅=
1
( , , ).
d) Tính thông lượng của trường vectơ ⃗ = 〈 ( , , ), ( , , ), ( , , )〉 qua mặt S
Φ=
+
+
Chương 5
Dạng 1: Giải phương trình vi phân cấp một ( , )
a) Nếu
=
+ ( , )
=0
(∗)
thì (*) là phương trình vi phân toàn phần, nghĩa là
( , )
+ ( , )
=
( , )
Trong đó hàm u(x,y) được xác định bằng một trong hai cách sau, chọn ( ,
) là một
điểm thuộc miền xác định của P(x,y) và Q(x,y)
Cách 1:
( , )=
( ,
)
+
( , )
+
Cách 2:
8|
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
( , )=
b) Nếu
=
( )
( )
( , )
+
thì (*) là phương trình biến số phân ly, nghĩa là
∫ ( )
c) Nếu
( , )
+
=
=∫ ( )
thì (*) là phương trình thuần nhất, khi đó đặt
=
và đưa về
phương trình biến số phân ly hàm u biến x.
d) Nếu
= − ( ). + ( ) thì (*) là phương trình tuyến tính, sử dụng công thức
nghiệm để giải.
(∗) ⇔
+ ( ).
= ( )
Nghiệm tổng quát
=
e) Nếu
vế cho
∫ ( )
+ ∫ ( ).
= − ( ). + ( ).
( ớ
∫ ( )
( ≠ 0; 1) thì (*) là phương trình Bernoulli, chia hai
≠ 0) và đặt
=
để đưa về phương trình tuyến tính hàm z
biến x.
Dạng 2: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
+ .
+ .
= ( ) (1)
Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng
+ .
được nghiệm tổng quát
+ .
=0
(2)
( ).
+ . +
Giải phương trình đặc trưng
=
(3)
,
thì
( )
=
=
thì
( )
=(
- Nếu (3) có 2 nghiệm phân biệt
- Nếu (3) có nghiệm kép
=0
- Nếu (3) có nghiệm phức liên hợp
±
thì
( )
+
=
)
+
(
cos
+
sin
)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của (1)
9|
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
TH1:
( )=
.
( ), nếu
là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng thì
nghiệm riêng của (1) có dạng
( )
TH2:
-
Nếu
( )=
±
( )
-
Nếu
.
.
( )
+
( ) sin
)
là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
=
±
( )
( ( ) cos
=
. . ( ( ) cos
( ) sin
+
),
= max{ , }
không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
=
( ( ) cos
+
( ) sin
),
= max{ , }
Bước 3: viết nghiệm tổng quát của (1)
( )
=
( )
+
( )
Dạng 3: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
+
+
= ( ) (1)
= ( ) (2)
+
+
Bước 1: Đạo hàm hai vế của (1)
+
+
=
( ) (3)
Bước 2: Rút z’ từ (2) và z từ (1) thay vào (3) để (3) trở thành phương trình tuyến tính
cấp hai hàm y biến x. Giải phương trình này để tìm y.
Bước 3: Thay vào để tìm z.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chúc các em thi tốt
Không sử dụng tài liệu nhé nếu không muốn học lại một lần nữa!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10 |
GV Nguyễn Thị Minh Ngọc
... (-) Trong = , , =± Trong + ( , , ) , , ( , ) GV Nguyễn Thị Minh Ngọc = Trong ( ⃗, hình chiếu S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) ) < 90 , lấy dấu (-) = > 90 Cách 2: đưa tích phân ba lớp (trong... ( , ) a) Nếu = + ( , ) =0 (∗) (*) phương trình vi phân toàn phần, nghĩa ( , ) + ( , ) = ( , ) Trong hàm u(x,y) xác định hai cách sau, chọn ( , ) điểm thuộc miền xác định P(x,y) Q(x,y) Cách 1: