đề cương ôn tập giải tích 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP – MÔN GIẢI TÍCH 2 Chương 1: Tính độ cong của đường cong được xác định bởi hàm vectơ ⃗( ) - Nếu ⃗( ) = 〈 ( ), ( ), ( )〉 thì độ cong ( )= - | ⃗ ( ) × ⃗ ( )| | ⃗ ( )| Nếu đường cong phẳng có phương trình y = f(x) thì độ cong | ( )| 1+ ( ) ( )= Chương 2: Dạng 1: Tìm cực trị không điều kiện của hàm hai biến z = f(x,y) - Bước 1: Giải hệ - Bước 2: Tính =0 . Tìm các điểm tới hạn =0 = = . ( , ). − + Nếu D(M) < 0 thì M không là cực trị. + Nếu D(M) > 0 và ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M). Nếu D(M) > 0 và ( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M). + Nếu D(M) = 0 thì xét dấu Δ ( ) = ( +Δ , +Δ )− ( , ) (với Δ ≠ 0 và Δ ≠ 0 là các số gia của biến x và biến y). Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) > 0 thì M là điểm cực tiểu. Tính f(M). Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) < 0 thì M là điểm cực đại. Tính f(M). Nếu D(M) = 0 và Δ ( ) không xác định dấu thì M không là cực trị. Dạng 2: Tìm cực trị có điều kiện (sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange) 1) Hàm hai biến: Tìm cực trị hàm z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = 0. Bước 1: Xét hàm ( , , )= ( , )+ Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Xét dấu 1| Nếu ( = , ) > 0 thì ( , ) =0 = 0 . Tìm các điểm tới hạn ( , )=0 + ( , ). +2 là điểm cực tiểu. Tính ( ). GV Nguyễn Thị Minh Ngọc - Nếu ( , ) < 0 thì - Nếu ( , ) không xác định dấu thì xét dấu Δ ( ( là điểm cực đại. Tính ). ) với điều kiện Nếu Δ ( ) > 0 thì là điểm cực tiểu. Tính ( ). Nếu Δ ( ) < 0 thì là điểm cực đại. Tính ( ). ( ) = 0. ( , , ). ( ) = 0. 2) Hàm ba biến: Tìm cực trị hàm u = f(x,y,z) với điều kiện g(x,y,z) = 0. Bước 1: Xét hàm ( , , , )= ( , , )+ ( , , ) =0 =0 Bước 2: Giải hệ phương trình . Tìm các điểm tới hạn =0 ⎨ ⎩ ( , , )=0 ⎧ Bước 3: Xét dấu = + + +2 + + - Nếu ( , ) > 0 thì là điểm cực tiểu. Tính ( ). - Nếu ( , ) < 0 thì là điểm cực đại. Tính ( ). - Nếu ( , ) không xác định dấu thì xét dấu Δ ( ) với điều kiện Nếu Δ ( ) > 0 thì là điểm cực tiểu. Tính ( ). Nếu Δ ( ) < 0 thì là điểm cực đại. Tính ( ). Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến z = f(x,y) trên một miền đóng và bị chặn D. - Nếu - =0 . Tìm các điểm tới hạn =0 Bước 1: Giải hệ phương trình ∈ thì tính ( ( , ). ). Bước 2: xét trên các đường biên của D, thay phương trình đường biên của D vào f để f trở thành hàm một biến, quay lại bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm một biến trên một đoạn. Tính giá trị của f tại các điểm biên và các điểm làm cho đạo hàm của f bằng 0. - Bước 3: so sánh tất cả các giá trị của f tại các điểm tìm được ở bước 1 và bước 2 để tìm ra GTLN và GTNN. Chương 3 Dạng 1: Tính tích phân hai lớp = ( , ) Cách 1: Dùng tọa độ Đề - Các, mô tả D về dạng miền loại I hoặc loại II. 2| GV Nguyễn Thị Minh Ngọc Miền loại I: = {( , )| ≤ ( )≤ ≤ , ≤ ( )}. Khi đó ( ) = ( , ) ( ) Miền loại II: = {( , )| ≤ ( )≤ ≤ , ≤ ( )}. Khi đó ( ) ( , ) = ( ) = cos , | |= , = sin Cách 2: Dùng tọa độ cực, đặt ≤ ( )≤ ≤ ≤ ( ) . Khi đó ( ) ( cos , sin ). = ( ) Cách 3: Dùng tọa độ cực suy rộng (chỉ trong trường hợp D là miền elip) + Đặt = = cos , | |= sin 0≤ ≤ , ≤1 ≤1 (tùy điều kiện đầu bài để suy ra miền ≤ . Khi đó của ( = sin ) cos , Dạng 2: Ứng dụng của tích phân hai lớp Cho một bản phẳng không đồng chất choán một miền D có hàm tỷ trọng là - Diện tích miền D là = - . Khối lượng của bản phẳng là ( , ) = - Tọa độ trọng tâm của bản phẳng là ̅= - 1 3| ( , ). , = 1 ( , ). Mômen quán tính của bản phẳng theo các trục tọa độ là = - ( , ). Khi đó ( , ). , = ( , ). Mômen quán tính của bản phẳng theo gốc tọa độ là GV Nguyễn Thị Minh Ngọc ( = - ) ( , ) + Thể tích vật thể giới hạn bởi phía dưới là mặt có phương trình là mặt = ( , ), phía trên ( , ), hình chiếu của vật xuống xOy là miền D: ( , )− =  = ( , ) Chú ý: Nếu bản phẳng đồng chất thì hàm tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k. Dạng 3: Tính tích phân ba lớp ( , , ) = Cách 1: Dùng tọa độ Đề các, mô tả V theo một trong ba trường hợp TH1: = {( , , )|( , ) ∈ ⊂ ( , )≤ , ≤ ( , )}. Khi đó ( , ) ( , , ) = ( , ) TH2: = {( , , )| ( , ) ∈ ⊂ , ( , )≤ ≤ ( , )} . ⊂ , ( , )≤ ≤ ( , )} Thay vào I tương tự = {( , , )| ( , ) ∈ TH3: Thay vào I tương tự Cách 2: Dùng tọa độ trụ, đổi biến theo một trong các trường hợp = cos = sin , | | = , = TH1: đặt ( ) ≤ ( )≤ ( , )≤ ( ) . Khi đó ( , ) ( , ) ( cos , sin , ). = ( ) 4| ≤ ≤ ≤ ( , ) TH2: đặt = cos = sin . Thay vao I tương tự như trên. = TH3: đặt = cos = sin . Thay vao I tương tự như trên. = GV Nguyễn Thị Minh Ngọc Cách 3: dùng tọa độ cầu, đặt = cos sin = sin sin , = cos | |= sin ( cos sin = ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤ , cos ). , sin sin sin Dạng 4: Ứng dụng của tích phân ba lớp a) Tính thể tích vật thể = b) Tính khối lượng vật thể V có hàm tỷ trọng là ( , , ) ( , , ) = ( , , ) c) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể V có hàm tỷ trọng là ̅= 1 ( , , ). ̅= , 1 = 1 ( , , ). , ( , , ). d) Tính mômen quán tính theo các trục tọa độ của vật thể V có hàm khối lượng riêng là ( , , ) = = M =  ( , , ). ( + ) , ( , , )( + ) , ρ(x, y, z)(x + y )dxdydz Chú ý: Nếu vật thể đồng chất thì tỷ trọng (khối lượng riêng) là một hằng số k. Chương 4: Dạng 1: Tính tích phân đường a) Tích phân đường loại 1 trong mặt phẳng = 5| ( , ) GV Nguyễn Thị Minh Ngọc = {( , )| Cách 1: đưa về biến x, mô tả , ( ) = = ( ), ≤ }. Khi đó = ( ), ≤ ≤ }. Khi đó ( ) 1+ = {( , )| Cách 2: đưa về biến y, mô tả ≤ ( ( ), ) 1 + = = {( , )| Cách 3: đưa về biến t, mô tả ( ), ( ) = ( ) = ( ), = ( ), ( )+ ( ) ≤ ≤ }. Khi đó b) Ứng dụng của tích phân đường loại 1 - Tính độ dài của một dây L nằm trong mặt phẳng = - ( , ) = - ( , ) Tính khối lượng của một dây L nằm trong mặt phẳng có hàm tỷ trọng là Tìm tọa độ trọng tâm của một dây L nằm trong phẳng có hàm tỷ trọng ̅= 1 ( , ). , = 1 ( , ) ( , ). c) Tính tích phân đường loại 2 trong mặt phẳng = = {( , )| Cách 1: đưa về biến x, mô tả = Cách 2: đưa về biến y, mô tả = Cách 3: đưa về biến t, mô tả = 6| ( , ) [ + ( , ) = ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó , ( ) + ( , ( ). = {( , )| = ( ), ( )] ∈ 〈 , 〉 }. Khi đó [ ( ( ), ) ( ) + ( ( ), )] = {( , )| ( ), ( ) = ( ), ( )+ = ( ), ∈ 〈 , 〉} . Khi đó ( ), ( ) ( ) GV Nguyễn Thị Minh Ngọc Cách 4 (áp dụng trong trường hợp L là đường kín giới hạn một miền kín D trong mặt phẳng, đi trên L theo chiều dương – công thức Green) = − Dạng 2: Tính tích phân mặt a) Tính tích phân mặt loại 1 ( , , ) = Cách 1: đưa về biến x và y, tìm hình chiếu D của S lên mp(xOy) , , ( , ) = 1+ + Cách 2: đưa về biến y,z, tìm hình chiếu D của S xuống mặt yOz ( ( , ), , ) 1 + = + Cách 3: đưa về biến z, x, tìm hình chiếu D của S xuống mặt zOx ( , ( , ), ) 1 + = + b) Tính tích phân mặt loại 2 = ( , , ) Cách 1: Tính lần lượt + ( , , ) ( ⃗, ( ( , ), , ) ) < 90 , lấy dấu (-) nếu = ( , ( , ), ) là hình chiếu của S xuống mặt phẳng xOz, lấy dấu (+) nếu > 90 . =± 7| + > 90 . =± ( ⃗, + là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOz, lấy dấu (+) nếu ) < 90 , lấy dấu (-) nếu Trong đó = , , =± Trong đó + ( , , ) , , ( , ) GV Nguyễn Thị Minh Ngọc = Trong đó ( ⃗, là hình chiếu của S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) nếu ) < 90 , lấy dấu (-) nếu = > 90 . Cách 2: đưa về tích phân ba lớp (trong trường hợp S là mặt kín giới hạn một vật thể V - sử dụng công thức Ostrograsky, tích phân lấy theo phía ngoài của mặt S) = + + Dạng 3: Ứng dụng của tích phân mặt a) Tính diện tích mặt ặ = ( , , ) b) Tính khối lượng của mặt S có hàm tỷ trọng là = ( , , ) ( , , ) c) Tìm tọa độ trọng tâm của mặt S có hàm tỷ trọng là ̅= 1 ( , , ). , = 1 ( , , ). , ̅= 1 ( , , ). d) Tính thông lượng của trường vectơ ⃗ = 〈 ( , , ), ( , , ), ( , , )〉 qua mặt S Φ= + + Chương 5 Dạng 1: Giải phương trình vi phân cấp một ( , ) a) Nếu = + ( , ) =0 (∗) thì (*) là phương trình vi phân toàn phần, nghĩa là ( , ) + ( , ) = ( , ) Trong đó hàm u(x,y) được xác định bằng một trong hai cách sau, chọn ( , ) là một điểm thuộc miền xác định của P(x,y) và Q(x,y) Cách 1: ( , )= ( , ) + ( , ) + Cách 2: 8| GV Nguyễn Thị Minh Ngọc ( , )= b) Nếu = ( ) ( ) ( , ) + thì (*) là phương trình biến số phân ly, nghĩa là ∫ ( ) c) Nếu ( , ) + = =∫ ( ) thì (*) là phương trình thuần nhất, khi đó đặt = và đưa về phương trình biến số phân ly hàm u biến x. d) Nếu = − ( ). + ( ) thì (*) là phương trình tuyến tính, sử dụng công thức nghiệm để giải. (∗) ⇔ + ( ). = ( ) Nghiệm tổng quát = e) Nếu vế cho ∫ ( ) + ∫ ( ). = − ( ). + ( ). ( ớ ∫ ( ) ( ≠ 0; 1) thì (*) là phương trình Bernoulli, chia hai ≠ 0) và đặt = để đưa về phương trình tuyến tính hàm z biến x. Dạng 2: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng + . + . = ( ) (1) Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng + . được nghiệm tổng quát + . =0 (2) ( ). + . + Giải phương trình đặc trưng = (3) , thì ( ) = = thì ( ) =( - Nếu (3) có 2 nghiệm phân biệt - Nếu (3) có nghiệm kép =0 - Nếu (3) có nghiệm phức liên hợp ± thì ( ) + = ) + ( cos + sin ) Bước 2: Tìm nghiệm riêng của (1) 9| GV Nguyễn Thị Minh Ngọc TH1: ( )= . ( ), nếu là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng của (1) có dạng ( ) TH2: - Nếu ( )= ± ( ) - Nếu . . ( ) + ( ) sin ) là nghiệm của phương trình đặc trưng thì = ± ( ) ( ( ) cos = . . ( ( ) cos ( ) sin + ), = max{ , } không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì = ( ( ) cos + ( ) sin ), = max{ , } Bước 3: viết nghiệm tổng quát của (1) ( ) = ( ) + ( ) Dạng 3: Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng + + = ( ) (1) = ( ) (2) + + Bước 1: Đạo hàm hai vế của (1) + + = ( ) (3) Bước 2: Rút z’ từ (2) và z từ (1) thay vào (3) để (3) trở thành phương trình tuyến tính cấp hai hàm y biến x. Giải phương trình này để tìm y. Bước 3: Thay vào để tìm z. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chúc các em thi tốt Không sử dụng tài liệu nhé nếu không muốn học lại một lần nữa! ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 | GV Nguyễn Thị Minh Ngọc  ... (-) Trong = , , =± Trong + ( , , ) , , ( , ) GV Nguyễn Thị Minh Ngọc = Trong ( ⃗, hình chiếu S xuống mặt phẳng yOx, lấy dấu (+) ) < 90 , lấy dấu (-) = > 90 Cách 2: đưa tích phân ba lớp (trong... ( , ) a) Nếu = + ( , ) =0 (∗) (*) phương trình vi phân toàn phần, nghĩa ( , ) + ( , ) = ( , ) Trong hàm u(x,y) xác định hai cách sau, chọn ( , ) điểm thuộc miền xác định P(x,y) Q(x,y) Cách 1: