Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 14 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
14
Dung lượng
423,75 KB
Nội dung
1 MI1132 GIẢI TÍCH III Tên học phần: Giải tích III (Calculus III) Mã học phần: MI1132 Khối lượng: 3(2-2-0-6) a Lý thuyết: 30 tiết b Bài tập: 30 tiết Đối tượng tham dự: Sinh viên đại học thuộc nhóm học 2, từ học kì Điều kiện học phần: Học phần tiên quyết: Giải tích I, Học phần học trước: Đại số, Giải tích I Học phần song hành: Giải tích II Mục tiêu học phần kết mong đợi Cung cấp kiến thức chuỗi số, chuỗi hàm, phương trình vi phân cấp 1, cấp 2, biến đổi Laplace phía, hình thành kiến thức toán học tảng cho sinh viên ngành cơng nghệ, cung cấp cơng cụ tốn học cho sinh viên sử dụng toán kỹ thuật Sau hoàn thành học phần này, yêu cầu sinh viên có khả năng: Sinh viên kiểm tra tính hội tụ chuỗi số, chuối hàm, giải phương trình vi phân cấp 1, 2, tính biến đổi Laplace hàm bị chặn mũ, áp dụng vào số toán thực tế Tiêu chí 1.1 Mức độ 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 GT GT SD GT GT 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2 3.3 SD 4.1 4.2 4.3 SD SD Nội dung vắn tắt học phần: Chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi Fourier, phương trình vi phân cấp I, phương trình vi phân tuyến tính cấp II, hệ phương trình vi phân cấp I, Biến đổi Laplace, số mơ hình toán kỹ thuật Tài liệu học tập: Sách giáo trình: [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Tốn học cao cấp tập II [2] Nguyễn Đình Trí (chủ biên): Toán học cao cấp tập III Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Bài tập Toán học cao cấp tập II NXBGD, 2000 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Bài tập Toán học cao cấp tập III NXBGD, 1999 [3] Nguyễn Xuân Thảo Bài giảng Phương pháp Toán tử Laplace, 20101 [4] Nguyễn Thiệu Huy: INFINITE SERIES AND DIFFERENTIAL EQUATIONSdownload: http://sami.hust.edu.vn/tai-lieu/ Phương pháp học tập nhiệm vụ sinh viên: Dự lớp: đầy đủ theo quy chế Bài tập: hoàn thành tập học phần Dự kiểm tra kỳ : Tự luận, 60 phút, sau học tám tuần, Viện tổ chức Nội dung: Chương Chuỗi 10 Đánh giá kết quả: QT(0,3) – T(0,7) - Điểm trình: trọng số 0,3 - Điểm thi cuối kỳ (trắc nghiệm tự luận): trọng số 0,7 11 Nội dung kế hoạch học tập cụ thể Tuần Nội dung Giáo trình BT, TN,… 1.1 Chương Chuỗi 1.1 Đại cương chuỗi số - Các khái niệm: Chuỗi số, số hạng tổng quát, tổng riêng, phần dư, chuỗi hội tụ, phân kỳ, tổng chuỗi hội tụ Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi hình học aq n n 0 - Các tính chất chuỗi số hội tụ: +) Điều kiện cần để chuỗi hội tụ (chứng minh) Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi điều hịa n n 1 +) Các tính chất tổng hiệu hai chuỗi hội tụ, nhân với số (học sinh tự đọc chứng minh) 1.2 Chuỗi số với số hạng dương - Định nghĩa - Các định lý so sánh (chứng minh định lý 1, học sinh tự đọc chứng minh định lý 2) - Các tiêu chuẩn hội tụ (tiêu chuẩn D’Alambert, Cauchy, tích phân) (Chứng minh tiêu chuẩn D’Alambert, học sinh tự đọc chứng minh tiêu chuẩn lại) Chú ý: Phải có ví dụ chuỗi Riemann n n 1 1.2 s 1.3 Chuỗi số với số hạng có dấu - Chuỗi có dấu bất kỳ: khái niệm hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Quan hệ hội tụ tuyệt đối hội tụ (học sinh tự đọc chứng minh) Chú ý nhấn mạnh tiêu chuẩn D’Alambert, Cauchy dùng để kiểm tra hội tụ tuyệt đối phân kỳ chuỗi có dấu - Chuỗi số đan dấu: định nghĩa, định lý Leibniz (có chứng minh) 1.3 - Các tính chất chuỗi số hội tụ tuyệt đối Tính chất đổi thứ tự, nhóm số hạng tích hai chuỗi (học sinh tự đọc chứng minh) 1.4 Chuỗi hàm số - Định nghĩa chuỗi hàm, miền hội tụ chuỗi hàm (hội tụ điểm), cách tìm miền hội tụ, tổng chuỗi hàm - Sự hội tụ chuỗi hàm: định nghĩa, tiêu chuẩn Weierstrass (không chứng minh) 1.4 - Các tính chất chuỗi hàm hội tụ đều: tổng hàm liên tục, tích phân, đạo hàm tổng (học sinh tự đọc chứng minh) 1.5 Chuỗi luỹ thừa - - Định nghĩa chuỗi luỹ thừa: định lý Abel (có chứng minh), bán kính hội tụ, khoảng miền hội tụ Các tính chất chuỗi luỹ thừa: hội tụ đều, liên tục, tích phân, đạo hàm tổng, tính khả vi vô hạn khoảng hội tụ (học sinh tự đọc chứng minh) Phần áp dụng để tính tổng số chuỗi (chỉ nêu ví dụ, cịn lại học sinh tự đọc) 1.5 Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa (Chuỗi Taylor, Maclaurin) Định lý để hàm khai triển (không chứng minh) Các khai triển số hàm số sơ cấp 1.5 1.6 1.6 Chuỗi Fourier - Chuỗi lượng giác, hệ số Fourier chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2p liên tục khúc (-p, p) (tổng quát chu kì cho hàm tuần hồn chu kì 2L) - Định lý Dirichlet (không chứng minh) hội tụ tổng chuỗi Fourier - Khai triển hàm chẵn, hàm lẻ - 1.6 Khai triển hàm đoạn hữu hạn a, b (lấy ví dụ nửa chu kỳ (0, L) thác triển lên toàn (-L, L) ) Chương Phương trình vi phân 2.1 Gợi động khái niệm mở đầu: - Giới thiệu số toán kỹ thuật (mạch điện, tốn vật rơi, vv ) dẫn đến phương trình vi phân - Định nghĩa phương trình vi phân (PTVP), cấp phương trình, nghiệm PTVP 2.2 Phương trình vi phân cấp - Đại cương PTVP cấp 1: dạng tổng quát 2.1 2.2 PT, định lý tồn nghiệm (không chứng minh), toán Cauchy, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng - PT biến số phân ly, PT (đẳng cấp) - PT tuyến tính, PT Bernoulli - 2.2 PTVP tồn phần, thừa số tích phân, cơng thức thừa số tích phân phụ thuộc x y 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp - Đại cương PTVP tuyến tính cấp 2: Dạng tổng quát, định lý tồn nghiệm, toán Cauchy, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng 10 2.3 - PT tuyến tính y” + p(x)y’ + q(x)y = : +) Nghiệm độc lập (phụ thuộc tuyến tính), Wronskian, Cấu trúc nghiệm y C1 y1 ( x ) C y2 ( x ) +) Trường hợp hệ số y” + ay’ + by = : PT đặc trưng, công thức nghiệm tổng qt +) Mơ hình dao động tự lị xo gắn khối lượng : Tuần hồn tắt dần - 11 Phương trình khơng y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) 2.3 +) Định lý nghiệm tổng quát (học sinh tự đọc chứng minh) Phương pháp biến thiên số Lagrange Nguyên lý chồng chất nghiệm +) PTVP có hệ số khơng đổi y” + ay’ + by = f(x) : Phương pháp hệ số bất định với hàm vế phải f(x) có dạng: 12 f ( x) ex Pn ( x) f ( x) ex [ Pn ( x) cos x Qm ( x) sin x] 2.3 +) Mơ hình dao động cưỡng lị xo gắn với khối lượng: Tác động ngoại lực, ngoại lực tuần hồn, cộng hưởng 2.4 Hệ phương trình vi phân cấp - Định nghĩa dạng tổng quát, nghiệm, đưa PTVP cấp cao hệ chuẩn tắc ngược lại Định lý tồn nghiệm Phương pháp khử (thể qua ví dụ giải hệ gồm phương trình có hệ số khơng đổi dạng đơn giản) (giáo viên hướng dẫn học sinh tự đọc làm tập) 13 Chương Phép biến đổi Laplace 3.1 Phép biến đổi Laplace, miền xác định, phép biến đổi Laplace ngược - Phép biến đổi (PBĐ) Laplace, hàm liên tục khúc (trên đoạn hữu hạn) bị chặn mũ, miền xác định PBĐ Laplace - PBĐ Laplace ngược, PBĐ Laplace ngược 2.4 3.1 3.2 Tính chất PBĐ Laplace 14 - Tính tuyến tính, PBĐ Laplace đạo hàm f(t), F(s), giới thiệu bảng PBĐ Laplace số hàm (bảng bổ sung dần có thêm tính chất PBĐ) 3.2 - PBĐ tích phân f(t), F(s) - Tính chất tịnh tiến: Tịnh tiến theo biến s 15 3.3 Áp dụng PBĐ Laplace để giải phương trình vi phân - Lược đồ áp dụng Laplace để giải phương trình vi phân hệ hai phương vi phân cấp - Các ví dụ 12 Nội dung thí nghiệm (thực hành, tiểu luận, tập lớn) NHÓM BIÊN SOẠN ĐỀ CƯƠNG PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy Ngày tháng TS Vũ Thị Ngọc Hà năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG KH&ĐT KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG (Họ tên chữ ký) 3.2 3.3 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 2018 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân chuỗi) Nhóm học 2: Mã MI1132 Kiểm tra kỳ : Tự luận Thi cuối kỳ : Tự luận I CHUỖI 1) Xét hội tụ tính tổng (nếu có) chuỗi sau 1 1 1 1 a) n n 3 2 b) 1 1 c) 225 (2n 1) (2n 1) d) ( n 1 n ) n( n 1)( n 2)( n 3) 2) Các chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? sao? 1 n a) n 1 n n b) 1 n n 1 3 5n 3) Sử dụng tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét hội tụ chuỗi sau a) d) n n 1 10n n 1 g) k) n 1 n 1 n 3/4 b) n2 n ( n 1)( n 2) n 1 n ln n n 1 1 n e) n 1 n n ln n n n2 h) (3n 1)! n n1 n l) n2 5 (2n 1) 22 n (n 1)! n2 1 n c) n2 n f) n ln n i) 1 n ln n 1 1 n n 4) Xét hội tụ chuỗi số 1 a) n 1 n n 1 n 1 d) n 1 n ln g) 2n n 1 n n2 b) ( n 1) n e) h) 3n (n !) n 1 (2n)! c) 7n (n!)2 n2n n1 f) n2 2n n 1 n n 4n n 1 2n en n! k) n n 1 n n 3 n ln n(ln ln n) 5) Xét hội tụ chuỗi số 1n a) n e 1 n 1 c) b) arcsin(e n ) g) a d) cos , a n n 1 , 0, f) n 3 n (ln n) 5 (2n 1) 3n n ! n 1 nn 2n (n 1) n1 n3 n2 a , a n 1 n 1 e) sin h) n na (1 a n 1 n ) , a ,0 | a | 6) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau a) d) n n 1 x xn b) 2n n 1 x c) (1) n1 n 1 n x f) cos(nx) 2nx n 1 e) n n 3x g) , x n 1 ( n 1) h) x n 1 n n 1 xn n 1 x 2n (n 1) n 1 ( x 2)12 n xn n 7) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh chuỗi sau hội tụ tập tương ứng xn a) n n 1 (1 x ) c) 2 n 1 n 1 [0, ) nx n 2x b) n1 [-1,1] x2 n 1 2 e n x d) n 1 n 8) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau a) (x 2) n2 n 1 b) n n 1 n ( x 1) (2 x 1) n d) n2n n 1 n 2x 1 e) n1 x 1 n 1 ( x 5) n1 g) 2n n n 1 h) c) ( x 3) n 5 n2 n 1 f) ( x 1) n n 1 n n (1) n 1 (2n 1) n ( x 1) n (3n 2) n n 1 i) n! n n 1 n ( x 3) n 9) Tính tổng chuỗi sau x n 5 a) n , x 3,3 n (2n 1) x n c) , x 1,1 n (2n 1)(2n 2) (1) n 1 b) n 1 n 1 (2n 1) d) 2n n x , x 1,1 n n 1 n 10 Khai triển thành chuỗi Maclaurin x3 x a) f ( x) x 4x c) f ( x) b) f ( x ) sin x x cos x x2 11 a) Khai triển f ( x ) x thành chuỗi lũy thừa x - b) Khai triển f ( x) sin c) Khai triển f ( x) x thành chuỗi lũy thừa x -1 thành chuỗi lũy thừa x + x 3x 2 12) a) Khai triển Fourier hàm số sau (1) f x | x |, | x | , cách kéo dài f thành hàm tuần hoàn với chu kỳ (2) f x x, x , cách kéo dài f thành hàm chẵn (-1,1), tuần hoàn chu kỳ Nếu kéo dài f thành hàm lẻ (-1,1), tuần hoàn chu kỳ 2, dạng khai triển Fourier nào? (3) f x 10 x, x 15 , cách kéo dài f thành hàm tuần hoàn với chu kỳ 10 b) Cho f x x [ , ] Hãy khai triển Fourier hàm f x , sau tính tổng chuỗi số (1) n n 1 , n2 n2 n 1 II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình phân li b) y 'cos x y a) tan ydx x ln xdy c) y2 x x 13 d) y ' a cos y b b a 3y y' x 1 e) y ' y y f) y ' x y g) y ' sin y x 1 h) y ' i) x y dx y y dy, x y 1 x y2 k) xydx 1 y x dy 0, y 0 y( ) Phương trình vi phân đẳng cấp cấp a) y ' y x 1 x y b) xy ' x sin d) ( x y ) dx xdy c) x y ' y xy x y x e) xydy y dx x y e dx 2 g) xy ' y ln y y x y , y 1 1 x f) x y 3 dy x y 1 dx h) xy x dy ydx 0, y 1 Phương tình vi phân tuyến tính cấp a) y ' xy x b) y ' y xe x 2e x x c) x 1 x y ' y arctan( x) d) y ' x y y e) xy 3 dy y dx f) 1 y dx arctan y x dy g) y’ y cos x sin x cos x, Phương trình Bernoulli y 0 h) y ' x y arcsin x, y (0) a) y’ xy x y x2 b) y ' y x2 y x d) ydx x x y dy c) y ' y tan x y sin x y 1 2 e) 3dy 1 y y sin xdx 0, f) y y x y ' x 0, y (1) Phương trình vi phân tồn phần a) ( x y )dx ( x y)dy 2 b) y dx x dy x y c) (e x y sin y )dx (e y x x cos y )dy d) e y dx ( xe y y ) dy 0, y (1) 6) Tìm thừa số tích phân ( y ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với tìm xy y dx y xy dy 7) Tìm thừa số tích phân ( x ) để phương trình sau phương trình vi phân tồn phần giải phương trình với tìm x y ln( x y ) dx x y dy 8) Giải phương trình sau a) y ' x 2 y c) y ' y 1 x2 b) ( y x ) dy 2 xydx 0, x d) y ' y e y , 0 x y (0) y (0) 9) Chứng minh a) y x et dt nghiệm phương trình xy ' y x 2e x 2 xn b) y x nghiệm phương trình 1 x dy 1 x y dx n n( n 1) 10) Giải phương trình sau a) y "3 y ' 10 y xe 2 x d) y '' y ' y e2 x sin x b) y " y x sin x c) y " y xe x 3e x e) y " y 2cos x cos x f) y '' y ' y sin x sinh x b) y " y ' tan x ex c) y " y ' y x 11) Giải phương trình sau ex a) y " y ex 12) Giải phương trình (2 x 22 ) y ' '2( x 1) y'2 y 2 biết có hai nghiệm riêng y1 x y2 13) Giải phương trình (x 1) y '' xy ' 4y 2x với phép biến đổi x tan t x ( x 1) 2 14) Giải phương trình sau a) y '' 2my ' m y ( x 1)e mx 2sin x, m ex b) y '' y ' y (2 x 1)e x x 15) Một vật thể với trọng lượng N, treo vào lò xo làm lò xo dãn thêm 6cm vị trí cân Ta kéo vật thể xuống thêm cm thả để dao động tự khơng tắt dần: a) Xác định số tỷ lệ k lò xo định luật Hook b) Xác định vị trí u vật thể thời gian t c) Tìm tần số, chu kỳ, biên độ dao động 16) Một vật thể với trọng lượng N treo vào lò xo kéo dài lị xo thêm đoạn 10cm đến vị trí cân Vật thể truyền vận tốc ban đầu 3cm/sec bắt đầu di chuyển từ vị trí cân môi trường chịu ảnh hưởng lực cản nhớt 2N vận tốc vật thể 4cm/sec a) Hãy lập toán giá trị ban đầu mô tả chuyển động vật thể b) Giải tốn giá trị ban đầu c) Giả sử có ngoại lực f tác động vào vật thể với f(t) = cos ωt Viết phương trình mơ tả dao động với ngoại lực giải phương trình Tìm giá trị tần số ω để biên độ giao động lớn 17) Một vật thể với trọng lượng N kéo dài lò xo 1,5 cm vị trí cân Vật thể được kéo thêm cm theo hướng dương kể từ vị trí cân thả mà khơng có vận tốc ban đầu Giả sử khơng có tắt dần có ngoại lực cos 3t (N) (a) Xây dựng toán giá trị ban đầu mô tả chuyển động vật thể (b) Giải toán giá trị ban đầu (c) Nếu ngoại lực thay lực sin ωt, tìm giá trị tần số ω để cộng hưởng xảy 18) Giải hệ phương trình sau dy dx y z a) dz x y z dx dx dt x y b) dy x y dt dx dt c) dy x dt cos t y dx dt x y d) dy x dt x y III Phép biến đổi Laplace: Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace hàm số sau b) f (t ) e3t 1 a) f (t ) t c) f (t ) sinh(kt ) d) f (t ) sin t Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t ) t 3t b) f (t ) t 2e3t c) f (t ) cosh(5t ) d) f (t ) cos (2t ) e) f (t ) (1 t )3 f) f (t ) tet Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau s4 3s d) F ( s ) s 9 a) F ( s ) 5/2 s s 10 s e) F ( s ) 25 s b) F ( s ) c) F ( s ) s4 Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo hàm số sau a) F (s) s( s 3) b) F (s) s( s 4) d) F ( s ) s ( s 1) e) F ( s) s ( s 1)(s 2) Chứng minh c) F ( s ) s ( s 1) a) L {t n e at } n L {t n1e at } sa c) L t sinh kt b) L {t n e at } n! , n 1, 2,3 ( s a ) n1 2sk (s k ) Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau a) f (t ) t 4e t b) f (t ) e2t sin 3 t Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau a) F ( s ) 2s b) F ( s ) s 4s c) F ( s ) 3s s s 25 Sử dụng phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau s 4 d) F ( s ) s 16 a) F ( s ) 2s s s 10 s 2s e) F ( s ) s 5s b) F ( s ) c) F ( s ) s 5s Dùng định lí vi, tích phân phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace hàm sau a) f (t ) t sin 3t c) f (t ) sin t t b) f (t ) te2t cos 3t e 3t d) f (t ) t 10 Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau a) F ( s ) s ( s 3) b) F ( s ) ( s 9) c) F ( s ) s2 ( s 4) d) F ( s) s ( s 3)( s 1) 11 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán giá trị ban đầu a) x "4 x 0, x(0) 5, x '(0) b) x " x ' x 0, x(0) 0, x '(0) c) x " x sin 2t , x(0) 0, x '(0) d) x " x cos3t , x(0) 1, x '(0) e) x " x ' x 1, x(0) x '(0) f) x " 3x '2 x t , x(0) 0, x '(0) g) x " x ' 13x tet , x(0) 0, x '(0) h) x '' x ' 18 x cos 2t , x(0) 1, x '(0) -1 12 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau x " x ' y ' x y 0, x(0) y (0) x "2 x 4 y 0, x(0) y (0) c) d) y " x ' y ' x y 0, x '(0) y '(0) y " x y 0, x '(0) y '(0) 1 13 Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu a) x " x ' 25 x 0, x(0) 2, x '(0) b) x " x 3t , x(0) x '(0) c) x (3) x " x ' 0, x(0) 0, x '(0) x "(0) d) x(4) x 0, x(0) 0, x '(0) x "(0) 0, x(3) (0) e) x (4) x " 16 x 0, x(0) x '(0) x "(0) 0, x (3) (0) 14 Giải toán với giá trị ban đầu mx '' cx ' kx f (t ), x(0) x '(0) a) m 1, k 4, c 0, 1, t f (t ) 0, t b) m 1, k 9, c 0, sin t , t 2 f (t ) t 2 0, c) m 1, k 4, c 4, t , t f (t ) 0, t ... Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học - 20 18 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân chuỗi) Nhóm học 2: Mã MI11 32 Kiểm tra kỳ : Tự luận Thi cuối kỳ : Tự luận I CHUỖI 1)... 2cos x cos x f) y '''' y '' y sin x sinh x b) y " y '' tan x ex c) y " y '' y x 11) Giải phương trình sau ex a) y " y ex 12) Giải phương trình (2 x 22 ) y '' ''? ?2( x 1) y''? ?2. .. n 1 n ln g) 2n n 1 n n2 b) ( n 1) n e) h) 3n (n !) n 1 (2n)! c) 7n (n! )2 n2n n1 f) n2 2n n 1 n n 4n n 1 2n en n! k) n n 1 n