Tìm tập xác định của hàm số a.. Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f x nào xác định trong một khoảng đối xứng −a, a, a > 0 cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn
Trang 1VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - K58 Môn học : Giải tích 1 Mã số : MI 1110
Thi giữa kỳ: Tự luận, 60 phút, chung toàn khóa, vào tuần học thứ 9
Thi cuối kỳ hệ: Tự luận, 90 phút
Đánh giá: Quá trình (0,3) - Cuối kỳ (0,7)
Chương 1 HÀM MỘT BIẾN SỐ 1.1-1.5 Dãy số, hàm số, giới hạn và liên tục
1 Tìm tập xác định của hàm số
a y = plg(tan x)4 b y = arcsin 2x
1+x
c y = sin πx√x d y = arccos (sin x)
2 Tìm miền giá trị của hàm số
a y = lg (1 − 2 cos x) b y = arcsin lg x
10
3 Tìm f (x) biết
a f x + 1
x = x2 + x12 b f x
1+x = x2
4 Tìm hàm ngược của hàm số
a y = 2x + 3 b y = 1−x
1+x c y = 1
2 (ex+ e−x)
5 Xét tính chẵn lẻ của hàm số
a f (x) = ax + a−x(a > 0) b f (x) = ln x +√
1 + x2
c f (x) = sin x + cos x
6 Chứng minh rằng bất kỳ hàm số f (x) nào xác định trong một khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) cũng đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn với một hàm số lẻ
7 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của hàm số sau (nếu có)
a f (x) = A cos λx + B sin λx b f (x) = sinx2
Trang 2c f (x) = sin x + 1
2 sin 2x + 13 sin 3x d f (x) = cos2x 1.6-1.7 Giới hạn hàm số
8 Tìm giới hạn
a lim
x →1
x100−2x+1
x →a
(x n −a n )−na n−1 (x−a)
9 Tìm giới hạn
a lim
q x+√
x+ √ x
√
3
√
x3 + x2 − 1 − x
c lim
x →0
m √
1+αx− n √
1+βx
x →0
m √ 1+αx √ n
1+βx−1 x
10 Tìm giới hạn
a lim
x →a
sin x−sin a
x+ 1 − sin√x
c lim
x →0
√
cos x− √ 3cos x
sin2x d lim
x →0
1−cos x cos 2x cos 3x 1−cos x
11 Tìm giới hạn
a lim
x →∞
x 2 −1
x 2 +1
x−1 x+1
b lim
x →0 +(cos√
x)1x
c lim
x →∞[sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)] d lim
x →∞n2(√n
x− n+1√
x) , x > 0
12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không?
α(x) = px + √x và β(x) = esin x − cos x
1.8 Hàm số liên tục
13 Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0
a f (x) =
1−cos x
x 2 nếu x 6= 0
b g(x) =
ax2 + bx + 1 với x ≥ 0
acos x + b sin x với x < 0
14 Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số
a y = 8
1−2 cot x b y = sin1x
e x1+1 c y = e ax
−e bx
x ,(a 6= b) 1.9 Đạo hàm và vi phân
15 Tìm đạo hàm của hàm số
Trang 3f(x) =
1 − x khi x < 1 (1 − x)(2 − x) khi 1 ≤ x ≤ 2
x− 2 khi x > 2
16 Với điều kiện nào thì hàm số
f(x) =
xnsin 1x khi x 6= 0
a Liên tục tại x = 0 b Khả vi tại x = 0 c Có đạo hàm liên tục tại x = 0
17 Chứng minh rằng hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số liên tục và ϕ(a) 6= 0, không khả vi tại điểm x = a
18 Tìm vi phân của hàm số
a y = 1
aarctanx
a,(a 6= 0) b y = arcsinx
a,(a 6= 0)
c y = 1
2a ln x −a
x+a
,(a 6= 0) d y = ln
x+√
x2 + a
19 Tìm
a d
d(x 3 ) x3 − 2x6 − x9
b d d(x 2 )
sin x x
c d(cos x)d(sin x)
20 Tính gần đúng giá trị của biểu thức
a lg 11 b 7
q
2−0.02 2+0.02
21 Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số
a y = x2
1−x, tính y(8) b y = √ 1+x
1−x, tính y(100)
c y = x2e2x, tính y(10) d y = x2sin x, tính y(50)
22 Tính đạo hàm cấp n của hàm số
a y = x
x 2 −1 b y = 1
x 2 −3x+2
c y = x
3
√
1+x d y = eaxsin(bx + c) 1.10 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
23 Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực
Trang 4nếu n lẻ.
24 Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng fg(b)−f(a)(b)−g(a) = fg′′(c)(c) không áp dụng được đối với các hàm số
f(x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1
25.Chứng minh bất đẳng thức
a |sin x − sin y| ≤ |x − y| b a −b
a < lnab < a−bb ,0 < b < a
26 Tìm giới hạn
a lim
q
x+px + √x −√x
b lim
x →1
x
x −1 − ln x1
c lim
x →∞
e x1−cos x1
1−√
x →0
e x sin x−x(1+x)
x 3
e lim
x →1tanπx2 ln(2 − x) h lim
x →0 1 − atan2xx sin x1
f lim
x →1 −
tan π
2 x
x →0(1 − cos x)tan x
g lim
x → π 2
(sin x)tan x
27 Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0
f(x) = sin13
x − x13 − xa2 − xb
28 Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f′′(x) trên (a, b) Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
f(x) − f(a) − f(b)−f(a)b−a (x − a) = (x−a)(x−b)2 f′′(c)
29 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
a y = x3 + x b y = arctan x − x
30 Chứng minh bất đẳng thức
a 2x arctan x ≥ ln 1 + x2 với mọi x ∈ R
b x − x 2
2 ≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0
31 Tìm cực trị của hàm số
a y = 3x 2 +4x+4
x 2 +x+1 b y = x − ln(1 + x)
c y = 3
p(1 − x)(x − 2)2 d y = x23 + (x − 2)23
Trang 51.11 Các lược đồ khảo sát hàm số
32 Khảo sát hàm số
a y = 2−x 2
x3 − x2 − x + 1
c y = x4+8
x 2 +1
e
x = 1 − t
y = 1 − t2
f
x = 2t − t2
y = 3t − t3
g r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) h r = √ a
cos 3ϕ,(a > 0) Chương 2
TÍCH PHÂN 2.1 Tích phân bất định
1 Tính các tích phân
a R
1 − x12 px√
xdx b R √
1 − sin 2xdx
c R dx
x √
(x 2 −1)3/2
e R xdx
(x+a)2(x+b)2
g R sin x sin(x + y)dx h R 1+sin x
sin2x dx
2 Tính các tích phân
a R arctan xdx b R √ x+2
x 2 −5x+6dx
c R √ xdx
−x2 + 3x − 2dx
e R dx
g R e−2xcos 3xdx h R arcsin2xdx
3 Lập công thức truy hồi tính In
a In = R xnexdx b In = R dx
cos n x
2.2 Tích phân xác định
4 Tính các đạo hàm
a d
dx
y
R
x
et2dt b d
dy
y
R
x
et2dt c d
dx
x3
R
x 2
dt
√ 1+t 4
5 Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn
Trang 6a lim
n →∞
1
nα + nα+β1 + nα+2β1 + · · · + nα+(n−1)β1 ,(α, β > 0)
b lim
n →∞
1
n
q
1 + n1 + q1 + n2 + · · · +p1 + n
n
6 Tính các giới hạn
a lim
x →0 +
sin x
R
0
√ tan tdt
tan x
R
0
√ sin tdt
b lim
x
R
0
(arctan t)2dt
√
x 2 +1
7 Tính các tích phân sau
a Re
1/e
|ln x| (x + 1) dx b Re
1
(x ln x)2dx c
3π/2
R
0
dx
0
sin2x cos x
(1+tan2x)2dx
e R3
0
arcsinp x
π/2
R
0
cosnxcos nxdx
8 Chứng minh rằng nếu f (x) liên tục trên [0, 1] thì
a
π/2
R
0
f(sin x)dx =
π/2
R
0
f(cos x)dx b Rπ
0
xf(sin x)dx =
π
R
0
π
2f(sin x)dx
9 Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b] Khi đó f2(x), g2(x) và
f(x).g(x) cũng khả tích trên [a, b] Chứng minh bất đẳng thức (với a < b)
b
R
a
f(x)g(x)dx
!2
≤
b
R
a
f2(x)dx
!
b
R
a
g2(x)dx
!
(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz)
2.3 Tích phân suy rộng
10 Xét dự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau
a R0
−∞
xexdx b +∞R
0
cos xdx
c +∞R
−∞
dx
0
dx
√
x (1−x)
11 Xét sự hội tụ của các tích phân sau
a R1
0
dx
0
√ xdx
e sin x −1
c R1
0
√
xdx
√
1
ln(1+x)dx x
e +∞R
1
dx
√
0
x2dx
x 4 −x 2 +1
Trang 712 Nếu +∞R
0
f(x)dx hội tụ thì có suy ra được f (x) → 0 khi x → +∞ không?
Xét ví dụ +∞R
0
sin x2 dx
13 Cho hàm f (x) liên tục trên [a, +∞) và lim
x →+∞f(x) = A 6= 0 Hỏi
+∞
R
0
f(x)dx có hội tụ không
2.4 Ứng dụng của tích phân xác định
14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0
b Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)
c Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x, (y2 ≤ x)
d Đường y2 = x2 − x4
15 Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2+ y2 ≤ a2
và y2 + z2 ≤ a2,(a > 0)
16 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y2, các mặt phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a 6= 0)
17 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 và y = 0
a Quanh trục 0x một vòng b Quanh trục 0y một vòng
18.Tính độ dài đường cong
a y = ln e x +1
e x −1 khi x biến thiên từ 1 đến 2 b
x = a cos t − ln tan 2t
y = a sin t
khi t biến thiên từ π
3 đến π
2 (a > 0)
19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau
a y = sin x, 0 ≤ x ≤ π
2 quay quanh trục 0x
b y = 1
3(1 − x)3,0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục 0x
Trang 8Chương 3 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Hàm nhiều biến số
1 Tìm miền xác định của các hàm số sau
a z = √ 1
x 2 +y 2 −1 b z =p(x2 + y2 − 1) (4 − x2 − y2)
c z = arcsiny −1
xsin y
2 Tìm các giới hạn nếu có của các hàm số sau
a f (x, y) = x2−y 2
x 2 +y 2, (x → 0, y → 0)
b f (x, y) = sin πx
2x+y, (x → ∞, y → ∞) 3.2 Đạo hàm và vi phân
3 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a z = lnx+px2 + y2 b z = y2sinxy
c z = arctanqx 2 −y 2
x 2 +y 2 d z = xy3,(x > 0)
e u = xy z
,(x, y, z > 0) f u = ex2+y2+z21
4 Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của hàm số f (x, y) sau
a.f (x, y) =
xarctan yx2 khi x 6= 0
b f (x, y) =
x sin y−y sin x
x 2 +y 2 khi (x, y) 6= (0, 0)
0 khi (x, y) = (0, 0)
5 Gỉa sử z = yf (x2− y2), ở đây f là hàm số khả vi Chứng minh rằng đối với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn
1
xzx′+ 1yzy′ = yz2
6 Tìm dạo hàm các hàm số hợp sau đây
a z = eu2−2v 2
, u= cos x, v = px2 + y2
b z = ln u2 + v2 , u = xy, v = x
y
Trang 9c z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3
7 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a z = sin(x2+ y2) b z = ln tan y
x
c z = arctanx+yx−y d u = xy2z
8 Tính gần đúng
a A =q3
(1, 02)2 + (0, 05)2 b B = ln √3
1, 03 + √4
0, 98 − 1
9 Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau
a x3y− y3x = a4, tính y′ b x + y + z = ez, tính zx′, zy′
c arctanx+ya = ya, tính y’ d x3 + y3 + z3 − 3xyz = 0, tính zx ′, zy′
10 Cho u = x+z
y+z, tính ux′, uy′ biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi phương trình
zex = xex+ yey
11 Tìm đạo hàm của hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ
x+ y + z = 0
x2 + y2 + z2 = 1
12 Phương trình z2+ 2x = py2 − z2, xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh rằng
x2zx′ + 1yzy′ = 1z
13 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau
a z = 1
3
q
(x2 + y2)3 b z = x2ln(x + y) c z = arctany
x
3.3 Cực trị
14 Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau
a z = xy2 − x2y b z = 1
2(x 2 +y 2 )
15 Tìm cực trị của các hàm số sau
a z = x2 + xy + y2 + x − y + 1 b z = x + y − xey
c z = x2 + y2 − e−(x2+y2) d z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2
Trang 1016 Tìm cự trị có điều kiện
a z = 1
x + y1 với điều kiện 1
x 2 + y12 = a12
b z = xy với điều kiện x + y = 1
17 Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số
a z = x2y(4 − x − y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng
x= 0, y = 6, x + y = 6
b z = sin x + sin y + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = π
2, y = 0, y = π2
... > 0) ChươngTÍCH PHÂN 2 .1 Tích phân bất định
1 Tính tích phân
a R
1 − x1< /sup>2 px√
xdx b R √
1 − sin 2xdx
c... class="text_page_counter">Trang 10
16 Tìm cự trị có điều kiện
a z = 1< /small>
x + y1< /sup> với điều kiện 1< /small>... →∞
1< /small>
nα + nα+β1< /sup> + nα+2β1< /sup> + · · · + nα+(n? ?1) β1< /sup> ,(α, β > 0)
b