bài tập thể tích khối chóp tam giác

Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 CHƯƠNG I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC. ĐÁP ÁN BTVN BÀI 01: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP TAM GIÁC ĐỀU Bài 01: Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30 o . Tính thể tích hình chóp. Giải: Ta có : ( ) ( ) 0 ,( ) , 30 SH SAB SH SM MSH= = =    0 3 . tan 30 3 3 3 3 2 3. 2 3 1 1 1 3 . . .2 . 3 3 3 2 3 S ABC h h MH h CM h AB h h h V Bh h h h ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = == ⇒ = = = Bài 02: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45 o . Tính thể tích hình chóp SABC. Giải: Ta có SAB ∆ cân tại S và có 0 45 SAB SAB = ⇒ ∆  vuông ở S 2 AB a ⇒ = 2 2 2 2 3 3 6 6 2 6 2. . 2 2 2 3 3 6 3 3 3 1 3 1 6 . . . . 2 3 3 2 2 6 a a a AM a AO a a SO SO SA a a a a V a ⇒ = = ⇒ = =   ⇒ = − = − =       ⇒ = = Bài 03: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Mặt bên có góc ở đáy là α . Gọi O là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua SB vuông góc với ACcắtAC tại M. D là trung điểm của SA. Tính thể tích hình chóp . D SBM . Giải: Ta có: ( ) ( ) ( )SO AC Do SO ABC AC SBM SM AC  ⊥ ⊥  ⇒ ⊥  ⊥   Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang Page 2 of 4 Vậy qua D dựng ( ) / / DH AC H SM h DM ∈ ⇒ = Tam giác SAB cân có 2 2 2 2 2 2 . 3 2 2 3 2 cos 2 cos . 3 cos 2 2 3 cos 2 3 cos 9 12 cos 3 3 3 1 1 1 cos 1 . . . . 3 cos . 9 12 cos 3 3 3 2 2 3 3 os 9 12 cos 36 D SBM SMB SAB AB a AN a a a a a AO SO SA AO a a a V Bh DH S a a c α α α α α α α α α α α α ∆ = ⇒ = ⇒ = =   ⇒ = ⇒ = − = − = −       ⇒ = = = − = −  Bài 04: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SO =1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 .Điểm M,N là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng Tính V của hình chóp S.AMN. Giải: Trong hình chóp S.AMN ta có: ( ) 2 1 2 6 . 3 1 1 3 3 . 4 4 4 2 1 1 3 3 3 .1. 3 3 2 2 AMN ABC h SO B S S V Bh = =     = = = =  ⇒ = = =   Bài 05: (Đề số 2 - thi thử ĐH toán học tuổi trẻ - 2011) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng các giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m. Giải: Gọi M là trung điểm của BC ( ) AM BC BC SAM SM BC ⊥  ⇒ ⇒ ⊥  ⊥  Trong (SAM) dựng MN vuông góc với SA khi đó MN chính là đoạn vuông góc chung của SA và BC nên MN=m. Ta có: 2 2 2 2 3 4 a AN AM MN m = − = − Dựng đường cao SO của hình chóp ta có: Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang Page 3 of 4 2 2 2 2 2 3 . 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 3 4 1 1 2 3 3 . . . 3 3 4 3 3 4 6 3 4 S ABC ABC MN SO m SO ma SO AN AO a a a m m ma a ma V SO S a m a m = ⇔ = ⇒ = − − = = = − −  Bài 06: Cho 2 hình chóp tam giác đều có chung chiều cao, đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao góc α . Cạnh bên của hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc β . Tính thể tích phần chung của 2 hình chóp. Giải: Gọi hình chóp thứ nhất là O’ABC, hình chóp thứ hai là O.A’B’C’. Nhìn vào hình vẽ ta thấy phần chung của 2 hình chóp cần tính thể tích chinh là: Khối đa diện OMO’NP và ta có: ' ' ; OMO' ' 01 ' 02 ' ' ' V V O MNP V V OMNP V V V OMNP NP O MNP V V O ABC V V OA B C =   =   = +  =   =   Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: 3 01 3 02 ' ' ' ' . . ' ' ' ' ' . . ' ' ' ' V O M O N O P O M V O A O C O B O A V OM ON OP OM V OA OC OB OA    = =           = =       Xét hình thang vuông AA’O’O ta có: ' ' ' ' ' tan cot 1 ' ' 1 cot ' 1 1 cot tan cot cot 1 1 cot ' 1 1 tan cot cot cot O M k O M MA A O MA k MA OM AO OM MA k O M k O A k OM MA k α β β α β α β α α β α β  =   = = = = ⇒   =    = = =  + + +  ⇒   = = =  + + +  Bài 01:Thể tích hình chóp tam giác đều – CĐ Thể tích khối đa diện – Thầy Trịnh Hào Quang Page 4 of 4 ( ) ( ) 3 3 3 01 3 3 3 02 2 2 3 2 01 2 2 2 3 3 2 01 ' ' ' ' cot ' cot cot ' cot ' cot cot 1 1 3 3 os 3 sin os .OO'. . sin . 3 3 4 4 1 1 3 3 sin cot 3 sin cot .OO'. . sin . 3 3 4 4 co ' ABC A B C V O M V O A V OM V OA l c l c V S l l l V S l V V β α β α α β α α α α α β α β α    = =      +  ⇒     = =      +   = = =     = = =   ⇒ + =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 t 3 sin os cot 3 sin cot . . 4 4 cot cot cot cot 3 os cot 3 cot cot sin os os cot 1 cot 4 cot cot 4 cot cot os cot 3 . 4 cot cot cot l c l l l c c c lc β α α α α β α β α β α β β β α α α β α α β α β α β α α β + + +   = + = +     + + = + ====================Hết================== . hình thang vuông AA’O’O ta có: ' ' ' ' ' tan cot 1 ' ' 1 cot ' 1 1 cot tan cot cot 1 1 cot ' 1 1 tan cot. 3 cos 2 2 3 cos 2 3 cos 9 12 cos 3 3 3 1 1 1 cos 1 . . . . 3 cos . 9 12 cos 3 3 3 2 2 3 3 os 9 12 cos 36 D SBM SMB SAB AB a AN a a a a a AO SO SA AO a a