bài tập các hình chóp tam giác khác

Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI 04: CÁC HÌNH CHÓP TAM GIÁC KHÁC. Bài 1: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, BAC α =  , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α. Tính thể tích hình chóp S.ABC. Giải: - Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. - Ta có: 1 . .sin 2 ABC S AB AC α =  mà BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cosα = 2AB 2 (1 - cosα) = a 2 ⇒ AB = 2 cos1 α − a ⇒ 2 2 2 sin 1 1 2 2 2 1 cos 4 2 sin cos a a ABC S AB α α α α − = = =  HA = R = αα sin2sin2 aBC = Tan giác vuông có tan tan sin 2 cos SH a a SH AH α α α α = ⇒ = = 3 cot 2 1 1 2 . . cot . . 3 3 4 2 2 cos 24 cos a a a V S SH S ABC ABC α α α α = = = ∆ Bài 2: T ứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a. Tính thể tích tứ diện theo x. b. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất. Giải: a. Cách 1: Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4 ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ là trung điểm AB S∆ABC = xxxABCC x .4.4'. 2 4 1 42 1 2 1 2 −=−= HC = R∆ABC = 2 4 2 2 22 4 1 1.4 cossin4 sin2 x xx C x xx CC − − = = = ⇒Tam giác vuông HCD có: HD 2 = CD 2 - DC 2 = 2 2 2 4 3 4 1 1 x x x − − − =− ⇒ HD = 2 2 4 3 x x − − ⇒VABCD = 2 2 2 2 3 1 1 1 3 3 4 12 4 . . 4 . . 3 x x ABC x S HD x x x − ∆ − = − = − Cách 2: Gọi M là trung điểm của CD ⇒ CD ⊥ (ABM) Vì ∆ACD và ∆BCD đều ⇒ AM = BM = 2 3 VABCD = 2VCBMA = 2. 3 1 CM.S∆ABC = ABM S ∆ . 2 1 3 2 S∆ABM = 2 1 MC’.AB = 2 4 2 2 2 2 3 2 1 3)()(. xx xx −=+ VABCD = xxx x .33 2 12 1 2 43 1 −=− b. VABCD = 2 2 2 3 1 1 1 12 12 2 8 3 . . x x x x − + − ≤ = Dấu “=” xảy ra  x 2 = 3-x 3  x = 2 3 và thể tích lớn nhất là 8 1 . Bài 03: Cho t ứ di ệ n SABC l ấ y M, N thu ộ c c ạ nh SA, SB sao cho 2 1 = MA SM , 2= NB SN . M ặ t ph ẳ ng qua MN // SC chia t ứ di ệ n thành hai ph ầ n. Tính t ỉ s ố th ể tích hai ph ầ n này. Giải: D ễ th ấ y thi ế t di ệ n là hình thang MNEF (v ớ i MF // NE) Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 4 Đặt V = VSABC, V 1 = VMNEFCS, V 2 = VMNEFAB V 1 = VSCEF + VSFME + VSMNE 9 2 3 2 3 1 === CB CE CA CF V V SCEF 3 1 . === SA SM SA SE SE SM V V SFEA SFME 9 4 ==== CB CE CA FA S S S S S S V V ABC CEA CEA FEA ABC FEASFEA ⇒ V V V SFME 27 4 9 4 3 1 . == 9 2 . == SB SN SA SM V V SABE SMNE 3 1 ==== CB CE CE EB S S S S S S V V ABC CEA CEA ABE ABC ABE SABE ⇒V SABE = 2 27 V ⇒ V 1 = 2 9 V + 4 27 V + 2 27 V = 4 9 V 1 4 5 2 V V ⇒ = Bài 04: Cho hình chóp SABC có tất cả các góc phẳng ở đỉnh A và B của tam diện đều bằng α. AB = a. Tính thể tích hình chóp SABC. Giải: - Dễ thấy∆ SAB, ∆CAB là các tâm giác cân tại S và C - Gọi E là trung điểm AB ( ) AB SE AB SCE AB CE ⊥  ⇒ ⇒ ⊥  ⊥  ⇒VSABC = VASEC + VBSEC = 3 1 S∆SEC.(AE+BE) = 3 1 S∆SEC.AB ∆SEC cân tại E vì ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gọi F là trung điểm SC ⇒ EF SC ⊥ ∆SBC cân tại B vì BC =BS (Vì ∆SAB = ∆CAB) FS = FC ⇒  FBC = 3 α Tam giác vuông EBC có CE = 2 tan α α Bài 04: Các hình chóp tam giác khác – CĐ Thể tích khối đa diện - Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4 Tam giác vuông FBC có BC = 22 EBCE + 2 ( ) cos cos 2cos a a EB α α α = = = Sin 2 α = BC FC ⇒ FC = BC sin 2 α = 2cos2 sin. α α a Tam giác vuông EFC có EF 2 = EC 2 - FC 2 = ( ) 2 2 sin 2 2 2 2 2 2 1 4 2 4 2 2 4cos cos tan sin sin a a a α α α α α α − = − S∆SEC = 2 1 EF.SC = EF.FC = 2cos22 22 cos2 sin sinsin α α α α α aa − = 2 22 2 cos2 sinsin.sin. 2 2 αα α α − a Vậy VSABC = 2 22 2 cos12 3 sinsin.sin. 2 αα α α − a ====================Hết================== Giáo viên: Trịnh Hào Quang Nguồn: Hocmai.vn . là trung điểm AB S∆ABC = xxxABCC x .4. 4'. 2 4 1 42 1 2 1 2 −=−= HC = R∆ABC = 2 4 2 2 22 4 1 1 .4 cossin4 sin2 x xx C x xx CC − − = = = ⇒Tam. HD 2 = CD 2 - DC 2 = 2 2 2 4 3 4 1 1 x x x − − − =− ⇒ HD = 2 2 4 3 x x − − ⇒VABCD = 2 2 2 2 3 1 1 1 3 3 4 12 4 . . 4 . . 3 x x ABC x S HD x x x − ∆ − =