Tài liệu tổng hợp các bài tập Giải tích 2 bao gồm các nội dung: hàm nhiều biến số; tích phân bội; tích phân đường và tích phân mặt; phương trình vi phân.
BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2 CHƯƠNG I. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau: a) b) Bài 2. Tìm giới hạn trong các trường hợp: a) b) c) d) Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm đã cho: a) tại điểm (0,0) b) tại điểm (0,0) c) tại điểm (0,0) d) tại điểm (0,0) e) tại điểm (0,0) f) tại điểm (0,0) g) tại điểm (0,0) Bài 4. Tìm các đạo hàm riêng của hàm số a) b) Bài 5. Cho hàm số . Tính bằng định nghĩa. Hàm số có khả vi tại điểm O(0,0) hay khơng? Bài 6. Chứng minh rằng hàm số liên tục taị điểm O(0,0), có cả hai đạo hàm riêng , nhưng khơng khả vi tại điểm này Bài 7. Khảo sát tính khả vi của hàm số tại điểm (0,0) Bài 8. Cho hàm số . Tính Bài 9. Ứng dụng cơng thức số gia và vi phân tồn phần để tính gần đúng a) c) b) d) Bài 10. Cho là hàm số xác định bởi hệ thức trong đó a, b là hằng số, F là hàm khả vi. Tìm biểu thức Bài 11. Giả sử là các hàm khả vi. Đặt và . Chứng minh rằng a) b) Bài 12. Cho hàm số xác định từ phương trình (trong đó là hàm khả vi theo . Chứng minh rằng Bài 13. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tính biết Bài 14. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm a) biết là hàm ẩn xác định từ ; b) biết là hàm ẩn xác định từ ; c) biết là hàm ẩn xác định từ Bài 15. Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số a) b) c) Bài 16. Tìm đạo hàm của u tại điểm A trong đó a) theo hướng và điểm A(1,2,2). Tìm b) theo hướng tại điểm A(1,3,0) c) với A (1,1,1) theo hướng , trong đó N(3,2,3) Bài 17. a) Khai triển hàm số thành cơng thức Taylor trong lân cận điểm (1,2) b) Khai triển hàm số thành cơng thức Macloranh đến các số hạng cấp bốn. Bài 18. Tìm cực trị của hàm số sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Bài 19. Tìm cực trị có điều kiện a) thỏa mãn điều kiện b) thỏa mãn điều kiện c) thỏa mãn điều kiện d) thỏa mãn điều kiện e) thỏa mãn điều kiện Bài 20. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên miền đóng D a) , trong đó D là với A(0,0), B(0,6), C(6,0) b) c) d) e) Đáp án chương I 1.a) trừ những điểm trên Ox; b) trừ gốc tọa độ O 2.a) Khơng tồn tại; b) 4; c) Không tồn tại; 3.a) Liên tục; b) Không liên tục; c) liên tục; g) không liên tục. d) 0 d) không liên tục; e) Liên tục; f) không liên tục. 4. a) b) 5. . Hàm số không khả vi tại (0,0) 7. Hàm số khả vi tại điểm (0,0) 8. 9. a) 2,95 b) 1,0129 c) 2,0327 d) 1,08 10. 1 13. 14. a) b) 16. a) c) b) c) 17. a) b) 18. a) Cực đại b) Cực đại d) Cực tiểu c) Cực tiểu e) Cực tiểu; (0,0) không là cực trị f) Cực tiểu (1;1), (1;1); (0,0) không là cực trị h) Cực đại ; (0, 0) không là cực trị 19. a) Cực tiểu (1;0;1) c) cực tiểu , cực đại e) Cực đại (1;1;1) 20. a) b) c) d) e) g) (1;0) khơng là cực trị i) là cực tiểu; (3;1) khơng là cực trị b) cực tiểu , cực đại d) cực đại (2;2;1), cực tiểu (2;2;1) CHƯƠNG II. TÍCH PHÂN BỘI Bài 1. Tính tích phân kép sau trên miền D được chỉ ra a) với D được giới hạn bởi b) với D được giới hạn bởi c) d) e) với D được giới hạn bởi f) với D được giới hạn bởi Bài 2. Đổi thứ tự lấy tích phân rồi tính các tích phân sau a) b) Bài 3. Dùng phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau a) trong đó D là hình giới hạn bời các đường thẳng b) trong đó D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các đường thẳng y=x, y=3x và các hypebol xy=1, xy=3 c) Bài 4. Dùng cơng thức đổi biến chứng minh rằng a) b) Bài 5 Dùng đổi biến tọa độ cực tính các tích phân sau a) b) c) d) trong đó D là miền nằm trong góc phần tư thứ nhất bị chặn bởi 2 đường trịn e) ; f) ; g) Bài 6. Dùng tích phân hai lớp tính diện tích của các hình phẳng a) Giới hạn bởi b) Nằm trong cả hai đường trịn và c) Bị chặn bởi các đường cong d) Giới hạn bởi đường cong (L): e) Giới hạn bởi đường cong (L): Bài 7. Tính diện tích của mặt cong a) Là giao của các mặt trụ b) Là phần mặt cầu nằm trong hình trụ c) Là phần mặt nằm trong hình trụ d) Là phần mặt paraboloid nằm trên miền trong góc phần tư thứ nhất (của mặt Oxy) giới hạn bởi các đường và Bài 8. Tính thể tích V của vật thể a) Giới hạn bởi mặt trụ và mặt cầu b) Xác định bởi các bất đẳng thức c) Trên mặt nón và nằm dưới mặt cầu d) Trên mặt nón và nằm dưới mặt cầu e) Bị chặn bởi các paraboloid và f) Bị chặn bởi paraboloid và mặt phẳng g) Giới hạn bởi các mặt cong và h) Giới hạn bởi các mặt có phương trình i) Bị chặn bởi hai hình trụ và Bài 9. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt đóng a) b) Bài 10. Tính các tích phân bội ba sau a) trong đó V là miền được giới hạn bởi mặt phẳng b) trong đó V là miền được giới hạn bởi c) d) trong đó V giới hạn bởi (Oxy) và hai nửa mặt cầu và e) trong đó V là vật thể bị chặn bởi (Oxy) và mặt nón f) trong đó V là vật thể nằm trong mặt cầu và trên mặt nón g) trong đó V là vật thể giới hạn bới mặt trụ h) ; i) trong đó V là vật thể giới hạn bới j) k) ; CHƯƠNG III. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Bài 1. Tính tích phân đường loại một sau a) với L là đường b) với L là đoạn thẳng nằm giữa hai điểm A(0;2) và B(4;0) c) với L là đường trịn d) với L là nửa đường trịn chạy từ đến e) với L là đường Bài 2. Tính các tích phân đường loại hai sau: a) trong đó L là đường gấp khúc OAB với O(0,0); A(2,0); B(3,2) b) trong đó L là cung nối O(0,0) với A(1,1) theo đường i) ii) iii) gấp khúc OBA với B(0,1) Bài 3. Chứng minh rằng tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân trong miền đơn liên, liên thơng . Tính I nếu AB là đường bất kỳ khơng cắt Ox đi từ A(0,0) tới B(1,1) Bài 4. Chứng minh rằng tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân. Tính I nếu C là đường bất kỳ nối A(1,0) tới (5,1) Bài 5. Tính tích phân sau theo hai cách: trực tiếp và dùng cơng thức Green: a) với L là hình chữ nhật OABC với O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3) b) với L là cung nối A(0,a) đến B(0,a) trong đó a>0 Bài 6. Dùng cơng thức Green tính các tích phân sau a) trong đó C là đường trịn lấy theo chiều ngược kim đồng hồ b) với L là cung trịn lấy theo chiều tăng của t: c) với L là nửa đường trịn đi từ O(0,0) đến A(0,2) d) trong đó L là đường trịn lấy theo chiều dương e) với L là đường cong chạy từ đến O(0,0) Bài 7. Tính các tích phân mặt loại một sau: a) với S là phần mặt paraboloid nằm dưới mặt phẳng b) trong đó S là phần mặt cầu c) với S là phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng d) Tính tích phân mặt: trong đó S là phần mặt nón trịn xoay bị chắn giữa hai mặt trụ và Bài 8. Tính các tích phân mặt loại hai sau: a) trong đó S là phía ngồi của mặt nón (khơng kể đáy) b) trong đó S là phần mặt cầu nằm ở góc phần tám thứ nhất và hướng ra ngồi c) trong đó S là mặt xung quanh của tứ diện giới hạn bới các mặt phẳng và mặt và hướng ra phía ngồi d) trong đó S là phía ngồi của mặt cầu Bài 9. Dùng định lý Stokes tính các tích phân sau: a) trong đó L là elip giao bởi mặt trụ và mặt phẳng (a>0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Oz nhìn xuống. b) trong đó L là đường trịn lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên c) trong đó L là đường cong có hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ bên trên Bài 10. Dùng cơng thức Ostrogradski – Gauss đề tính các tích phân sau: a) với S là phía ngồi của nửa mặt cầu (khơng kể phần hình trịn nằm trong mặt phẳng Oxy) b) có S là mặt xung quanh của khối trụ (khơng kể hai đáy) hướng ra ngồi c) có S là mặt xung quanh của khối trụ (khơng kể hai đáy) hướng ra ngồi d) với S là mặt nón khơng kể đáy và hướng ra ngồi e) có S là mặt cầu hướng ra ngồi f) có S là mặt cầu hướng ra ngồi g) trong đó S là mặt ngồi của vật thể V giới hạn bởi: ; h) có S là phía ngồi của mặt nằm trong góc phần tám thứ nhất tạo nên bởi mặt và các mặt phẳng tọa độ x=0,y=0,z=0 CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 1. Giải các phương trình tách biến sau: a) b) c) d) Bài 2. Giải các phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) sau: a) b) c) d) e) f) Bài 3. Giải các phương trình đưa được về phương trình thuần nhất sau: a) b) c) Bài 4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau: a) b) c) d) e) Bài 5. Giải các phương trình vi phân Bernoulli: 10 a) b) c) d) e) Bài 6. Giải các PTVP tồn phần sau: a) b) c) Bài 7. Giải các PTVP dùng thừa số tích phân sau: a) b) c) d) e) f) Bài 8. Tìm nghiệm riêng của PTVP sau thỏa mãn điều kiện đã cho: a) b) c) Bài 9. Giải các PTVP sau bằng phương pháp hệ số bất định: a) b) c) d) 11 e) f) g) h) i) j) Bài 10. Giải các PTVP sau bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange: a) b) c) d) Bài 11. Giải các phương trình Euler sau: a) b) c) Bài 12. Giải phương trình bằng phép đổi hàm Đáp số. Bài 13. Giải các hệ PTVP sau: a) a) 12 b) b) c) c) ... c) Bài? ?4.? ?Giải? ?các phương trình vi phân tuyến tính sau: a) b) c) d) e) Bài? ?5.? ?Giải? ?các phương trình vi phân Bernoulli: 10 a) b) c) d) e) Bài? ?6.? ?Giải? ?các PTVP tồn phần sau: a) b) c) Bài? ?7.? ?Giải? ?các PTVP dùng thừa số? ?tích? ?phân sau:... j) Bài? ?10.? ?Giải? ?các PTVP sau bằng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange: a) b) c) d) Bài? ?11.? ?Giải? ?các phương trình Euler sau: a) b) c) Bài? ? 12. ? ?Giải? ?phương trình bằng phép đổi hàm Đáp số. Bài? ?13.? ?Giải? ?các hệ PTVP sau:... với D được giới hạn bởi f) với D được giới hạn bởi Bài? ?2. Đổi thứ tự lấy? ?tích? ?phân rồi tính các? ?tích? ?phân sau a) b) Bài? ?3. Dùng phép đổi biến thích? ?hợp, tính các? ?tích? ?phân sau a) trong đó D là hình giới hạn bời các đường thẳng