Tài liệu cung cấp với 20 bài tập Toán cơ sở kèm theo phương pháp, hướng dẫn và câu trả lời. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung các bài tập.
TỔNG HỢP BÀI TẬP TỐN CƠ SỞ (THẦY HỒNG) CÂU HỎI THẢO LUẬN Nội dung Câu 1: Xây dựng một mơ hình hóa tốn học từ một nội dung thực tiễn trong chương trình tốn phổ thơng Câu 2: Lấy ví dụ về mở rộng bài tốn theo các con đường: Khái qt hóa, Tương tự hóa, đặc biệt hóa, con đường khác Câu 3: So sánh hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Pogorelov, hệ tiên đề hình học phổ thơng Câu 4: Hệ tiên đề phổ thơng được thể hiện như thế nào trong SGK phổ thơng Câu 5: Xác định và trình bày lời giải của các dạng tốn 1, 2, 3 (trang 69) trong phương trình hàm Câu 6: Phân tích cấu trúc logic của chương trình tốn phổ thơng Câu 7: So sánh chương trình tốn hiện hành với chương trình tốn sau 2019 Câu 8: Nêu những sai lầm về logic thường gặp học sinh khi học khái niệm. Phân tích ngun nhân những sai lầm này bằng logic tốn Câu 9: Nêu những sai lầm về logic thường gặp ở học sinh khi học định lí. Phân tích ngun nhân những sai lầm này bằng logic tốn Câu 10: Nêu những sai lầm về logic thường gặp học sinh khi giaỉ bài tập tốn. Phân tích ngun nhân những sai lầm này bằng logic tốn Câu 11: Dùng cơng thức của đại số vị từ để diễn đạt các định lí trong mơn tốn phổ thơng Câu 12: Xây Dựng một mơ hình Tốn học theo quy trình 7 bước Trang 10 22 30 41 46 58 66 71 74 84 86 Câu 13: Cơ sở định nghĩa phép nhân sô t ́ ự nhiên qua phép cộng các số hạng bằng nhau Câu 14: Vấn đề thực tiễn được phản ảnh trong các kiến thức: Cấp số cộng, cấp số nhân, hàm số, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, quan hệ ánh xạ 89 90 Câu 15: Vận dụng các phép suy luận logic trong dạy học định lí 95 Câu 16: Chứng minh nếu Q là tập đếm được thì QxQ là tập đếm được 104 Câu 17: Chứng minh một số định lý hình học 10; 11; 12 dựa trên tiên đề hình học phổ thơng Câu 18: Quan điểm hàm số trong chương trình Tốn phổ thơng? Thực hiện dạy học một nội dung của chương trình Tốn phổ thơng theo quan điểm hàm số? Câu 19: Cơ sở logic của chương trình tốn 10;11;12. So sánh mục tiêu nội dung chương trình hiện hành với chương trình mới sau 2019 Câu 20: Chứng minh một số định lý giải tích 11, 12 theo ngơn ngữ khơng gian topo, khơng gian metric và ngơn ngữ tốn phổ thơng? 104 105 110 117 Câu 1. Xây dựng một mơ hình hóa tốn học từ một nội dung thực tiễn trong chương trình tốn phổ thơng Nhóm 1 Bước 1: Vấn đề thực tiễn. Nhân dịp mừng xn Mậu tuất 2018, nhiều quận (huyện) của các tỉnh thành đều có trang trí một cái cổng để mừng năm mới. Ở một huyện X, thiết kế một cái cổng như hình vẽ sau với chiều rộng là 8m, chiều cao là 3,5m. Xác định đường cong thiết kế cổng và tính diện tích phần xe đi qua giới hạn bởi cổng và mặt đất 3,5m 8m Bước 2: Lập giả thuyết Các tham số xuất hiện trong bài tốn là chiều rộng, chiều cao của cổng và đường cong có dạng hình parabol Bước 3: Xây dựng bài tốn. Trong măt phẳng Oxy, Chọn O(0; 0), A(4; 3,5), B(8; 0) như hình vẽ A y 3,5m A O 8m x a. Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c đi qua O, A, B b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (P), trục hồnh và 2 đường thẳng x = 0, x = 8 Bước 4: Giải bài tốn a. Vì (P) đi qua O, A, B nên ta có hệ phương trình Vậy (P) b. Diện tích hình phẳng cần tìm là Bước 5: Hiểu lời giải bài tốn Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn, ta cần xác định được đường cong có dạng hình parabol, để xác định được đường cong parabol ta cần chọn hệ trục tọa độ phù hợp Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình Thực tế việc thiết kế có dạng đường cong ứng dụng rất nhiều trong thực tế và chọn số liệu phù hợp để ít tốn chi phí Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn Nhóm 2 Việc vận dụng kiến thức tốn học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn và ngược lại là một vấn đề quan trọng trong dạy và học tốn ở trường phổ thơng. Điều này giúp học sinh càng say mê học tốn từ đó kết quả của việc giảng dạy sẽ thu được nhiều kết quả mong muốn. Do đó, một vấn đề được đặt ra là dạy học tốn nên quan tâm những ví dụ xuất phát từ thực tế giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa tốn học và cuộc sống thường ngày. Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh kết nối tốn học với thế giới thực Ví dụ: a/ Thực tế : Tính chiều cao cổng dạng Parabol b/ Tốn học : Xác định Parabol y ax bx c a biết Parabol đi qua 3 điểm Bước 1 : Tìm hiểu vấn đề thực tiễn Rất nhiều cơng trình kiến trúc, biểu tượng Việt Nam nói riêng và trên cả thế giới được thiết kế dạng hình Parabol Vấn đề đặt ra là làm thế nào để đo được chiều cao cổng Acxơ khi khơng đo đạc trực tiếp, vì cổng cao sẽ gây nguy hiểm khi đo đạc Bước 2 : Lập giả thuyết Đo đạc khoảng cách của 2 trụ cổng Tìm 3 điểm nằm trên cổng và có tọa độ (các độ dài đo được) Bước 3 : Xây dựng bài tốn Bài tốn trên thực tế chúng ta gắn hình ảnh cổng Acxơ đó vào một phương trình của hàm số bậc hai dạng y ax bx c a và từ đó sẽ tìm được tọa độ đỉnh của b ; Parabol là S a 4a Bước 4 : Giải bài toán Đơn giản vấn đề : Chọn hệ trục tọa độ xy sao cho gốc tọa độ 0 trùng một chân của cổng (như hình vẽ) y M B O x Như vậy vấn đề được giải quyết nếu ta biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm đồ thị Phương án giải quyết : Ta biết hàm số bậc hai có dạng: y = ax + bx + c Do vậy muốn biết được đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị chẳng hạn 0, B, M. Rỏ ràng 0(0;0); M ( x; y ); B(b;0) Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cấn thiết Đối với trường hợp này ta cần đo: Khoảng cách giữa hai chân cổng, và một điểm M bất kỳ chẳng hạn b 162; x 10; y 43 Ta viết được hàm số bậc hai lúc này là : y 43 x 1320 3483 x 700 Đỉnh : S(81m;185,6m) Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Bước 5 : Hiểu lời giải bài tốn. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m Bước 6 : Kiểm nghiệm mơ hình tế Nếu đo đạc thật sự chính xác (đo đạc với sai số nhỏ) thì kết quả sẽ đúng với thực Bước 7 : Thơng báo, giải thích, dự đốn ứng dụng : Xác định a, b, c biết parabol y ax bx c a a/ Đi qua ba điểm A(0 ;1), B(1 ;1), C(1 ;1) b/ Có đỉnh I(1 ;4) và đi qua điểm D(3 ;0) ( Sách Đại Số 10 – NXBGD trang 51) Trên đây là một mơ hình hóa tốn học xuất phát từ thực tiễn mà chúng ta hay bắt gặp hằng ngày khi đi trên đường, trong cuộc sống thường nhật mà kiến thức tốn học sơ cấp thuần túy đã giải quyết một cách trọn vẹn giúp cho học sinh có cái nhìn sinh động hơn về tốn học và sức mạnh của nó. Nhóm 3 Ví dụ về Bài tốn mơ hình hóa Người ta cần thiết kế một lối đi vào một khu rừng ngun sinh để phục vụ khách du lịch. Để đến được bìa rừng, người ta cần làm một đường đi xe đạp qua một cơng viên, sau khi gửi xe, khách du lịch phải đi bộ qua một khu đất trống đến phòng hướng dẫn viên. Em hãy thiết kế một phương án để làm hai đoạn đường đó Để tổ chức hoạt động MHH bài tốn này, ta thực hiện theo quy trình gồn 7 bước như sau: * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn. Đây là bài tốn mở, các điều kiện ban đầu của bài tốn chưa rõ ràng. Do vậy, trước hết GV đã tổ chức cho học sinh suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa bài tốn. GV hướng dẫn học sinh liệt kế các từ khóa: cơng viên, khu đất trống, xe đạp, đi bộ, đoạn đường. Để hiểu được vấn đề, học sinh có thể sử dụng một sơ đồ hoặc vẽ một bản phác thảo để biểu diễn cho tình huống * Bước 2: Lập giả thiết: Học sinh cần phải thực hiện một số giả thiết và thu thập thơng tin như: • Kích thước của cơng viên và khu đất trống; • Tốc độ đi bộ trung bình và tốc độ đi xe đạp; • Giới hạn tốc độ khi đi xe đạp trong cơng viên; • Mục tiêu thiết kế (ví dụ: con đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.) * Bước 3: Xây dựng bài tốn: Hs cần phải xác định các khái niệm tốn học liên quan trước khi xây dựng các mơ hình. Trong trường hợp này, các vấn đề liên quan đến các khái niệm về khoảng cách, tốc độ và thời gian Việc xây dựng các mơ hình tốn học sẽ phụ thuộc vào các giả thiết đặt ra. Ví dụ, nếu học sinh sử dụng thời gian tối thiểu là mục tiêu thiết kế, biểu thức cho thời gian sẽ là như sau: Tổng thời gian di chuyển: T Hình 1 cho thấy một bức phác họa có thể tượng trưng cho các sơ đồ với các giả định sau đây: Hình dạng cho cơng viên và khu đất trống là hình chữ nhật Kích thước và tốc độ được dựa trên thơng tin từ internet Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu D F C G Tốc độ đi bộ 1m/s 200m Công viên Khu đất trống 200m Tốc độ xe đạp 5m/s A E 300m 150m B Hình 1: Phác họa tượng trưng cho bài tốn thực tiễn * Bước 4: Giải bài tốn Học sinh có thể sử dụng phần mềm hình học động như GSP để di chuyển điểm G đến vị trí khác nhau và đo khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của G mà tại đó cho ta giá trị nhỏ nhất về thời gian Học sinh có thể xây dựng một biểu thức khoảng cách bằng cách sử dụng định lý Pythago và xây dựng các hàm thời gian 2 2 Tổng thời gian di chuyển, T = 300 + (200 − x) + 150 + x , x kí hiệu cho khoảng cách FG Học sinh có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ hoặc phầm mềm Excel để giúp họ tìm giá trị của x, tương ứng với giá trị tối thiểu của T. Sử dụng bảng tính Excel, Hs có bảng một số giá trị sau: x (mét) 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 16 T (giây) 221,237 221,237 221,237 221,237 221,237 221,237 221,2373 * Bước 5: Hiểu lời giải bài tốn: Từ kết quả ta thấy, thời gian tối thiểu là 221,2371s 3,69 phút, khi mà x = 15,7 (m) hoặc x = 15,8 (m) * Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình Sau khi tìm thấy vị trí của nơi để xe đạp, học sinh cần phải kiểm tra xem nó là khả thi để xây dựng nơi để xe đạp tại vị trí thực tế hay khơng và xem xét nếu có bất kỳ hạn chế khác nào khơng Học sinh có thể xem xét các giả thiết của mình Cơng viên có thể là hình tròn? Điều gì xảy ra nếu cơng viên và các khu đất trống là đa giác khơng đều? Phương pháp của Hs có thể áp dụng trong mọi trường hợp hay khơng? Thiết kế có phù hợn thực tế? Hs có thể khảo sát người dân để tìm hiểu xem mọi người muốn có một giải pháp làm tối thiểu thời gian hoặc họ thích đi bộ với khoảng cách ngắn nhất để thay thế? Cơng việc này thực sự có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau. Học sinh có thể suy nghĩ về bài tốn mà mình đã sử dụng để giải quyết các vấn đề và liệu có những phần mềm mạnh hơn có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này hay khơng * Bước 7: Thơng báo, giải thích dự đốn: Thơng báo do nhóm hoặc đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm và năng lực giải quyết vấn đề của từng nhóm. Từ đó GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngơn ngữ và các cơng cụ tốn học để mơ tả các ý tưởng Tốn học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn. ... tổ chức hoạt động MHH bài tốn này, ta thực hiện theo quy trình gồn 7 bước như sau: * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn. Đây là bài tốn mở, các điều kiện ban đầu của bài tốn chưa rõ ràng. Do vậy,... D F C G Tốc độ đi bộ 1m/s 200m Cơng viên Khu đất trống 200m Tốc độ xe đạp 5m/s A E 300m 150m B Hình 1: Phác họa tượng trưng cho bài tốn thực tiễn * Bước 4: Giải bài tốn Học sinh có thể sử dụng phần mềm hình học động như GSP để di chuyển điểm G ... Học sinh có thể xem xét các giả thiết của mình Cơng viên có thể là hình tròn? Điều gì xảy ra nếu cơng viên và các khu đất trống là đa giác khơng đều? Phương pháp của Hs có thể áp dụng trong mọi trường hợp hay khơng?