Tổng hợp bài tập Toán cơ sở

Tài liệu cung cấp với 20 bài tập Toán cơ sở kèm theo phương pháp, hướng dẫn và câu trả lời. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung các bài tập.

TỔNG HỢP BÀI TẬP TỐN CƠ SỞ (THẦY HỒNG) CÂU HỎI THẢO LUẬN Nội dung Trang Câu 1: Xây dựng mơ hình hóa tốn học từ nội dung thực tiễn chương trình tốn phổ thơng Câu 2: Lấy ví dụ mở rộng tốn theo đường: Khái quát hóa, Tương tự hóa, đặc biệt hóa, đường khác 10 Câu 3: So sánh hệ tiên đề Hilbert, hệ tiên đề Pogorelov, hệ tiên đề hình học phổ thơng 22 Câu 4: Hệ tiên đề phổ thông thể SGK phổ thơng 30 Câu 5: Xác định trình bày lời giải dạng toán 1, 2, (trang 69) phương trình hàm 41 Câu 6: Phân tích cấu trúc logic chương trình tốn phổ thơng 46 Câu 7: So sánh chương trình tốn hành với chương trình tốn sau 2019 58 Câu 8: Nêu sai lầm logic thường gặp học sinh học khái niệm Phân tích nguyên nhân sai lầm logic toán 66 Câu 9: Nêu sai lầm logic thường gặp học sinh học định lí Phân tích nguyên nhân sai lầm logic toán 71 Câu 10: Nêu sai lầm logic thường gặp học sinh giaỉ tập tốn Phân tích ngun nhân sai lầm logic tốn 74 Câu 11: Dùng cơng thức đại số vị từ để diễn đạt định lí mơn tốn phổ thơng 84 Câu 12: Xây Dựng mơ hình Tốn học theo quy trình bước 86 Câu 13: Cơ sở định nghĩa phép nhân số tự nhiên qua phép cộng số hạng 89 Câu 14: Vấn đề thực tiễn phản ảnh kiến thức: Cấp số cộng, cấp số nhân, 90 hàm số, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự, quan hệ ánh xạ Câu 15: Vận dụng phép suy luận logic dạy học định lí 95 Câu 16: Chứng minh Q tập đếm QxQ tập đếm 104 Câu 17: Chứng minh số định lý hình học 10; 11; 12 dựa tiên đề hình học phổ thơng Câu 18: Quan điểm hàm số chương trình Tốn phổ thông? Thực dạy học nội dung chương trình Tốn phổ thơng theo quan điểm hàm số? Câu 19: Cơ sở logic chương trình tốn 10;11;12 So sánh mục tiêu nội dung chương trình hành với chương trình sau 2019 Câu 20: Chứng minh số định lý giải tích 11, 12 theo ngơn ngữ không gian topo, không gian metric ngôn ngữ tốn phổ thơng? 104 105 110 117 Câu Xây dựng mơ hình hóa tốn học từ nội dung thực tiễn chương trình tốn phổ thơng Nhóm Bước 1: Vấn đề thực tiễn Nhân dịp mừng xuân Mậu tuất 2018, nhiều quận (huyện) tỉnh thành có trang trí cổng để mừng năm Ở huyện X, thiết kế cổng hình vẽ sau với chiều rộng 8m, chiều cao 3,5m Xác định đường cong thiết kế cổng tính diện tích phần xe qua giới hạn cổng mặt đất 3,5m 8m Bước 2: Lập giả thuyết Các tham số xuất toán chiều rộng, chiều cao cổng đường cong có dạng hình parabol Bước 3: Xây dựng toán Trong măt phẳng Oxy, Chọn O(0; 0), A(4; 3,5), B(8; 0) hình vẽ A y 3,5m A O 8m x a Xác định parabol (P): y = ax2 + bx + c qua O, A, B b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (P), trục hoành đường thẳng x = 0, x = Bước 4: Giải tốn a Vì (P) qua O, A, B nên ta có hệ phương trình  Vậy (P) b Diện tích hình phẳng cần tìm Bước 5: Hiểu lời giải tốn Để tính diện tích hình phẳng giới hạn, ta cần xác định đường cong có dạng hình parabol, để xác định đường cong parabol ta cần chọn hệ trục tọa độ phù hợp Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình Thực tế việc thiết kế có dạng đường cong ứng dụng nhiều thực tế chọn số liệu phù hợp để tốn chi phí Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn Nhóm Việc vận dụng kiến thức tốn học vào giải vấn đề thực tiễn ngược lại vấn đề quan trọng dạy học tốn trường phổ thơng Điều giúp học sinh say mê học tốn từ kết việc giảng dạy thu nhiều kết mong muốn Do đó, vấn đề đặt dạy học tốn nên quan tâm ví dụ xuất phát từ thực tế giúp học sinh thấy mối liên hệ toán học sống thường ngày Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh kết nối tốn học với giới thực Ví dụ: a/ Thực tế : Tính chiều cao cổng dạng Parabol b/ Toán học : Xác định Parabol y = ax + bx + c( a ≠ ) biết Parabol qua điểm Bước : Tìm hiểu vấn đề thực tiễn Rất nhiều cơng trình kiến trúc, biểu tượng Việt Nam nói riêng giới thiết kế dạng hình Parabol Vấn đề đặt làm để đo chiều cao cổng Acxơ không đo đạc trực tiếp, cổng cao gây nguy hiểm đo đạc Bước : Lập giả thuyết - Đo đạc khoảng cách trụ cổng Tìm điểm nằm cổng có tọa độ (các độ dài đo được) Bước : Xây dựng toán Bài toán thực tế gắn hình ảnh cổng Acxơ vào phương trình hàm số bậc hai dạng y = ax + bx + c( a ≠ 0) từ tìm tọa độ đỉnh Parabol ∆  b S  − ;−   a 4a  Bước : Giải toán Đơn giản vấn đề : Chọn hệ trục tọa độ xy cho gốc tọa độ trùng chân cổng (như hình vẽ) y M B x O Như vấn đề giải ta biết hàm số bậc hai nhận cổng Acxơ làm đồ thị Phương án giải : Ta biết hàm số bậc hai có dạng: y = ax + bx + c Do muốn biết đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị ta cần biết tọa độ điểm nằm đồ thị chẳng hạn 0, B, M Rỏ ràng 0(0;0); M ( x; y ); B(b;0) Ta phải tiến hành đo đạc để nắm số liệu cấn thiết Đối với trường hợp ta cần đo: Khoảng cách hai chân cổng, điểm M chẳng hạn b = 162; x = 10; y = 43 Ta viết hàm số bậc hai lúc : y = − 43 3483 x + x 1320 700 Đỉnh : S(81m;185,6m) Vậy trường hợp cổng cao 185,6m Bước : Hiểu lời giải toán Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m Bước : Kiểm nghiệm mơ hình Nếu đo đạc thật xác (đo đạc với sai số nhỏ) kết với thực tế Bước : Thơng báo, giải thích, dự đốn ứng dụng : Xác định a, b, c biết parabol y = ax + bx + c( a ≠ 0) a/ Đi qua ba điểm A(0 ;-1), B(1 ;-1), C(-1 ;1) b/ Có đỉnh I(1 ;4) qua điểm D(3 ;0) ( Sách Đại Số 10 – NXBGD trang 51) Trên mơ hình hóa tốn học xuất phát từ thực tiễn mà hay bắt gặp ngày đường, sống thường nhật mà kiến thức toán học sơ cấp túy giải cách trọn vẹn giúp cho học sinh có nhìn sinh động tốn học sức mạnh Nhóm Ví dụ Bài tốn mơ hình hóa Người ta cần thiết kế lối vào khu rừng nguyên sinh để phục vụ khách du lịch Để đến bìa rừng, người ta cần làm đường xe đạp qua công viên, sau gửi xe, khách du lịch phải qua khu đất trống đến phòng hướng dẫn viên Em thiết kế phương án để làm hai đoạn đường Để tổ chức hoạt động MHH toán này, ta thực theo quy trình gồn bước sau: * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn Đây toán mở, điều kiện ban đầu toán chưa rõ ràng Do vậy, trước hết GV tổ chức cho học sinh suy nghĩ thảo luận số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa tốn GV hướng dẫn học sinh liệt kế từ khóa: cơng viên, khu đất trống, xe đạp, bộ, đoạn đường Để hiểu vấn đề, học sinh sử dụng sơ đồ vẽ phác thảo để biểu diễn cho tình * Bước 2: Lập giả thiết: Học sinh cần phải thực số giả thiết thu thập thơng tin như: • Kích thước cơng viên khu đất trống; • Tốc độ trung bình tốc độ xe đạp; • Giới hạn tốc độ xe đạp cơng viên; • Mục tiêu thiết kế (ví dụ: đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.) * Bước 3: Xây dựng toán: Hs cần phải xác định khái niệm tốn học liên quan trước xây dựng mơ hình Trong trường hợp này, vấn đề liên quan đến khái niệm khoảng cách, tốc độ thời gian Việc xây dựng mơ hình tốn học phụ thuộc vào giả thiết đặt Ví dụ, học sinh sử dụng thời gian tối thiểu mục tiêu thiết kế, biểu thức cho thời gian sau: Tổng thời gian di chuyển: T Hình cho thấy phác họa tượng trưng cho sơ đồ với giả định sau đây: - Hình dạng cho cơng viên khu đất trống hình chữ nhật - Kích thước tốc độ dựa thông tin từ internet - Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu * Bước 4: Giải tốn Học sinh sử dụng phần mềm hình học động GSP để di chuyển điểm G đến vị trí khác đo khoảng cách, lập bảng quan sát xác định vị trí G mà cho ta giá trị nhỏ thời gian Học sinh xây dựng biểu thức khoảng cách cách sử dụng định lý Pythago xây dựng hàm thời gian Tổng thời gian di chuyển, T = 3002 + (200 − x) 1502 + x , x kí hiệu cho khoảng + cách FG Học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ phầm mềm Excel để giúp họ tìm giá trị x, tương ứng với giá trị tối thiểu T Sử dụng bảng tính Excel, Hs có bảng số giá trị sau: x (mét) 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 16 T (giây) 221,2376 221,2374 221,2372 221,2371 221,2371 221,2372 221,2373 * Bước 5: Hiểu lời giải toán: Từ kết ta thấy, thời gian tối thiểu 221,2371s ≈ 3,69 phút, mà x = 15,7 (m) x = 15,8 (m) * Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình Sau tìm thấy vị trí nơi để xe đạp, học sinh cần phải kiểm tra xem khả thi để xây dựng nơi để xe đạp vị trí thực tế hay khơng xem xét có hạn chế khác khơng Học sinh xem xét giả thiết - Cơng viên hình tròn? Điều xảy công viên khu đất trống đa giác khơng đều? Phương pháp Hs áp dụng trường hợp hay không? - Thiết kế có phù hợn thực tế? Hs khảo sát người dân để tìm hiểu xem người muốn có giải pháp làm tối thiểu thời gian họ thích với khoảng cách ngắn để thay thế? Cơng việc thực thực cách sử dụng phương pháp khác Học sinh suy nghĩ tốn mà sử dụng để giải vấn đề liệu có phần mềm mạnh sử dụng để giải vấn đề hay khơng * Bước 7: Thơng báo, giải thích dự đốn: Thơng báo nhóm đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm lực giải vấn đề nhóm Từ GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngơn ngữ cơng cụ tốn học để mơ tả ý tưởng Toán học, biểu diễn vấn đề thực tiễn Nhóm Bài tốn Hãy xác định cách cắt bốn góc tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm bốn hình vng để gập lại hộp khơng nắp có dung tích lớn Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn GV cho HS suy nghĩ thảo luận số liệu tốn Từ khố đưa ra: hình chữ nhật, hình vng, khối hộp chữ nhật, kích thước, dung tích Vấn đề diễn đạt lại: Tạo hộp khơng nắp từ hình chữ nhật kích thước 80cm x 50cm tích lớn Bước 2: Lập giả thuyết Gọi x kích thước hình vng bị cắt đi, x tính cm x thuộc ( 0;25) Khi đáy hình hộp tạo có kích thước 80- 2x; 50- 2x chiều cao x Bước 3: Xây dựng tốn Mơ hình tốn mơ tả dung tích hình hộp khơng nắp là: V ( x) = x ( 80 - 2x) ( 50 - 2x) ; x Ỵ ( 0;25) ( *) Bài tốn mơ hình tìm giá trị lớn V(x) khoảng ( 0;25) Bước 4: Giải toán Cách 1: Dùng kiến thức lớp 10 V đạt GTLN 12V đạt GTLN hay 6x ( 80 - 2x) ( 100 - 4x) ; x Î ( 0;25) đạt GTLN Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: ỉ 6x + 80 - 2x + 100 - 4x ÷ ÷ 6x ( 80 - 2x) ( 100 - 4x) Ê ỗ = 603 ç ÷ ç ÷ è ø Dấu “=” xảy 6x = 80- 2x = 100- 4x x = 10cm Cách 2: Dùng kiến thức lớp 12 Biến đổi mô hình ( *) thành: V ( x) = 4x3 - 260x2 + 4000x; x Ỵ ( 0;25) Bằng kiến thức đạo hàm, tìm GTLN V 18000 x = 10cm Bước 5: Hiểu lời giải toán Cách 1: Dùng kiến thức lớp 10, cách giải chưa định hình rõ ràng Đây hội GV phát triển trí tuệ cho HS qua cơng đoạn tìm tòi lời giải Nếu HS lập luận sau: V ( x) đạt giá trị lớn chi 4V ( x) đạt GTLN hay 4x ( 80 - 2x) ( 50 - 2x) đạt GTLN với x khoảng ( 0;25) Vì 4x;80- 2x;50 - 2x số dương nên theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: 3 ỉ ỉ 4x + 80- 2x + 50- 2x 130ư ÷ ÷ ÷ 4x ( 80 - 2x) ( 50 - 2x) Ê ỗ =ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ố ữ ỗ ỗ ứ ố ứ 10 Ở lớp học sinh học hàm số bậc nhất, bậc hai: y = ax + b, y = ax , y = ax + c, y = ax + bx + c Chương trình lớp 10 trình bày lại cách xác khái niệm: hàm số, tập xác định đồ thị hàm số, đồng biến, nghích biến, biến thiên hàm số, hàm số chẳn lẻ Lớp 11 giới thiệu hàm số lượng giác, biến thiên đồ thị chúng Lớp 12 giới thiệu hàm số mũ, hàm số logarit, hàm lũy thừa, phương trình hệ phương trình mũ, logarit Quan điểm hàm số chương trình Tốn phổ thơng Kiến thức hàm số mảng kiến thức phong phú phản ánh rõ khái niệm ánh xạ mơn Tốn bậc phổ thơng Thực chất sách giáo khoa Tốn 7, Đại số 10 trước trình định nghĩa hàm số gần với định nghĩa ánh xạ Hiện nay, sách giáo khoa Toán ( phần Đại số) Đại số 10, khái niệm hàm số định nghĩa thông qua khái niệm đại lượng biến thiên Do hàm số trình bày theo quan điểm đại lượng biến thiên nên dạy khái niệm theo quan niệm hàm đòi hỏi phải ln vận động, phát triển theo quan điểm vật biện chứng 1.1 Cách định nghĩa hàm số - Định nghĩa dựa vào đại lượng biến thiên - Định nghĩa theo quan điểm tập hợp : + Coi hàm số quy tắc tương ứng phần tử hai tập hợp số + Coi hàm số tập hợp tập số có thứ tự 1.2 Định nghĩa Sách giáo khoa : - Sách giáo khoa Đại số 10 (trang 32) : Nếu với giá trị x thuộc tập D có giá trị tương ứng y thuộc tập số thực ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số - Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao (trang 35) : Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ ¡ Hàm số f xác định D quy tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x), số f(x) gọi giá trị hàm số f x Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm số f 113 Dựa vào quy tắc tương ứng – hàm số mà quan điểm hàm dùng để định nghĩa nhiều khái niệm chương trình tốn phổ thơng như: phép biến hình (quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng) với phép biến hình cụ thể : phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, phép dời hình, hai hình nhau…; khái niệm mệnh đề chứa biến, phương trình ẩn, bất phương trình ẩn, đạo hàm, tích phân Những kiến thức dù dạng tường minh hay tàng ẩn chứa đựng kiến thức hàm số ánh xạ 1.3 Cách cho hàm số - Bằng bảng giá trị (Ví dụ 1, trang 35, Đại số 10 nâng cao) - Bằng hay nhiều biểu thức giải tích (Mục b, trang 36, Đại số 10 nâng cao) - Cho hàm số đồ thị (Mục c, trang 36, Đại số 10 nâng cao) - Bằng cách mô tả lời - Cho hàm số dạng tham số - Cho hàm số dạng ẩn,… 1.4 Các thuộc tính hàm số thường xét - Hàm số tăng, hàm số giảm, hàm số tăng ngặt, hàm số giảm ngặt, hàm số đơn điệu, hàm số đơn điệu ngặt (Mục 2, trang 37, Đại số 10 nâng cao) - Hàm số bị chặn trên, hàm số bị chặn dưới, hàm số bị chặn - Hàm số chẵn, hàm số lẻ (Mục 3, trang 40, Đại số 10 nâng cao) - Hàm số tuần hoàn - Hàm số có giới hạn hữu hạn, hay dần tới dương vơ cực, âm cô cực đối số dần tới giá trị hữu hạn hay dần tới dương vô cực, âm vô cực - Hàm số liên tục - Hàm số có đạo hàm - Hàm số khả tích đoạn 1.5 Các hàm số lựa chọn đưa vào mơn Tốn phổ thơng Sau điểm lại hàm số trình bày cách tường minh mơn tốn phổ thơng : -Hàm y = c , c số -Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ thuận y = ax - Hàm số biểu diễn tương quan tỉ lệ nghịch y = -Hàm số bậc y = ax + b, a ≠ 114 a x -Hàm số bậc hai y = ax + bx + c, a ≠ -Hàm số bậc ba y = ax3 + bx + cx + d , a ≠ -Hàm số trùng phương y = ax + bx + c, a ≠ -Hàm số phân thức dạng y = ax + b , c ≠ cx + d -Hàm số phân thức dạng y = ax + bx + c , a ≠ 0, a ' ≠ a'x + b' - Các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x - Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ ¡ -Hàm số mũ y = a x , < a ≠ -Hàm số logarit y = log a x, < a ≠ 1.6 Vấn đề khảo sát hàm số Ở trường phổ thông hàm số khảo sát theo hai phương pháp : - Phương pháp sơ cấp (được dùng đến lớp 11) - Phương pháp sử dụng đạo hàm (dùng lớp 12) 1.7 Dụng ý sách giáo khoa Nói chung định nghĩa hàm số từ lớp dựa vào tập hợp quy tắc tương ứng Khi dạy cụ thể: Khơng tìm cách định nghĩa khái niệm quy tắc tương ứng mà phải xem khái niệm Không nên để học sinh hiểu nhầm quy tắc bắt buộc phải biểu thị cơng thức, có hàm số biểu thị nhiều cơng thức, lại có hàm số không biểu thị công thức Bằng nhiều cách làm cho học sinh hiểu “quy tắc tương ứng” dựa vào biểu tượng tập hợp tập phần tử Làm cho học sinh nắm thuộc tính chất khái niệm hàm số Do đó, muốn có hàm số f ta phải có điều kiện: + Cho trước hai tập hợp X , Y X tập xác định + Giữa phần tử X , Y có quy tắc sau cho: x ∈ X phải ứng với y ∈ Y Song song với việc giới thiệu lớp hàm số, cần xét tính chất vẽ đồ thị hàm số, đọc đồ thị hàm số Chú trọng phát triển tư hàm Thực dạy học nội dung chương trình Tốn phổ thơng thể quan điểm hàm số 115 2.1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 + x + − x2 − x + = m (1) Giải: Xét hàm số: y = f ( x ) = x + x + − x − x + với x ∈ ¡ Ta có: y ' = 2x + x2 + x +1 − 2x − x2 − x +1 2x + Khi y ' = ⇔ x2 + x +1 = 2x − x2 − x +1 ⇔ ( x + 1) x − x + = (2 x − 1) x + x + (2 x + 1)(2 x − 1) > ⇔ 2 2 (4 x + x + 1)( x − x + 1) = (4 x − x + 1)( x + x + 1)  x > ⇔  x = Vậy phương trình y ' = vơ nghiệm, mặt khác y ' ( ) = > Suy y ' ( x ) > 0, ∀x lim y = lim x→+∞ x→+∞ ( = lim x→+∞ lim y = lim x→−∞ x→−∞ = lim ) x + x + − x − x + = lim ( x→+∞ 1 1 1+ + + 1− + x x x x ) x →+∞ 1 1 − 1+ + − 1− + x x x x x →+∞ = −1 Ta có bảng biến thiên: −∞ x +∞ y’ + y x2 + x + + x2 − x + =1 x + x + − x − x + = lim 2x -1 116 2x x2 + x + + x2 − x + Vậy để phương trình f ( x ) = m có nghiệm −1 < m < , tức phương trình cho có nghiệm −1 < m < 2.2 Giải bất phương trình sau phương pháp hàm số: x + + 2x + > (1) Giải: Điều kiện x ∈ [ −2; +∞ ) Xét hàm số f ( x ) = x + + x + − , với x ∈ [ −2; +∞ ) Ta có f ( x ) = ⇔ x + + x + = , với x ∈ [ −2; +∞ ) ⇔ 3x + 13 + 2 x + 22 x + 36 = 25 ⇔ x + 22 x + 36 = − x x ≤ x ≤   ⇔ ⇔  x = ⇔ x = 2 x + 22 x + 36 = (6 − x)   x = 160  Vậy x = Ta có bảng xét dấu f(x) [ −2; +∞ ) x f(x) −2 +∞ − + Dựa vào bảng xét dấu ta có (1) ⇔ f ( x ) > ⇔ x > Vậy tập nghiệm bất phương trình (1) S = (0; +∞) Câu 19: Cơ sở logic chương trình tốn 10;11;12 So sánh mục tiêu nội dung chương trình hành với chương trình sau 2019 I Về cấu trúc chương trình Về cấu trúc, chương trình mơn Tốn thống từ lớp đến 12 chương trình dành thời gian thích đáng để tổ chức hoạt động học cho học sinh lớp, giúp em vận dụng kiến thức, kỹ năng, thái độ tích lũy từ giáo dục tốn học kinh nghiệm thân vào giải số vấn đề thực tiễn Qua đó, học sinh phát triển lực tổ chức quản lý hoạt động, lực tự nhận thức tích cực hóa thân; giúp em bước đầu xác định lực, sở trường nhằm định hướng lựa chọn nghề nghiệp Đây cách tạo dựng 117 số lực cho người lao động tương lai người cơng dân có trách nhiệm Chương trình mơn Tốn đòi hỏi giáo viên phải thay đổi phương pháp giáo dục Mục tiêu, nội dung chương trình xây dựng theo hướng phát triển phẩm chất lực, phương pháp dạy học phải thay đổi cho phù hợp: phải từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó Các giáo viên phải quán triệt tinh thần "lấy người học làm trung tâm", phát huy tính tích cực, chủ động học sinh ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập cá nhân Yêu cầu khiến người thầy cần tổ chức trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải vấn đề; linh hoạt việc vận dụng phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực… II Về quan điểm xây dựng Chương trình mơn Tốn ban soạn thảo xây dựng phương châm tinh giản, thiết thực, đại khơi nguồn sáng tạo Chương trình trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế mơn học khác Tốn học gắn với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội vấn đề cấp thiết có tính tồn cầu biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài Điều cho phép khắc phục hạn chế lối dạy học nặng truyền thụ ứng thí, khiến mơn học nặng nề, tạo nhiều áp lực cho học sinh Tính đại chương trình mơn Tốn giúp học sinh sau giai đoạn giáo dục phổ thơng hội nhập quốc tế, tham gia vào thị trường lao động tồn cầu, giáo dục Tốn học phổ thông cần khơi gợi sáng tạo học sinh Chương trình mơn Tốn kế thừa phát huy ưu điểm chương trình cũ, có phân hóa để đáp ứng nhu cầu học sinh; quán triệt tinh thần "Toán học cho người", học Toán người học theo cách phù hợp với sở thích lực Do phần chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể nên chương trình mơn Tốn tn thủ tất đòi hỏi phẩm chất, lực học sinh, mục tiêu, yêu cầu cần đạt, phương pháp giáo dục, đánh giá giáo dục… Việc xây dựng cách tổng thể giúp chương trình mơn Tốn mơn học khác có tính thống nhất, chặt chẽ, tránh tượng tải cho học sinh phải học lúc nhiều môn III Về yếu tố logic 118 Đối với tất cấp học: Tăng cường dạy học theo hướng cá thể hoá người học, đáp ứng yêu cầu cần đạt chung chương trình, đồng thời ý tới đối tượng có nhu cầu đặc biệt (học sinh khiếu, học sinh khuyết tật, ); Đối với cấp trung học phổ thông: Thiết kế hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu nội dung giúp học sinh tăng cường kiến thức, kỹ thực hành, vận dụng giải vấn đề gắn với thực tiễn địa phương Có kiến thức, kỹ tốn học phổ thơng, bản, thiết yếu; phát triển khả giải vấn đề có tính tích hợp liên môn tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế Số học sở cho tất nghiên cứu sâu Tốn học, nhằm mục đích hình thành cơng cụ tốn học để giải vấn đề Toán học, lĩnh vực khoa học khác có liên quan đạt kỹ thực hành cần thiết cho sống ngày Hàm số công cụ quan trọng cho việc xây dựng mơ hình tốn học trình tượng giới thực Một mục tiêu quan trọng việc học số học tạo cho học sinh khả suy luận suy diễn, góp phần vào phát triển tư logic, khả sáng tạo tốn học việc hình thành khả sử dụng thuật tốn Hình học thành phần quan trọng giáo dục toán học, cần thiết cho việc tiếp thu kiến thức cụ thể không gian kỹ thực tế thiết yếu Hình học hình thành công cụ nhằm mô tả đối tượng, thực thể giới xung quanh Một mục tiêu quan trọng việc học Hình học tạo cho học sinh khả suy luận, kỹ thực chứng minh tốn học, góp phần vào phát triển tư logic, khả sáng tạo tốn học, trí tưởng tượng khơng gian tính trực giác Ngồi ra, Hình học góp phần giáo dục thẩm mỹ nâng cao văn hoá toán học cho học sinh Nội dung chương trình mơn Tốn phải tinh giản, phản ánh giá trị cốt lõi, tảng văn hoá toán học thiết phải đề cập nhà trường phổ thông phải phản ánh nhu cầu hiểu biết giới hứng thú, sở thích người học Nội dung chương trình mơn Tốn trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay môn học khác, đặc biệt với môn học thuộc lĩnh vực giáo dục, gắn với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội vấn đề cấp thiết có tính tồn 119 Bảo đảm tính chỉnh thể, thống phát triển liên tục từ lớp đến lớp 12 Có thể hình dung chương trình thiết kế theo mơ hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, nhánh mô tả phát triển mạch nội dung kiến thức cốt lõi nhánh mô tả phát triển lực, phẩm chất học sinh So với chương trình Tốn hành, chương trình Tốn sau năm 2019 có nét sau: Nội dung chương trình mơn Tốn chương trình phổ thơng tinh giản nhiều so với chương trình hành, trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế a) Ở chương trình phổ thơng mới, mơn Tốn mơn học bắt buộc phân chia theo hai giai đoạn - Giai đoạn giáo dục bản: giúp học sinh nắm cách có hệ thống khái niệm, nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết cho tất người, làm tảng cho việc học tập trình độ học tập sử dụng sống ngày - Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có nhìn tương đối tổng qt Tốn học, hiểu vai trò ứng dụng Toán học đời sống thực tế, ngành nghề có liên quan đến tốn học để học sinh có sở định hướng nghề nghiệp sau này, có đủ lực tối thiểu để tự tìm hiểu vấn đề có liên quan đến toán học suốt đời - Bên cạnh nội dung giáo dục cốt lõi, năm, học sinh có định hướng khoa học tự nhiên công nghệ chọn học số chuyên đề Các chuyên đề nhằm tăng cường kiến thức Toán học, kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đáp ứng sở thích, nhu cầu định hướng nghề nghiệp học sinh b) Nội dung tinh giản, trọng tính ứng dụng - Chương trình mơn Toán xây dựng sở quán triệt quan điểm nội dung phải tinh giản, trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay môn học khác, đặc biệt với môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội vấn đề cấp thiết có tính tồn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính, ) - Bảo đảm tính chỉnh thể, thống phát triển liên tục từ lớp đến lớp 12 Có thể hình dung chương trình thiết kế theo mơ hình gồm hai nhánh song song liên kết 120 chặt chẽ với nhau, nhánh mô tả phát triển mạch nội dung kiến thức cốt lõi nhánh mô tả phát triển lực, phẩm chất học sinh c) Chương trình mơn Tốn tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số Đại số; Hình học Đo lường; Thống kê Xác suất - Trong chương trình mơn Tốn có chứa đựng nội dung, chủ đề liên quan kiến thức toán học khai thác, sử dụng mơn học khác Vật lý, Hố học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, Điều mang lại hiệu với mơn, vừa góp phần củng cố kiến thức mơn Tốn, góp phần rèn luyện cho học sinh lực vận dụng toán học vào thực tiễn - Hoạt động trải nghiệm môn toán tạo hội giúp học sinh vận dụng cách tổng hợp kiến thức, kỹ kinh nghiệm thân vào thực tiễn sống cách sáng tạo d) Chương trình mơn Tốn bảo đảm yêu cầu phân hoá Cụ thể, tất cấp học: Tăng cường dạy học theo hướng cá thể hoá người học, đáp ứng yêu cầu cần đạt chung chương trình, đồng thời ý tới đối tượng có nhu cầu đặc biệt (năng khiếu, khuyết tật, ); - Đối với cấp trung học phổ thông: Thiết kế hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu nội dung giúp học sinh tăng cường kiến thức, kỹ thực hành, vận dụng giải vấn đề gắn với thực tiễn địa phương - Chương trình bảo đảm tính mềm dẻo, linh hoạt; tính thống nội dung giáo dục toán học cốt lõi, bắt buộc học snh nước Đồng thời dành quyền chủ động cho địa phương nhà trường lựa chọn số nội dung triển khai kế hoạch giáo dục mơn Tốn phù hợp với điều kiện vùng miền sở giáo dục; dành không gian sáng tạo cho tác giả SGK giáo viên Chương trình giúp học sinh đạt mục tiêu: - Hình thành phát triển lực chung cốt lõi lực tốn học (tư lập luận tốn học; mơ hình hố tốn học; giải vấn đề tốn học; giao tiếp tốn học; sử dụng cơng cụ, phương tiện học Tốn) - Có kiến thức, kỹ tốn học phổ thông, bản, thiết yếu; phát triển khả giải vấn đề có tính tích hợp liên mơn mơn Tốn mơn học khác Vật lý, Hoá học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, ; tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tế - Hình thành phát triển phẩm chất chung (yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm) phẩm chất mà giáo dục toán học đem lại (tính kỷ 121 luật, kiên trì, độc lập, sáng tạo, hợp tác; thói quen tự học, hứng thú niềm tin học Tốn) - Có nhìn tương đối tổng quát ngành nghề liên quan đến toán học làm sở định hướng nghề nghiệp sau này, có đủ lực tối thiểu để tự tìm hiểu vấn đề liên quan đến tốn học suốt đời Tích hợp xoay quanh mạch kiến thức - Nội dung chương trình mơn Tốn tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số Đại số; Hình học Đo lường; Thống kê Xác suất có cấu trúc dựa phối hợp cấu trúc tuyến tính với cấu trúc “đồng tâm xoáy ốc” (đồng tâm, mở rộng nâng cao dần) - Số Đại số sở cho tất nghiên cứu sâu Tốn học, nhằm mục đích hình thành cơng cụ tốn học để giải vấn đề Toán học, lĩnh vực khoa học khác có liên quan đạt kỹ thực hành cần thiết cho sống ngày Hàm số công cụ quan trọng cho việc xây dựng mơ hình tốn học q trình tượng giới thực Một mục tiêu quan trọng việc học Số Đại số tạo cho học sinh khả suy luận suy diễn, góp phần vào phát triển tư logic, khả sáng tạo tốn học việc hình thành khả sử dụng thuật tốn Hình học Đo lường thành phần quan trọng giáo dục toán học, cần thiết cho việc tiếp thu kiến thức cụ thể không gian kỹ thực tế thiết yếu Hình học hình thành cơng cụ nhằm mơ tả đối tượng, thực thể giới xung quanh Một mục tiêu quan trọng việc học Hình học tạo cho học sinh khả suy luận, kỹ thực chứng minh tốn học, góp phần vào phát triển tư logic, khả sáng tạo toán học, trí tưởng tượng khơng gian tính trực giác Ngồi ra, Hình học góp phần giáo dục thẩm mỹ nâng cao văn hoá toán học cho học sinh Việc gắn kết Đo lường Hình học tăng cường tính trực quan, thực tiễn việc dạy học mơn Tốn Thống kê Xác suất thành phần bắt buộc giáo dục toán học nhà trường, góp phần tăng cường tính ứng dụng giá trị thiết thực giáo dục toán học Thống kê Xác suất tạo cho học sinh khả nhận thức phân tích thơng tin thể nhiều hình thức khác nhau, hiểu chất xác suất nhiều phụ thuộc thực tế, hình thành hiểu biết vai trò thống kê nguồn thông tin quan trọng mặt xã hội, biết áp dụng tư thống kê để phân tích liệu Từ đó, nâng cao hiểu biết phương pháp nghiên cứu giới đại cho học sinh 122 - Ngoài ra, chương trình cấp dành thời gian để tiến hành Hoạt động trải nghiệm toán học cho học sinh như: Tiến hành đề tài, dự án học tập Toán, đặc biệt đề tài dự án ứng dụng Toán học thực tiễn; Tổ chức trò chơi tốn học, câu lạc toán học, diễn đàn, hội thảo, thi Toán; Ra báo tường (hoặc nội san) Toán; Tham quan sở đào tạo nghiên cứu Toán học, giao lưu với học sinh có khiếu tốn nhà Tốn học, Những hoạt động giúp học sinh vận dụng tri thức, kiến thức, kỹ năng, thái độ tích luỹ; giúp học sinh bước đầu xác định lực, sở trường thân nhằm định hướng lựa chọn nghề nghiệp; tạo dựng số lực cho người lao động tương lai người công dân có trách nhiệm - Về phương pháp giáo dục, giáo viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh Cần tổ chức trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận giải vấn đề Cần hướng dẫn học sinh từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó Khơng coi trọng tính logic khoa học Toán học khoa học suy diễn, mà cần ý cách tiếp cận dựa vốn kinh nghiệm trải nghiệm học sinh - Giáo viên cần linh hoạt việc vận dụng phương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức dạy học thích hợp học cá nhân, học nhóm; học lớp, học ngồi lớp, tránh rập khn, máy móc Kết hợp hoạt động dạy học lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn - Cần vận dụng kết hợp cách đa dạng nhiều hình thức (đánh giá trình, đánh giá tổng kết), nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại trình thực hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan, tự luận, thực hành, dự án/sản phẩm học tập, thực nhiệm vụ thực tiễn, tự đánh giá, đánh giá đồng đẳng, ) vào thời điểm thích hợp - Việc đánh giá lực người học thông qua chứng biểu kết đạt trình thực hành động người học Điều quan trọng giáo viên cần thiết kế, tổ chức tình có vấn đề, để thơng qua việc xử lý, giải tình có vấn đề mà người học bộc lộ, thể lực Ngồi ra, cần lưu ý lựa chọn phương pháp, cơng cụ đánh giá phù hợp * Chương trình Tốn cấp THPT có thay đổi sau: Chương trình Tốn Chương trình Tốn sau năm 2019 123 hành GT12 HH12 GT12 HH12 Xác suất 12 Ứng dụng Khối đa Ứng dụng Phương Một số khái niệm đạo hàm để diện đạo hàm để pháp toạ độ xác suất khảo sát Mặt cầu, khảo sát không Các quy tắc tính vẽ đồ thị mặt trụ, mặt vẽ đồ thị gian xác suất hàm số nón hàm số Hàm số Phương Nguyên luỹ thừa, pháp toạ độ hàm, tích hàm số mũ không phân, ứng hàm số gian dụng lôgarit Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng Số phức * Chương trình Tốn sau năm 2019 có thêm hoạt động thực hành trải nghiệm * Chương trình Tốn sau năm 2019 có chun đề: - Lớp 10: Ứng dụng toán học vào giải vấn đề liên môn thực tiễn - Lớp 11: Ứng dụng toán học vào giải vấn đề thực tiễn, đặc biệt vấn đề liên quan đến đồ hoạ vẽ kỹ thuật - Lớp 12: Ứng dụng toán học vấn đề liên quan đến kinh tế tài Câu 20: Chứng minh số định lý giải tích 11, 12 theo ngơn ngữ không gian topo, không gian metric ngôn ngữ tốn phổ thơng? Biểu Tơ pơ mơn tốn phổ thông 1/ Khái niệm giới hạn dãy số a/ Giới hạn hữu hạn dãy số khái niệm giới hạn dãy số có liên quan đến không gian Tô pô sinh mê tric thông thường tập hợp số định nghĩa khái niệm dãy số(x n) có giới hạn hữu hạn a n tiến tới dương vô cực cách khác +Cách thứ định nghĩa dãy số dần tới sau định nghĩa dãy hội tụ a thông qua khái niệm dãy số dần tới cách xét dãy (xn – a) +Cách thứ định nghĩa trực tiếp dãy số dần tới a Về mặt ngơn ngữ thể dùng ngơn ngữ ε − n0 hay ngôn ngữ thông thường để mô tả 124 Cả hai cách định nghĩa hai thứ ngôn ngữ thể sử dụng cách thông dụng sách phổ thông trước Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 sử dụng cách định nghĩa thứ ngôn ngữ thường để diễn đạt cách trình bày có ưu điểm nhẹ nhàng khơng thực xác ảnh hưởng yếu tố trực giác Sau hai cách trình bày định nghĩa +Cách thứ nhất: định nghĩa dãy số dần tới a qua hai bước: Bước 1: Định nghĩa dãy số có giới hạn “ Dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn n tiến tới dương vơ cực xn x n = ” nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạn trở đi, kí hiệu nlim → +∞ Bước 2: Định nghĩa dãy số có giới hạn a ( x n − a) = , kí “ Dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a n tiến tới dương vô cực nlim → +∞ x n = a ” hiệu nlim → +∞ +Cách thứ 2: Định nghĩa trực tiếp dãy số dần tới a “ Dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a n tiến tới dương vô cực ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ∈ N , (n > n0 ⇒ x n − a < ε ) ” b/ Dãy số dần tới vô cực trường hợp dãy số tiến đến vơ cực có hai trường hợp vô cực âm vô cực dương Người ta dùng ngôn ngữ “ M – n 0” hay ngôn ngữ thơng thường để diễn đạt Ta có định nghĩa sau: +” Dãy số (xn) nói dần tới + ∞ xn lớn số dương bất x n = +∞ ” kì kể từ số hạn trở Kí hiệu nlim → +∞ +” Dãy số (xn) nói dần tới - ∞ xn lớn số dương bất x n = −∞ ” kì kể từ số hạn trở Kí hiệu nlim → +∞ +Nếu dùng định nghĩa “ M – n0” định nghĩa diễn đạt sau “ Dãy số (xn) nói dần tới + ∞ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ∈ N , (n > n0 ⇒ x n > M ) Đối với dãy số tiến dần tới âm vô cực định nghĩa tương tự 2/ Giới hạn hàm số, hàm số liên tục a/Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số f(x) x dần giá trị x0 xét x0 điểm giới hạn tập xác định Df hàm số f xây dựng khái niệm dạng khác nhau: +Dùng ngôn ngữ dãy: “ Cho hàm số f(x) có tập xác định D x điểm giới hạn D Ta nói hàm f(x) có giới hạn a thuộc R x dần tới x dãy (xn) cho xn khác x0 với n D xn dần tới x0 ta ln có dãy (f(xn)) dần f ( x) = a ” tới a kí hiệu : xlim →x +Dùng ngôn ngữ ε , δ : định nghĩa thông qua khái nệm lân cận thường thấy lý thuyết không gian Tô pô 125 “ Hàm f(x) có giới hạn a x dần tới x0 với lân cận mở U a tồn lân cận mở V cho f(V) ⊂ U” Vậy hai cách định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số trình bày chặt chẻ tương đương Việc lựa chọn cách trình bày phụ thuộc vào quan điểm người xây dựng chương trình sách giáo khoa Người ta dựa theo hướng dần tới x0 dãy (xn) để đưa khái niệm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải hàm số b/ Hàm số liên tục - Theo quan điểm khơng xét tính liên tục hay gián đoạn hàm số điểm khơng thuộc tập xác địnhcủa hàm số ta có định nghĩa hàm số liên tục sau: “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b), x điểm thuộc (a; b) ta nói hàm số f(x) liên tục x0 tồn giới hạn f(x) x dần tới x0 giới hạn f(x0) Tức với dãy (x n) khoảng (a;b) hội tụ x dãy f(xn) hội tụ f(x0) Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn x0 ⇒ theo quan điểm điểm x0 không thuộc tập xác định f(x), hàm f(x) gián đoạn không tồn giới hạn f(x) x dần tới x có tồn giới hạn f(x) x dần tới x giới hạn khơng f(x0) Như để chứng minh hàm số gián đoạn x0 ta thực theo hai cách: +Chứng minh không tồn giới hạn f(x) x dần tới x0 +Chứng minh tồn giới hạn f(x) x dần tới x giới hạn không f(x0) - Theo quan niệm hàm số không xác định x coi gián đoạn tai x0 ta có định nghĩa “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b), x số thực Ta nói hàm số f(x) liên tục x0 f(x) xác định x0 tồn giới hạn f(x) f ( x) = f ( x0 ) x0 xlim →x Nếu theo quan điểm để chứng minh hàm số gián đoạn x ta thực theo hai cách: +Chứng minh x0 không thuộc tập xác định f(x) +Chứng minh không tồn giới hạn f(x) x dần tới x0 Những khái niệm hàm số liên tục khoảng, đoạn định nghĩa thông qua khái niệm hàm số liên tục điểm hay liên tục phía điểm Chứng minh số định lí tốn THPT băng Mêtric Định lý 1: Mọi số thực hội tụ dãy bị chặn Chứng minh: un = a Giả sử (un) dãy số thực hội tụ nlim → +∞ Theo định nghĩa giới hạn dãy số, với số thực ε = tồn số tự nhiên n0 cho với số tự nhiên n, n > n0 ta có u n − a < tức a -1 với ε = a −b , ta có B (a, ε ) ∩ B (b, ε ) = φ , mặt khác limnu→n+∞= a , tồn số tự nhiên n1 , cho với n > n1 ta có u n − a < ε , tức u n ∈ B (b, ε ) Chọn n0 = max{n1 , n }, với n > n0 ta có u n ∈ B(a, ε ), u n ∈ B(b, ε ) Hay u n ∈ B(a, ε ) ∩ B(b, ε ), mâu thuẫn với B(a, ε ) ∩ B(b, ε ) = φ Vậy a = b điều phải chứng minh ⇒ Trong chứng minh ta sử dụng mêtric ơlic R với khái niệm hình cầy mở tính chất T2 tôpô sinh metric Chứng minh số định lý mơn Tốn THPT cách sử dụng mêtric R Định lý 1: Mọi số thực hội tụ dãy bị chặn Chứng minh: un = a Giả sử (un) dãy số thực hội tụ nlim → +∞ Theo định nghĩa giới hạn dãy số, với số thực ε = tồn số tự nhiên n0 cho với số tự nhiên n, n > n0 ta có u n − a < tức a -1