Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tổng hợp các bài tập Giải tích 2 bao gồm các nội dung: hàm nhiều biến số; tích phân bội; tích phân đường và tích phân mặt; phương trình vi phân.
BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài Tìm miền xác định hàm số sau: z = arcsin a) x u= y2 b) lim ( x,y) �( 0,0) Bài Tìm giới hạn f ( x, y) = a) trường hợp: f ( x, y) = x2 + y2 c) x + y2 f ( x, y) = x + y2 + - b) ln - x - y - z f ( x, y) x - y2 f ( x, y) = ( d) x - sin y x + 2y x2y x + y2 Bài Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho: �x10 sin cos � � x10 y10 f ( x, y) = � e , xy �0 � � 1, xy = � � a) � � + x ( ) x cos y e , x �0 f ( x, y ) = � � � � e, x =0 � b) c) d) điểm (0,0) cos x � � � + sin xy xy , xy �0 ( ) f ( x, y) = � � � e, xy = điểm (0,0) � � x - y2 � sin , xy �0 � f ( x, y) = � � x + y2 � � � 0, xy = � điểm (0,0) �2 � x + y sin , x + y �0 � � x +y f ( x, y) = � � � � 0, x + y2 = � điểm (0,0) � x - y2 � , x + y �0 � � 2 f ( x, y) = �x y +( x - y) � � � 0, x + y = điểm (0,0) � � ( e) f) điểm (0,0) ) ) ( ) �x x - y2 � � , x �y � 4 f ( x, y) = � x - y � � 2 � � a, x = y � g) điểm (0,0) Bài Tìm đạo hàm riêng z 'x , z'y hàm số x z = arctan y a) z= x2 y b) x y xy z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0) z = Bài Cho hàm số Tính định nghĩa Hàm số có khả vi điểm O(0,0) hay khơng? Bài Chứng minh hàm số z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0) z ( x, y) = xy liên tục taị điểm O(0,0), có hai đạo hàm riêng , không khả vi điểm �� � e f ( x, y) = � � � � � 0, � Bài Khảo sát tính khả vi hàm số Bài Cho hàm số z = arccos ( x ln y) Tính x +y , x + y �0 x + y2 = điểm (0,0) dz ( 0,1) ;d 2z ( 0,1) Bài Ứng dụng công thức số gia vi phân tồn phần để tính gần a) b) ( 1.02) + ( 1,97) 3e0,04 +( 1,02) Bài 10 Cho tan c) d) p + 0,01 3,98 ( 1,02) 4,05 z = z ( x, y ) hàm số xác định hệ thức F( x - az, y - bz ) = a, b số, �z �z +b x �y F hàm khả vi Tìm biểu thức � a ( ) ( ) z = yf x - y u = y + g x - y2 f ,g Bài 11 Giả sử hàm khả vi Đặt Chứng minh a) ' z z x + z 'y = x y y b) yu 'x + xu 'y = x � � x - y - 2� F� , =0 � � � � z = z ( x, y) F( u, v) � � z z Bài 12 Cho hàm số xác định từ phương trình (trong u= hàm khả vi theo �z �z x- y- ( x - 1) +( y - 2) = z - ,v = �x �y z- z - Chứng minh ' ' '' '' 2 z , z ,z ,z Bài 13 Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tính x y xx yy biết x + y + z = 4xyz Bài 14 Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm x z = ln +1 dz ( 1,1) ;d z ( 1,1) biết z = z ( x, y) hàm ẩn xác định từ z y a) ; x ye z dz ( 0,1) biết z = z ( x, y) hàm ẩn xác định từ z =0 ; d y ( 0) biết y = y ( x ) hàm ẩn xác định từ x + y3 - 3xy - = c) b) Bài 15 Tìm đạo hàm riêng cấp hai hàm số a) z = x ln y + tan ( xy) b) z = x y z arctan c) x y Bài 16 Tìm đạo hàm u điểm A ( ) uuu r max u = ln x + x + y + z OA a) điểm A(1,2,-2) Tìm r r theor hướng r b) u = x sin yz theo hướng l = i + j - k điểm A(1,3,0) u = arcsin c) �u(A) r �l z uuu r x + y2 với A (1,1,1) theo hướng AN , N(3,2,3) Bài 17 2 f x, y = 2x xy y - 6x - 3y + thành công thức Taylor lân ( ) a) Khai triển hàm số cận điểm (1,-2) b) Khai triển hàm số f ( x, y) = - x - y thành công thức Macloranh đến số hạng cấp bốn Bài 18 Tìm cực trị hàm số sau 2 f x, y = 2x + 4y x 4y ( ) a) f ( x, y) = arccot x - y2 + 2y b) y2 z 2 f ( x, y, z ) = x + + + (x, y, z > 0) 4x y z c) f ( x, y,z ) = x + y + z + 2x + 4y - 6z d) e) f ( x, y) = x + y - 2( x + y) f) f ( x, y) = x + y - x - 2xy - y 2 z ( x, y) = y - ( x - 1) g) z ( x, y) = x - 2x y + y - y3 h) i) j) z ( x, y) = e- x ( 3y - y3 - x ) z x, y 3x y x y Bài 19 Tìm cực trị có điều kiện u = x + y + z thỏa mãn điều kiện y - x =1, z - xy =1 a) 1 1 + 2= z= + y a x y thỏa mãn điều kiện x b) 2 c) u = x + y + z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 z2 + =1 2 x + y +z =9 d) u = 2x + 2y - z thỏa mãn điều kiện � x + y2 = � (x, y,z > 0) � � y + z = u = xy + yz e) thỏa mãn điều kiện � Bài 20 Tìm GTLN, GTNN hàm số f miền đóng D a) b) f ( x, y) = 4xy - x y - xy3 , D D ABC với A(0,0), B(0,6), C(6,0) f ( x, y) = x + y - 12x +16y, D = ( x, y ) : x + y �25 { } c) f ( x, y) = x y + xy - 3xy, D = { ( x, y ) : �x �2;0 �y �2} d) f ( x, y) = x + y - x - 2y, D = { ( x, y) : �x;0 �y; x + y �2} � � x y2 � f ( x, y) = 9x - 4y , D = � x, y : + � ( ) � � � � � � e) Đáp án chương I 2 1.a) - y �x �y trừ điểm Ox; 2.a) Không tồn tại; b) 4; 2 b) x + y + z 0) } 3pa D { dxdy, D = ( x, y ) : x + y �4, x �0 ( p - e- } ) D dxdy d) � �x + y2 , D 2 D miền nằm góc phần tư thứ bị chặn đường tròn p ln x + y =1, x + y = � �x dxdy, D = {( x, y) : ( x - 1) y e) } + y �1, x + y �1, y �0 D � � f) D y 4+x +y { - 2ln ; dxdy, D = ( x, y ) : x + y �4, y �0, x �0 } ; � � 2� � � � x y xy � � � � � xydxdy, D = x, y : � + � ; x � 0, y � ( ) � � � � � � � � � � 9� � � � D � � g) Bài Dùng tích phân hai lớp tính diện tích hình phẳng ( - 2ln + 12 ) 1 y x 1, y x 3, y x 1, y x 2 a) Giới hạn 2 16 b) Nằm hai đường tròn x + y = 2x x + y = 3y c) Bị chặn đường cong y = ax, y = bx, xy =1, xy = 2( < a < b ) d) x + y2 ) ( Giới hạn đường cong (L): e) x + y2 ) ( Giới hạn đường cong (L): ( = a x - y2 ) ( a > 0) 5p b ln a a2 5p = 4x Bài Tính diện tích mặt cong a) Là giao mặt trụ x + z = a , y + z = a ( a > 0) 16a 2 2 2 x + y = ay ( a > 0) x + y + z = a b) Là phần mặt cầu nằm hình trụ 2pa - 4a 2 x y 2ax a c) Là phần mặt z x y nằm hình trụ 2a 2 d) Là phần mặt paraboloid y z 2x nằm miền góc phần tư thứ (của 3 1 12 mặt Oxy) giới hạn đường x y x Bài Tính thể tích V vật thể 2 2 a) Giới hạn mặt trụ x + y = 2y mặt cầu x + y + z = 16( 3p- 4) b) Xác định bất đẳng thức 24 �z �2 - x - y, �y �1, �2x + y, x + y �1 c) Trên mặt nón z= x +y 2 2 nằm mặt cầu x + y + z =1 p 23 ( ) d) Trên mặt nón z= x +y nằm mặt cầu 2 x +y +z =z 2 e) Bị chặn paraboloid 2z = x + y z = - x - y f) Bị chặn paraboloid p 64p z = x + y2 +1 mặt phẳng z = g) Giới hạn mặt cong 2 z = - x - y z = x + y 8p 32p 81p h) Giới hạn mặt có phương trình 2z = x + y ; x + z = 16a 3 x + y = a x + z = a i) Bị chặn hai hình trụ Bài Tính thể tích vật thể giới hạn mặt đóng a) ( x + y2 + z b) ( x + y2 + z ) ) = 2z x + y ( x, y,z > 0) p 30 =x p ( ) Bài 10 Tính tích phân bội ba sau dxdydz a) � � �( x + y + z +1) V V miền giới hạn mặt 1� 5� � � ln � � � � 2� 8� x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =1 b) x sin zdxdydz � � � V phẳng V miền giới hạn x 0, y 0, z 0, z , x y � � x2 z2 � � x y zdxdydz; V = x, y, z : + y + � ( ) � � � � � � � � � V c) 2 10 � � �x dxdydz d) V 2 z = x y V giới hạn (Oxy) hai nửa mặt cầu z = 16 - x - y � e) ( x + y) � � �� � V 2 - z� dxdydz � � ( z - 1) = x + y x � � �ze f) V vật thể bị chặn (Oxy) mặt nón p 60 dxdydz V nón 2 V vật thể nằm mặt cầu x + y + z = mặt z = x + y2 � � �z g) +y 1562p 15 p( e - 2) x + y dxdydz V V vật thể giới hạn bới mặt trụ 16a x + y = 2x, �z �a ( 4p R - r 2 2 2 � � �( x + y ) dxdydz; V = {( x, y,z) : r �x + y + z �R ,z �0} h) i) j) k) V 15 ; zxdxdydz � � � V V vật thể giới hạn bới { x y z a , z z �0 } � � �x + y2 + z dxdydz;V = ( x, y,z ) : x + y + z �2z � � �x + 4y + 9z dxdydz;V = ( x, y, z ) : x + 4y + 9z �1, x, y, z �0 V { V 11 8p } p ; 48 ) CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Bài Tính tích phân đường loại sau xyds � a) L b) c) d) e) với L đường ds �x - y L 5 1 x 2t, y t , t � 0,1 y= x- 2 với L đoạn thẳng nằm hai điểm A(0;-2) B(4;0) �x + y2 ds �x �x x - y ds L + y2 ds L L ln 2 với L đường tròn x + y = ax (a > 0) 2a 2 A ( 1, - 1) đến B( 1,1) với L nửa đường tròn x + y = 2x , x �1 chạy từ với L đường (x +y 2 ) ( =a x - y ) ( x �0) 2a 3 Bài Tính tích phân đường loại hai sau: �xydx +( x a) y) dy L 17 L đường gấp khúc OAB với O(0,0); A(2,0); B(3,2) �( x + y) dx + xydy b) L i) y = x L cung nối O(0,0) với A(1,1) theo đường ii) x = y iii) gấp khúc OBA với B(0,1) x dy 2xydx I � x y không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Bài Chứng minh tích phân AB miền đơn liên, liên thông 2 D �R �1,0 Tính I AB đường không cắt Ox từ A(0,0) tới B(1,1) 12 Bài Chứng minh tích phân I� 2x sin ydx x cos y 3y dy C không phụ thuộc vào đường 25sin1 lấy tích phân Tính I C đường nối A(-1,0) tới (5,1) Bài Tính tích phân sau theo hai cách: trực tiếp dùng công thức Green: xy2dx x 3dy � � a) L 5x � với L hình chữ nhật OABC với O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3) 4y dx 4y3 3x dy b) L với L cung x a y2 nối A(0,-a) đến B(0,a) a a>0 Bài Dùng cơng thức Green tính tích phân sau yexy 2x cos y x y dx xexy x sin y xy2 xy dy � � a) C C đường tròn 3 2 x y 2x lấy theo chiều ngược kim đồng hồ �x � x y cos xy dx xy x x cos xy dy � � � �3 � � � với L cung tròn x cos t; y sin t b) L 2 3 12 lấy theo chiều tăng t: �t � x � y 2x y dx xy x 2y dy c) L 2 x y 2y x �0 với L nửa đường tròn 3 4 từ O(0,0) đến A(0,2) x y dx y � �xy ln x � � � � � � d) L x 1 y 1 � x y2 � dy � � � � lấy theo chiều dương 13 L đường 5 tròn e x cos y 1 dx e x y sin y dy � e) L với L đường cong y sinx chạy từ A ,0 đến e O(0,0) Bài Tính tích phân mặt loại sau: a) zdS � � S với S phần mặt paraboloid b) z dS � � S x yz � � c) S phần mặt cầu S dS phẳng z x y2 z a a 0; x, y,z �0 60 a 2 x y nằm hai mặt phẳng z mặt với S phần mặt trụ 16 d) Tính tích phân mặt: z x y nằm mặt phẳng z 391 17 1 I� zdS, � S 2 S phần mặt nón tròn xoay z x y2 bị chắn 52 hai mặt trụ x y x y Bài Tính tích phân mặt loại hai sau: a) 2 x dydz y dzdx z dxdy � � S S phía ngồi mặt nón (không kể đáy) b) ydydz xdzdx 4dxdy � � S c) S 2 2 S phần mặt cầu x y z nằm góc phần tám thứ hướng xdydz ydzdx zdxdy � � x y z �z �1 S mặt xung quanh tứ diện giới hạn bới mặt phẳng x 0, y 0,z mặt x y z hướng phía ngồi 14 d) xdydz ydzdx zdxdy � � S 2 2 S phía ngồi mặt cầu x y z a 4a Bài Dùng định lý Stokes tính tích phân sau: y z dx z x dy x y dz � � 2 a) L L elip giao mặt trụ x y a mặt phẳng x z a (a>0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz nhìn 4a xuống x y3dx dy zdz � � b) L 2 L đường tròn x y a , z lấy theo chiều ngược chiều a kim đồng hồ nhìn từ bên x 2zdx xy 2dy z 2dz � � c) L 2 L đường cong x y 9, x y z có hướng ngược 81 chiều kim đồng hồ nhìn từ bên Bài 10 Dùng cơng thức Ostrogradski – Gauss đề tính tích phân sau: a) xdydz ydzdx z dxdy � � S với S phía ngồi nửa mặt cầu (khơng kể phần hình tròn nằm mặt phẳng Oxy) b) xdydz y dzdx dxdy � � S có S mặt xung quanh khối trụ c) S có S mặt xung quanh khối trụ x y �a a , a �z �a x y �2ax a ,0 �z �a 4a (không kể hai đáy) hướng d) 11 a (khơng kể hai đáy) hướng ngồi xdydz ydzdx zdxdy � � x y z 2x z �0 y z dydz z x dzdx x y dxdy � � S kể đáy hướng 15 với S mặt nón x y z �z �h không e) S f) g) 2 2 có S mặt cầu x y z hướng 2 2 x dydz y dzdx z dxdy � � S x3 � � có S mặt cầu x y z hướng 12 x dydz y dzdx z dxdy � � y z dydz S 2 S mặt ngồi vật thể V giới hạn bởi: y z �x , �x �1 ; h) xzdydz x � � ydzdx y zdxdy S có S phía ngồi mặt nằm góc phần tám thứ tạo 2 2 nên mặt z x y ; x y mặt phẳng tọa độ x=0,y=0,z=0 16 CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Giải phương trình tách biến sau: a) x ydx y xdy b) e y ln ex 2 e x yy ' e x ; y x 3e tanydx c) d) ln xy x y C ex cos y dy tan y C e x y' e x y e x y ; y arctan e y e x arctan e Bài Giải phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) sau: y' a) b) c) xy xy x y Ce x y ' x y 0, y 1 xy' x tan y y y 0, y 1 x e) Ce y y sin , y 1 x x f) xy ' y x y 1 x cos tan arctan x 3x tan ln x x sin y� y � y ' �x sin � x ysin x� x � d) y' y x x y x 2x y x sin ln Cx ; y �x x y2 y Bài Giải phương trình đưa phương trình sau: a) x y dx 2y x 1 dy b) x y dx 2x 2y dy c) x y 2 x y 4 y ' x 2xy 2y 2y C x y ln x y x C; y x x 2xy y 4x 8y C 17 Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: a) y x y ' xy 1, y 2 y ' y x2 x 1 b) � �x x C� � � x 1� �4 � � 1 sinx � y cos x � C ln sinx � � sinx � c) y ' y tan x sin x d) y xy ' y 'ln y e) � ln x x � � � � x 1 � y y' x Cy ln y x cos y sin 2y x Cesin y sin y 1 Bài Giải phương trình vi phân Bernoulli: a) xy ' y xy b) x C ln x y y 2xy y dx xdy y c) xy ' y y ln x y d) xy ' 2xy ln x y e) y ' y y x 1 y x 1 x x C Cx ln x 1 x ln x C x 1 C x 1 ;y Bài Giải PTVP toàn phần sau: a) 2x y 1 dx 2y x 1 dy b) 1 x x y dx 2 x x y x 1 y C x y ydy 18 y2 x x y2 C � c) x y dx �x � 1� dy � y� x2 xy ln y C Bài Giải PTVP dùng thừa số tích phân sau: a) e x ;e x x sin y y cos y sin y C x sin y y cos y dx x cos y ysin y dy �x � �x � dx � 1� dy � 1� y y � � � � b) y, x 2xy y C c) x y dx x y x dy x d) y x y dx 2x yx dy y,3xy x y3 C e) sin sin y , x C x x2 f) 2 yx 2 , xy 2x y Cx dx x sin 2ydy 2xy y dx xdy y , y x x C Bài Tìm nghiệm riêng PTVP sau thỏa mãn điều kiện cho: a) b) y 3cos 4y '' y 0, y 3, y 4 4y '' 4y ' y 0, y 1, y ' 1.5 y x e2 x x 4sin 2 x 2xe c) y '' y ' y Bài Giải PTVP sau phương pháp hệ số bất định: a) y '' 3y ' 2y x b) y '' y ' xe x , y 2, y ' 2x c) y '' 4y ' 4y 4e y C1e 2x C 2e x x x 2 x x� � y e � x 2� �2 � � � y C1 C2 x 2x e 2x 19 d) y '' 3y ' 2y 12x e x e) y '' 3y ' 2y xe f) y C1e x C 2e 2x xe x 6x y C1e x C 2e 2x e3x 2x 3x y C1 cos 3x C sin 3x x sin 3x y '' 9y 6cos3x � � y '' y 2sin x, y 1, y � � �2 � g) y cos x sin x x cos x h) y'' 2y' y x cos x 1 y C1 C x e x cos x x 1 sin x 2 i) j) x y '' y xe 2e y C1 cos x C2 sin x e x x 1 e x x x y '' y ' e 2cos x y C1 C 2e x e x cos x sin x Bài 10 Giải PTVP sau phương pháp biến thiên số Lagrange: a) b) c) d) y '' 4y ' 5y y '' 2y ' y y '' y ' e 2x cos x ex 1 x 1 e y e x K1 K x x arctan x ln x y A Be x ln e x x e x ln e x x x y '' 3y ' 2y y� ln cos x A � e 2x cos x x B e 2x sinx � � 1 e x y Ae x Be 2x e x (ln e x 1) e 2x ln(1 e x ) Bài 11 Giải phương trình Euler sau: a) x y '' xy ' y cos ln x b) x y '' xy ' y 2sin ln x y C1x C2 x ln x sin ln x y C1 cos ln x C2 sin ln x ln x.cos ln x y C1 cos ln x C sin ln x c) x y '' xy ' y x 20 x x Bài 12 Giải phương trình xy '' 2y ' xy e phép đổi hàm z yx y Đáp số 1� x � C1e C2e x xe x � � x� � Bài 13 Giải hệ PTVP sau: a) �x ' 2x 5y � �y ' 3x 4y t 7t � �x 5C1e C2e � y 3C1e t C2e7t a) � b) �x ' 2x y � �y ' x 4y 3t � �x C1 C2 t e � 3t �y C1 C2 C2 t e c) b) � 21 c) �x ' 2x 2y � �y ' 8x 2y 2t � �x C cos 4t Dsin 4t e � 2t � �y 2D cos 4t 2Csin 4t e ... e � x 2 2 � � � y C1 C2 x 2x e 2x 19 d) y '' 3y ' 2y 12x e x e) y '' 3y ' 2y xe f) y C1e x C 2e 2x xe x 6x y C1e x C 2e 2x e3x 2x 3x y... 2x y � �y ' x 4y 3t � �x C1 C2 t e � 3t �y C1 C2 C2 t e c) b) � 21 c) �x ' 2x 2y � �y ' 8x 2y 2t � �x C cos 4t Dsin 4t e � 2t � �y 2D cos 4t 2Csin... 0;0; 2) (- a 1; 1 2; - a b) c) ) , cực đại ( a 2; a ) d) cực đại (2; 2;-1), cực tiểu ( -2; -2; 1) e) Cực đại (1;1;1) 20 a) cực tiểu; (3;1) không cực trị max f = f ( 1 ,2) = 4;minf = f ( 2, 4) =-