1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Tổng hợp bài tập Giải tích 2

21 126 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 21
Dung lượng 770,39 KB

Nội dung

Tài liệu tổng hợp các bài tập Giải tích 2 bao gồm các nội dung: hàm nhiều biến số; tích phân bội; tích phân đường và tích phân mặt; phương trình vi phân.

BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài Tìm miền xác định hàm số sau: z = arcsin a) x u= y2 b) lim ( x,y) �( 0,0) Bài Tìm giới hạn f ( x, y) = a) trường hợp: f ( x, y) = x2 + y2 c) x + y2 f ( x, y) = x + y2 + - b) ln - x - y - z f ( x, y) x - y2 f ( x, y) = ( d) x - sin y x + 2y x2y x + y2 Bài Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho: �x10 sin cos � � x10 y10 f ( x, y) = � e , xy �0 � � 1, xy = � � a) � � + x ( ) x cos y e , x �0 f ( x, y ) = � � � � e, x =0 � b) c) d) điểm (0,0) cos x � � � + sin xy xy , xy �0 ( ) f ( x, y) = � � � e, xy = điểm (0,0) � � x - y2 � sin , xy �0 � f ( x, y) = � � x + y2 � � � 0, xy = � điểm (0,0) �2 � x + y sin , x + y �0 � � x +y f ( x, y) = � � � � 0, x + y2 = � điểm (0,0) � x - y2 � , x + y �0 � � 2 f ( x, y) = �x y +( x - y) � � � 0, x + y = điểm (0,0) � � ( e) f) điểm (0,0) ) ) ( ) �x x - y2 � � , x �y � 4 f ( x, y) = � x - y � � 2 � � a, x = y � g) điểm (0,0) Bài Tìm đạo hàm riêng z 'x , z'y hàm số x z = arctan y a) z= x2 y b) x y xy z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0) z = Bài Cho hàm số Tính định nghĩa Hàm số có khả vi điểm O(0,0) hay khơng? Bài Chứng minh hàm số z 'x ( 0,0) ; z 'y ( 0,0) z ( x, y) = xy liên tục taị điểm O(0,0), có hai đạo hàm riêng , không khả vi điểm �� � e f ( x, y) = � � � � � 0, � Bài Khảo sát tính khả vi hàm số Bài Cho hàm số z = arccos ( x ln y) Tính x +y , x + y �0 x + y2 = điểm (0,0) dz ( 0,1) ;d 2z ( 0,1) Bài Ứng dụng công thức số gia vi phân tồn phần để tính gần a) b) ( 1.02) + ( 1,97) 3e0,04 +( 1,02) Bài 10 Cho tan c) d) p + 0,01 3,98 ( 1,02) 4,05 z = z ( x, y ) hàm số xác định hệ thức F( x - az, y - bz ) = a, b số, �z �z +b x �y F hàm khả vi Tìm biểu thức � a ( ) ( ) z = yf x - y u = y + g x - y2 f ,g Bài 11 Giả sử hàm khả vi Đặt Chứng minh a) ' z z x + z 'y = x y y b) yu 'x + xu 'y = x � � x - y - 2� F� , =0 � � � � z = z ( x, y) F( u, v) � � z z Bài 12 Cho hàm số xác định từ phương trình (trong u= hàm khả vi theo �z �z x- y- ( x - 1) +( y - 2) = z - ,v = �x �y z- z - Chứng minh ' ' '' '' 2 z , z ,z ,z Bài 13 Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tính x y xx yy biết x + y + z = 4xyz Bài 14 Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm x z = ln +1 dz ( 1,1) ;d z ( 1,1) biết z = z ( x, y) hàm ẩn xác định từ z y a) ; x ye z dz ( 0,1) biết z = z ( x, y) hàm ẩn xác định từ z =0 ; d y ( 0) biết y = y ( x ) hàm ẩn xác định từ x + y3 - 3xy - = c) b) Bài 15 Tìm đạo hàm riêng cấp hai hàm số a) z = x ln y + tan ( xy) b) z = x y z  arctan c) x y Bài 16 Tìm đạo hàm u điểm A ( ) uuu r max u = ln x + x + y + z OA a) điểm A(1,2,-2) Tìm r r theor hướng r b) u = x sin yz theo hướng l = i + j - k điểm A(1,3,0) u = arcsin c) �u(A) r �l z uuu r x + y2 với A (1,1,1) theo hướng AN , N(3,2,3) Bài 17 2 f x, y = 2x xy y - 6x - 3y + thành công thức Taylor lân ( ) a) Khai triển hàm số cận điểm (1,-2) b) Khai triển hàm số f ( x, y) = - x - y thành công thức Macloranh đến số hạng cấp bốn Bài 18 Tìm cực trị hàm số sau 2 f x, y = 2x + 4y x 4y ( ) a) f ( x, y) = arccot x - y2 + 2y b) y2 z 2 f ( x, y, z ) = x + + + (x, y, z > 0) 4x y z c) f ( x, y,z ) = x + y + z + 2x + 4y - 6z d) e) f ( x, y) = x + y - 2( x + y) f) f ( x, y) = x + y - x - 2xy - y 2 z ( x, y) = y - ( x - 1) g) z ( x, y) = x - 2x y + y - y3 h) i) j) z ( x, y) = e- x ( 3y - y3 - x ) z  x, y   3x y  x  y Bài 19 Tìm cực trị có điều kiện u = x + y + z thỏa mãn điều kiện y - x =1, z - xy =1 a) 1 1 + 2= z= + y a x y thỏa mãn điều kiện x b) 2 c) u = x + y + z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 z2 + =1 2 x + y +z =9 d) u = 2x + 2y - z thỏa mãn điều kiện � x + y2 = � (x, y,z > 0) � � y + z = u = xy + yz e) thỏa mãn điều kiện � Bài 20 Tìm GTLN, GTNN hàm số f miền đóng D a) b) f ( x, y) = 4xy - x y - xy3 , D D ABC với A(0,0), B(0,6), C(6,0) f ( x, y) = x + y - 12x +16y, D = ( x, y ) : x + y �25 { } c) f ( x, y) = x y + xy - 3xy, D = { ( x, y ) : �x �2;0 �y �2} d) f ( x, y) = x + y - x - 2y, D = { ( x, y) : �x;0 �y; x + y �2} � � x y2 � f ( x, y) = 9x - 4y , D = � x, y : + � ( ) � � � � � � e) Đáp án chương I 2 1.a) - y �x �y trừ điểm Ox; 2.a) Không tồn tại; b) 4; 2 b) x + y + z 0) } 3pa D { dxdy, D = ( x, y ) : x + y �4, x �0 ( p - e- } ) D dxdy d) � �x + y2 , D 2 D miền nằm góc phần tư thứ bị chặn đường tròn p ln x + y =1, x + y = � �x dxdy, D = {( x, y) : ( x - 1) y e) } + y �1, x + y �1, y �0 D � � f) D y 4+x +y { - 2ln ; dxdy, D = ( x, y ) : x + y �4, y �0, x �0 } ; � � 2� � � � x y xy � � � � � xydxdy, D = x, y : � + � ; x � 0, y � ( ) � � � � � � � � � � 9� � � � D � � g) Bài Dùng tích phân hai lớp tính diện tích hình phẳng ( - 2ln + 12 ) 1 y  x  1, y  x  3, y   x  1, y   x  2 a) Giới hạn 2 16 b) Nằm hai đường tròn x + y = 2x x + y = 3y c) Bị chặn đường cong y = ax, y = bx, xy =1, xy = 2( < a < b ) d) x + y2 ) ( Giới hạn đường cong (L): e) x + y2 ) ( Giới hạn đường cong (L): ( = a x - y2 ) ( a > 0) 5p b ln a a2 5p = 4x Bài Tính diện tích mặt cong a) Là giao mặt trụ x + z = a , y + z = a ( a > 0) 16a 2 2 2 x + y = ay ( a > 0) x + y + z = a b) Là phần mặt cầu nằm hình trụ 2pa - 4a 2 x  y  2ax  a   c) Là phần mặt z  x  y nằm hình trụ 2a 2 d) Là phần mặt paraboloid y  z  2x nằm miền góc phần tư thứ (của 3 1  12 mặt Oxy) giới hạn đường x  y x  Bài Tính thể tích V vật thể 2 2 a) Giới hạn mặt trụ x + y = 2y mặt cầu x + y + z = 16( 3p- 4) b) Xác định bất đẳng thức 24 �z �2 - x - y, �y �1, �2x + y, x + y �1 c) Trên mặt nón z= x +y 2 2 nằm mặt cầu x + y + z =1 p 23 ( ) d) Trên mặt nón z= x +y nằm mặt cầu 2 x +y +z =z 2 e) Bị chặn paraboloid 2z = x + y z = - x - y f) Bị chặn paraboloid p 64p z = x + y2 +1 mặt phẳng z = g) Giới hạn mặt cong 2 z = - x - y z = x + y 8p 32p 81p h) Giới hạn mặt có phương trình 2z = x + y ; x + z = 16a 3 x + y = a x + z = a i) Bị chặn hai hình trụ Bài Tính thể tích vật thể giới hạn mặt đóng a) ( x + y2 + z b) ( x + y2 + z ) ) = 2z x + y ( x, y,z > 0) p 30 =x p ( ) Bài 10 Tính tích phân bội ba sau dxdydz a) � � �( x + y + z +1) V V miền giới hạn mặt 1� 5� � � ln � � � � 2� 8� x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =1 b) x sin zdxdydz � � � V phẳng V miền giới hạn x  0, y  0, z  0, z  , x  y  � � x2 z2 � � x y zdxdydz; V = x, y, z : + y + � ( ) � � � � � � � � � V c) 2 10 � � �x dxdydz d) V 2 z = x y V giới hạn (Oxy) hai nửa mặt cầu z = 16 - x - y � e) ( x + y) � � �� � V 2 - z� dxdydz � � ( z - 1) = x + y x � � �ze f) V vật thể bị chặn (Oxy) mặt nón p 60 dxdydz V nón 2 V vật thể nằm mặt cầu x + y + z = mặt z = x + y2 � � �z g) +y 1562p 15 p( e - 2) x + y dxdydz V V vật thể giới hạn bới mặt trụ 16a x + y = 2x, �z �a ( 4p R - r 2 2 2 � � �( x + y ) dxdydz; V = {( x, y,z) : r �x + y + z �R ,z �0} h) i) j) k) V 15 ; zxdxdydz � � � V V vật thể giới hạn bới { x  y  z  a , z   z �0  } � � �x + y2 + z dxdydz;V = ( x, y,z ) : x + y + z �2z � � �x + 4y + 9z dxdydz;V = ( x, y, z ) : x + 4y + 9z �1, x, y, z �0 V { V 11 8p } p ; 48 ) CHƯƠNG III TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Bài Tính tích phân đường loại sau xyds � a) L b) c) d) e)  với L đường ds �x - y L  5 1 x  2t, y  t , t � 0,1 y= x- 2 với L đoạn thẳng nằm hai điểm A(0;-2) B(4;0) �x + y2 ds �x �x x - y ds L + y2 ds L L ln 2 với L đường tròn x + y = ax (a > 0) 2a 2 A ( 1, - 1) đến B( 1,1) với L nửa đường tròn x + y = 2x , x �1 chạy từ với L đường (x +y 2 ) ( =a x - y ) ( x �0) 2a 3 Bài Tính tích phân đường loại hai sau: �xydx +( x a) y) dy L 17 L đường gấp khúc OAB với O(0,0); A(2,0); B(3,2) �( x + y) dx + xydy b) L i) y = x L cung nối O(0,0) với A(1,1) theo đường ii) x = y iii) gấp khúc OBA với B(0,1)   x  dy  2xydx I �   x   y không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Bài Chứng minh tích phân AB miền đơn liên, liên thông 2 D �R    �1,0   Tính I AB đường không cắt Ox từ  A(0,0) tới B(1,1) 12 Bài Chứng minh tích phân   I� 2x sin ydx  x cos y  3y dy C không phụ thuộc vào đường 25sin1  lấy tích phân Tính I C đường nối A(-1,0) tới (5,1) Bài Tính tích phân sau theo hai cách: trực tiếp dùng công thức Green: xy2dx  x 3dy � � a) L  5x � với L hình chữ nhật OABC với O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3)     4y dx  4y3  3x dy b) L với L cung x  a  y2 nối A(0,-a) đến B(0,a) a  a>0 Bài Dùng cơng thức Green tính tích phân sau  yexy  2x cos y  x y  dx   xexy  x sin y  xy2  xy  dy � � a) C C đường tròn 3 2 x  y  2x  lấy theo chiều ngược kim đồng hồ �x � x  y cos xy dx   xy  x  x cos xy dy � � � �3 � � � với L cung tròn x  cos t; y  sin t b) L   2  3   12 lấy theo chiều tăng t: �t �  x �    y  2x  y dx  xy  x  2y dy c) L 2 x  y  2y  x �0  với L nửa đường tròn 3 4 từ O(0,0) đến A(0,2) x  y dx  y � �xy  ln  x  � � � � � � d) L  x  1   y  1   � x  y2 � dy � � � � lấy theo chiều dương 13 L đường 5 tròn e x  cos y  1 dx  e x  y  sin y  dy � e) L với L đường cong y  sinx chạy từ A  ,0  đến e  O(0,0) Bài Tính tích phân mặt loại sau: a) zdS � � S với S phần mặt paraboloid b) z dS � � S x yz � � c) S phần mặt cầu S  dS phẳng z  x  y2  z  a  a  0; x, y,z �0  60 a 2 x  y  nằm hai mặt phẳng z  mặt với S phần mặt trụ 16 d) Tính tích phân mặt: z  x  y nằm mặt phẳng z   391 17  1  I� zdS, � S 2 S phần mặt nón tròn xoay z  x  y2 bị chắn 52  hai mặt trụ x  y  x  y  Bài Tính tích phân mặt loại hai sau: a) 2 x dydz  y dzdx  z dxdy � � S S phía ngồi mặt nón  (không kể đáy) b) ydydz  xdzdx  4dxdy � � S c) S  2 2 S phần mặt cầu x  y  z  nằm góc phần tám thứ  hướng xdydz  ydzdx  zdxdy � � x  y  z  �z �1 S mặt xung quanh tứ diện giới hạn bới mặt phẳng x  0, y  0,z  mặt x  y  z  hướng phía ngồi 14 d) xdydz  ydzdx  zdxdy � � S 2 2 S phía ngồi mặt cầu x  y  z  a 4a Bài Dùng định lý Stokes tính tích phân sau:  y  z  dx   z  x  dy   x  y  dz � � 2 a) L L elip giao mặt trụ x  y  a mặt phẳng x  z  a (a>0) có hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz nhìn 4a xuống x y3dx  dy  zdz � � b) L 2 L đường tròn x  y  a , z  lấy theo chiều ngược chiều a  kim đồng hồ nhìn từ bên x 2zdx  xy 2dy  z 2dz � � c) L 2 L đường cong x  y  9, x  y  z  có hướng ngược 81 chiều kim đồng hồ nhìn từ bên Bài 10 Dùng cơng thức Ostrogradski – Gauss đề tính tích phân sau: a) xdydz  ydzdx  z dxdy � � S với S phía ngồi nửa mặt cầu (khơng kể phần hình tròn nằm mặt phẳng Oxy) b) xdydz  y dzdx  dxdy � � S có S mặt xung quanh khối trụ c) S có S mặt xung quanh khối trụ x  y �a  a   ,  a �z �a x  y �2ax  a   ,0 �z �a 4a (không kể hai đáy) hướng d) 11 a (khơng kể hai đáy) hướng ngồi xdydz  ydzdx  zdxdy � � x  y  z  2x  z �0   y  z  dydz   z  x  dzdx   x  y  dxdy � � S kể đáy hướng 15 với S mặt nón x  y  z  �z �h  không e) S f) g) 2 2 có S mặt cầu x  y  z  hướng 2 2 x dydz  y dzdx  z dxdy � � S x3 � � có S mặt cầu x  y  z  hướng 12 x dydz  y dzdx  z dxdy � � y  z dydz S 2 S mặt ngồi vật thể V giới hạn bởi: y  z �x , �x �1 ;  h) xzdydz  x � � ydzdx  y zdxdy S có S phía ngồi mặt nằm góc phần tám thứ tạo 2 2 nên mặt z  x  y ; x  y  mặt phẳng tọa độ x=0,y=0,z=0 16  CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài Giải phương trình tách biến sau: a)   x  ydx    y  xdy  b)   e y  ln  ex 2   e x yy '  e x ; y    x 3e tanydx  c) d) ln xy  x  y  C  ex cos y  dy  tan y  C  e x y'  e x  y  e x  y ; y      arctan e y  e x  arctan e  Bài Giải phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất) sau: y'  a) b) c) xy xy  x  y  Ce  x y ' x  y  0, y  1  xy' x tan y y   y  0, y  1  x e) Ce y y   sin , y  1  x x f) xy '   y x  y 1 x cos tan arctan x  3x tan ln x x sin y� y � y ' �x sin � x  ysin x� x � d) y'  y x x y x 2x y  x sin  ln Cx  ; y  �x x  y2  y Bài Giải phương trình đưa phương trình sau: a)  x  y  dx   2y  x  1 dy  b)  x  y   dx   2x  2y   dy  c)  x  y  2   x  y  4 y '  x  2xy  2y  2y  C  x  y  ln x  y   x  C; y   x x  2xy  y  4x  8y  C 17 Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: a)   y x  y ' xy  1, y    2 y ' y  x2 x 1 b) � �x x   C� � � x 1� �4 � � 1  sinx � y  cos x � C  ln  sinx � �  sinx � c) y ' y tan x  sin x d) y  xy ' y 'ln y e)  �  ln x  x  � � � � x 1 � y y'   x  Cy   ln y x cos y  sin 2y x  Cesin y   sin y  1 Bài Giải phương trình vi phân Bernoulli: a) xy ' y   xy b)   x  C  ln x  y  y 2xy  y dx  xdy  y c) xy ' y  y ln x y d) xy ' 2xy ln x  y  e) y ' y y   x  1 y  x 1 x x C Cx  ln x  1  x ln x  C   x  1  C  x  1 ;y  Bài Giải PTVP toàn phần sau: a)  2x  y  1 dx   2y  x  1 dy  b) 1 x x y  dx   2 x  x  y   x  1 y  C  x  y  ydy  18 y2 x  x  y2   C � c)  x  y  dx  �x  � 1� dy  � y� x2  xy  ln y  C Bài Giải PTVP dùng thừa số tích phân sau: a) e x ;e x  x sin y  y cos y  sin y   C  x sin y  y cos y  dx   x cos y  ysin y  dy  �x � �x � dx  �  1� dy  �  1� y y � � � � b) y, x  2xy  y  C c)   x y dx  x  y  x  dy   x d)  y  x y  dx   2x  yx  dy  y,3xy  x y3  C e)  sin sin y , x C x x2 f)  2 yx 2 , xy  2x y   Cx  dx  x sin 2ydy   2xy  y dx  xdy  y , y x x C Bài Tìm nghiệm riêng PTVP sau thỏa mãn điều kiện cho: a) b) y  3cos 4y '' y  0, y    3, y     4 4y '' 4y ' y  0, y    1, y '    1.5 y x  e2 x x  4sin 2 x  2xe c) y '' y ' y  Bài Giải PTVP sau phương pháp hệ số bất định: a) y '' 3y ' 2y  x b) y '' y '  xe x , y    2, y '    2x c) y '' 4y ' 4y  4e y  C1e 2x  C 2e  x  x  x  2 x x� � y  e �  x  2� �2 � � �   y  C1  C2 x  2x e 2x 19 d) y '' 3y ' 2y   12x   e x e) y '' 3y ' 2y  xe f) y  C1e x  C 2e 2x  xe x   6x  y  C1e x  C 2e 2x  e3x  2x   3x y  C1 cos 3x  C sin 3x  x sin 3x y '' 9y  6cos3x � � y '' y  2sin x, y    1, y � � �2 � g) y  cos x  sin x  x cos x h) y'' 2y' y  x cos x 1 y   C1  C x  e x  cos x   x  1 sin x 2 i) j) x y '' y  xe  2e y  C1 cos x  C2 sin x  e x  x  1  e  x x x y '' y '  e  2cos x y  C1  C 2e  x  e x  cos x  sin x Bài 10 Giải PTVP sau phương pháp biến thiên số Lagrange: a) b) c) d) y '' 4y ' 5y  y '' 2y ' y  y '' y '  e 2x cos x ex 1 x 1 e  y  e x K1  K x  x arctan x  ln x         y  A  Be x  ln  e x  x   e x ln  e x  x x y '' 3y ' 2y  y� ln cos x  A � e 2x cos x   x  B  e 2x sinx � � 1 e x   y  Ae x  Be 2x  e x (ln  e  x  1)  e 2x ln(1  e  x ) Bài 11 Giải phương trình Euler sau: a) x y '' xy ' y  cos  ln x  b) x y '' xy ' y  2sin  ln x  y  C1x  C2 x ln x  sin  ln x  y  C1 cos  ln x   C2 sin  ln x   ln x.cos  ln x  y  C1 cos  ln x   C sin  ln x   c) x y '' xy ' y  x 20 x x Bài 12 Giải phương trình xy '' 2y ' xy  e phép đổi hàm z  yx y Đáp số 1� x � C1e  C2e  x  xe x � � x� � Bài 13 Giải hệ PTVP sau: a) �x '  2x  5y � �y '  3x  4y t 7t � �x  5C1e  C2e � y  3C1e  t  C2e7t a) � b) �x '  2x  y � �y '   x  4y 3t � �x   C1  C2 t  e � 3t �y   C1  C2  C2 t  e c) b) � 21 c) �x '  2x  2y � �y '  8x  2y 2t � �x   C cos 4t  Dsin 4t  e � 2t � �y   2D cos 4t  2Csin 4t  e ...  e �  x  2 2 � � �   y  C1  C2 x  2x e 2x 19 d) y '' 3y ' 2y   12x   e x e) y '' 3y ' 2y  xe f) y  C1e x  C 2e 2x  xe x   6x  y  C1e x  C 2e 2x  e3x  2x   3x y... 2x  y � �y '   x  4y 3t � �x   C1  C2 t  e � 3t �y   C1  C2  C2 t  e c) b) � 21 c) �x '  2x  2y � �y '  8x  2y 2t � �x   C cos 4t  Dsin 4t  e � 2t � �y   2D cos 4t  2Csin... 0;0; 2) (- a  1; 1 2; - a b) c) ) , cực đại ( a 2; a ) d) cực đại (2; 2;-1), cực tiểu ( -2; -2; 1) e) Cực đại (1;1;1) 20 a) cực tiểu; (3;1) không cực trị max f = f ( 1 ,2) = 4;minf = f ( 2, 4) =-

Ngày đăng: 23/06/2020, 19:01

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w