Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết

Trong các bài toán liên quan đến việc tính thể tích khối lăng trụ thì bài toán về khối lăng trụ xiên thường có độ phức tạp nhiều hơn, vì việc xác định và tính độ dài đường cao của khối lăng trụ xiên là khó khăn hơn và các giả thiết đi kèm cũng có sự đa dạng nhiều hơn.

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt  ′BC= 30° Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy B a3 a3 a3 a3 B C D 12 18 Câu Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = , AD = , A′C = mặt phẳng ( AA′C ′C ) vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với A Thể tích khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ bằng? A V = B V = C V = 12 D V = 10 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H điểm cạnh SD cho 5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần V lượt E, F Tính tỉ số thể tích C BEHF VS ABCD A B C D 20 35 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt  ′BC= 30° Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy B góc α thỏa mãn tan α = a3 ABC= 60° Câu Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A cạnh BC = 2a   Biết tứ giác BCC ′B′ hình thoi có B′BC nhọn Biết ( BCC ′B′ ) vng góc với ( ABC ) A a3 B a3 12 ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc a3 A C a3 18 D 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 B 3a C 6a D ABC= 30° Điểm M trung điểm Câu Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A ,  cạnh AB , tam giác MA′C cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 72 2a 24 2a 24 3a 72 3a A B C D 7 7 Câu Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A′B ′C ′D ′ có đáy ABCD hình vng cạnh a thể tích 3a Tính chiều cao h lăng trụ cho a A h = 9a B h = C h = a D h = 3a Câu Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy B A V = B h B V = Bh C V = Bh D V = π Bh Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình vng cạnh a Các cạnh bên tạo với đáy góc 60o Đỉnh A′ cách đỉnh A, B, C , D Trong số đây, số ghi giá trị thể tích hình lăng trụ nói trên? https://toanmath.com/ a3 a3 a3 a3 B C D 2 Câu 10.Tính thể tích V khối lăng trụ có diện tích mặt đáy 3 cm chiều cao cm A A V = ( cm3 ) B V = 12 ( cm3 ) ( ) D V = cm3 cm3 ) ( Câu 11.Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB′ = 3cm đường thẳng AB′ vng góc với đường thẳng BC ′ Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 27 A B 3cm3 C D cm3 cm3 cm3 16 Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm cạnh BC Góc BB  mặt phẳng  ABC  60 C V = Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C  2a 3 a3 3a 3 a3 A B C D 8 ′A A= ′B A= ′C a Câu 13 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , biết A= Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ ? a3 a3 3a a3 B C D A 4 4 Câu 14 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có diện tích tứ giác ABCD 12 , khoảng cách hai mặt phẳng ( ABCD ) ( A′B′C ′D′ ) Tính thể tích V khối hộp B V = C V = 24 D V = 72 A V = 12 Câu 15 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh AB = 2a Biết AC ′ = 8a tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối đa diện ABCC ′B′ 16a 8a 16a 3 8a 3 A B C D 3 3 Câu 16 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Gọi E trọng tâm tam giác A′B′C ′ F trung điểm BC Tính tỉ số thể tích khối B′.EAF khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 1 1 A B C D Câu 17 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh 2a , hình chiếu A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Biết góc hai mặt phẳng ( ABA′ ) ( ABC ) 45° Tính thể tích V khối chóp A.BCC ′B′ 3a A a B V = a C a 3 D Câu 18 Cho khối lăng trụ tích V , diện tích đáy B chiều cao h Tìm khẳng định đúng? A V = 3Bh B V = Bh C V = Bh D V = Bh Câu 19 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông B,  ACB = 60 , BC = a, AA′ = 2a Cạnh bên tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 A B C D a 3 Câu 20.Cho ( H ) khối lăng trụ có chiều cao 3a, đáy hình vng cạnh a Thể tích ( H ) A 4a https://toanmath.com/ B 2a C 3a D a ABC = 120° Góc cạnh Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình thoi cạnh a  bên AA′ mặt đáy 60° , điểm A ' cách điểm A , B , D Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu 22 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC A a3 a Khi thể tích khối lăng trụ a3 a3 B C 24 D a3 12 Câu 23 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng a Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 24 Câu 24 Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a, b, c Thể tích khối hộp A V = abc B V = a + b + c AA′ BC C V = D V = (b + c − a )( c + a − b )( a + b − c ) 2 2 ( b + c − a )( c + a − b2 )( a + b2 − c ) Câu 25 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng a Khi thể tích khối lăng trụ a3 a3 a3 a3 A B C D 24 36 12 Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , đáy ABC tam giác cạnh x Hình chiếu đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ = x Khi thể tích khối lăng trụ là: AA′ BC x3 39 x3 x3 11 x3 11 A B C D 12 Câu 27 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình chữ nhật với = AB = 3, AD cạnh bên Hai mặt bên ( ABB′A′ ) ( ADD′A′ ) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối hộp A 3 B 7 C D Câu 28 Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy B A V = Bh https://toanmath.com/ B V = Bh C V = Bh D V = Bh Câu 29 Cho lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy ABC tam giác vng C , cạnh AC = 5a Hình chiếu vng góc A1 lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnh AC , góc mặt phẳng ( AA1 B1 B ) với ( AA1C1C ) 30o , cạnh bên lăng trụ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V lăng trụ ABC A1 B1C1 ? a3 a3 3.a 3.a A V = B V = C V = D V = 24 24 Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cạnh a , đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy 60° Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 a B V = C V = a D V = A V = a a 4 Câu 31 Khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 30° Hình chiếu đỉnh A′ mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ cho a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu 32 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân A , cạnh AC = 2 Biết AC ′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60° AC ′ = Tính thể tích V khối đa diện ABCB′C ′ 16 8 16 B V = C V = D V = 3 3 Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ tích 30 Gọi I , J , K trung điểm AA′, BB′, CC ′ Tính thể tích V tứ diện CIJK 15 A V = B V = 12 C V = D V = Câu 34 Khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác đều, a độ dài cạnh đáy Góc cạnh bên đáy 30° Hình chiếu vng góc A′ mặt ( ABC ) trùng với trung điểm BC Thể A V = tích khối lăng trụ cho A a3 B a3 C a3 D a3 12 ABC = 120° Góc Câu 35 Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O  cạnh bên AA′ mặt đáy 60° Đỉnh A′ cách điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 3a A V = B V = C V = D V = a 3 Câu 36 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình chữ nhật với = AB = 3, AD cạnh bên Hai mặt bên ( ABB′A′ ) ( ADD′A′ ) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối hộp B 7 C D A 3 ′ ′ ′ Câu 37 Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng ( ) AA′ BC https://toanmath.com/ a Tính thể tích V khối lăng trụ ABCA′B ′C ′ a3 a3 a3 a3 B V = C V = D V = 12 24 Câu 38 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên AA′ = a , góc AA′ mặt phẳng đáy 30° Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a a3 a3 a3 a3 A B C D 12 24 Câu 39 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA′ A V = a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 24 Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh 3a , hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh AA ' hợp với mặt phẳng đáy BC góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính theo a 9a 27 a 3a 27 a A B C D 4 Câu 47 Khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a , đường cao a tích a3 a3 B C a 3 D 2a 3 Câu 48 Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 ; khoảng cách cạnh CC1 mặt A phẳng ( ABB1 A1 ) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1 B1C1 28 14 C D 28 3 Câu 49 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ Các điểm M , N , P thuộc cạnh AA′ , BB′ , CC ′ AM BN cho = , = mặt phẳng ( MNP ) chia lăng trụ thành hai phần tích AA′ BB′ CP Khi tỉ số CC ′ 1 A B C D 12 3a Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = Biết hình chiếu vng góc A′ lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụ A 14 B 3a 2a A V = a B V = C V = D V = a Câu 51 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác ABC cạnh a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc cạnh bên lăng trụ mặt phẳng đáy 30o Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a a3 a3 a3 3a A B C D 24 Câu 52 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác vuông cân C Cạnh BB′ = a tạo với đáy góc 60° Hình chiếu vng góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ là: https://toanmath.com/ A 3a 80 B 9a 80 C 3a 80 D 3a 80 Câu 53 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A a3 a Khi thể tích khối lăng trụ a3 a3 B C 24 D a3 12 = 60°, AC = a 7, BD = a 3, AB > AD ,đường chéo BD′ Câu 54.Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có BCD hợp với mặt phẳng ( ADD′A′ ) góc 30° Tính thể tích V khối hộp ABCD A′B′C ′D′ 39 B 3a C 3a D 39a a Câu 55 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng A a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 a3 A V = B V = C V = D V = 12 24 Câu 56 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ a Khoảng cách hai đường thẳng AB′ BC là: 2a 4a 3a 3a A B C D Câu 57 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13 , 14 , 15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30° có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ B 336 C 274 D 124 A 340 AA′ BC Câu 58 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC cạnh AB = 2a Biết AC ' = 8a tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' 16a 8a 3 8a 16a 3 A B C D 3 3 Câu 59 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , AA′ = b AA′ tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ 3 A a 2b B a 2b C D a 2b a b 8 Câu 60 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB′C ′C là: A (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích)  = 1200 Hình chiếu vng Câu 61.Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ với đáy ABCD hình thoi, AC = 2a , BAD góc điểm B mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) trung điểm cạnh A′B′ , góc mặt phẳng ( AC ′D′ ) mặt đáy lăng trụ 60o Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ A V = 3a B V = 3a C V = 3a D V = 3a https://toanmath.com/ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 1.Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt  ′BC= 30° Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy B a3 A B a3 18 Hướng dẫn giải a3 12 C Chọn A D a3 Gọi H hình chiếu B′ BC Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) 1  ′BC BB′.BC = sin B 4a.a.sin 30° = a 2 S BB′C 2a Mặt khác: S BB′C = B′H BC ⇒ B′H = = = 2a BC a a a VLT = B′H S ABC = 2a = 1 1 a3 a3 VA.CC ′B′ = V= = V V = = A.CC ′B′B LT LT 2 3 Câu Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = , AD = , A′C = mặt phẳng ( AA′C ′C ) vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) tạo với S BB′C = Thể tích khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ bằng? B V = C V = 12 D V = 10 Hướng dẫn giải góc α thỏa mãn tan α = A V = T Chọn B T B' A' D' M C' H A B K I C D Từ B kẻ BI ⊥ AC ⇒ BI ⊥ ( AA′C ′C ) T T T 16T https://toanmath.com/ T   HI Từ I kẻ IH ⊥ AA′ ⇒ ( ( AA′C ′C ) , ( AA′B′B ) ) = B AB.BC = Theo giải thiết ta có AC = ⇒ BI = AC  = BI ⇔ IH =BI Xét tam giác vng BIH có tan BHI ⇔ IH =  IH tan BHI AB Xét tam giác vng ABC có AI AC = AB ⇒ AI = = AC Gọi M trung điểm AA′ , tam giác AA′C cân C nên CM ⊥ AA′ ⇒ CM // IH AH AI AH AH Do = = ⇒ = ⇒ = AM AC AM AA′ Trong tam giác vuông AHI kẻ đường cao HK ta có HK = ⇒ chiều cao lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ h = 3HK = = Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ VABCD A′B′C ′D′   = AB AD.h = 3 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H điểm cạnh SD cho 5SH = 3SD , mặt phẳng (α ) qua B, H song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC E, F Tính tỉ số thể tích A B VC BEHF VS ABCD 20 35 Hướng dẫn giải Chọn B - Đặt VS ABCD = V - Trong tam giác SOD ta có: IS BO HD IS SI SE SF = 1⇒ =⇒ = = = IO BD HS IO SO SA SC V 3V SH - Ta có: S HBC = = ⇒ VS HBC = 10 VS DBC SD V 3V CF - Mặt khác: C FHB = = ⇒ VC FHB = 40 VC SHB CS https://toanmath.com/ C D V 6V - Mà: VC BEHF = 2VC FHB = ⇒ C BEHF = VS ABCD 20 40 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt  ′BC= 30° Thể tích khối chóp A.CC ′B′ là: phẳng ( BCC ′B′ ) vng góc với đáy B A a3 B a3 12 Chọn D a3 18 Hướng dẫn giải C B' D a3 C' A' 4a B C H a A Gọi H hình chiếu B′ BC Từ giả thiết suy ra: B′H ⊥ ( ABC ) 1  ′BC sin B BB′.BC = 4a.a.sin 30° = a 2 S BB′C 2a ′ ′ Mặt khác: S BB′C = B H BC ⇒ B H = = = 2a BC a a a VLT = B′H S ABC = 2a = 1 1 a3 a3 = V V VA.CC ′B′ = V= = = LT LT A.CC ′B′B 2 3 Câu Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A cạnh BC = 2a   ′BC nhọn Biết ( BCC ′B′ ) vng góc với ABC= 60° Biết tứ giác BCC ′B′ hình thoi có B S BB′C = ( ABC ) ( ABB′A′) tạo với ( ABC ) góc A a3 Chọn C https://toanmath.com/ B a3 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 3a Hướng dẫn giải C D 6a A' C' B' A C 2a 2a K 60° H B ABC= 60° nên AB = a , AC = a Do ABC tam giác vuông A, cạnh BC = 2a   ′BC nhọn) Gọi H hình chiếu vng góc B′ lên BC ⇒ H thuộc đoạn BC (do B ⇒ B′H ⊥ ( ABC ) (do ( BCC ′B′ ) vng góc với ( ABC ) ) Kẻ HK song song AC ( K ∈ AB ) ⇒ HK ⊥ AB (do ABC tam giác vuông A )  ′KH= 45° ⇒ B′H= KH ⇒ ( ABB′A′ ) , ( ABC ) = B   (1) Ta có ∆BB′H vng H ⇒ BH = 4a − B′H (2) BH HK HK 2a Mặt khác HK song song AC ⇒ = ⇒ BH = (3) BC AC a 12 B′H 2a a Từ (1), (2) (3) suy 4a − B′H = ⇒ B′H = a ′ Vậy V= S= ABC A ' B ' C ′ ABC B H 3a AB.= AC.B′H ABC= 30° Điểm M trung Câu Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A ,  điểm cạnh AB , tam giác MA′C cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 72 2a 72 3a 24 2a 24 3a A B C D 7 7 Hướng dẫn giải Chọn A https://toanmath.com/ C ′H ′H 3; S ∆= ⇒ C= ABC AC ′ ′H S ∆ABC = = 2 VABC A′B′C ′ C= 1 VABC A′B′C ′ = VA A′B′C ′ = C ′H S ∆ABC = 3 16 = VABB′C ′C =VABC A′B′C ′ − VA A′B′C ′ =8 − 3 Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ tích 30 Gọi I , J , K trung điểm AA′, BB′, CC ′ Tính thể tích V tứ diện CIJK 15 B V = 12 C V = D V = A V = Hướng dẫn giải Chọn D sin 60 = ° ( ) Nhận thấy: ( IJK )  ( ABC )  ( A′B′C′ ) ⇒ d ( C, ( IJK ) ) d ( C, ( A′B′C′ ) ) CK = = CC ′ 1 1 = d ( C, ( A′B′C′ ) ) S A= 30 d ( C, ( IJK ) ) = S IJK ′B′C′ 3 Câu 34 Khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác đều, a độ dài cạnh đáy Góc cạnh bên đáy 30° Hình chiếu vng góc A′ mặt ( ABC ) trùng với trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ cho V= CIJK A a3 B a3 Chọn A C Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm cạnh BC ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) ⇒ A′AH= 30° ⇒ tan 30°= https://toanmath.com/ A′H = AH a3 D a3 12 AB a a = ⇒ A′H = 2 a a a = ⇒ V A′H= S ABC = a 2 Cạnh AH = ABC = 120° Góc Câu 35 Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a , tâm O  cạnh bên AA′ mặt đáy 60° Đỉnh A′ cách điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho a3 a3 3a A V = B V = C V = D V = a 3 Hướng dẫn giải Chọn A = 60° ⇒ ∆ABD cạnh a Do AB = AD = a BAD ′A A= ′B A′D Suy A′ ABD chóp nên A′ có hình chiếu vng góc tâm Mặt khác: A= H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD  AA′, ( ABCD ) ) = A′AH = 60° ⇒ AH hình chiếu vng góc AA′ lên đáy ( ABCD ) ⇒ ( S= 2= S ABD = a ABCD a a 3 = A′H AH = tan 60° = a a Tam giác A′AH vuông H nên: 3 ′H S ABCD a Vậy, thể tích khối lăng= trụ là: V A= Câu 36 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình chữ nhật với = AB = 3, AD cạnh bên Hai mặt bên ( ABB′A′ ) ( ADD′A′ ) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối hộp A 3 B 7 C D Hướng dẫn giải Chọn D Tam giác ABD cạnh a nên AO = https://toanmath.com/ a ⇒ AH = B' C' D' A' O C B K H A L D Gọi H hình chiếu A′ ( ABCD ) K , L hình chiếu H AB, AD A′LH= 60° A′KH= 45°  Ta có góc  x x2 x2 =1 ⇒ x = Do AA′2 = AH + A′H = x + + x ⇒ Đặt A′H = x suy = HK x= ; HL 3 = ′ ′ ′ Câu 37 Cho hình lăng trụ ABCA B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng V B= h AB AD A′= H Thể tích khối hộp = ( ) AA′ BC A V = a3 Chọn C a Tính thể tích V khối lăng trụ ABCA′B ′C ′ B V = a3 a3 C V = 24 12 Hướng dẫn giải A' C' H B' C A G M B ( ) M trung điểm BC BC ⊥ AA′M Gọi MH đường cao tam giác A′AM MH ⊥ A′A HM ⊥ BC nên HM khoảng cách AA′ BC a a a2 ′ ′ ′ ′ = A A A A − Ta có A = A.HM A G AM ⇔ https://toanmath.com/ D V = a3  a2  4a 4a 2a ⇔ A′A2 =4  A′A2 −  ⇔ 3A′A2 = ⇔ A′A2 = ⇔ A′A =     Đường cao lăng trụ A′G = 4a 3a a − = 9 a 3a a 3 = 12 Câu 38 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên AA′ = a , góc AA′ mặt phẳng đáy 30° Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a a3 a3 a3 a3 A B C D 12 24 Hướng dẫn giải Chọn A Thể tích = VLT Kẻ A′H ⊥ ( ABC ) , H ∈ ( ABC ) Khi góc AA′ mặt phẳng đáy góc AA′ A′AH= 30° AH  a  A′H A′A.sin= A′AH a.sin 30° ⇔ A′H = Trong ∆A′AH vuông H , có= a2 a a3 ′ Ta có V= = S A H V ⇔ = ABC A′B′C ′ ABC ABC A′B′C ′ Câu 39 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA′ a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 A V = B V = C V = 12 24 Hướng dẫn giải Chọn B BC https://toanmath.com/ D V = a3 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì A′G ⊥ ( ABC ) tam giác ABC nên A′ABC hình chóp Kẻ EF ⊥ AA′ BC ⊥ ( AA′E ) nên d ( AA′, BC = = ) EF a Đặt A′G = h a 3 ′A Ta có A= h +     Tam giác A′AG đồng dạng với tam giác EAF nên 2 a 3 a a h +  ⇔ h=    A′A AG A′G a ⇒ A′G.EA= A′A.FE ⇔ h = = = EA FA FE ′ V AG Thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C = = S ABC x H ′B = x Đặt A′H =⇒ Ta có K trọng tâm tam giác AA′B′ a a a3 = 12 2 a2 2 ′ KB = AB x + ; KA Suy ra= AH ′ x + a2 = = 3 3 vuông K ∆KAB 4 5a  a a ⇔ x + 5a = 9a ⇔ x = KB + KA2 = AB ⇔  x + = 9  nên a a a3 = Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh 3a , hình chiếu A ' mặt phẳng ( ABC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh AA ' hợp với mặt phẳng Vậy V = S ABC A′H = đáy góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tính theo a 9a 3a 27 a 27 a A B C D 4 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi AI đường cao, H tâm tam giác ABC ⇒ A′H ⊥ ( ABC ) A  AA′ ∩ ( ABC ) = Vì  ⇒ góc AA′ ( ABC )  A′AH ⇒  A′AH = 45° ′  A H ⊥ ( ABC ) 3a Ta có:= AI ,= AH = AI a = , S ABC A′= H AH tan 45 = ° AH = a Thể tích lăng trụ là: https://toanmath.com/ 3a ) (= 9a 9a 27 a ′H S ABC a V A= = = 4 A' B' C' A B H I C Câu 47 Khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a , đường cao a tích a3 A a3 B C a 3 D 2a 3 Hướng dẫn giải Chọn C V Bh = a a = a 3 Áp dụng cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta có = Câu 48 Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 ; khoảng cách cạnh CC1 mặt phẳng ( ABB1 A1 ) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA1 B1C1 A 14 B 28 14 Hướng dẫn giải D 28 C Chọn A A1 C1 B1 A B C Gọi tích lăng trụ ABCA1 B1C1 V Ta chia khối lăng trụ thành ABCA1 B1C1 theo mặt phẳng ( ABC1 ) hai khối: khối chóp tam giác C1 ABC khối chóp tứ giác C1 ABB1 A1 Ta có VC1 ABC = V ⇒ VC1 ABB1 A1 = V 3 1 28 28 Mà VC1 ABB Vậy V = = 14 S ABB1 A1 d ( A; ( ABB1= 4.7 = A1 ) ) = A1 3 3 https://toanmath.com/ Câu 49 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ Các điểm M , N , P thuộc cạnh AA′ , AM BN = , = mặt phẳng ( MNP ) chia lăng trụ thành hai phần BB′ , CC ′ cho AA′ BB′ CP tích Khi tỉ số CC ′ 1 A B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức : VABC MNP  AM BN CP  =  + +  VABC A′B′C ′  AA′ BB′ CC ′  Ta có : VABC MNP = VABC A′B′C ′ ⇔ 1 ′ ′  BB AA  1 CP  AM BN CP  ⇔  +3 + nên  + + = =   AA′ BB′ CC ′   AA′ BB′ CC ′    CP = CC ′ 3a Biết hình chiếu vng góc A′ lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụ Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = A V = a Chọn C B V = 2a C V = Hướng dẫn giải B′ 3a C′ A′ H C B A https://toanmath.com/ D V = a 3 Gọi H trung điểm BC Theo giả thiết, A′H đường cao hình lăng trụ A′H = AA′2 − AH = a a a 3a = Câu 51 Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác ABC cạnh a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc cạnh bên ′ Vậy, thể tích khối lăng= trụ V S= ΔABC A H lăng trụ mặt phẳng đáy 30o Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a 3a a3 a3 a3 A B C D 24 Hướng dẫn giải Chọn D a a A′AH = 30o ⇒ A′H = Ta có AH hình chiếu A′A ( ABC ) ⇒  = a a a V = A′H S ABC = = ′ ′ Câu 52 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ có đáy tam giác vng cân C Cạnh BB′ = a tạo với đáy góc 60° Hình chiếu vng góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ là: 3a A 80 Chọn A 9a B 80 Hướng dẫn giải Gọi P trọng tâm ∆ABC ⇒ B′P ⊥ ( ABC ) https://toanmath.com/ 3a C 80 3a D 80  ′BP =° 60 ⇒ ( BB′, ( ABC ) ) = B′BP ) ⇒ B (   B′P a ′P = ° = sin 60  B= ⇒ BB′ ⇒  BP a cos 60  BP = ° = =  BB′  3a Gọi K = BP ∩ AC ⇒ BK = BP = 2 3a 1   3a  ⇒ BC +  BC  =   ⇒ BC= 10 2    a  3a  9a 3 = ⇒ V B′P.=  = S ABC  2  10  80 Câu 53 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A a3 Chọn D a Khi thể tích khối lăng trụ a3 a3 B C 24 Hướng dẫn giải B' D a3 12 C' A' H B M C G A Do ∆ABC trọng tâm G A′G ⊥ ( ABC ) nên A′ ABC hình chóp a a ⇒ AG = Gọi H hình chiếu M AA′ Khi BC ⊥ ( AA′M ) ⇒ BC ⊥ HM nên HM Gọi M trung điểm BC , AM = đường vng góc chung hai đường thẳng AA′ BC Do HM = ′B A= ′C x , A= ′G =′ A= Đặt AA a2 a a2 a 2a x2 − = x ⇒ x = a a2 a3 , A′G = ⇒ VABC A′B′C ′ = A′G.S ∆ABC = = 12 ′G AM MH AA′ ⇒ S ∆AA′M A= Do = Do S ∆ABC x2 − https://toanmath.com/ a = 60°, AC = a 7, BD = a 3, AB > AD ,đường chéo BD′ Câu 54.Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có BCD hợp với mặt phẳng ( ADD′A′ ) góc 30° Tính thể tích V khối hộp ABCD A′B′C ′D′ A 39 a B 3a C 3a D 39a Hướng dẫn giải Chọn C D' C' 30° A' B' x D y O A C B  Đặt = x CD = ; y BC ( x > y )  Áp dụng định lý hàm cos phân giác tam giác BCD 3a = x + y − xy x + y = 5a y a = ⇒ x 2a;=  = 60 → BD ⊥ AD → BD  x 2= y 2a C  Với = 3a ';(ADD'A') = 30 → DD ' = S ABCD xy = sin 60 a =  Vậy V hình hộp = a3 3 Câu 55 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC A V = a3 12 Chọn A https://toanmath.com/ a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 a3 a3 B V = C V = D V = 24 Hướng dẫn giải Gọi M trung điểm BC Vẽ MH ⊥ AA′ ( H ∈ BC ) MH Ta có AM ⊥ BC , A′G ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A′AG ) ⇒ BC ⊥ MH ⇒ d ( AA′, BC ) = = AH = AM − MH 3a 3a 3a − = 16 MH A′G MH AG  ⇒ A′G = Ta có = = tan GAH = AH AG AH a a = a 3a a a a3 = 12 Câu 56 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng a3 ABC ABC trùng với trọng tâm tam giác Biết thể tích khối lăng trụ Khoảng ( ) cách hai đường thẳng AB′ BC là: 3a 3a 2a 4a A B C D 3 Hướng dẫn giải Chọn C Vậy V = S ABC A′G = Phương pháp: Dựng hình vẽ giả thiết tốn + phương pháp phổ biến để tìm khoảng cách đường thẳng: tìm mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng lại https://toanmath.com/ Cách giải: Gọi F trọng tâm tam giác ABC Suy A′F đường cao hình lăng trụ S ∆ABC = a.a.sin 600 a = Suy A′F = a AA′ song song với mặt phẳng ( BCC ′B′ ) nên khoảng cách AA′ BC khoảng cách AA′ ( BCC ′B′ ) khoảng cách từ A đến mặt phẳng BC vng góc với ( FOE ) Dựng FK vng góc với OE nên EF = d ( F , ( BCC ') ) a = OE Xét hình bình hành AOEA′ : d ( A, ( ABCD ) ) = khoảng cách hình chiếu A lên OE Tính AA′ = ( A′F ) + ( AF ) = a Câu 57 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13 , 14 , 15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30° có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ A 340 B 336 C 274 D 124 Hướng dẫn giải Chọn B d S= AO.= A ' F OE = AOEA A' C' B' C A O a H B = Ta có: S∆ABC 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = 84 Gọi O hình chiếu A′ ( ABC ) ′.sin 30° ∆A′AO vuông O cho= ta: A′O AA= Vậy: VABC A= = 336 84.4 ′B′C ′ Câu 58 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC cạnh AB = 2a Biết AC ' = 8a tạo với mặt đáy góc 450 Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' 8a 3 16a 3 8a 16a A B C D 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ B 2a A C 8a B' A' H C' Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ')  'A= 450 ⇒ HC ⇒ ∆AHC ' vuông cân H ⇒ AH = AC ' 8a = = 4a 2 ( ) ( ) 2a 16a 2 NX: = VA.BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' = AH S ABC 4a = 3 Gọi H hình chiếu A lên mp ( A ' B ' C ')  ⇒ HC 'A= 450 ⇒ ∆AHC ' vuông cân H ⇒ AH = AC ' 8a = = 4a 2 2 2a 16a 2 NX: 4a = = VA.BCC ' B ' = VABC A ' B 'C ' = AH S ABC 3 Câu 59 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , AA′ = b AA′ tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ 3 B a 2b C D a 2b A a 2b a b 8 Hướng dẫn giải Chọn B C' A' B' A C H B Kẻ A′H ⊥ ( ABC ) H A′AH= 60° Suy góc AA′ đáy  https://toanmath.com/ A′H = A′A 3 b ⇒ A′H= A′A= 2 3a 2b b ′ = A H S Do VABC A′B= = a ° sin 60 ′C ′ ABC 2 Câu 60 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB′C ′C là: A (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích) Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 60° ⇒ sin = C B A C A Khi ta so sánh trực tiếp được, nhiên ta suy luận nhanh sau: Khối B′ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy ( ABC ) chung đáy ABC với hình lăng trụ ABC A′B′C ′ Do VB′ABC VABC A′B′C ′ = 1 VA A′B′C ′ 10 = , VA A′B′C ′ = VABC A′B′C ′ ⇒ VA A′B′C ′ = 30 = 3 VABC A′B′C ′  = 1200 Hình chiếu Câu 61.Cho lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ với đáy ABCD hình thoi, AC = 2a , BAD vng góc điểm B mặt phẳng ( A′B′C ′D′ ) trung điểm cạnh A′B′ , góc mặt phẳng Tương tự ta có ( AC ′D′ ) mặt đáy lăng trụ A V = 3a Chọn B 60o Tính thể tích V khối lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ B V = 3a C V = 3a Hướng dẫn giải D V = 3a Gọi H trung điểm A′B′ , suy BH ⊥ ( A′B′C ′D′ )  ′A= ′D′ 120o ⇒ ∆A′B′C ′ tam giác cạnh 2a Vì A′B′C ′D′ hình thoi B https://toanmath.com/ C ′D′ ( AC ′D′ ) ∩ ( A′B′C ′D′ ) =   ′H = 60o BC ⇒ ( Ta có:  HC ′ ⊥ C ′D′ ( AC ′D′ ) , ( A′B′C ′D′ ) ) =  BC ′ ⊥ C ′D′  C ′H Có ∆A′B′C ′ cạnh 2a nên= = 2a Xét tam giác BHC ′ vng H có: tan 60o = 3a BH ⇒ BH = C ′H tan 60o = 3a C ′H = ( 2a ) 3a Vậy, VABCD = = BH a.2 3a 3a S A′B′C ′ 3= A′B′C ′D′ S= S A′B′C ′ 2= A′B′C ′D′ https://toanmath.com/ ... Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB′C ′C là: A (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích) ... = Câu 28 Thể tích khối lăng trụ có chi? ??u cao h diện tích đáy B V B= h AB AD A′= H Thể tích khối hộp = A V = Bh B V = Bh C V = Bh Hướng dẫn giải D V = Bh Chọn D Ta tích khối lăng trụ V = Bh... ' tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB′C ′C là: A (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích)  = 1200 Hình chi? ??u vng Câu 61.Cho lăng