Bài tập thể tích khối lăng trụ xiên có lời giải chi tiết

Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC.. Thể tích của khối hộp đó là A.[r]

(1)

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt phẳng (BCC B′ ′) vng góc với đáy B BC′ = °30 Thể tích khối chóp A CC B ′ ′ là:

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3 18

a

D

3

a

Câu 2.Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình chữ nhật với AB= 6, AD= 3, A C′ =3 mặt phẳng (AA C C′ ′ ) vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng (AA C C′ ′ ), (AA B B′ ′ ) tạo với góc α thỏa mãn tan

4

α = Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ bằng?

A V =6 B V =8 C V =12 D V =10

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H là điểm cạnh SD cho 5SH =3SD, mặt phẳng ( )α qua B, H song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC E, F Tính tỉ số thể tích

C BEHF S ABCD V V A 1

7 B

3

20 C

6

35 D

1

Câu 4.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt phẳng (BCC B′ ′) vng góc với đáy B BC′ = °30 Thể tích khối chóp A CC B ′ ′ là:

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3 18

a

D

3

a

Câu 5.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A cạnh BC=2a ABC= °60 Biết tứ giác BCC B′ ′ hình thoi có B BC′ nhọn Biết (BCC B′ ′) vng góc với (ABC)

(ABB A′ ′) tạo với (ABC) góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′bằng A

3

3 a

B

3

7 a

C

3

7 a

D

3

7 a

Câu 6.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A, ABC= ° Điểm 30 M trung điểm cạnh AB, tam giác MA C′ cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3

72

a

B

3

24

a

C

3

72

a

D

3

24

a

Câu 7.Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình vng cạnh a thể tích 3a3 Tính chiều cao h lăng trụ cho

A h=9a B

3 a

h= C h=a D h=3a

Câu 8.Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h diện tích đáy B

A V =B h2 B V =Bh C

3

V = Bh D V =πBh

Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình vng cạnh a Các cạnh bên tạo với đáy góc o

(2)

A a B 3 a C a D a Câu 10.Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ có diện tích mặt đáy

3 cm chiều cao cm

A V =9 cm( )3 B V =12 cm( )3 C 2( )3

cm

V = D V =3 cm( )3

Câu 11.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có AB′ =3cm đường thẳng AB′ vng góc với đường thẳng BC′ Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A 27

cm

16 B

3

2 3cm C 7

cm

4 D

3

cm

Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh BC Góc BB mặt phẳng ABC 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

A 3 a B 3 a C 3 a D 3 a

Câu 13. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết A A′ =A B′ =A C′ =a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′?

A 3 a B a C 3 a D a

Câu 14. Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có diện tích tứ giác ABCD 12, khoảng cách hai mặt phẳng (ABCD) (A B C D′ ′ ′ ′) Tính thể tích V khối hộp

A V =12 B V =8 C V =24 D V =72

Câu 15.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh AB=2a Biết AC′ =8a tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối đa diện ABCC B′ ′

A 16 a B a C 16 3 a D 3 a

Câu 16 Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Gọi E trọng tâm tam giác A B C′ ′ ′và F trung điểm BC Tính tỉ số thể tích khối B EAF′ khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A 1

8 B

1

5 C

1

6 D

1 4

Câu 17.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh 2a, hình chiếu A′ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Biết góc hai mặt phẳng (ABA′) (ABC) 45° Tính thể tích V khối chóp A BCC B ′ ′

A 3

2a B

3 =

V a C a3 D

3

2 3

a Câu 18.Cho khối lăng trụ tích V, diện tích đáy B chiều cao h Tìm khẳng định đúng?

A V =3Bh B

3

V = Bh C V = Bh D V =Bh

Câu 19.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′có đáy ABC tam giác vng ,B ACB=60 , BC=a, AA′ =2a Cạnh bên tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A 3 a B 3 a C 3 a

(3)

Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh a ABC =120° Góc cạnh bên AA′ mặt đáy 60°, điểm A' cách điểm A,B,D Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a

A 3 a B 3 a C 3 a D 3 12 a

Câu 22. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

'

AA BC

a

Khi thể tích khối lăng trụ

A 3 a B 3 a C 3 24 a D 3 12 a

Câu 23.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

AA′ BC

4

a

Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ A

3

3 12

a

V = B

3

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

a

V =

Câu 24 Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a b c, , Thể tích khối hộp A V =abc

B V = + +a b c

C ( )( )( )

2 2 2 2 2

b c a c a b a b c

V = + − + − + −

D ( )( )( )

2 2 2 2 2

b c a c a b a b c

V = + − + − + −

Câu 25.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

AA′ BC

4

a Khi thể tích khối lăng trụ là

A 3 24 a B 3 12 a C 3 36 a D 3 a

Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ , đáy ABC tam giác cạnh x Hình chiếu đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ =2x Khi thể tích khối lăng trụ là:

A 11 12 x B 39 x C 3 x D 11 x

Câu 27.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình chữ nhật với AB= 3,AD= cạnh bên

Hai mặt bên (ABB A′ ′) (ADD A′ ′) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối hộp

A 3 B 7 C 7 D 3

A

6

V = Bh B

V = Bh C

(4)

Câu 29 Cho lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy ABC tam giác vng C, cạnh AC=5a Hình chiếu vng góc A1 lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnhAC, góc mặt phẳng (AA B B1 ) với

(AA C C1 ) o

30 , cạnh bên lăng trụ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V lăng trụ 1

ABC A B C ? A

3

a

V = B

3

24

a

V = C

3

8

a

V = D

3

3 24

a

V =

Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cạnh a, đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt đáy là60° Tính thể tích khối lăng trụ

A

4

V = a B 3

4

V = a C 3

2

V = a D 27

8 V = a Câu 31 Khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy

bằng 30° Hình chiếu đỉnh A′ mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ cho

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

a

D

3

a

Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh AC=2 Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60° AC′ =4 Tính thể tích V khối đa diện

′ ′

ABCB C A 16

3

=

V B 16

3 =

V C

3

=

V D

3 =

V

Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ tích 30 Gọi I , J, K trung điểm AA′, ,

BB′ CC′ Tính thể tích V tứ diện CIJK A 15

2

V = B V =12 C V =6 D V =5

Câu 34. Khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác đều, a độ dài cạnh đáy Góc cạnh bên đáy 30° Hình chiếu vng góc A′ mặt (ABC) trùng với trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ cho

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

3 12

a

Câu 35.Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O ABC=120° Góc cạnh bên AA′ mặt đáy 60° Đỉnh A′ cách điểm A, B, D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ cho

A

3

a

V = B

3

a

V = C

3

a

V = D V =a3 Câu 36.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình chữ nhật với AB= 3,AD= cạnh bên

Hai mặt bên (ABB A′ ′) (ADD A′ ′) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối hộp

A 3 B 7 C 7 D 3

Câu 37 Cho hình lăng trụ ABCA B C′ ′ ′có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

(5)

A

3 3

a

V = B

3 3

24

a

V = C

3 3

12

a

V = D

3 3

a

V =

Câu 38.Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên AA′ =a, góc AA′ mặt phẳng đáy 30° Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a

A 3 a B 3 24 a C 3 a D 3 12 a

Câu 39.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA′ BCbằng

4

a

Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ A

3

3 24

a

V = B

3

3 12

a

V = C

3

a

V = D

3

a

V =

Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 3a, hình chiếu A' mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh AA' hợp với mặt phẳng đáy góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' tính theo a

A a B 27 a C 3 a D 27 a Câu 47.Khối lăng trụ có đáy hình vng cạnh a, đường cao a tích

A 3 a B 3 a

C a3 D 2a3

Câu 48.Cho lăng trụ ABCA B C1 1 1 có diện tích mặt bên ABB A1 1 4; khoảng cách cạnh CC1 mặt phẳng (ABB A1 1) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C1 1 1

A 14 B 28

3 C

14

3 D 28

Câu 49.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ Các điểm M , N ,P thuộc cạnh AA′, BB′,CC′ cho

2 AM AA′ = ,

2 BN

BB′ = mặt phẳng (MNP) chia lăng trụ thành hai phần tích Khi tỉ số CC′CP

A 1

4 B

5

12 C

1

3 D

1 Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′có đáy ABC tam giác cạnh a,

2 a

AA′ = Biết hình chiếu vng góc A′ lên (ABC) trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụđó

A V =a3 B

3

2

a

V = C

3

a

V = D 3

2 V =a Câu 51.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác ABC cạnh a Hình chiếu vng

góc A′ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc cạnh bên lăng trụ mặt phẳng đáy 30 Tính tho ể tích khối lăng trụđã cho theo a

A 3 a B a C 24 a D a

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác vng cân C Cạnh BB′ =a tạo với đáy

(6)

A 80 a B 80 a C 3 80 a D 3 80 a

Câu 53.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

AA′ BC

4

A 3 a B 3 a C 3 24 a D 3 12 a

Câu 54.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có BCD = °60 ,AC=a 7,BD=a 3,AB>AD,đường chéo BD′ hợp với mặt phẳng (ADD A′ ′) góc 30° Tính thể tích V khối hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

A 39

3 a B

3

2 a C 3 a3 D 39 a3

Câu 55.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

AA′ BC

4

a Tính thể tích V của khối lăng trụ

ABC A B C′ ′ ′ A

3

3 12

a

V = B

3

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

a

V =

Câu 56 Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ

3

a

Khoảng cách hai đường thẳng AB′ BC là:

A 2

a

B 4

3 a

C 3

4 a

D 3

2 a

Câu 57 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13,14,15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30° có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ

A 340 B 336 C 274 D 124

Câu 58 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC cạnh AB=2a Biết AC'=8a tạo với mặt đáy góc

45 Thể tích khối đa diện ABCC B' ' A a B a C 16 a D 16 a

Câu 59.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a, AA′ =b AA′ tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ

A 3

4a b B

2

8a b C

2

3

8 a b D

2 8a b

Câu 60 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có thể tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ diện AB C C′ ′ là:

A (đơn vị thể tích). B 10 (đơn vị thể tích). C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích)

Câu 61.Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′với đáy ABCD hình thoi, AC=2a, BAD=1200 Hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng (A B C D′ ′ ′ ′) trung điểm cạnh A B′ ′, góc mặt phẳng (AC D′ ′) mặt đáy lăng trụ 60 Tính thể tích Vo khối lăng trụ

(7)

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN

Câu 1.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt

phẳng (BCC B′ ′) vng góc với đáy B BC′ = °30 Thể tích khối chóp A CC B ′ ′ là:

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3 18

a

D

3

a Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi H hình chiếu B′ BC Từ giả thiết suy ra: B H′ ⊥(ABC)



1

.sin

BB C

S ′ = BB BC′ B BC′

4 sin 30 a a

= °

a

=

Mặt khác:

2 BB C

S ′ = B H BC′

2SBB C B H

BC

′ ′

⇒ = 2a2 2a

a

= =

LT ABC

V =B H S′

2

3

4

a a

= 3

2

a

=

1

A CC B A CC B B V ′ ′ = V ′ ′

1

2 3VLT 3VLT

= = 3

3

a

= 3

6

a

=

Câu 2.Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình chữ nhật với AB= 6, AD= 3, A C′ =3 mặt phẳng (AA C C′ ′ ) vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng (AA C C′ ′ ), (AA B B′ ′ ) tạo với góc α thỏa mãn tan

4

α = Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ bằng?

A V =6 B V =8 C V =12 D V =10

16T

Hướng dẫn giải 16T

Chọn B

16T

Từ16TB16T kẻ16TBI ⊥AC ⇒BI ⊥(AA C C′ ′ )16T

M C'

B'

D'

C D

A

B A'

I H

(8)

Từ I kẻ IH ⊥AA′⇒( (AA C C′ ′ ) (, A B BA′ ′ ))=BHI Theo giải thiết ta có AC=3 BI AB BC

AC

⇒ = =

Xét tam giác vuông BIH có tanBHI BI IH

=



tan

BI IH

BHI

⇔ =

3

IH

⇔ =

Xét tam giác vng ABC có AI AC =AB2

2

AB AI

AC

⇒ = =

Gọi M trung điểm AA′, tam giác AA C′ cân C nên CM ⊥AA′ ⇒CM // IH

Do

3

AI AH

AC = AM =

2 AH AM

⇒ =

3 AH AA

⇒ =

′

Trong tam giác vng AHI kẻ đường cao HK ta có

9

HK = ⇒ chiều cao lăng trụ

ABCD A B C D′ ′ ′ ′ h=3HK

3

=

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ VABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ =AB AD h 34

3

= =8

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H là điểm cạnh SD cho 5SH =3SD, mặt phẳng ( )α qua B, H song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần

lượt E, F Tính tỉ số thể tích

C BEHF S ABCD V V

A 1

7 B

3

20 C

6

35 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn B

- Đặt VS ABCD. =V

- Trong tam giác SOD ta có:

3

4

IS BO HD IS SI SE SF

IO BD HS = ⇒ IO = ⇒ SO = SA = SC = - Ta có:

3

5 10

S HBC

S HBC S DBC

V SH V

V

(9)

- Mà:

6

2

40 20

C BEHF C BEHF C FHB

S ABCD V V

V V

V

= = ⇒ =

Câu 4.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên 4a Mặt

phẳng (BCC B′ ′) vng góc với đáy B BC′ = °30 Thể tích khối chóp A CC B ′ ′ là:

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

3 18

a

D

3

Chọn D

Gọi H hình chiếu B′ BC Từ giả thiết suy ra: B H′ ⊥(ABC)



1

.sin

BB C

S ′ = BB BC′ B BC′

4 sin 30 a a

= °

a

=

Mặt khác:

2 BB C

S ′ = B H BC′

2SBB C B H

BC

′ ′

⇒ = 2a2 2a

a

= =

LT ABC

V =B H S′

2

3

4

a a

= 3

2

a

=

1

A CC B A CC B B

V ′ ′ = V ′ ′

2 3VLT 3VLT

= = 3

3

a

= 3

6

a

=

Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A cạnh BC=2a

= °60

ABC Biết tứ giác BCC B′ ′ hình thoi có B BC′ nhọn Biết (BCC B′ ′) vng góc với (ABC) (ABB A′ ′) tạo với (ABC) góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′bằng

A

3

3 a

B

3

7 a

C

3

7 a

D

3

7 a

Hướng dẫn giải

Chọn C

a

C'

A' B'

C B

A H

(10)

Do ABC tam giác vuông A, cạnh BC=2a ABC= °60 nên AB=a,AC=a

Gọi H hình chiếu vng góc B′ lên BC ⇒H thuộc đoạn BC (do B BC′ nhọn)

( )

′

⇒B H ⊥ ABC (do (BCC B′ ′) vng góc với (ABC))

Kẻ HKsong song AC (K∈AB) ⇒HK ⊥ AB (doABC tam giác vuông A)

() (, )  45 (1)

 ′ ′  ′ ′

⇒ ABB A ABC =B KH = ° ⇒B H =KH Ta có ∆BB H′ vng H ⇒BH = 4a2−B H′ (2)

Mặt khác HKsong song AC ⇒ BH = HK

BC AC

.2

(3)

⇒BH = HK a

a

Từ (1), (2) (3) suy 2

4

3

′ ′

− = B H a

a B H

a

12

′

⇒B H =a

Vậy ' '

1

2

′ = ′ = ′ =

ABC A B C ABC

a

V S B H AB AC B H

Câu 6. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A, ABC= °30 Điểm M trung

điểm cạnh AB, tam giác MA C′ cạnh 2a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3

72

a

B

3

24

a

C

3

72

a

D

3

24

Chọn A

60° 2a

2a

K H

C'

B' A'

C

(11)

Gọi H trung điểm MC Ta có ( ) ( )

( ) ( )

( )

A H MC

A MC ABC A H ABC

A MC ABC MC

 ′ ⊥ 

′ ⊥ ⇒ ′ ⊥



 ′ ∩ =



Tam giác MA C′ cạnh 2a 3

3

MC a

A H a

 =  ⇒  ′ =



Đặt AC= >x 0, tam giác ABC vng A có ABC= °30

3

BC x AB x

=  ⇒ 

=  Áp dụng cơng thức tính độ dài trung tuyến ta có

2 2 2

2 4

12

2 4

CA CB AB x x x a

CM = + − ⇔ a = + − ⇔ =x

Suy

2

1 12 24

2 7

ABC

a a a

S = AB AC= =

Do

72

7

ABC A B C ABC a

V ′ ′ ′ =A H S′ =

Câu 7. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình vng cạnh a thể tích

3a Tính chiều cao h lăng trụ cho

A h=9a B

3 a

h= C h=a D h=3a

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: VABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ =SABCD.h ABCD A B C D ABCD V h

S

′ ′ ′ ′

⇔ = 3a23

a

= =3a

A V =B h2 B V =Bh C

3

V = Bh D V =πBh

H

C'

B' A'

C

(12)

Hướng dẫn giải Chọn B

Thể tích khối lăng trụ: V =B h

Câu 9.Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình vuông cạnh a Các cạnh bên tạo với đáy

một góc o

60 Đỉnh A′cách đỉnhA B C D, , , Trong số đây, số ghi giá trị thể

tích hình lăng trụ nói trên?

A

3

6

a

B

3

a

C

3

6

a

D

3

6

Chọn C

Gọi O tâm hình vng ABCD.Từ giả thiết A′cách đỉnh A, B, Cta suy hình chiếu

của A′ mặt phẳng ABCD O hay A O′ đường cao khối lăng trụ

Trong tam giác A OA′ vuông A A OA′ =60, ta có:

.tan 60 2

a a

A O′ =OA  = =

Diện tích đáy ABCDlà ACDD S =a

Thể tích khối lăng trụ

ABCD

a V =B h=S A O′ =

Vậy

2

a V =

Câu 10.Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ có diện tích mặt đáy

3 cm chiều cao cm

A ( )3

9 cm

V = B ( )3

12 cm

V = C 2( )3

cm

V = D ( )3

3 cm

V =

ChọnA

Thể tích khối lăng trụ: ( )3

3 cm

V =S h= =

Câu 11.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có AB′ =3cm đường thẳng AB′ vng góc với đường thẳng BC′ Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A 27

cm

16 B

3

2 3cm C 7

cm

4 D

3

cm Hướng dẫn giải

(13)

Gọi M trung điểm BC Suy AM ⊥(BCC B′ ′) ⇒AM ⊥BC′ Mà BC′⊥AB′⇒B M′ ⊥BC′

Đặt AB=a, AA′ =b Ta có tanB BC′ ′=cotBB M′

2

a b a

b b a

⇒ = ⇒ =

Mà AB′= ⇒3 AB2+AA′2 =3

2

3

2 a

a a

⇒ + = ⇒ =

Thể tích khối lăng trụ 3

cm

4

ABC

V =AA S′ = =

Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên

mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh BC Góc BB mặt phẳng ABC 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

A

3

a

B

3

2

8

a

C

3

a

D

3

8

Chọn D

Gọi Hlà trung điểm cạnh BC Theo đề ra: A H ABC

3

2

AB a

AH    

2

3

4

ABC AB

vdt a

S   đ

Ta có:   

 

 

  



', '

' 60

', ', 60

AA ABC A AH

A AH

AA ABC BB ABC

 

   



   



N

M

C'

B'

A C

B A'

60°

C'

B' A'

H C

(14)

Xét A AH vuông tạiH: tan 60

A H AH   a

Vậy  

3

8

ABC ABC A B C

a

V    A H S   đvtt

Câu 13. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a, biết A A′ =A B′ =A C′ =a

Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′?

A

3

a

B

3

2

a

C

3

a

D

3

4

Chọn B

Gọi H trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có ABC tam giác cạnh a A A′ = A B′ =A C′ =a nên A ABC′ tứ diện cạnh a⇒ A H′ ⊥(ABC) hay A H′ đường

cao khối chóp A ABC′

Xét tam giác vng A HA′ ta có A H′ = A A′ 2−AH2

3

a

=

Diện tích tam giác ABC sin 60

ABC

S = a a °

2

3

a

=

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

2

3

4

ABC A B C

a a

V ′ ′ ′ =

3

2

a

=

Câu 14. Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có diện tích tứ giác ABCD 12, khoảng cách hai mặt phẳng (ABCD) (A B C D′ ′ ′ ′) Tính thể tích V khối hộp

A V =12 B V =8 C V =24 D V =72

Ta có V =SABCD.d A( ′,(ABCD))=SABCD.d((A B C D′ ′ ′ ′) (, ABCD))=12.2=24

Câu 15.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh AB=2a Biết AC′ =8a tạo với mặt đáy góc 45° Thể tích khối đa diện ABCC B′ ′

A

3

16

3

a

B

3

8

3

a

C

3

16

3

a

D

3

8

3

Chọn A

B'

A C

B A'

(15)

Ta có VABC A B C. ′ ′ ′ =VA A B C. ′ ′ ′+VABCC B′ ′ ⇔VABCC B′ ′=VABC A B C ′ ′ ′−VA A B C ′ ′ ′ Mặt khác . .

3

A A B C ABC A B C

V ′ ′ ′ = V ′ ′ ′ nên ⇔VABCC B′ ′ =VABC A B C. ′ ′ ′−VA A B C. ′ ′ ′ =2VA A B C ′ ′ ′

Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (A B C′ ′ ′) góc AC′ mặt phẳng đáy (A B C′ ′ ′) góc AC H′ = °45

Xét tam giác vng AHC′ có AC′ =8a AC H′ = °45 nên AH =4a Thể tích khối chóp A A B C ′ ′ ′

1 A A B C A B C

V ′ ′ ′= S ′ ′ ′ AH ( )

2 1

2 sin 60

3 a a

= °

3

a

=

Vậy thể tích khối đa diện ABCC B′ ′ ⇔VABCC B′ ′ =2VA A B C. ′ ′ ′

3

16

3

a

=

Câu 16 Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Gọi E trọng tâm tam giác A B C′ ′ ′và F trung điểm BC

Tính tỉ số thể tích khối B EAF′ khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A 1

8 B

1

5 C

1

6 D

1 4 Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

C'

B'

A C

B A'

H

E M

F A

A'

C

C'

B

(16)

M trung điểm B C′ ′ EAF AA MF

S = S ′ d B( ′,(AA MF′ ))=d B( ′,(AEF)) Vì VB AA MF′. ′ =VABF A B M. ′ ′ −VB ABF′.

1

ABF A B M ABF A B M

V ′ ′ V ′ ′

= −

2

3VABF A B M′ ′

=

Suy .

B EAF B AA MF

V ′ = V ′ ′ . 3VABF A B M′ ′

= 1 .

3 2VABC A B C′ ′ ′

= .

6VABC A B C′ ′ ′

=

Câu 17.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh 2a, hình chiếu A′

trên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Biết góc hai mặt phẳng (ABA′) (ABC)

bằng 45° Tính thể tích V khối chóp A BCC B ′ ′

A 3

2a B

3

=

V a C a3 D

3

2 3

Chọn B

Ta có : VABC A B C. ′ ′ ′=VA A B C. ′ ′ ′+VA BCC B. ′ ′ =VA ABC′ +VA BCC B′ ′ ′ Mà VA BCC B′. ′ ′=VA BCC B. ′ ′ ⇒VA A B C. ′ ′ ′ =VA ABC′.

Gọi M trung điểm BC, I trung điểm AB K trung điểm IB Khi :

( )

′ ⊥

A M ABC

Mặt khác : // ⇒ ⊥

⊥ 

MK CI

MK AB

CI AB

⊥

MK AB, A M′ ⊥AB ⇒A K′ ⊥AB

Góc hai mặt phẳng (ABA′) (ABC) góc A K′ KM

′

A KM = °45 nên tam giác A KM′ vuông cân M Trong tam giác ABC : 1 3

2 2

= = a = a

MK CI

Trong tam giác vuông cânA KM′ :

2

′ = =a

A M MK

1

′ = ′ ′ ′

A ABC ABC A B C

V V

1 2 a

45°

K I C

2a

M

B

A

C' B'

(17)

Câu 18.Cho khối lăng trụ tích V, diện tích đáy B chiều cao h Tìm khẳng định đúng?

A V =3Bh B

3

V = Bh C V = Bh D V =Bh

Theo cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V =Bh

Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông B, ACB=60 , BC=a,

AA′ = a Cạnh bên tạo với mặt phẳng (ABC) góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3 a

B

3 3 a

C

3 a

D

3

a

Hướng dẫn giải Chọn C

Trong tam giác ABC vuông B ta có: tan 60 AB AB BC a BC

° = ⇒ = =

Diện tích đáy:

2

ABC

a S = AB BC=

Gọi H hình chiếu A′ lên mặt phẳng (ABC) Góc cạnh bên AA′ đáy

 30

A AH′ = °

Trong tam giác vng A HA′ ta có: sin 30 2 A H′ = AA′ ° = a =a

Thể tích lăng trụ là: 3

2

ABC

a a

V = A H S′ =a =

Câu 20.Cho ( )H khối lăng trụ có chiều cao ,a đáy hình vng cạnh a Thể tích ( )H

A 4a3 B 2a3 C 3a3 D a3

2

V =B h= a a = a

Câu 21.Cho hình lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh a ABC=120° Góc cạnh bên AA′ mặt đáy 60°, điểm A' cách điểm A,B,D Tính thể tích khối

lăng trụđã cho theo a

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

3 12

2a

30°

a 60°

A

B A'

B'

C'

H

(18)

Chọn C

Ta có điểm A′ cách đỉnh A,B,D điểm A′ nằm trục đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABD

Ta có ABC=120° nên ABD= °60 ⇒ tam giác ABD tam giác

Vậy ta có A G′ ⊥(ABD) với G trọng tâm tâm tam giác ABD

Dễ thấy (A A ABCD′ ,( ))=(A A GA′ , )=A AG′ = °60

Tam giác ABD đều, AI trung tuyến (I = AC∩BD)

2

AI a

⇒ = ;

3

a AG= AI =

Ta có

3

3 .

1 cot 60

3 a AG

A G′ = = =a

°

Thể tích khối lăng trụ S 2S .sin 601

ABCD ABD

V = A G′ =A G′ =a a a ° 3

2

a

=

Câu 22. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' BC

4

a

Khi thể tích khối lăng trụ

A

3

a

B

3

a

C

3

3 24

a

D

3

3 12

a

Chọn D

I

D'

C' B'

A'

G

D C

(19)

Gọi H trọng tâm tam giác ABC

Suy A H' ⊥(ABC) Qua A kẻđường thẳng Ax song song với BC Ta có Ax/ /BC

( ' , ) ( ,( ' ))

d A A BC d BC A Ax

⇒ =

( )

( ) ( ( ))

, ' , '

2

d M A Ax d H A Ax

= =

Kẻ HK ⊥ AA' ta có

'

BC AM

BC A H

⊥ 

 ⊥



( ' )

BC A AM BC HK

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

Mà ' ( ' )

6

a

HK ⊥ AA ⇒ HK ⊥ A Ax ⇒ HK =

Ta có

2 2

1 1

'

a HA

HK = HA + HA ⇒ = mà

2

3

'

4 12

ABC ABC

a a

S = ⇒ =V A H S =

Câu 23.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường

thẳng AA′ BC

4

a

Tính theo a thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3

3 12

a

V = B

3

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

a

V =

Hướng dẫn giải Chọn A

(20)

Kẻ MI ⊥AA′; BC⊥IM nên ( ; )

a d AA BC′ =IM =

Kẻ GH ⊥ AA′, ta có 2 3

3

AG GH a a

GH

AM = IM = ⇔ = =

2 2 2 2 2 2

3

1 1 3 6

3 12

a a

AG HG a

A G

HG = A G′ + AG ⇔ ′ = AG −HG = a a =

−

2

3

3 12

ABC A B C ABC

a a a

V ′ ′ ′= A G S′ = =

Câu 24 Các đường chéo mặt hình hộp chữ nhật a b c, , Thể tích khối hộp

A V =abc B V = + +a b c

C ( )( )( )

2 2 2 2 2

b c a c a b a b c

V = + − + − + − D

( 2 2)( 2 2)( 2 2)

b c a c a b a b c

V = + − + − + −

Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x y z, ,

Theo u cầu tốn ta có

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y a y a x y a x

y z c y z c a x b x c

x z b z b x z b x

 + =  = −  = −

  

+ = ⇔ + = ⇔ − + − =

  

 + =  = −  = −

  

( )( )( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

a b c

y

a c b a b c b c a

a b c

x V

b c a

z

 = − +

 

+ − + − + −

+ −



⇔ = ⇒ =



 = + −

 

Câu 25.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường

thẳng AA′ BC a Khi thể tích khối lăng trụ

z c b

a x

y

A'

C' D'

C B

D A

(21)

A 3 24 a B 3 12 a C 3 36 a D 3 a Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi G trọng tâm ∆ABC, M trung điểm BC

( )

A G′ ABC

⇒ ⊥

Trong (AA M′ ) dựng MN ⊥AA′, ta có: BC AM BC A G

⊥ 

 ⊥ ′

 ⇒BC⊥(AA G′ )⇒BC⊥MN

( , )

d AA BC′ MN

⇒ =

4

a

=

Gọi H hình chiếu G lên AA′ Ta có: GH / /MN GH AG

MN AM

⇒ =

3

=

3

GH MN

⇒ =

6

a

= Xét tam giác AA G′ vuông G, ta có:

2 2

1 1

GH =GA +GA′ 2

1 1

GA GH GA

⇒ = −

′ 2

1 3 a a = −             27 3a = a GA′ ⇒ =

Vậy thể tích khối lăng trụ là: V =SABC.A G′

3

4

a a

= 3

12

a

=

Câu 26.-2017]Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ , đáy ABC tam giác cạnh x Hình chiếu đỉnh A′

lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm ∆ABC , cạnh AA′ =2x Khi thể tích khối lăng trụ là:

A 11 12 x B 39 x C 3 x D 11 x Hướng dẫn giải

ChọnA

Gọi Hlà hình chiếu vng góc A′lên (ABC) Do∆ABC nên H trọng tâm tam giác ABC

∆

Ta có x

AM =

3

x

AH AM

⇒ = =

Xét tam giác vuông ∆AA H′ , có 2 33 x A H′ = AA′ −AH =

2

1 3

2

ABC

x

S∆ = x =

2

3 33 11

4

ABC A B C

x x x

V ′ ′ ′= ⋅ =

(22)

Câu 27.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình chữ nhật với AB= 3,AD= cạnh bên Hai mặt bên (ABB A′ ′) (ADD A′ ′) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối

hộp

A 3 B 7 C 7 D 3

Gọi H hình chiếu A′ (ABCD) K L, hình chiếu H AB AD, Ta có góc A KH′ = °45 A LH′ = °60

Đặt A H′ =x suy ; 3

x HK =x HL=

Do 2 2 2

3

x AA′ =AH +A H′ =x + +x

2

7

1

3

x

⇒ = ⇒ =

Thể tích khối hộp 3 V =B h=AB AD A H′ = =

A

6

V = Bh B

3

V = Bh C

2

V = Bh D V =Bh Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta tích khối lăng trụ V =Bh

Câu 29 Cho lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy ABC tam giác vng C, cạnh AC=5a Hình chiếu

vng góc A1 lên mặt phẳng ABC trung điểm cạnhAC, góc mặt phẳng (AA B B1 ) với (AA C C1 )

o

30 , cạnh bên lăng trụ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V lăng trụ ABC A B C 1 1?

A

3

a

V = B

3

24

a

V = C

3

8

a

V = D

3

3 24

a

V =

O

D'

B' C'

C B

A'

D A

H K

(23)

Gọi G trung điểm 

1 1

5

( ) A 60 tan 60

2

O

AC⇒A G⊥ ABC ⇒ AG= ⇒A G= AG = a Ta có BC⊥(AA C C1 )

Câu 30.Cho hình lăng trụ có tất cạnh a, đáy lục giác đều, góc tạo cạnh bên mặt

đáy là60° Tính thể tích khối lăng trụ

A

4

V = a B 3

4

V = a C 3

2

V = a D 27

8 V = a Hướng dẫn giải

ChọnA

Ta có ABCDEF lục giác nên góc ởđỉnh 120°

ABClà tam giác cân B, DEF tam giác cân E

1

.sin120

2

ABC DEF

a

S =S = a a ° =

2

2 .cos

AC= AB +BC − AB BC B 2

2

a a a a  a

= + − − =

 

2

3

ACDF

S =AC AF =a a=a

2 2

2

3 3

3

4

ABCDEF ABC ACDF DEF

a a a

S =S +S +S = +a + =

B

C D

E A

F F' A'

E'

D' C'

B'

(24)



' 60 ' '.sin 60

2

a B BH = ° ⇒B H =BB ° =

Suy

3

9

a V =

Câu 31 Khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a, góc cạnh bên mặt phẳng

đáy 30° Hình chiếu đỉnh A′ mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm cạnh

BC Tính thể tích khối lăng trụ cho

A

3

a

B

3

3 12

a

C

3

a

D

3

a

Gọi H hình chiếu A′ (ABC) ⇒ A H′ ⊥BC

Dễ thấy AH ⊥BC (Vì ∆ABC đều)

⇒ (A A ABC′ ;( ))=(A A AH′ ; )=A AH′ (1) Vì ∆ABC ⇒

2

a AH =

Trong ∆A AH′ vng, ta có tan 30

2

a a

A H′ = AH ° = ⋅ =

Vậy

3

2

ABC A B C ABC

a a a

V ′ ′ ′= A H S′ ∆ = ⋅ =

Câu 32. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông cân A, cạnh AC=2 Biết AC′ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60° AC′ =4 Tính thể tích V khối đa diện

′ ′

ABCB C

A 16

3

=

V B 16

3

=

V C

3

=

V D

3

=

V

Phântích: Tính thể tích khối đa diện ABCB C′ ′ thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ trừđi thể tích khối chóp A A B C ′ ′ ′

Giả sửđường cao lăng trụ C H′

Khi góc AC′mặt phẳng (ABC) góc C AH′ = °60

B

A

C H C

A

2

4

0

(25)

sin 60° = ′ ⇒ ′ =2 3; ∆ =4

′ ABC

C H

C H S

AC

( )2

1

2

′ ′ ′ = ′ ∆ = =

ABC A B C ABC

V C H S

1

3 3

′ ′ ′ = ′ ∆ = ′ ′ ′=

A A B C ABC ABC A B C

V C H S V

8 16

8

3

′ ′ = ′ ′ ′− ′ ′ ′= − =

ABB C C ABC A B C A A B C

V V V

Câu 33 Cho hình lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ tích 30 Gọi I, J, K trung điểm AA′, ,

BB′ CC′ Tính thể tích V tứ diện CIJK

A 15

2

V = B V =12 C V =6 D V =5

Nhận thấy:

( ) ( ) ( ) ((C, IJ(( ))))

IJ ABC A B C

2 C, A B C

d K CK

K

CC d

′ ′ ′ ⇒ = =

′ ′ ′ ′

 

( )

( ) IJ ( ( )) A B C

1 1

C, IJ C, A B C 30

3

CIJK K

V = d K S = d ′ ′ ′ S ′ ′ ′= =

Câu 34. Khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác đều, a độ dài cạnh đáy Góc cạnh bên

đáy 30° Hình chiếu vng góc A′ mặt (ABC) trùng với trung điểm BC Thể

tích khối lăng trụ cho

A

3

a

B

3

a

C

3

a

D

3

3 12

a

Chọn A

Gọi H trung điểm cạnh BC⇒ A H′ ⊥(ABC)



30 tan 30

3

′ ′

⇒ A AH = ° ⇒ ° = A H =

(26)

Cạnh 3

2 ′

= AB = a ⇒ =a

AH A H

3

1 3

2 2

′

⇒ =V A H SABC = a a a=a

Câu 35. Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O ABC =120° Góc

giữa cạnh bên AA′ mặt đáy 60° Đỉnh A′ cách điểm A, B, D Tính theo a

thể tích V khối lăng trụ cho

A

3

a

V = B

3

a

V = C

3

a

V = D V =a3 Hướng dẫn giải

Chọn A

Do AB=AD=a BAD= ° ⇒ ∆60 ABD cạnh a

Mặt khác: A A′ =A B′ = A D′ Suy A ABD′ chóp nên A′ có hình chiếu vng góc tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

AH

⇒ hình chiếu vng góc AA′ lên đáy (ABCD)⇒( AA′,(ABCD))=A AH′ = °60

2

3

2

4

ABCD ABD

S = S = a = a

Tam giác ABD cạnh a nên 3

2

AO= a⇒AH = a

Tam giác A AH′ vuông H nên: tan 60 3

A H′ = AH ° = a =a

Vậy, thể tích khối lăng trụ là: 3

2 ABCD

V =A H S′ = a

Câu 36.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình chữ nhật với AB= 3,AD= cạnh bên Hai mặt bên (ABB A′ ′) (ADD A′ ′) tạo với đáy góc 45° 60° Thể tích khối

hộp

A 3 B 7 C 7 D 3

(27)

Gọi H hình chiếu A′ (ABCD) K L, hình chiếu H AB AD, Ta có góc A KH′ = °45 A LH′ = °60

Đặt A H′ =x suy ; 3

x HK =x HL=

Do 2 2 2

3

x AA′ = AH +A H′ =x + +x

2

7

1

3

x

⇒ = ⇒ =

Thể tích khối hộp 3 V =B h=AB AD A H′ = =

Câu 37 Cho hình lăng trụ ABCA B C′ ′ ′có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A′ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng

AA′ BC

a

Tính thể tích V khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′

A

3 3

a

V = B

3 3

24

a

V = C

3 3

12

a

V = D

3 3

a

V =

M trung điểm BC BC ⊥ (AA M′ )

Gọi MH đường cao tam giác A AM′ MH ⊥A A′ HM ⊥BC nên HM khoảng cách AA′ BC

Ta có A A HM′ =A G AM′ ⇔

2

3

4

a a a

A A′ = A A′ −

O

D'

B' C'

C B

A'

D A

H K

L

H

G M

B

C A

C'

(28)

2 2

2 4 3 4 .

3

a a a a

A A′ A A′  A A′ A A′ A A′

⇔ =  −  ⇔ = ⇔ = ⇔ =

 

Đường cao lăng trụ

9

a a a

A G′ = − =

Thể tích 3

3 12

LT

a a a

V = =

Câu 38.Cho khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên AA′ =a, góc

giữa AA′ mặt phẳng đáy 30° Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a

A

3

a

B

3

3 24

a

C

3

a

D

3

3 12

Chọn A

Kẻ A H′ ⊥(ABC), H∈(ABC) Khi góc AA′ mặt phẳng đáy góc AA′ AH A AH′ = °30

Trong ∆A AH′ vng H, có A H′ = A A′ sinA AH′ =a.sin 30°

2 a A H′

⇔ =

Ta có

2

3

4

ABC A B C ABC

a a

V ′ ′ ′ =S A H′ =

3

ABC A B C a

V ′ ′ ′

⇔ =

Câu 39.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA′ BCbằng

4

a

Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3

3 24

a

V = B

3

3 12

a

V = C

3

a

V = D

3

a

V =

(29)

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì A G′ ⊥(ABC) tam giác ABC nên A ABC′

hình chóp Kẻ EF ⊥ AA′ BC⊥(AA E′ ) nên ( , )

a

d AA BC′ =EF = Đặt A G′ =h Ta có

2

3 a A A′ = h +  

 

Tam giác A AG′ đồng dạng với tam giác EAF nên A A AG A G

EA FA FE

′ ′

= =

2

3 3

2

a a a a

A G EA′ A A FE′ h h   h

⇒ = ⇔ = +  ⇔ =

 

Thể tích V khối lăng trụABC A B C ′ ′ ′

2

3

3 12

ABC

a a a

V = AG S = =

Đặt A H′ = ⇒x H B′ =x

Ta có K trọng tâm tam giác AA B′ ′ Suy

2

3

a

KB= A B′ = x + ; 2 2

3

KA= AH′= x +a KAB

∆ vuông K nên

2 2

KB +KA =AB

2

4

2

9

a

x a

 

⇔  + =

 

2 2

8x 5a 9a

⇔ + =

2

a x

⇔ =

Vậy V =SABC.A H′

3

4

a a

=

8

a

=

Câu 46 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy tam giác cạnh 3a, hình chiếu A' mặt

phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh AA' hợp với mặt phẳng

đáy góc 45° Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' tính theo a

A

3

9

a

B

3

27

a

C

3

a

D

3

27

Chọn B

Gọi AI đường cao, H tâm tam giác ABC ⇒A H′ ⊥(ABC)

Vì ( )

( )

AA ABC A

A H ABC

′ ∩ =

 ⇒

 ′ ⊥

 góc AA′ (ABC) A AH′ ⇒A AH′ =45°

Ta có: 3,

2

a

AI = AH = AI =a , ( )

2 2

3

4

ABC

a a

S = =

tan 45

A H′ =AH ° =AH =a

(30)

2

9 27

4

ABC

a a

V =A H S′ =a =

Câu 47.Khối lăng trụcó đáy hình vng cạnh a, đường cao a tích

A

3

a

B

3

a

C a3 D 2a3 Hướng dẫn giải

Chọn C

Áp dụng cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V =Bh=a a2 =a3

Câu 48. Cho lăng trụ ABCA B C1 1 1 có diện tích mặt bên ABB A1 1 4; khoảng cách cạnh CC1 mặt phẳng (ABB A1 1) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA B C1 1 1

A 14 B 28

3 C

14

3 D 28

Gọi tích lăng trụ ABCA B C1 1 V

Ta chia khối lăng trụ thành ABCA B C1 1 theo mặt phẳng (ABC1)được hai khối: khối chóp tam giác C ABC1 khối chóp tứ giác C ABB A1 1 1

Ta có

1

1 C ABC

V = V

1 1

2 C ABB A

V V

⇒ =

Mà V =1.S d(A ABB A;( ))=1.4.7= 28 Vậy V=28 =14

I

B'

C'

A B

C H A'

A 1

A

C 1

B C

(31)

Câu 49. Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ Các điểm M , N,P thuộc cạnh AA′, BB′,CC′sao cho

2 AM

AA′ = ,

2 BN

BB′= mặt phẳng (MNP) chia lăng trụ thành haiphần

tích Khi tỉ số CP

CC′

A 1

4 B

5

12 C

1

3 D

1 Hướng dẫn giải

Chọn C

Áp dụng công thức :

1 ABC MNP ABC A B C

V AM BN CP

V ′ ′ ′ AA BB CC

 

=  + + 

′ ′ ′

 

Ta có : VABC MNP. =VABC A B C. ′ ′ ′ nên 1

3

AM BN CP

AA BB CC

 + + =

 ′ ′ ′

 

2

1 2 3

3

BB AA

CP

AA BB CC

 ′ ′ 

 

⇔  + + =

′ ′ ′

 

 

1 CP CC

⇔ =

′

Câu 50 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác cạnh a,

a

AA′ = Biết hình chiếu vng góc A′ lên (ABC) trung điểm BC Tính thể tích V khối lăng trụđó

A V =a3 B

3

2

a

V = C

3

a

V = D 3

2 V =a Hướng dẫn giải

Chọn C

A

B C

A′

B′ C′

(32)

Gọi H trung điểm BC

Theo giả thiết, A H′ đường cao hình lăng trụ 2

a A H′ = AA′ −AH = Vậy, thể tích khối lăng trụ

2

Δ

3

4

ABC

a a a

V =S A H′ = =

Câu 51.Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác ABC cạnh a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H cạnh AB Góc cạnh bên lăng trụ mặt phẳng đáy 30 Tính tho ể tích khối lăng trụđã cho theo a

A

3

a

B

3

4

a

C

3

24

a

D

3

8

Chọn D

Ta có AH hình chiếu A A′ (ABC)⇒A AH′ =30o

2

a A H′

⇒ =

6

a

=

ABC V = A H S′

2

3

6

a a

=

8

a

=

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác vuông cân C Cạnh BB′ =a tạo với

đáy góc 60° Hình chiếu vng góc hạ từ B′ lên đáy trùng với trọng tâm tam giác

ABC Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ là:

A

3

9 80

a

B

3

9 80

a

C

3

3 80

a

D

3

3 80

a

Chọn A

(33)

( )

(′, ) (′ ) ′ 60

⇒ BB ABC = B BP ⇒B BP= °

3

sin 60

2

1 cos 60

2

 ′  ′

° = = =

 

 ′ 

⇒ ⇒

 ° = =  =

 ′ 

 

B P a

B P BB

BP a

BP BB

Gọi 3

2

a

K =BP∩AC⇒ BK = BP=

2

2 3

2 10

a a

BC  BC   BC

⇒ +  =  ⇒ =

   

2

3

2 10 80

 

′

⇒ = =   =

 

ABC

a a a

V B P S

Câu 53.Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′ lên

mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA′ BC

4

A

3

a

B

3

a

C

3

3 24

a

D

3

3 12

Chọn D

Do ∆ABC trọng tâm G A G′ ⊥(ABC) nên A ABC′ hình chóp

Gọi M trung điểm BC,

2

a

AM =

3

a AG

⇒ =

Gọi H hình chiếu M AA′ Khi BC⊥(AA M′ )⇒BC⊥HM nên HM

đường vng góc chung hai đường thẳng AA′ BC Do

4

a HM =

Đặt AA′= A B′ =A C′ =x,

2

3 a A G′ = x −

Do 2S∆AA M′ = A G AM′ =MH AA ′

2

3

2

a a a

x x

⇒ − =

3 a x

⇒ =

Do

2

3

ABC a S∆ = ,

3 a A G′ =

3

12

ABC A B C ABC a

V ′ ′ ′ A G S′ ∆

⇒ = =

G M

B' C'

A'

A

C B

(34)

Câu 54.Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có BCD= °60 ,AC=a 7,BD=a 3,AB>AD,đường chéo BD′

hợp với mặt phẳng (ADD A′ ′) góc 30° Tính thể tích V khối hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

A 39

3 a B

3

2 a C 3 a3 D 39 a3

Đặt

 Áp dụng định lý hàm cos phân giác tam giác BCD

 Với



 Vậy V hình hộp =

Câu 55.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc điểm A′

lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường

thẳng AA′ BC

4

a

Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′

A

3

3 12

a

V = B

3

a

V = C

3

3 24

a

V = D

3

a

V =

30°

y x

O A

C

B

C'

A' B'

D'

D

( )

; y

x=CD =BC x>y

2 2

3a =x +y −xy x2+y2=5a2

2 ;

x a y a

⇒ = =

2

x= y= a C =60 →BD⊥AD →BD'; (ADD'A')=30→DD'=3a

2

.sin 60 a

ABCD

S =xy =

3

(35)

Gọi M trung điểm BC Vẽ MH ⊥AA′ (H∈BC)

Ta có AM ⊥BC, A G′ ⊥BC ⇒BC⊥(A AG′ )⇒BC⊥MH ⇒d AA BC( ′, )=MH

2

AH = AM −MH

2

3

4 16

a a

= −

4 a

=

Ta có MH A G tanGAH

AH AG

′

= = A G MH AG

AH

′

⇒ =

3

4

3

a a

a

=

3 a

=

Vậy V =SABC.A G′

3

4

a a

= 3

12

a

=

Câu 56 Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết thể tích khối lăng trụ

3

a

Khoảng cách hai đường thẳng AB′ BC là:

A 2

3 a

B 4

3 a

C 3

4 a

D 3

2 a

Chọn C

Phươngpháp: Dựng hình vẽnhư giả thiết tốn

+ phương pháp phổ biến để tìm khoảng cách đường thẳng: tìm mặt phẳng chứa

(36)

Cáchgiải: Gọi F trọng tâm tam giác ABC Suy A F′ đường cao hình lăng trụ

0

1

.sin 60

2

ABC

S∆ = a a = a Suy A F′ =a

AA′ song song với mặt phẳng (BCC B′ ′) nên khoảng cách AA′ BC khoảng cách AA′ (BCC B′ ′) khoảng cách từ A đến mặt phẳng

BC vng góc với (FOE) Dựng FK vng góc với OE nên EF =d F BCC( ,( ')) Tính ( ) ( )2 2

3

AA′= A F′ + AF = a=OE

Xét hình bình hành AOEA′: d A ABCD( ,( ))= khoảng cách hình chiếu A lên OE

'

4 AOEA

S =AO A F =OE d = a

Câu 57 Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 13,14,15 cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30° có chiều dài Khi thể tích khối lăng trụ

A 340 B 336 C 274 D 124 3 Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: S∆ABC = 21(21 13)(21 14)(21 15)− − − =84

Gọi O là hình chiếu A′ (ABC) A AO′

∆ vuông O cho ta: A O′ = AA′.sin 30° =4

Vậy: VABC A B C ′ ′ ′ =84.4=336

Câu 58 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC cạnh AB=2a Biết AC'=8a tạo với

mặt đáy góc

45 Thể tích khối đa diện ABCC B' '

A

3

8

a

B

3

8

a

C

3

16

a

D

3

16

Chọn D

a O

H

C'

B' A'

C

(37)

Gọi H hình chiếu A lên mp A B C( ' ' ')



' 45

HC A

⇒ =

' AHC

⇒ ∆ vuông cân H

'

4

2

AC a

AH a

⇒ = = =

NX: ( )

2

3 ' ' ' ' '

2

2 2 16

.4

3 3

A BCC B ABC A B C ABC

a a

V = V = AH S = a =

Gọi H hình chiếu A lên mp A B C( ' ' ')



' 45

HC A

⇒ =

' AHC

⇒ ∆ vuông cân H

'

4

2

AC a

AH a

⇒ = = =

NX: ( )

2

3 ' ' ' ' '

2

2 2 16

.4

3 3

A BCC B ABC A B C ABC

a a

V = V = AH S = a =

Câu 59. Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a, AA′ =b AA′ tạo với mặt đáy góc 60° Tính thể tích khối lăng trụ

A 3

4a b B

2

8a b C

2

3

8 a b D

2 8a b Hướng dẫn giải

Chọn B

Kẻ A H′ ⊥(ABC) H

Suy góc AA′ đáy A AH′ = °60

8a 2a

C' B' A

C B

A' H

A' B'

C'

A

B C

(38)

3 sin 60

2

A H A A

′

⇒ ° = =

′

3

2

b A H′ A A′

⇒ = =

Do VABC A B C ′ ′ ′ =A H S′ ABC

2

3

sin 60

2

b

a

= °

8

a b

=

Câu 60 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có thể tích 30 (đơn vị thể tích) Thể tích khối tứ

diện AB C C′ ′ là:

A 5 (đơn vị thể tích) B 10 (đơn vị thể tích) C 12,5 (đơn vị thể tích) D 7,5 (đơn vị thể tích)

Ta có

Khi ta so sánh trực tiếp được, nhiên ta suy luận nhanh sau: Khối B ABC′ có chung đường cao kẻ từ đỉnh B’ đến đáy (ABC) chung đáy ABC với hình

lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ Do

1 B ABC ABC A B C V V

′ ′ ′ ′

=

Tương tự ta có

1 A A B C ABC A B C V V

′ ′ ′ ′ ′ ′

= ,

1

A A B C ABC A B C

V ′ ′ ′ = V ′ ′ ′ . 1.30 10

A A B C

V ′ ′ ′

⇒ = =

Câu 61.Cho lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′với đáy ABCD hình thoi, AC=2a, BAD=1200 Hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng (A B C D′ ′ ′ ′) trung điểm cạnh A B′ ′, góc mặt phẳng

(AC D′ ′) mặt đáy lăng trụ 60 Tính tho ể tích V khối lăng trụ ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

A V = 3a3 B V =6 3a3 C V =2 3a3 D V =3 3a3

Gọi H trung điểm A B′ ′, suy BH ⊥(A B C D′ ′ ′ ′)

A B C D′ ′ ′ ′ B A D′ ′ ′=120o ⇒ ∆A B C′ ′ ′ tam giác cạnh

A

C B

(39)

Ta có:

( ) ( )

( )

  o

, 60

AC D A B C D C D

HC C D AC D A B C D BC H

BC C D

′ ′ ∩ ′ ′ ′ ′ = ′ ′ 

 ′⊥ ′ ′ ⇒ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ =



 ′⊥ ′ ′ 

Có ∆A B C′ ′ ′ cạnh 2a nên 3.2

C H′ = a= a

Xét tam giác BHC′ vuông H có: tan 60o BH BH C Htan 60o 3a

C H ′

= ⇒ = =

′

( )2 2

3

2 2

4 A B C D A B C

S ′ ′ ′ ′ = S ′ ′ ′= a = a