TỔNG HỢP BÀI TẬP GIẢI TÍCH ÔN THI CỰC HAY

Điều kiện cần: Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I.. Điều kiện đủ: Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I.. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f

TRẦN SĨ TÙNG

›š & ›š

BÀI TẬP

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2010

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)

Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f cĩ đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f khơng đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đĩ

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số

– Tính y¢ Tìm các điểm mà tại đĩ y¢ = 0 hoặc y¢ khơng tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên) Từ đĩ kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = -2x2+4x+ 5 b)

2 5

x

y= + - x c) y x= 2-4x+ 3 d) y x= 3-2x2+ - x 2 e) y=(4-x x)( -1)2 f) y x= 3-3x2+4x- 1 g) 1 4 2 2 1

4

y = x - x - h) y= -x4-2x2+ 3 i) 1 4 1 2 2

y= x + x -

5

x

y

x

-=

1 2

x y

x

-=

1 1 1

y

x

=

2

x x

y

x

+ +

=

1 3 1

x

= +

2

3

y

x

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y= -6x4+8x3-3x2- 1 b)

2 2

1 4

x y x

-=

2 2

1 1

x x y

x x

- +

= + + d) y 2x2 1

x

x y

=

- + f) y = + +x 3 2 2- x

g) y = 2x- -1 3- x h) y x= 2-x2 i) y= 2x x- 2

k) sin 2

y= x ỉç- < <x ư÷

l) sin 2

y= x x- ỉç- < <x ư÷

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luơn đồng biến hoặc nghịch biến

trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m= ( , ), m là tham số, cĩ tập xác định D

· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D

· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D

Từ đĩ suy ra điều kiện của m

Chú ý:

1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

2) Nếu y' =ax2+bx c + thì:

·

0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

éì = = í

ê ³ỵ

³ " Ỵ Û ê

ì >

êí

êỵ £

ë D

·

0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

éì = = í

ê £ỵ

£ " Ỵ Û ê

ì <

êí

êỵ £

ë D 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c + :

· Nếu D < 0 thì g(x) luơn cùng dấu với a

· Nếu D = 0 thì g(x) luơn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

- )

· Nếu D > 0 thì g(x) cĩ hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c + với số 0:

0

S

ì >

ï

< < Ûí >

ï <

ỵ

D

0

S

ì >

ï

< < Ûí >

ï >

ỵ

D

· x1< <0 x2 Û < P 0

5) Để hàm số y ax= 3+bx2+cx d + cĩ độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

· Tính y¢

· Tìm điều kiện để hàm số cĩ khoảng đồng biến và nghịch biến:

0 0

a

ì ¹

í >

· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m

· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nĩ:

a) y x= 3+5x+13 b)

3 2

3

x

y= - x + x+ c) 2 1

2

x y x

-= + d)

2 2 3

1

y

x

-=

+ e) y=3x-sin(3x+ 1) f)

2 2 1

y

x m

-=

-Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nĩ:

a) y= - +5x cot(x- 1) b) y=cosx x- c) y=sinx-cosx-2 2x

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luơn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nĩ:

a) y x= 3-3mx2+(m+2)x m- b) 3 2 2 1

x mx

y= - - x+ c) y x m

x m

+

=

- d) y mx 4

x m

+

=

2 2 1

y

x m

-=

2 2 3 2

2

y

=

-Bài 4 Tìm m để hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1

y= x - mx + mx- m+ nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 3

3

y= - x + m- x + m+ x- đồng biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 4

Bài 5 Tìm m để hàm số:

a)

3

2

3

x

y= + m+ x - m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +¥)

b) y x= 3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+ đồng biến trên khoảng (2; +¥) 2

x m2

+

+ đồng biến trên khoảng (1; +¥)

d) y x m

x m

+

=

- đồng biến trong khoảng (–1; +¥)

e)

2 2 3 2

2

y

=

- đồng biến trên khoảng (1; +¥)

f)

2

y

x

=

+ nghịch biến trên khoảng

1; 2

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định

· Xét dấu f¢ (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

· Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi

2) Nếu bất đẳng thức cĩ hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b)

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b)

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

6

x

x- < x x với x< > b) 2sin 1tan , 0

3 x+3 x x với> < <x 2

p

2

x< x với < <x p d) sin tan 2 , 0

2

x+ x> x với < <x p

Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan , 0

a a với a b

b b< < < <

p

2

a- a b< - b với < < <a b p

2

a- a b< - b với < < <a b p

Bài 3 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin 2 , 0

2

x

x> với < <x p

3 3 5

x- < x x< - + với x>

c) xsinx cosx 1,với 0 x

2

p

+ > < <

Bài 4 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) e x > +1 x với x, > 0 b) ln(1+x)<x với x, > 0

1

x

+ d) 1+xln(x+ 1+x2)³ 1+x2

Bài 5 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan 550 >1,4 b) 1 sin 200 7

3< <20 c) log 3 log 42 > 3

HD: a) tan 550 =tan(450+10 )0 Xét hàm số ( ) 1

1

x

f x

x

+

=

-

b) Xét hàm số f x( ) 3= x-4x3

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

2 2

è ø và

0

1,sin 20 , 7

1 1;

2 2

è ø

c) Xét hàm số f x( ) log (= x x + với x > 1 1)

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình cĩ nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) cĩ nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

· Chọn được nghiệm x 0 của phương trình

· Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến

và một hàm số nghịch biến Khi đĩ (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất cĩ hồnh

độ x 0 Đĩ chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) x + x- =5 5 b) x5+x3- 1 3- x + = 4 0

c) x+ x- +5 x+ +7 x+16 14= d) x2+15 3= x- +2 x2+ 8

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 5x+ +1 5x+ +2 5x+ = 3 0 b) ln(x-4) 5= - x

c) 3x+4x =5x d) 2x +3x +5x =38

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

a) x+ +1 35x- +7 47x- +5 513x- < 7 8 b) 2x+ x+ x+ +7 2 x2+7x <35

Bài 4 Giải các hệ phương trình sau:

a)

3 2

3 2

3 2

2 1

ï

ï + = + +

ỵ

3 2

3 2

3 2

2 2 2

ì = + + -ï

ï = + + -ỵ

c)

3 2

3 2

3 2

ï

ỵ

x y

x y

tan tan

5

4 ,

p

-ï

í ï

- < <

ïỵ e)

x y

x y

5

p

-ïï

+ =

í

ï

>

ïỵ

x y

x y

sin 2 2 sin 2 2

2

p p

-ïï + = í

ï < <

ïỵ g)

x y

x y

cot cot

-ï

í

ï < <

ỵ

HD: a, b) Xét hàm số f t( )= + + t3 t2 t c) Xét hàm số f t( ) 6= t2-12 8t +

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

có đạo hàm

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0

b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

· Tìm f¢ (x)

· Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

· Xét dấu f¢ (x) Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

· Tính f¢ (x)

· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

· Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f¢¢ (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f¢¢ (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ