BÀI tập HÌNH học 12 ôn THI cực HAY

Trn S Tựng Khi a din Baứi 14 Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D, AB = AD = a, CD = 2a Cnh bờn SD ^ (ABCD), SD = a T trung im E ca DC dng EK ^ SC (K ẻ SC) Tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a v chng minh SC ^ (EBK) Baứi 15 Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D Bit rng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cnh bờn SA = 3a v vuụng gúc vi ỏy a) Tớnh din tớch tam giỏc SBD b) Tớnh th tớch ca t din SBCD theo a Baứi 16 Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng B Cnh SA vuụng gúc vi ỏy T A k cỏc on thng AD ^ SB v AE ^ SC Bit AB = a, BC = b, SA = c a) Tớnh th tớch ca chúp S.ADE b) Tớnh khong cỏch t im E n mt phng (SAB) Baứi 17 Cho lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂCÂ, cnh ỏy bng a, ng chộo ca mt bờn BCCÂB hp vi mt bờn ABBÂA mt gúc a a) Xỏc nh gúc a a3 sin 3a b) Chng minh th tớch lng tr l: sin3 a HD: a) ã C ÂBI  vi I l trung im ca AÂB Baứi 18 Cho lng tr t giỏc u ABCD.AÂBÂCÂDÂ, chiu cao h Mt phng (AÂBD) hp vi mt bờn ABBÂA mt gúc a Tớnh th tớch v din tớch xung quanh ca lng tr HD: V = h3 tan a - , Sxq = 4h tan a - Baứi 19 Cho lng tr ng ABC.AÂBÂCÂ, ỏy ABC vuụng ti A Khong cỏch t AA n mt bờn BCCÂB bng a, mp(ABCÂ) cỏch C mt khong bng b v hp vi ỏy gúc a a) Dng AH ^ BC, CK ^ AC Chng minh: AH = a, ã CAC = a, CK = b b) Tớnh th tớch lng tr c) Cho a = b khụng i, cũn a thay i nh a th tớch lng tr nh nht HD: ab3 b) V = c) a = arctan 2 sin 2a b2 - a sin a Baứi 20 Cho lng tr u ABCD.AÂBÂCÂD cnh ỏy bng a Gúc gia ng chộo AC v ỏy l 600 Tớnh th tớch v din tớch xung quanh hỡnh lng tr HD: V = a3 ; Sxq = 4a2 Baứi 21 Cho lng tr t giỏc u, cú cnh bờn l h T mt nh v ng chộo ca mt bờn k Gúc gia ng chộo y l a Tớnh din tớch xung quanh hỡnh lng tr - cos a cos a Baứi 22 Cho lng tr tam giỏc u ABc.AÂBÂCÂ, cnh ỏy bng a Mt phng (ABCÂ) hp vi mp(BCCÂBÂ) mt gúc a Gi I, J l hỡnh chiu ca A lờn BC v BC a) Chng minh ã AJI = a HD: Sxq = 4h2 b) Tớnh th tớch v din tớch xung quanh hỡnh lng tr HD: b) V = 3a3 ; Sxq = 3a2 tan a - tan a - Baứi 23 Cho lng tr xiờn ABC.AÂBÂCÂ, ỏy l tam giỏc u cnh a, AA = AÂB = AÂC = b Trang Khi a din Trn S Tựng a) Xỏc nh ng cao ca lng tr v t A Chng minh mt bờn BCCÂB l hỡnh ch nht b) nh b theo a mt bờn ABBÂA hp vi ỏy gúc 600 c) Tớnh th tớch v din tớch ton phn theo a vi giỏ tr b tỡm c a2 c) Stp = (7 + 21) 12 Baứi 24 Cho hỡnh lng tr xiờn ABC.AÂBÂCÂ, ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn nh A Mt bờn ABBÂA l hỡnh thoi cnh a, nm trờn mt phng vuụng gúc vi ỏy Mt bờn ACCÂA hp vi ỏy gúc nh din cú s o a (0 < a < 900) AÂAB = a a) Chng minh: ã HD: b) b = a b) Tớnh th tớch lng tr c) Xỏc nh thit din thng qua A Tớnh din tớch xung quanh lng tr d) Gi b l gúc nhn m mp(BCCÂBÂ) hp vi mt phng ỏy Chng minh: tanb = tana c) Sxq = a2(1 + sina + + sin a ) HD: b) V = a3sina Baứi 25 Cho lng tr xiờn ABC.AÂBÂC ỏy l tam giỏc u cnh a Hỡnh chiu ca A lờn mp(ABC) trựng vi tõm ng trũn (ABC) Cho ã BAA = 450 a) Tớnh th tớch lng tr b) Tớnh din tớch xung quanh lng tr a2 2 b) Sxq = a2(1 + ) Baứi 26 Cho lng tr xiờn ABC.AÂBÂCÂ, ỏy ABC l tam giỏc u ni tip ng trũn tõm O Hỡnh chiu ca C lờn mp(ABC) l O Khong cỏch gia AB v CC l d v s o nh din cnh CC l 2j a) Tớnh th tớch lng tr ABC.AÂBÂC b) Gi a l gúc gia mt phng (ABBÂAÂ) v (ABC) (0 < a < 900) Tớnh j bit a + j = 900 HD: a) V = HD: a) V = 2d tan j tan j - b) tana = tan j - ; j = arctan 2 Baứi 27 Cho lng tr xiờn ABC.AÂBÂC cú ỏy l tam giỏc vuụng ti A, AB = a, BC = 2a Mt bờn ABBA l hỡnh thoi, mt bờn BCCÂB nm mt phng vuụng gúc vi ỏy, hai mt ny hp vi mt gúc a a) Tớnh khong cỏch t A n mp(BCCÂBÂ) Xỏc nh gúc a b) Tớnh th tớch lng tr ABC.AÂBÂC a Gi AK l ng cao ca DABC; v KH ^ BB ã AHK = a 3a3 b) V = cot a Baứi 28 Cho hỡnh hp ng ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ỏy l hỡnh thoi Bit din tớch mt chộo ACCÂAÂ, BDDÂB l S1, S2 a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh hp b) Bit ã BAÂD = 1v Tớnh th tớch hp HD: a) Trang 10 Trn S Tựng HD: Khi a din a) Sxq = S12 + S22 b) V = S1S2 S2 - S 2 Baứi 29 Cho hỡnh hp ch nht ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ng chộo AC = d hp vi ỏy ABCD mt gúc a v hp vi mt bờn BCCÂB mt gúc b a) Chng minh: ã CAC  = a vaứ ã AC ÂB = b b) Chng minh th tớch hỡnh hp l: V = d3sina.sinb cos(a + b ) cos(a - b ) c) Tỡm h thc gia a, b AÂDÂCB l hỡnh vuụng Cho d khụng i, a v b thay i m AÂDÂCB luụn l hỡnh vuụng, nh a, b V ln nht d3 a = b = 300 (dựng Cụsi) 32 Baứi 30 Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂD cú ỏy l hỡnh thoi ABCD cnh a, àA = 600 Chõn ng vuụng gúc h t B xung ỏy ABCD trựng vi giao im ng chộo ca ỏy Cho BB = a a) Tớnh gúc gia cnh bờn v ỏy b) Tớnh th tớch v din tớch xung quanh hỡnh hp HD: c) 2(cos2a sin2b) = HD: a) 600 b) V = ; Vmax = 3a3 ; Sxq = a2 15 Baứi 31 Cho hỡnh hp xiờn ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a v ã BAD = 600; AÂA = AÂB = AÂD v cnh bờn hp vi ỏy gúc a a) Xỏc nh chõn ng cao ca hỡnh hp v t A v gúc a Tớnh th tớch hỡnh hp b) Tớnh din tớch cỏc t giỏc ACCÂAÂ, BDDÂB p c) t b = ã ABBÂAÂ, ABCD Tớnh a bit a + b = HD: a) Chõn ng cao l tõm ca tam giỏc u ABD ( b) SBDDÂB = ) a2 ; SACCÂA = a2tana sin a c) a = arctan 17 - Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com Trang 11 Khi trũn xoay Trn S Tựng CHNG II KHI TRềN XOAY I Mt cu Khi cu: nh ngha ã Mt cu: S(O; R) = { M OM = R} ã Khi cu: V (O; R) = {M OM Ê R} V trớ tng i gia mt cu v mt phng Cho mt cu S(O; R) v mt phng (P) Gi d = d(O; (P)) ã Nu d < R thỡ (P) ct (S) theo giao tuyn l ng trũn nm trờn (P), cú tõm H v bỏn kớnh r = R - d ã Nu d = R thỡ (P) tip xỳc vi (S) ti tip im H ((P) gl tip din ca (S)) ã Nu d > R thỡ (P) v (S) khụng cú im chung Khi d = thỡ (P) i qua tõm O v gl mt phng kớnh, ng trũn giao tuyn cú bỏn kớnh bng R gl ng trũn ln V trớ tng i gia mt cu v ng thng Cho mt cu S(O; R) v ng thng D Gi d = d(O; D) ã Nu d < R thỡ D ct (S) ti hai im phõn bit ã Nu d = R thỡ D tip xỳc vi (S) (D gl tip tuyn ca (S)) ã Nu d > R thỡ D v (S) khụng cú im chung Mt cu ngoi tip ni tip Mt cu ngoi tip Mt cu ni tip Hỡnh a din Tt c cỏc nh ca hỡnh a din u Tt c cỏc mt ca hỡnh a din u nm trờn mt cu tip xỳc vi mt cu Hai ng trũn ỏy ca hỡnh tr nm Mt cu tip xỳc vi cỏc mt ỏy v Hỡnh tr trờn mt cu mi ng sinh ca hỡnh tr Mt cu i qua nh v ng trũn Mt cu tip xỳc vi mt ỏy v mi Hỡnh nún ỏy ca hỡnh nún ng sinh ca hỡnh nún Xỏc nh tõm mt cu ngoi tip a din ã Cỏch 1: Nu (n 2) nh ca a din nhỡn hai nh cũn li di mt gúc vuụng thỡ tõm ca mt cu l trung im ca on thng ni hai nh ú ã Cỏch 2: xỏc nh tõm ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp Xỏc nh trc D ca ỏy (D l ng thng vuụng gúc vi ỏy ti tõm ng trũn ngoi tip a giỏc ỏy) Xỏc nh mt phng trung trc (P) ca mt cnh bờn Giao im ca (P) v D l tõm ca mt cu ngoi tip hỡnh chúp II Din tớch Th tớch Cu Din tớch S = 4p R Th tớch V = p R3 Tr Sxq = 2p Rh Nún Sxq = p Rl Stp = Sxq + 2Sủaựy Stp = Sxq + Sủaựy V = p R2h V = p R2h Trang 12 Trn S Tựng Khi trũn xoay VN 1: Mt cu Khi cu Baứi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B v SA ^ ( ABC ) a) Gi O l trung im ca SC Chng minh: OA = OB = OC = SO Suy bn im A, SC B, C, S cựng nm trờn mt cu tõm O bỏn kớnh R = b) Cho SA = BC = a v AB = a Tớnh bỏn kớnh mt cu núi trờn Baứi Trong mt phng (P), cho ng thng d v mt im A ngi d Mt gúc xAy di ng quanh A, ct d ti B v C Trờn ng thng qua A vuụng gúc vi (P) ly im S Gi H v K l cỏc hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB v SC a) Chng minh A, B, C, H, K thuc cựng mt mt cu b) Tớnh bỏn kớnh mt cu trờn, bit AB = 2, AC = 3, ã BAC = 00 Baứi Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA ^ ( ABCD) v SA = a Gi O l tõm hỡnh vuụng ABCD v K l hỡnh chiu ca B trờn SC a) Chỳng minh ba im O, A, K cựng nhỡn on SB di mt gúc vuụng Suy nm im S, D, A, K B cựng nm trờn mt cu ng kớnh SB b) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu núi trờn Baứi Cho mt cu S(O; a) v mt im A, bit OA = 2a Qua A k mt tip tuyn tip xỳc vi (S) ti B v cng qua A k mt cỏt tuyn ct (S) ti C v D, bit CD = a a) Tớnh AB b) Tớnh khong cỏch t O n ng thng CD Baứi Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, cú cnh ỏy bng a v gúc hp bi mt bờn v ỏy bng 600 Gi O l tõm ca tam giỏc ABC Trong tam giỏc SAO dng ng trung trc ca cnh SA, ct SO ti K a) Tớnh SO, SA b) Chng minh DSMK : DSOA ( vi M l trung im ca SA) Suy KS c) Chng minh hỡnh chúp K.ABC l hỡnh chúp u suy ra: KA = KB +KC d) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC Baứi Cho hỡnh chúp S.ABC bit rng cú mt mt cu bỏn kớnh R tip xỳc vi cỏc cnh ca hỡnh chúp v tõm I ca mt cu nm trờn ng cao SH ca hỡnh chúp a) Chng minh rng S.ABC l hỡnh chúp u b) Tớnh chiu cao ca hỡnh chúp, bit rng IS = R Baứi Cho t din u ABCD cú cnh l a a) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din b) Tớnh din tớch mt cu v th tớch cu ú Baứi Cho mt hỡnh chúp t giỏc u cú cnh ỏy l a, cnh bờn hp vi mt ỏy mt gúc 600 a) Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp b) Tớnh din tớch mt cu v th tớch cu ú Baứi Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú tt c cỏc cnh u bng a Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca mt cu i qua nm im S, A, B, C, D Baứi 10 Cho tam giỏc ABC cú di ba cnh l 13, 14, 15 Mt mt cu tõm O, bỏn kớnh R = tip xỳc vi ba cnh ca tam giỏc ABC ti cỏc tip im nm trờn ba cnh ú Tớnh Trang 13 Khi trũn xoay Trn S Tựng khong cỏch t tõm mt cu ti mt phng cha tam giỏc Baứi 11 Hỡnh chúp S.ABC cú ng cao SA = a, ỏy ABC l tam giỏc u cnh a Tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp Baứi 12 Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a v gúc hp bi mt bờn v ỏy bng 600 Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp Baứi 13 Hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy a v ng cao h Gi O l tõm ca ABCD v H l trung im ca BC ng phõn giỏc ca gúc SHO ct SO ti I Chng minh rng I l tõm mt cu ni tip hỡnh chúp Tớnh bỏn kớnh mt cu ny Baứi 14 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA ^ (ABC) v tam giỏc ABC vuụng ti B Gi AH, AK ln lt l cỏc ng cao ca cỏc tam giỏc SAB v SAC a) Chng minh rng nm im A, B, C, H, K cựng trờn mt mt cu b) Cho AB = 10, BC = 24 Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh mt cu ú Baứi 15 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng cnh bng a, SA = a v SA ^ (ABCD) Mt mt phng (P) qua A v vuụng gúc vi SC, ct SB, SC, SD ln lt ti H, M, K a) Chng minh rng by im A, B, C, D, H, M, K cựng trờn mt mt cu b) Xỏc nh tõm v tớnh bỏn kớnh mt cu ú VN 2: Mt tr Hỡnh tr Khi tr Baứi Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v OÂ, bỏn kớnh ỏy bng cm Trờn ng trũn ỏy tõm O ly hai im A, B cho AB = cm Bit rng th tớch t din OOÂAB bng cm3 Tớnh chiu cao hỡnh tr v th tớch tr Baứi Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v OÂ, bỏn kớnh ỏy bng cm Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A cho AO hp vi mt phng ỏy mt gúc 600 Tớnh chiu cao hỡnh tr v th tớch tr Baứi Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v OÂ, bỏn kớnh ỏy bng chiu cao v bng a Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A, trờn ng trũn ỏy tõm O ly im B cho AB = 2a Tớnh th tớch ca t din OOÂAB Baứi Mt tr cú chiu cao bng 20 cm v cú bỏn kớnh ỏy bng 10 cm Ngi ta k hai bỏn kớnh OA v OB ln lt trờn hai ỏy cho chỳng hp vi mt gúc 300 Ct tr bi mt mt phng cha ng thng AB v song song vi trc OO ca tr ú Hóy tớnh din tớch ca thit din Baứi Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R = 53 cm, khong cỏch gia hai ỏy h = 56 cm Mt thit din song song vi trc l hỡnh vuụng Tớnh khong cỏch t trc n mt phng thit din Baứi Cho hỡnh tr bỏn kớnh ỏy R, chiu cao OO = h, A v B l hai im thay i trờn hai ( ) ng trũn ỏy cho di AB = a khụng i h > a < h + R a) Chng minh gúc gia hai ng thng AB v OO khụng i b) Chng minh khong cỏch gia hai ng thng AB v OO khụng i Baứi Trong khụng gian cho hỡnh vuụng ABCD cnh a Gi I v H ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v CD Khi quay hỡnh vuụng ú xung quanh trc IH ta c mt hỡnh tr trũn xoay a) Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh tr trũn xoay c to nờn b) Tớnh th tớch ca tr trũn xoay c to nờn bi hỡnh tr trũn xoay ú Trang 14 Trn S Tựng Khi trũn xoay Baứi Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R v cú thit din qua trc l mt hỡnh vuụng a) Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh tr b) Tớnh th tớch ca lng tr t giỏc u ni tip tr ó cho Baứi Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R v ng cao bng R ; A v B l hai im trờn hai ng trũn ỏy cho gúc hp bi AB v trc ca hỡnh tr l 300 a) Tớnh din tớch xung quanh v din tớch ton phn ca hỡnh tr b) Tớnh khong cỏch gia AB v trc ca hỡnh tr Baứi 10 Cho hỡnh tr bỏn kớnh ỏy R, chiu cao h Gi A v B l hai im ln lt nm trờn hai ng trũn ỏy (O, R) v (OÂ, R) cho OA v OÂB hp vi mt gúc bng x v v hai ng thng AB, OÂO hp vi mt gúc bng y a) Tớnh bỏn kớnh R theo h, x, y b) Tớnh Sxq, Stp v th tớch V ca hỡnh tr theo h, x, y Baứi 11 Cho hỡnh tr bỏn kớnh ỏy bng a v trc OO = 2a OA v OB l hai bỏn kớnh ca hai ng trũn ỏy (O), (O) cho gúc ca OA v OB bng 300 a) Tớnh di on thng AB b) Tớnh tang ca gúc gia AB v OO c) Tớnh khong cỏch gia AB v OO Baứi 12 Mt tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v O, bỏn kớnh R v cú ng cao h = R Gi A l mt im trờn ng trũn tõm O v B l mt im trờn ng trũn tõm O cho OA vuụng gúc vi OB a) Chng minh rng cỏc mt bờn ca t din OABO l nhng tam giỏc vuụng Tớnh t s th tớch ca t din OABO v tr b) Gi (a ) l mt phng qua AB v song song vi OO Tớnh khong cỏch gia trc OO v mt phng (a ) c) Chng minh rng (a ) l tip din ca mt tr cú trc OO v cú bỏn kớnh ỏy bng R VN 3: Mt nún Hỡnh nún Khi nún Baứi Cho hỡnh lng tr t giỏc u ABCD.AÂBÂCÂD cú cnh ỏy bng a, chiu cao 2a Bit rng O l tõm ca AÂBÂCÂD v (C) l ng trũn ni tip ỏy ABCD Tớnh th tớch nún cú nh O v ỏy (C) Baứi Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂC cú cnh ỏy bng a v chiu cao 2a Bit rng O l tõm ca AÂBÂC v (C) l ng trũn ni tip ỏy ABC Tớnh th tớch nún cú nh O v ỏy (C) Baứi Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a, cnh bờn hp vi ỏy mt gúc 600 Gi (C) l ng trũn ngoi tip ỏy ABCD Tớnh th tớch nún cú nh S v ỏy (C) Baứi Trong khụng gian cho tam giỏc OIM vuụng ti I, gúc IOM bng 300 v cnh IM = a Khi quay tam giỏc OIM quanh cnh gúc vuụng OI thỡ ng gp khỳc OMI to thnh mt hỡnh nún trũn xoay a) Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh nún trũn xoay to thnh b) Tớnh th tớch ca nún trũn xoay to thnh Trang 15 Trn S Tựng Khi trũn xoay ễN TP TNG HP HèNH HC KHễNG GIAN Baứi Cho hỡnh chúp tam giỏc SABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA ^ (ABC) v ã = a , h SH vuụng gúc vi SA = a M l mt im thay i trờn cnh AB t ACM ng thng CM a) Tỡm qu tớch im H Suy giỏ tr ln nht ca th tớch t din SAHC b) H AI ^ SC, AK ^ SH Tớnh di SK, AK v th tớch t din SAKI HD: a) Qu tớch im H l mt cung trũn MaxVSAHC= b) AK = asin a + sin a , SK = a + sin a ,V= a3 12 a3 sin 2a 24(1 + sin a ) ã = 2a Trờn ng thng d qua A Baứi Cho DABC cõn ti A cú AB = AC = a v gúc BAC v vuụng gúc vi mt phng (ABC), ly im S cho SA = 2a Gi I l trung im ca BC H AH ^ SI a) Chng minh AH ^ (SBC) Tớnh di AH theo a, a AK b) K l mt im thay i trờn on AI, t = x Mt phng (R) qua K v vuụng gúc AI vi AI ct cỏc cnh AB, AC, SC, SB ln lt ti M, N, P, Q T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ? Tớnh din tớch t giỏc ny 2a.cos a HD: a) AH = b) SMNPQ = 4a x (1 x )sin a cos a + ổ 2ử Baứi Cho t din ABCD cú AB = CD = 2x ỗỗ < x < ữ v AC = AD = BC = BD = ữứ ố Gi I v J ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v CD a) Chng minh AB ^ CD v IJ l on vuụng gúc chung ca hai ng thng AB v CD b) Tớnh th tớch t din ABCD theo x Tỡm x th tớch ny ln nht v tớnh giỏ tr ln nht ú x2 - 2x2 ; MaxV = x = 3 Baứi Trong mt phng (P), cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cú tõm l O Trờn cỏc na ng thng Ax, Cy vuụng gúc vi (P) v v cựng mt phớa i vi (P) ly ln lt hai im M, N t AM = x, CN = y a) Tớnh di MN T ú chng minh rng iu kin cn v OMN vuụng ti O HD: b) V = l: 2xy = a b) Gi s M, N thay i cho OMN vuụng ti O Tớnh th tớch t din BDMN Xỏc a3 nh x, y th tớch t din ny bng ổ aử ổa a3 HD: a) MN = 2a + ( x - y )2 b) V = ( x + y ) , (x, y) = ỗ a; ữ hoc ỗ ; a ữ ố 2ứ ố2 ứ Baứi Trong mt phng (P), cho hỡnh vuụng ABCD cnh a Gi O l giao im ca ng chộo ca hỡnh vuụng ABCD Trờn ng thng Ox vuụng gúc (P) ly im S Gi Trang 19 Khi trũn xoay Trn S Tựng a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD Tớnh di ng vuụng gúc chung ú theo a v a ổ a3 a tan a tan a , Stp = a2 ỗ + b) d = ữ cos a ố cos a ứ Baứi Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý Dng CH vuụng gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH Trờn na ng thng It ã = 90o vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S cho gúc ASB a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u b) t AH = h Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R HD: a) V = Rh ( 2R h ) Baứi Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E cho IE = a M l im thay i trờn cnh AB, h EH ^ CM t BM = x a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn Tớnh di IH b) Gi J l trung im ca on CE Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM HD: HD: b) V = a) IH = 2a x - a 2 b) JM = ổ a a a 5a2 x MinJM = x = ỗ ữ + 2ứ 2 ố 4a + x Baứi Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD Mt phng (A'BM) ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H a) Chng minh rng M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng A'B ti mt im c nh b) Tớnh t s th tớch ca hai a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trng hp M l trung im ca cnh AD c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC Chng minh rng mt phng A'BM vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM V HD: a) MH ct AÂB ti trung im I ca AÂB b) = V2 11 Baứi Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a I l trung im AB Qua I dng ng vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S cho 2IS = a a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng b) Tớnh th tớch chúp S.ACD ri suy khong cỏch t C n mt phng (SAD) a3 3, d= a HD: b) V = 12 Baứi 10 Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC AM b) Gi M l im chia on AD theo t s = Hóy tớnh khong cỏch t im MD M n mt phng (ABC) c) Tớnh th tớch t din ABDC a 2a3 HD: a) d(ADÂ, BÂC) = a b) d(M, (ABÂC)) = c) V = Baứi 11 Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a S l mt im bt Trang 20 Trn S Tựng Khi trũn xoay k nm trờn ng thng At vuụng gúc vi mt phng (P) ti A a) Tớnh theo a th tớch cu ngoi tip chúp S.ABCD SA = 2a b) M, N ln lt l hai im di ng trờn cỏc cnh CB, CD (M ẻ CB, N ẻ CD) v t CM = m, CN = n Tỡm mt biu thc liờn h gia m v n cỏc mt phng (SMA) v (SAN) to vi mt gúc 45 HD: a) V = pa3 b) 2a2 ( m + n ) a + mn = Baứi 12 Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA ^ ( ABCD ) v SA = a Trờn cnh AD ly im M thay i t gúc ã ACM = a H SN ^ CM a) Chng minh N luụn thuc mt ng trũn c nh v tớnh th tớch t din SACN theo a v a b) H AH ^ SC , AK ^ SN Chng minh rng SC ^ ( AHK ) v tớnh di on HK a3 HD: a) N thuc ng trũn ng kớnh AC c nh, V = sin 2a a cos a b) HK = + sin a Baứi 13 Cho hỡnh chúp S.ABC cú cỏc cnh bờn SA, SB, SC ụi mt vuụng gúc t SA = a, SB = b, SC = c Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC a) Tớnh di on SG theo a, b, c b) Mt mt phng (P) tu ý i qua S v G ct on AB ti M v ct on AC ti N AB AC + = i) Chng minh rng AM AN ii) Chng minh rng mt cu i qua cỏc im S, A, B, C cú tõm O thuc mt phng (P) Tớnh th tớch a din ASMON theo a, b, c mt phng (P) song song vi BC 1 2 a +b +c b) V = abc HD: a) SG = Baứi 14 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a Gi O l giao im hai ng chộo Trờn na ng thng Ox vuụng gúc vi mt phng cha hỡnh vuụng, ta ly im S cho gúc ã = 60 SCB a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng BC v SD b) Gi ( a ) l mt phng cha BC v vuụng gúc vi mt phng (SAD) Tớnh din tớch thit din to bi ( a ) v hỡnh chúp S.ABCD a a2 HD: a) d(BC, SD) = b) S = Baứi 15 Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a Trờn cnh AD ly im M cho AM = x (0 Ê x Ê a) Trờn na ng thng Ax vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ti im A, ly im S cho SA = y (y > 0) a) Chng minh rng (SAB) ^ (SBC) b) Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (SAC) c) Tớnh th tớch chúp S.ABCM theo a, y v x d) Bit rng x2 + y2 = a2 Tỡm giỏ tr ln nht ca th tớch chúp S.ABCM 2x HD: b) d(M, (SAC)) = c) V = ya(a + x) a a d) MaxV = x = Baứi 16 Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A; ã ABC = 300 ; SBC l tam Trang 21 Trn S Tựng PP To khụng gian ị C (- a; 0; 0), D (0; - a; 0) Tõm I v R ca (S) ngoi tip chúp S.ABCD Do S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u nờn I ẻ OS ị I (0; 0; z0 ) S a Phng trỡnh mt cu (S): x + y + z2 - z0 z + d = ỡùa2 + d = ịớ ùợh - z0 h + d = ỡ d = -a ù ịớ h2 - a2 x A ùz0 = 2h ợ ổ ổ h2 - a h2 - a2 h2 + a2 ị I ỗ 0; 0; ữ, R = ỗ ữ+a = 2h ứ 2h ố ố 2h ứ uur uur SA.SB (a; 0; - h)(0; a; - h) h2 Mt khỏc: cos a = = = SA.SB a2 + h2 a2 + h2 A, S ẻ (S ) a2 cos a - cos a ị h= R= Vy: OI = z h D C O a B (a nhn DSAB cõn ti S) a cos a (1 - cos a ) a(2 cos a - 1) cos a (1 - cos a ) Tõm J v r ca (S/) ni tip chúp S.ABCD: J ẻ OS ị J (0; 0; r ), OJ = r Ta cú: r VS ABCD = Stp ; 2a h VS ABCD = h(a )2 = 3 Sxp = 4SDSAB = SA.SB sin a = 2(a + h )sin a ị Stp = Sxp + SABCD = 2(a + h )sin a + 2a ịr= a2 h a2 + (a + h2 )sin a = a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a a cos a (1 - cos a ) = r + sin a - cos a Tỡm a I J Vy: OJ = I J a cos a (1 - cos a ) + sin a - cos a cos a (1 - cos a ) (2 cos a - 1)(1 + sin a - cos a ) = cos a (1 - cos a ) (1 - cos a sina ) + (sin a - cos a ) = (sin a - cos a )(sin a - cos a + 1) = sin a = cos a (do sin a + - cos a > 0) a = 45o (do a nhoùn) OI = OJ a(2 cos a - 1) = Vy I J a = 45o Trang 65 y Trn S Tựng PP To khụng gian Gii: Chn h trc ta Axyz cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0) A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a) ổa ổ a aử ị M ỗ ; 0; ữ , N ỗ 0; ; ữ ố2 ứ ố 2ứ Tớnh R: Phng trỡnh mt cu (S): x + y + z - 2a x - b y - 2g z + d = C , D / , M , N ẻ (S ) , suy ra: ỡ2a - 2a a - b a + d = ù ù2a - 2b a - 2g a + d = ù a2 -aa + d = ù4 ù a2 ù - ba -g a + d = ợ2 (1) (2) suy ra: a = g (2) (4) suy ra: d = a2 (1) ( 2) z A D/ / (3) B/ K ( 4) N L / C D B 5a (3) ị a = g = a (4) ị b = a A M C x ị Phng trỡnh mt cu (S): x + y + z2 - y 5a 5a a x - y - z + a2 = 2 2 ổ 5a ổ 5a ổ a 35a R = ỗ ữ +ỗ ữ + ỗ ữ - a2 = ố ứ ố ứ ố 4ứ 16 Vy R = a 35 Tớnh r: (S) Phng trỡnh mt cu (SÂ): x + y + z2 - 2a /2 x - 2b / y - 2g / z + d / = A/ , B / , C / , D ẻ (S / ), suy ra: I ỡa2 - 2g / a + d / = ù ùa - 2a / a + d / = / / / / ù3a - 2a a - 2b a - 2g a + d = ùợa2 - b / a + d / = (C) R C r J R/ a ị a / = b / = g / = , d/ = I/ ị (S / ) : x + y + z2 - ax - ay - az = v bỏn kớnh R / = D thy C(a; a; 0) ẻ (S / ) ị C ẻ (C ) Gi I , I / , J l tõm ca (S), (S/) v (C) Trang 69 a PP To khụng gian Trn S Tựng ổ 5a a 5a / ổ a a a ị Iỗ ; ; ữ, I ỗ ; ; ữ ố 4 ứ ố2 2ứ Ta cú: JC ^ II / uur uur [II / , CI ] ị r = d (C, II / ) = II / uur uur uur uur ổ a -3a 5a a2 / ổ 3a a -3a / II = ỗ - ; ; (-1; 3; 2) ữ ; CI = ỗ ; ữ ị [II , CI ] = ố 4 ứ ố4 4 ứ ịr=a 14 19 Tớnh S: uuur uuur a2 r n(CMN ) = [CM , CN ] = - (2; - 1; 3) ị Phng trỡnh mt phng (CMN): x - y + 3z - a = ỡx = ù Phng trỡnh ng thng AAÂ: y = (t ẻ R) ùợz = t ỡx = ù Phng trỡnh ng thng DDÂ: y = a (t ẻ R) ùợz = t Gi K = (CMN ) ầ AA/ , L = (CMN ) ầ DD / ổ 2a aử ổ ị K ỗ 0; 0; ữ , L ỗ 0; a; ữ 3ứ ố ứ ố uuur uuur uuur uuur ị S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ] ộổ ổ ổ ộổ a a ửự aử ổ 2a ự = ỗỗ ờỗ - ; - a; ữ , ỗ - a; - a; ữ ỳ + ờỗ - a; - a; ữ , ỗ - a; 0; ữỳ ữ ứ ố ố ởố ứỷ 3ứ ố ứ ỷ ữứ ởố ( ịS= ) a 14 Trang 70 Trn S Tựng PP To khụng gian BI TP Baứi Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC= a , (a>0) v ng cao OA= a Gi M l trung im ca cnh BC Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB v OM HD: Chn h trc ta cho: O(0; 0; 0), A(0; 0; a ), B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0) a 15 Baứi Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) l 1, 2, Tớnh a, b, c th tớch O.ABC nh nht HD: Chn h trc ta cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) ị d ( AB; OM ) = = = = a b c Baứi T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v D ABC vuụng ti C di ca cỏc cnh l SA = 4, AC = 3, BC = Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC) HD: Chn h trc to cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) v H(1;0;0) Baứi Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a (a > 0), hỡnh chiu ca S trờn ỏy trựng vi trng tõm G ca DABC t SG = x (x > 0) Xỏc nh giỏ tr ca x gúc gia hai mt phng (SAB) v (SAC) bng 60o ổa a ổa a HD: Chn h trc to cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ỗ ; ; ữ , S ỗ ; ; x ữ ố3 ứ ố2 ứ ị Vmin = 27 a ịx = Baứi Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a Gi M, N l trung im SB, SC Tớnh theo a din tớch DAMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC) ổa HD: Chn h trc to cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗ ; 0; ữ (SO = h) ỗ ữ ố ứ r r 5a uuur uuur a 10 ị ( AMN ) ^ (SBC ) ị n( AMN ) n(SBC ) = ị h = ị SD AMN = ộ AM , AN ự = ỷ 12 2ở 16 Baứi Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a Gi D, F ln lt l trung im ca cỏc cnh BC, C'B' Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C' HD: Chn h trc to cho: ổa a ổ a a ổa a ổ a a A(0; 0; 0), B ỗ ; ; 0ữ, C ỗ - ; ; ữ , A '(0; 0; a), B ' ỗ ; ; a ữ, C 'ỗ - ; ; aữ ố2 ứ ố 2 ứ ố2 ứ ố 2 ứ a 21 Baứi T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3, AC = AD = Tớnh khong cỏch t A ti mt phng (BCD) HD: Chn h trc to cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Baứi Cho hỡnh chúp SABC cú di cỏc cnh u bng 1, O l trng tõm ca tam giỏc DABC I l trung im ca SO a Mt phng (BIC) ct SA ti M Tỡm t s th tớch ca t din SBCM v t din SABC b H l chõn ng vuụng gúc h t I xung cnh SB Chng minh rng IH qua trng tõm G ca DSAC ị d ( A ' B; B ' C ' ) = Trang 71 PP To khụng gian Trn S Tựng ổ ổ ổ ử HD: Chn h trc to cho: O(0; 0; 0), A ỗ ; 0; ữ ; B ỗ ;- ;0ữ ; C ỗ ; ;0ữ ; ỗ ữ ỗ ỗ ữ ữứ ố ứ ố ố ứ ổ 6ử ổ 6ử S ỗ 0; ữ ; I ỗ 0; 0; ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ V( SBCM ) ị = V (SABC ) Baứi Cho hỡnh lng tr ABCD A1B1C1 cú ỏy l tam giỏc u cnh a AA1 = 2a v vuụng gúc vi mt phng (ABC) Gi D l trung im ca BB1; M di ng trờn cnh AA1 Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc MC1D ổa a HD: Chn h trc to cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), C1 ỗ ; ; 2a ữ , D(0;a;a) ỗ 2 ữ ố ứ a 15 M A Baứi 10 Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SA ^ ( ABC ) v SA = a AH ^ SB ti H, AK ^ SC ti K a Chng minh HK ^ SC b Gi I = HK ầ BC Chng minh B l trung im CI c Tớnh sin gúc j gia SB v (AHK) d Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip SABC uuur uur a S: a/ HK SC = 0; c/ d/ SJ = JC , R = ; ị Giỏ tr ln nht SDC M = Baứi 11 Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SA ^ ( ABC ) v SA = a Gi D l trung im ca AC a Chng minh khong cỏch t A n (SBC) gp ụi khong cỏch t D n (SBC) b Mt phng (a) qua A v vuụng gúc SC, (a) ct SC v SB ti M v N Tớnh th tớch hỡnh chúp SAMN c Tớnh cosin ca gúc to bi hai mt phng (SAC) v (SBC) a a a3 ; dB = b/ d/ 18 Baứi 12 Cho DABC u cnh a Trờn ng thng d ^ ( ABC ) ti A ly im S, SA = h a Tớnh d(A, (SBC)) theo a v h b ng thng D ^ (SBC ) ti trc tõm H ca DSBC, chng t D luụn qua im c nh S di ng trờn d c D ct d ti S/ Tớnh h theo a SS/ nh nht S: a/ d A = S: a/ ah 3a + 4h ; b/ Trng tõm DABC d/ a ; h = a Baứi 13 Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA ^ ( ABCD ) v SA = a Mt phng (P) qua A v (a ) ^ SC ; (P) ct cỏc cnh SB, SC, SD ln lt ti H, M, K a Chng minh AH ^ SB, AK ^ SD b Chng minh BD // (a) v BD // HK Trang 72 Trn S Tựng PP To khụng gian c Chng minh HK i qua trng tõm G ca SAC d Tớnh VS.AHMK uuur r uuur uuur uuur uur uuur uuur S: a/ AH SB = AK SD = b/ BD.na = 0; BD = HK ; a3 18 Baứi 14 Cho hỡnh chúp t giỏc S.ABCD, SA ^ ( ABCD ) v ABCD l hỡnh ch nht cú AB = a, AD = b, SA = 2a N l trung im SD a Tớnh d(A, (BCN)), d(SB, CN) b Tớnh cosin gúc gia hai mt phng (SCD) v (SBC) c/ HG / / GK ; d/ c Gi M l trung im SA Tỡm iu kin a v b cosã CMN = Trong trng hp ú tớnh VS.BCNM S: a/ a ; 2ab ; b/ b ; c/ a = b; V = a3 4a + 5b 20a + 5b Baứi 15 Trong mp(P) cho hỡnh vuụng ABCD Trờn tia Az ^ (a ) ly im S ng thng (D1 ) ^ (SBC ) ti S ct (P) ti M, (D2 ) ^ (SCD ) ti S ct (P) ti N Gi I l trung im MN a Chng minh A, B, M thng hng; A, D, N thng hng b Khi S di ng trờn Az, chng t I thuc ng thng c nh c V AH ^ SI ti H Chng minh AH l ng cao t din ASMN v H l trc tõm d Cho OS = 2, AB = Tớnh VASMN uuur uuur uuur uuur ổ h2 h2 2 a/ MA = h AB, NA = h AD; b/ I ỗ - ; - ; ữ ẻ AC; S: ố ứ SMN 16 Baứi 16 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA ^ ( ABCD ) , ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Trờn cỏc cnh BC, CD ly ln lt cỏc im M, N t CM = x, CN= y (0 < x, y < a) a Tỡm h thc gia x v y gúc gia hai mt phng (SAM) v (SAN) bng 45o b Tỡm h thc gia x v y (SAM ) ^ (SMN ) c/ AH ^ (SMN ); MN ^ SH ; SM ^ AH ; S: a/ 4a - 4a3 ( x + y ) + 2axy ( x + y ) - x y = d/ b/ x - ax + ay = Baứi 17 Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, cnh ỏy bng a , ng cao SO, cnh bờn bng a a Tớnh th tớch hỡnh chúp Xỏc nh tõm I v bỏn kớnh R ca hỡnh cu (S) ni tip hỡnh chúp b Gi M, N, P ln lt l trung im AB, AD, SC Mt phng (MNP) ct SB, SD ti Q v R Tớnh din tớch thit din c Chng t rng mt phng (MNP) chia hỡnh chúp hai phn cú th tớch bng 4a3 a 2a3 c/ ; OI = R = b/ a2 3 Baứi 18 Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD, ỏy l hỡnh vuụng cnh a, ng cao SO Mt bờn to S: a/ V = vi ỏy gúc 600 Mt phng (P) cha cnh AB v to vi ỏy gúc 300 ct cỏc cnh SC, SD ln lt ti M, N a Tớnh gúc gia AN vi (ABCD) v BD Trang 73 PP To khụng gian Trn S Tựng b Tớnh khong cỏch gia AN v BD c Tớnh th tớch hỡnh ABCDMN S: a/ sin j = 13 b/ a 22 c/ 5a3 48 Baứi 19 Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a tõm O Trờn tia Oz ^ ( ABCD ) ly im S, mt phng (SAD) to vi ỏy gúc a a Xỏc nh v tớnh di on vuụng gúc chung ca SA v CD b Mt phng (b) qua AC v vuụng gúc (SAD) chia hỡnh chúp thnh hai phn Tớnh t s th tớch hai phn ú S: a/ a sin a b/ cos a Baứi 20 Cho hỡnh hp ch nht ABCD.AÂBÂCÂD cú AB= 2, AD = 4, AA = Gi I, J l trung uuuur uuur uuur uuur im AB, CD Gi M, N tha AM = m AD , BN = mBB / (0 Ê m Ê 1) a Tớnh khong cỏch t A n (BDAÂ) b Chng minh I, M, J, N ng phng c Xỏc nh tõm K v bỏn kớnh R ca mt cu (S) ngoi tip ABDA d Tớnh bỏn kớnh r ca ng trũn giao ca (S) v (BDAÂ) uur uur uuur 12 26 S: a/ b/ [IN , IJ ].IM = c/ K (1; 2; 3), R = 14; d/ 7 Baứi 21 Cho hỡnh lp phng ABCD.AÂBÂCÂD cú cỏc cnh bng Gi M, N l trung im AB v DD a Chng minh MN // (BDCÂ) Tớnh MN v d(MN, (BDCÂ)) b Gi P l trung im CÂD Tớnh VC.MNP v gúc gia MN v BD c Tớnh bỏn kớnh R ca ng trũn (A/BD) uuuur r a/ MN n = 0; MN = 6; d = ; b/ V = 1; j = 30o ; c/ S: 3 Baứi 22 Cho lng tr OAB.OÂAÂD ỏy DOAB vuụng ti O, OA= a, OB = b, OO/ = h Mt phng (P) qua O vuụng gúc AB a Tỡm iu kin a, b, h (a) ct cnh AB, AA/ ti I, J (I, J khụng trựng A, B, A/) b Vi iu kin trờn hóy tớnh: SDOIJ v t s th tớch phn thit din chia lng tr S: a/ a < h b/ S = a 3b a + b + h 2h(a2 + b ) ; V1 a4 = V2 3a h + 3b h - a Baứi 23 Cho t din SABC cú ABC l tam giỏc vuụng ti A, SC ^ ( ABC ) v SC = AB = AC = a Cỏc im M thuc SA v N thuc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tớnh di on MN, tỡm t on MN ngn nht b Khi MN ngn nht, chng minh rng MN l ng vuụng gúc chung ca BC v SA a 2a ,t= b/ MN ^ AM , MN ^ CN 3 Baứi 24 Cho hỡnh chúp SABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, cú AB= 3, BC = Cnh bờn SA ^ ( ABC ) v SA = a Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp SABC b Trờn AB ly im E vi AE = x Mt phng (P) qua E song song vi SA v BC ct hỡnh chúp theo thit din l hỡnh gỡ? Tớnh din tớch thit din Tỡm x din tớch ny ln nht S: a/ MN = 3t - 4at + 2a2 ; = Trang 74 Trn S Tựng PP To khụng gian 41 b/ max S = 4, x = 2 Baứi 25 Cho tam giỏc u SAD v hỡnh vuụng ABCD cnh a nm mt phng vuụng gúc Gi I l trung im ca AD, M l trung im ca AB, F l trung im ca SB a Chng minh rng mt phng (CMF ) ^ (SIB) b Tớnh khong cỏch gia ng thng AB v SD gia CM v SA S: a/ SI = IC; R = a a ; Baứi 26 Cho hỡnh lng tr ng ABCD.AÂBÂCÂD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, gúc ã BAD = 60o Gi M l trung im cnh AA v N l trung im cnh CC S: b/ a Chng minh rng im BÂ, M, D, N cựng thuc mt mt phng b Tớnh cnh AA theo a t giỏc BÂMDN l hỡnh vuụng S: b/ a Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com Trang 75 Trn S Tựng thi Tt nghip i hc Baứi 22 (H 2006A): Cho hỡnh tr cú cỏc ỏy l hai hỡnh trũn tõm O v OÂ, bỏn kớnh ỏy bng chiu cao v bng a Trờn ng trũn ỏy tõm O ly im A, trờn ng trũn ỏy tõm O ly im B cho AB = 2a Tớnh th tớch ca t din OOÂAB 3a3 12 Baứi 23 (H 2006B): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = a , SA = a v SA ^ (ABCD) Gi M, N ln lt l trung im ca AD, SC; I l giao im ca BM v AC Chng minh rng (SAC) ^ (SMB) Tớnh th tớch ca t din ANIB S: V= a3 S: V= 36 Baứi 24 (H 2006D): Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC) Gi M, N ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB, SC Tớnh th tớch ca hỡnh chúp A.BCMN 3a3 50 Baứi 25 (H 2006Adb1): Cho hỡnh hp ng ABCD.A'B'C'D' cú cỏc cnh AB = AD = a, S: V= a v ã BAD = 600 Gi M, N ln lt l trung im ca cỏc cnh A'D' v A'B' Chng minh AC' ^ (BDMN) Tớnh th tớch chúp A.BDMN AA' = 3a3 16 Baứi 26 (H 2006Adb2): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = 2a, cnh SA vuụng gúc vi ỏy, cnh SB to vi mt phng ỏy mt gúc 600 S: V= Trờn cnh SA ly im M cho AM = a Mt phng (BCM) ct cnh SD ti N Tớnh th tớch chúp S.BCNM 10 3 a 27 Baứi 27 (H 2006Bdb1): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh a, ã BAD = 600 , SA ^ (ABCD), SA = a Gi C' l trung im ca SC Mt phng (P) i qua S: V= AC' v song song vi BD, ct cỏc cnh SB, SD ln lt ti B', D' Tớnh th tớch chúp S.AB'C'D' a3 18 Baứi 28 (H 2006Bdb2): Cho hỡnh lng tr ABC.A'B'C' cú A'ABC l hỡnh chúp tam giỏc u, cnh ỏy AB = a, cnh bờn AA' = b Gi a l gúc gia hai mt phng (ABC) v (A'BC) Tớnh tana v th tớch chúp A'.BB'C'C S: V= 3b - a a 3b - a ; V= a Baứi 29 (H 2006Ddb1): Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a Gi SH l ng cao ca hỡnh chúp Khong cỏch t trung im I ca SH n mt phng (SBC) bng b Tớnh th tớch chúp S.ABCD S: tana = Trang 79 thi Tt nghip i hc S: Trn S Tựng a 3b V= a - 16b Baứi 30 (H 2006Ddb2): Cho hỡnh lp phng ABCD.AÂBÂCÂD cú cnh bng a v im K a Mt phng (a) i qua A, K v song song vi BD, chia lp phng thnh hai a din Tớnh th tớch ca hai a din ú thuc cnh CC cho CK = a3 2a3 S: V1 = ; V2 = 3 Baứi 31 (H 2007A): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, mt bờn SAD l tam giỏc u v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy Gi M, N, P ln lt l trung im SB, BC, CD Chng minh AM ^ BP v tớnh th tớch CMNP 3a3 96 Baứi 32 (H 2007B): Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi E l im i xng ca D qua trung im ca SA; M l trung im ca AE, N l trung im ca BC Chng minh MN ^ BD v tớnh khong cỏch gia hai ng thng MN v AC S: V= a Baứi 33 (H 2007D): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vi ã ABC = ã BAD = 900 , BC = BA = a, AD = 2a SA^(ABCD), SA = a Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB Chng minh tam giỏc SCD vuụng v tớnh khong cỏch t H n (SCD) S: d= S: d = a Baứi 34 (H 2007Adb1): Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a v ã BAC = 1200 Gi M l trung im CC1 Chng minh MB ^ MA1 v tớnh khong cỏch d t A n (A1BM) S: d= a Baứi 35 (H 2007Adb2): Cho hỡnh chúp SABC cú gúc ã (SBC ),( ABC ) = 600 , ABC v SBC ( ) l cỏc tam giỏc u cnh a Tớnh theo a khong cỏch t B n (SAC) S: d= 3a 13 Baứi 36 (H 2007Bdb1): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O, SA ^ (ABCD) AB = a, SA = a Gi H, K ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn SB, SD Chng minh SC^(AHK) v tớnh th tớch ca t din OAHK 2a3 27 Baứi 37 (H 2007Bdb2): Trong mt phng (P), cho na ng trũn ng kớnh AB = 2R v im C thuc na ng trũn ú cho AC = R Trờn ng thng vuụng gúc vi (P) S: V= ti A ly im S cho ã (SAB),(SBC ) = 600 Gi H, K ln lt l hỡnh chiu ca A ( ) Trang 80 Trn S Tựng thi Tt nghip i hc trờn SB, SC Chng minh tam giỏc AHK vuụng v tớnh th tớch t din SABC R3 S: V= 12 Baứi 38 (H 2007Ddb1): Cho lng tr ng ABC.A1B1 C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = AC = a, AA1 = a Gi M, N ln lt l trung im on AA1 v BC1 Chng minh MN l ng vuụng gúc chung ca AA1 v BC1 Tớnh th tớch ca t din MA1BC1 a3 12 Baứi 39 (H 2007Ddb2): Cho lng tr ng ABC.A1B1C1 cú tt c cỏc cnh u bng a M l trung im ca on AA1 Chng minh BM ^ B1 C v tớnh khong cỏch gia hai ng thng BM v B1C S: V= a 30 10 Baứi 40 (H 2008A) Cho lng tr ABC ABC cú di cnh bờn bng 2a, ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB = a, AC = a v hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (ABC) l trung im ca BC Tớnh theo a th tớch ca chúp A.ABC v cosin ca gúc gia ng thng AA v BC S: d= a3 ; cos j = Baứi 41 (H 2008B): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, SA = a, SB = a v (SAB) vuụng gúc mt ỏy Gi M, N ln lt l trung im AB, BC Tớnh theo a th tớch ca chúp S.BMDN v cosin ca gúc gia hai ng thng SM v DN S: V= a3 ; cos j = Baứi 42 (H 2008D): Cho lng tr ng ABC ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, AB = BC = a, cnh bờn AA = a Gi M l trung im ca BC Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia ng thng AM, BÂC S: V= S: V= 2a3 ; d= a 7 Baứi 43 (C 2008): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang, ã BAD = ã ABC = 90 , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuụng gúc vi ỏy v SA = 2a Gi M, N ln lt l trung im ca SA, SD Chng minh rng BCNM l hỡnh ch nht v tớnh th tớch ca chúp S.BCNM theo a a3 Baứi 44 (H 2009A) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang vuụng ti A v D; S: V= AB = AD = 2a, CD = a; gúc gia hai mt phng (SBC) v (ABCD) bng 600 Gi I l trung im ca cnh AD Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABCD), tớnh th tớch chúp S.ABCD theo a 15a3 Baứi 45 (H 2009B) Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.AÂBÂC cú BB = a, gúc gia ng S: V= Trang 81 thi Tt nghip i hc Trn S Tựng thng BB v mt phng (ABC) bng 600 ; tam giỏc ABC vuụng ti C v ã BAC = 600 Hỡnh chiu vuụng gúc ca im B lờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm ca tam giỏc ABC Tớnh th tớch t din AÂ.ABC theo a 9a3 S: V= 208 Baứi 46 (H 2009D) Cho hỡnh lng tr ng ABC AÂBÂC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, AA = 2a, AÂC = 3a Gi M l trung im ca on thng AÂCÂ, I l giao im ca AM v AÂC Tớnh theo a th tớch t din IABC v khong cỏch t im A n mt phng (IBC) S: V= 4a3 , d= 2a Baứi 47 (C 2009) Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a, SA = a Gi M, N v P ln lt l trung im ca cỏc cnh SA, SB v CD Chng minh rng ng thng MN vuụng gúc vi ng thng SP Tớnh theo a th tớch ca t din AMNP a3 48 Baứi 48 (H 2010A) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM Bit S: V= SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S.CDNM v tớnh khong cỏch gia hai ng thng DM v SC theo a 3a 3a ; d= 24 19 Baứi 49 (H 2010B) Cho hỡnh lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂC cú AB = a, gúc gia hai mt S: V= phng (AÂBC) v (ABC) bng 60 Gi G l trng tõm tam giỏc AÂBC Tớnh th tớch lng tr ó cho v bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din GABC theo a 3a3 7a ; R= S: V= 12 Baứi 50 (H 2010D) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA = a; hỡnh chiu vuụng gúc ca nh S trờn mt phng (ABCD) l im H thuc on AC AC, AH = Gi CM l ng cao ca tam giỏc SAC Chng minh M l trung im ca SA v tớnh th tớch t din SMBC theo a a3 14 48 Baứi 51 (C 2010) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, mt phng (SAB) vuụng gúc vi mt phng ỏy, SA = SB, gúc gia ng thng SC v mt phng ỏy bng 450 Tớnh theo a th tớch ca chúp S.ABCD S: V= a3 S: V= Baứi 52 (H 2011A) S: Baứi 53 (H 2011B) S: Baứi 54 (H 2011D) S: Trang 82 Trn S Tựng thi Tt nghip i hc II PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN THI TT NGHIP Baứi (TN 2002) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (a ) : x + y + z = x y z -1 = = 1 -1 Vit phng trỡnh chớnh tc ca cỏc ng thng l giao tuyn ca mt phng (a ) vi cỏc mt phng ta Tớnh th tớch ca t din ABCD, bit A, B, C l giao im tng ng ca mt phng (a ) vi cỏc trc ta Ox, Oy, Oz; cũn D l giao im ca (d) vi mt phng ta Oxy Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im A, B, C, D Xỏc nh ta tõm v bỏn kớnh ca ng trũn l giao tuyn ca mt cu (S) vi mt phng (ACD) S: 1) 2) Baứi (TN 2003) Trong khụng gian Oxyz, cho bn im A, B, C, D cú ta xỏc nh bi uuur r r r uuur r r r cỏc h thc: A(2;4;-1), OB = i + j - k , C(2;4;3), OD = 2i + j - k v ng thng (d): Chng minh rng AB AC, AC AD, AD AB Tớnh th tớch t din ABCD Vit phng trỡnh tham s ca ng vuụng gúc chung ca hai ng thng AB v CD Tớnh gúc gia v mt phng (ABD) Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im A, B, C, D Vit phng trỡnh tip din (a) ca (S) song song vi mt phng (ABD) ỡx = ù S: 1) V = 2) D: y = - 2t ; sin j = ùợz = -1 + t 21 - 21 + = 0; (a ) : z = 2 Baứi (TN 2004) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho bn im A(1; 1; 2), B(1; 3; 2), C4; 3; 2), D(4; 1; 2) Chng minh rng A, B, C, D l bn im ng phng Gi A l hỡnh chiu vuụng gúc ca im A trờn mt phng Oxy Hóy vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im AÂ, B, C, D Vit phng trỡnh tip din () ca mt cu (S) ti im A 3) x + y + z2 - x - y - z + = ; (a1 ) : z + S: 2) x + y + z2 - x - y - z + = 3) x + y + z + = Baứi (TN 2005) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) v hai ng thng ln lt phng trỡnh: x -1 y z ỡx + 2y - = (S): x + y + z2 - x + y + z - = , (D1): , (D2): = = -1 -1 ợ x - 2z = Chng minh (1) v (1) chộo Vit phng trỡnh tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng (1) v (2) S: 2) ( P1 ) : y + z + + = 0; ( P2 ) : y + z + - = Baứi (TN 2006kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0) Gi G l trng tõm tam giỏc ABC Vit phng trỡnh ng thng OG Vit phng trỡnh mt cu (S) i qua bn im O, A, B, C Vit phng trỡnh cỏc mt phng vuụng gúc vi ng thng OG v tip xỳc vi mt Trang 83 thi Tt nghip i hc Trn S Tựng cu (S) x y z = = 2) x + y + z2 - x - y = 3) x + y - 10 = Baứi (TN 2006pb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) a) Vit phng trỡnh mt phng i qua ba im A, B, C Tớnh din tớch tam giỏc ABC b) Gi G l trng tõm DABC Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh OG S: 1) OG : S: a) ( ABC ) : x + y + z - = ; SD ABC = 14 2 ổ 1ử ổ 1ử 49 b) ỗ x - ữ + ỗ y - ữ + ( z - 1)2 = ố 3ứ ố 2ứ 36 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) a) Chng minh DABC vuụng Vit phng trỡnh tham s ca ng thng AB uuur uuur b) Gi M l im cho MB = -2 MC Vit phng trỡnh mt phng i qua M v vuụng gúc vi ng thng BC 28 S: a) AB : { x = -1 + t; y = 1; z = - t b) x - y + 3z =0 Baứi (TN 2007kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d cú phng x - y +1 z -1 = = v mt phng (P) cú phng trỡnh: x - y + 3z + = trỡnh: Tỡm to giao im M ca ng thng d vi mt phng (P) Vit phng trỡnh mt phng cha ng thng d v vuụng gúc vi mt phng (P) S: 1) M(1; 3; 2) 2) x - z - = Baứi (TN 2007pb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 0) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x + y - z - = a) Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M v song song vi mt phng (P) b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng d i qua M v vuụng gúc vi mt phng (P) Tỡm to giao im H ca ng thng d vi mt phng (P) S: a) (Q): x + y - z + = b) { x = -1 + t; y = -1 + t; z = -2t ; H(0; 0; 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im E(1; 2; 3) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x + y - z + = a) Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm l gc to O v tip xỳc vi mt phng (P) b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng D i qua im E v vuụng gúc vi (P) S: a) x + y + z2 = b) D : { x = + t; y = + 2t; z = - 2t Baứi (TN 2007kpbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d v ỡ x = -1 + t ù x -1 y + z -1 = = v d  : y = - 2t ùợ z = -1 + 3t Chng minh rng hai ng thng d v d vuụng gúc vi Vit phng trỡnh mt phng i qua im K(1; 2; 1) v vuụng gúc vi ng thng d S: 2) x - y + 3z - = Baứi 10 (TN 2007pbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E(1; 4; 5) v F(3; 2; 7) a) Vit phng trỡnh mt cu i qua im F v cú tõm l E b) Vit phng trỡnh mt phng trung trc ca on thng EF d ln lt cú phng trỡnh: d : S: a) ( x - 1)2 + ( y + 4)2 + ( z - 5)2 = 44 b) x + 3y + z - = Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im M(1; 0; 2), N(3; 1; 5) v ng Trang 84 Trn S Tựng thi Tt nghip i hc ỡ x = + 2t ù thng d cú phng trỡnh: y = -3 + t ùợz = - t a) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M v vuụng gúc vi ng thng d b) Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua hai im M v N S: a) x + y - z = b) { x = + 2t; y = t; z = + 3t Baứi 11 (TN 2008kpb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 2; 3) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x - y + z + 35 = Vit phng trỡnh ng thng i qua im M v vuụng gúc vi mt phng (P) Tớnh khong cỏch t im M n mt phng (P) Tỡm to im N thuc trc Ox cho di on thng NM bng khong cỏch t im M n mt phng (P) x -1 y - z - S: 1) = = 2) d ( M ,( P)) = ; N(7; 0; 0) hoc N(5; 0; 0) -3 Baứi 12 (TN 2008pb) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(3; 2; 2) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x - y + z - = a) Vit phng trỡnh ng thng i qua im A v vuụng gúc vi mt phng (P) b) Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (P) Vit phng trỡnh mt phng (Q) cho (Q) song song vi (P) v khong cỏch gia (P) v (Q) bng khong cỏch t A n (P) ỡ x = + 2t ù S: a) y = -2 - 2t ùợz = -2 + t b) d ( A,( P)) = ; (Q) : x - y + z + = hoc (Q) : x - y + z - = Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC vi A(1; 4; 1), B(2; 4; 3) v C(2; 2; 1) a) Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi ng thng BC b) Tỡm to im D cho t giỏc ABCD l hỡnh bỡnh hnh b) D(1; 2; 5) S: a) y + z - = Baứi 13 (TN 2008kpbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 2) v x -1 y +1 z ng thng d cú phng trỡnh: = = -1 Chng minh rng ng thng OM song song vi ng thng d Vit phng trỡnh mt phng i qua im M v vuụng gúc vi ng thng d S: 2) x - y + z + = Baứi 14 (TN 2008pbln 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho cỏc im M(1; 2; 0), N(3; 4; 2) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x + y + z - = a) Vit phng trỡnh ng thng MN b) Tớnh khong cỏch t trung im ca on thng MN n mt phng (P) x -1 y + z = = b) d (I ,(P )) = S: a) MN : -2 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2; 1; 3) v mt phng (P) cú phng trỡnh: x - y - z - 10 = a) Tớnh khong cỏch t im A n mt phng (P) b) Vit phng trỡnh ng thng i qua im A v vuụng gúc vi mt phng (P) S: a) d ( A,( P )) = b) { x = + t; y = -1 - 2t; z = - 2t Baứi 15 (TN 2009) Trang 85 ... tích thi t diện Bài Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách hai đáy h = 56 cm Một thi t diện song song với trục hình vng Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thi t diện Bài Cho hình. .. Chứng minh hình chóp K.ABC hình chóp suy ra: KA = KB +KC d) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài Cho hình chóp S.ABC biết có mặt cầu bán kính R tiếp xúc với cạnh hình chóp... mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác Bài 11 Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC tam giác cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 12 Cho hình chóp từ giác S.ABCD có cạnh đáy