HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Chuyên đề 15: A KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ z I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC không gian x' x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung z'Oz : trục cao O : gốc toạ độ JG JJG JJG e1 , e2 , e3 : véc tơ đơn vò • • • • • K e3 y' x K e1 O K e2 z' Quy ước : Không gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg(Oxyz) II Toạ độ điểm véc tơ: JJJJG Đònh nghóa 1: Cho M ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo JJJJG JG JJG JJG JG JJG JJG z e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : OM = xe1 + ye2 + ye3 với x,y,z ∈ \ Bộ số (x;y;z) hệ thức gọi toạ độ điểm M y Ký hiệu: M(x;y;z) M ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M, z: cao độ điểm M ) O x M ( x; y; z) đ/n ⇔ JJJJG JG JJG JJG OM = xe1 + ye2 + ze3 Ý nghóa hình học: • z M2 R z M3 O M y p x = OP Q x x y M1 117 ; y= OQ ; z = OR y G G Đònh nghóa 2: Cho a ∈ kg(Oxyz) Khi véc tơ a biểu diển cách theo G JG JJG JJG JG JJG JJG e1 , e2 , e3 hệ thức có dạng : a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 với a1 ,a2 ∈ \ G Bộ số (a1;a2;a3) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a G a = (a1; a2 ) Ký hiệu: G a=(a1;a2 ;a3 ) G JG JG J JJG a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 đ/n ⇔ II Các công thức đònh lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ : Đònh lý 1: Nếu A( x A ; y A ; zA ) B(x B; yB ; zB ) JJJG AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − zA ) G G Nếu a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) Đònh lý 2: ⎧a1 = b1 G G ⎪ * a = b ⇔ ⎨a2 = b2 ⎪a = b ⎩ G G * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) G G * a − b = (a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) G * k a = (ka1; ka2 ; ka3 ) (k ∈ \ ) III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Đònh lý phương hai véc tơ: G G G G Đònh lý : Cho hai véc tơ a b với b ≠ G G a phương b G G ⇔ ∃!k ∈ \ cho a = k b G G Nếu a ≠ số k trường hợp xác đònh sau: G G k > a hướng b G G k < a ngược hướng b G a k = G b Đònh lý : JJJG JJJG A, B, C thẳng hàng ⇔ AB phương AC 118 G G Đònh lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : ⎧a1 = kb1 ⎪ ⇔ ⎨a2 = kb2 ⇔ a : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 ⎪a = kb ⎩ G G a phương b IV Tích vô hướng hai véc tơ: Nhắc lại: GG G G G G a.b = a b cos(a, b) G2 G a =a G G GG a ⊥ b ⇔ a.b = Đònh lý 6: G G Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a2 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : GG a.b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 G Đònh lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) ta có : G a = a12 + a22 + a32 Đònh lý 8: Nếu A( x A ; y A ) B(x B ; yB ) AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 + (zB − zA )2 G G Đònh lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : G G a⊥b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3b3 = G Đònh lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) G b = (b1; b2 ; b3 ) ta có : GG G G a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b cos(a, b) = G G = a.b a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Đònh nghóa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ ) : JJJG JJJG MA = k.MB • • • A M B 119 Đònh lý 11 : Nếu JJJG JJJG A( x A ; y A ; zA ) , B(x B ; yB ; zB ) MA = k.MB ( k ≠ ) x A − k x B ⎧ ⎪ xM = − k ⎪ y A − k y B ⎪ ⎨ yM = 1− k ⎪ zA − k zB ⎪ ⎪ zM = − k ⎩ Đặc biệt : x A + xB ⎧ ⎪ xM = ⎪ y +y ⎪ M trung điểm AB ⇔ ⎨ yM = A B ⎪ zA + zB ⎪ ⎪ zM = ⎩ BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Tìm điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A VI Tích có hướng hai véc tơ: G G Đònh nghóa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2 ; a3 ) b = (b1; b2 ; b3 ) véc tơ G G ký hiệu : ⎡⎣ a; b ⎤⎦ có tọa độ : G G ⎛a ⎡ a; b ⎤ = ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 a2 ⎞ ; ⎟ b1 b1 b2 ⎠ G a = (a1; a2 ; a3 ) Cách nhớ: G b = (b1; b2 ; b3 ) Tính chất: • • • G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ a ⎣ ⎦ G G G ⎡ a; b ⎤ ⊥ b ⎣ ⎦ JJJG HJJG SΔABC = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ A B JJJG JJJG S ABCD = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ C D A' A • VABCD A' B'C ' D' JJJG JJJG JJJG = ⎡⎣ AB; AD ⎤⎦ AA' D' C B C' B' D C A 120 B • JJJG JJJG JJJG VABCD = ⎡⎣ AB; AC ⎤⎦ AD • G G a phương b • G G G G G G a, b, c đồng phẳng ⇔ ⎡⎣ a, b ⎤⎦ c = D G G G ⇔ ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = C A B BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1) a Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng b Tính diện tích tam giác ABC c Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các đònh nghóa: Véc tơ phương đường thẳng: VTCP đường thẳng : G G G đn ⎧ a ≠ ⎪ a VTCP đường thẳng ( Δ ) ⇔ ⎨ G ⎪⎩a có giá song song trùng với (Δ) K a K a ( Δ) Chú ý: • Một đường thẳng có vô số VTCP, véc tơ phương với • Một đường thẳng ( Δ ) hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: K a K b a α b G Cho mặt phẳng α xác đònh hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường G thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : JGJJG Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng α Chú ý : • Một mặt phẳng α hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTCP 121 K n Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) mặt phẳng : α G G G đn ⎧ n ≠ ⎪ n VTPT mặt phẳng α ⇔ ⎨ G ⎪⎩n có giá vuông góc với mpα Chú ý: • Một mặt phẳng có vô số VTPT, véc tơ phương với • Một mặt phẳng hoàn toàn xác đònh biết điểm thuộc cặp VTPT Cách tìm tọa độ VTPT mặt phẳng biết cặp VTCP nó: G ⎧⎪a = (a1; a2 ; a3 ) Đònh lý: Giả sử mặt phẳng α có cặp VTCP : ⎨ G mp α có VTPT : b ( b ; b ; b ) = ⎪⎩ G G G ⎛a n = ⎡⎣ a; b ⎤⎦ = ⎜ ⎝ b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 ⎞ ⎟ b2 ⎠ K K K n = [a , b ] K a K b α BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Tìm VTPT mặt phẳng α biết α qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1) II Phương trình mặt phẳng : Đònh lý 1: Trong Kg(Oxyz) Phương trình mặt phẳng α qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có G VTPT n = ( A; B; C ) là: K n = ( A; B ; C ) α M ( x0 ; y ; z ) A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = z Đònh lý 2: Trong Kg(Oxyz) Phương trình dạng : K n = ( A; B ; C ) α M0 y Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C ≠ phương trình tổng quát mặt phẳng 122 x Chú ý : G • Nếu (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) • M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) : Ax + By + Cz + D = ⇔ Ax + By0 + Cz0 + D = Các trường hợp đặc biệt: Phương trình mặt phẳng tọa độ: • (Oxy):z = • (Oyz):x = • (Oxz):y = Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (Oyz ) z y O (Oxz ) x ⎧ A(a; 0; 0) ⎪ • Phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz ⎨ B(0; b; 0) ⎪C (0; 0; c) ⎩ x y z là: + + =1 a b c (Oxy ) (a,b,c ≠ 0) C c O a b B BÀI TẬP ÁP DỤNG: A Bài 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài 2: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác III Vò trí tương đối hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng : Một số quy ước ký hiệu: ⎧a1 = tb1 ⎪a = tb ⎪⎪ ( a , a , , a ) ⎧ n Hai n số : ⎨ gọi tỷ lệ với có số t ≠ cho ⎨ ⎩(b1 , b2 , , bn ) ⎪ ⎪ ⎪⎩an = tbn a a1 a2 Ký hiệu: a1 : a2 : : an = b1 : b2 : : bn = = = n b1 b2 bn Vò trí tương đối hai mặt phẳng: Đònh lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng α , β xác đònh phương trình : JJG (α ) : A1 x + B1y + C1z + D1 = có VTPT n1 = ( A1; B1; C1 ) JJG ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = có VTPT n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) K n1 K n2 K K n1 K n1 α n2 α α β β 123 K n2 β