Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tổng hợp 85 bài tập toán rời rạc từ chương 1 đến chương 7 với các nội dung: cơ sở logic; phương pháp đếm; hệ thức đệ qui; quan hệ hai ngôi; hàm bool; đại cương về đồ thị. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung các bài tập.
BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC 1/ Xét chân trị vị từ p( x) , p(x)q(x), p(x)q(x), p(x) q(x) p(x) q(x) tùy theo biến thực x : a) p(x) = “ x2 2x “ q(x) = “ (x + 1)(x 2)1 > “ b) p(x) = “(3 2x)(x + 4) 1 “ q(x) = “ (x2 + x 2)(x 3x + 10) > “ 2/ Cho a R Viết mệnh đề phủ định A A có nội dung sau : a) 2a3 +5a = 10 b) (2a 5)(3a + 1) 1 c) 5a d) ln(a2 a 2) < e) Khoảng 2/3 số học sinh chất tốt f) Khơng đến 3/4 số tài xế có lái hợp lệ g) Khơng q 2/5 dân số tốt nghiệp đại học h) Hơn nửa số Bộ trưởng thực có lực i) Khơng 1/6 số trẻ em bị thất học j) Nhiều 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ k) Có sinh viên đạt giải thưởng l) Đúng 12 thí sinh dự vòng chung kết thi m) Hơn vận động viên phá kỷ lục quốc gia n) Ít 16 quốc gia thi đấu mơn bóng rổ o) Nếu Sơn thắng trận anh Paris p) Khơng muốn làm việc vào ngày chủ nhật q) Cả lớp nói chuyện ồn r) Có gọi điện thoại cho Tuấn s) Các cầu thủ khơng thích bơi lội t) Hắn thông minh thiếu thận trọng u) Ngọc học Tốn mà khơng học Lịch sử v) Dũng An thi ngoại ngữ w) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học x) Hải đạt kết thấp mơn Tin học lẫn mơn Tốn y) Họ đến trường hay họ xem phim z) Chúng Vinh anh không Huế ) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư làm từ thiện Từ đến 5, ký hiệu p, q, r s biến mệnh đề 3/ Rút gọn dạng mệnh đề sau : a) [(p q) (p q )] q b) p q [( p q ) q ] c) p q ( p q r) d) p (q r) ( p q r) e) (p q) [ q ( q r)] f) p (p q ) (p q r ) (p q r s ) 4/ Chứng minh a) [(p q) p q p q ] (p q) c) {(p q) [p (q r)]} (p q) b) [{(p r) (q r)} (p q)] ( p q r ) d) {[( p q r ) q ] (p r)} (p q r) e) {[q (p r)] ( p r ) q } [(p r) q ] g) [(p q) (q r) (r p)] [(p q) (q r) (r p)] i) [(p q) (q r) (r p)] [(p q) (q r) (r p)] f) [p (q r)] [ r ( q p )] h) [p ( q r)] [(q r ) p ] j) [ ( q p ) p) ] p q 5/ Chứng minh dạng mệnh đề sau sai : a) (p q) (p q r) b) (p q) [(q r) (p r)] c) [p (q r)] (p q) d) [(p q) (q r)] [p (q r)] e) {[(p q) (r p )] (q r )} p f) [ p (q r)] [ (p q) r] i) [p (q r)] (p r ) p q g) (r q) ( p q) h) [(p q ) q] p q j) (p q ) ( q p ) (q r) 6/ Cho lượng từ ( , {,} ) Xét chân trị A viết A tùy theo dạng cụ thể : a) A = “ x R, | x | = x3 “ b) A = “ x Q, x2 2x > 2 “ c) A = “ x R, n N, 2n x < 2n + “ d) A = “ x R, y R, (x2 = y2) (x = y) “ e) A = “ x Q, y R, (x2 + 2x 15)y = “ 2 f) A = “ x R, y Q, x + 4x y + “ g) A = “ x R, k Z, (x y)2 2 “ 7/ Viết dạng phủ định A xét chân trị A( xét trực tiếp A hay xét gián tiếp A ): a) A = “n N, 4|n2 4|n“ b) A = “x R, sinx + 2x =1“ c) A = “x R,y R, 2x + 3siny > 0“ d) A = “ x R, y N, (x2 y2) (x y) “ e) A = “ x R, y Q, 2y + 2y sinx + “ f) A = “ x R, y Q, t Z, x y2 + 2t “ g) A = “ x Q, y R, t N, x3 3y 5t “ 8/ Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : a) 13 + 23 + … + n3 = 41n2(n + 1)2 n b) 1.1! + 2.2! + … + n.n! = (n + 1)! n 1 c) 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n d) 2n < n! n n 2 n e) n < n ( để ý (n + 1) < 2n n ) f) n < n 10 ( để ý (n + 1)3 < 2n3 n ) g) 21n + 11 + 21 + 31 + … + ( 2n ) 1 (n + 1) n n h) | ( 3n + 7n ) n i) | ( 6.7n 2.3n ) n j) 3n + | ( 23 ) n k) Cho a R \ { } ( a + a1 ) số nguyên Chứng minh ( an + an ) số nguyên n l) Cho dãy số Fibonacci a0 = 0,a1 = an + = an + + an n Chứng minh an = ( )1(n n) n với nghiệm thực phương trình x2 x = thỏa > 9/ Giải thích đắn suy luận (p, q, r, s, t u biến mệnh đề) : a) [p (p q) (s r) (r q )] (s t) b) [( p q) ( p r) ( r s)] ( q s) c) { s [ ( p q) r] u [ r (s t)] (u t )] } p d) [(p q) r q ] p r e) {[p (q r)] (t q) s (p s)} ( r t ) f) (p r q ) [(p r) q] g) {[p (q r)] ( q p ) p} r h) {[(p q) r] (r s) s } (p q ) i) {(p q) (r s) [(s q) (p t)] (t p )} ( p r ) j) [p (p q) (r q )] r k) {(p q) (r s) [(s q) t] t } ( p r ) l) [(p q) ( r q ) r ] p m) {[p (r q)] p q [r (s t)] s } t n) [(p q) (p r) r ] q 10/ Chỉ sai lầm suy luận (p, q, r s biến mệnh đề): a) [(p q) r] [p (q r)] b) [(p q) r] [p (q r)] c) {[p ( r q )] p q } d) {[(p q) (q r)] [(p (q r)]} O e) {[ p {(q r) s}] [s ( r p)]} f) [( r q) (s p )] q g) [(p (q r)] (p r) h) [(p q) r] [(p r) (q r)] i) [( p q) q] p j) [(p q) p ] q k) [(p q) (q r) ( s q) (r s )] s l) {(p r) p [p (q r )] ( s q )} s m) {[(p r) q] (q p) } (p q) n) [(p q r) p (q r ) ] {[p (q r)] p q r } 11/ Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x A Chứng minh a) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] b) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] c) [ x A, p(x) q(x) ] [ ( x A, p(x)) ( x A: q(x)) ] d) [ ( x A, p(x)) ( x A, q(x)) ] [ x A, p(x) q(x) ] Cho ví dụ để thấy chiều đảo c) d) không 12/ Cho vị từ p(x) q(x) theo biến x A Giải thích đắn suy luận : a) {[ x A, p(x) (q(x) r(x))] [ x A, p(x) s(x) ]} [ x A, r(x) s(x) ] b) {[ x A, p(x) q(x) ] [ x A, p( x) ] [ x A, q( x) r(x) ] [ x A, s(x) r ( x) ]} [ x A, s( x) ] CHƯƠNG : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ Liệt kê tập hợp sau : A = {1 + (1)n / n N} B = {n + n1 / n N} C = {x = (m/n) / m, n Z, n 0, m2 < 6n > n2 7} D = { 2sin(n/6) + / n Z } E = { x = (m/n) / m, n Z, 17 < n 80 21 < x < } F = { x Z / (x2 + 3x 10)(x + 4)1 } G = { x Q / x4 256 x = cosx sin3x } 2/ Cho A,B R Viết A , B , A B, A B, A \ B, B \ A thành phần hội khoảng rời R a) A = (9, 3) [1,2] [4,5) (7,11] (13,+ ] B = ( ,7] [4,2) (0,3) (6,8] [10,15] b) A = ( , 4) [4, 7] { 1, 2, 8, 10 } B = (5, 1] [6, 9) { 6, 3, 5, 10 } 3/ Cho A, B, C, D E Hãy rút gọn biểu thức sau : a) ( A \ B ) ( B \ A ) ( A B ) b) ( A B ) \ [ ( A \ B ) ( A B ) ] c) A B ( A B C ) d) ( A B ) ( A B C D ) ( A B ) e) A ( A B ) ( A B C ) ( A B C D ) 4/ Cho A,B,D E Chứng minh a) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) c) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) e) ( A \ B ) \ D = A \ ( B D ) = ( A \ D ) \ ( B \ D ) b) D \ ( A B ) = ( D \ A ) ( D \ B ) d) ( A B ) \ D = ( A \ D ) ( B \ D ) 5/ Cho A, B, H, K E Chứng minh a) [ ( A H ) ( B K ) ] [ ( A B ) ( H K ) ] b) [ (A B ) \ ( H K ) ] [ ( A \ H ) ( B \ K ) ] [ ( A B ) \ ( H K ) ] c) [ ( A B ) \ H ] [ A ( B \ H )] d) [ (A B ) \ ( A H ) ] ( B \ H ) Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy a), b), c) d) 6/ Cho A = { 0, 1, a }, B = { a, } C = { 2, b } a) Liệt kê tập hợp A2, A x B, C x A, B x C C x B b) Liệt kê tập hợp B3, A x B2, C x A x C, A x B x C C2 x B 7/ Cho A, B E H, K F Chứng minh a) A x ( H \ K ) = ( A x H ) \ ( A x K ) b) [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] = [ ( A \ B ) x H ] [ A x ( H \ K ) ] c) ( A x H ) ( B x K ) = ( A B ) x ( H K ) d) [ ( A x H ) ( B x K ) ] [ ( A B ) x ( H K ) ] e) [ ( A \ B ) x ( H \ K )] [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] Cho ví dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy d) e) 8/ Các qui tắc f : X Y sau có phải ánh xạ không ? Tại ? a) X = (2, 1], Y = R, f(x) = x(x2 + 2x 3)1 x X b) X = R, Y = (6, + ), f(x) = ex + 9ex x X c) X = Y = R, f(x) = ln| sinx | x X d) X = [1, + ), Y = R, f(x) = y cho y2 2y = x x X e) X = [1, 3],Y = R\{0}, f(x) = 3x2 9x + x X f) X = Q,Y = Z, f(m/n) = m2 + 3n mn (m/n) X 9/ Xét tính đơn ánh tồn ánh ánh xạ f : X Y sau : a) X = Y = R, f(x) = x(x2 + 1)1 x X b) X = [2, + ), Y = (20, + ), f(x) = x2 + 6x x X c) X = Y = R, f(x) = (x 1)(x + 3) (x 4) x X d) X = R\{0}, Y = R, f(x) = (2x 3)x1 x X e) X = R, Y = [2, 2], f(x) = sinx + cosx x X f) X = Y = R, f(x) = 3cos2x 7x + x X 10/ Xác định u = gof, v = fog (nếu có) w = hogof f : X Y, g : Z T h : U V a) X = Y = Z = T = U = V = R, f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + x h(x) = x3 + 4cosx b) X = T = U = (0,+ ), Y = Z = R, V = [1, + ), f(x) = 3lnx 2, g(x) = esinx h(x) = 5x4 x2 + c) X = V = R,Y = Z = R\{1},T = U = R\{3}, f(x) = x2 4x + 6, g(x) = (3x + 2)(1 x)1 h(x) = ln| x + 3| 11/ Tìm f(A), f(B), f(C), f(D), f(E), f(R), f1(G), f1(H), f1(K), f1(L), f1(M) f1(N) cho ánh xạ sau a) f : R R với f(x) = x (nếu x 1) f(x) = 2x + (nếu x > 1) A = { 1, 0, 1, 2, }, B = [1,3], C = (1,2), D = ( ,0] E = (3,+ ), G = { 7, 5, 3, 1, 2, 5, 7, }, H = [7, 5], K = (5, 5), L = [7, + ), M = [1, 9) N = (3, 2] b) f : R R với f(x) = x + (nếu x 0), f(x) = 2x (nếu < x < 3) f(x) = x (nếu x 3) A = { 2, 1, 0, 1, 2, 4, }, B = [2, 1], C = (2, 4), D = (1, 5], E = [0, + ), G = { 5, 2, 1, 0, 4, 5, 7, 10, 11 }, H = [5, 1], K = ( , 0], L = [2, 4), M = (5, 10] N = (7, 11) 12/ Chứng minh ánh xạ song ánh viết ánh xạ ngược chúng : a) f : R (1, 1), f(x) = x(1 + | x |)1 b) g : R R, g(x) = ex 3ex + 1 c) h : [1, 2) [5, 7), h(x) = 3x + 2x d) p : R (2, 3), p(x) = (9 2ex) (ex + 3)1 e) q : R\{1} R\{3}, q(x) = (5 3x) (x 1)1 f) r : (0, 3] (2, 41.17], r(x) = (x + 1) + (x + 1)1 g) Tìm ánh xạ u,v,w thỏa p1ou = g, vof = g f1owop = g CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 1/ Cho tập hợp hữu hạn A, B, C E Chứng minh | A B C | = | A | + | B | + | C | ( | A B | + | B C | + | C A | ) + | A B C | 2/ Cho E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2,4,5,7,9},B = {2,5,9}, C = {1, 3, 8} D = {0, 2, 4, 5, 7, 8, 9} a) Có tập hợp X E thỏa X = A ? b) Có tập hợp Y, Z, T, W E thỏa A Y = B, A Z = D, (A \ T) = B (W \ A) = C ? 3/ Có số nguyên tự nhiên chẵn ( dãy số với chữ số cuối chẵn ) gồm chữ số khác mà có chữ số ? 4/ Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Có tập A S thỏa a) | A | = b) | A | = minA = c) | A | = minA d) | A | = A 5/ Cho S = {1, 2,…, n} Có tập A S cho A có số nguyên chẵn? ( xét n chẵn, lẻ ) 6/ Tìm n biết có phần tư số tập gồm phần tử S = { 1, 2, … , n } có chứa số 7/ Cho S = {1, 2, 3, … , 14, 15} Có tập A S mà a) A có tồn số lẻ b) A có số lẻ c) | A | = A có số lẻ d) A có số lẻ số chẵn 8/ Có cách chia n sinh viên thành đội ( n ) mà a) đội học Anh Văn đội học Pháp văn ? b) hai đội làm công tác xã hội ? ( xét n chẵn, lẻ ) 9/ Từ 10 nam 10 nữ, có cách chọn đội gồm 12 người thỏa a) chọn tùy ý b) đội có nam c) đội có nam d) đội có nam nữ e) đội có số nam chẵn 10/ Có byte khác chứa a) bit b) bit c) khơng bit d) bit bit 11/ Có cách chia 12 bút khác cho đứa trẻ a) đứa bút b) hai đứa lớn đứa bút hai đứa nhỏ đứa bút 12/ Tìm hệ số đơn thức a) xy2z3t khai triển (x + 2y z + 4t 5u)7 b) x3y9z4t3 khai triển ( 2x y3 3z2 + 4t3 )9 13/ Xét tất tam giác tạo từ đỉnh khác đa giác có n cạnh ( n ) a) Có tất tam giác ? b) Có tam giác có chung cạnh với đa giác trên? c) Có tam giác có chung cạnh với đa giác ? d) Có tam giác khơng có chung cạnh với đa giác ? 14/ Có cách xếp a) nam nữ xen kẽ thành hàng dọc? b) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nhau? c) nam nữ thành hàng dọc cho nữ đứng gần nhau? d) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần nữ đứng gần nhau? e) nam nữ thành hàng dọc cho nam đứng gần hay nữ đứng gần nhau? f) bác sĩ, kỹ sư luật sư thành hàng ngang cho đồng nghiệp đứng gần nhau? 15/ Có cách xếp cặp vợ chồng vào bàn tròn có 10 ghế đánh số thứ tự a) xếp tùy ý ? b) người nam ngồi gần c) vợ chồng ngồi gần 16/ Có cách treo áo đỏ,4 áo trắng áo xanh thành hàng dọc (các áo khác nhau) a) treo tùy ý b) áo màu treo gần c) áo màu trắng treo gần 17/ Làm lại 16 với giả thiết áo màu xem giống 18/ Có cách chọn 20 tờ giấy bạc từ loại tiền đồng, đồng, đồng, 10 đồng 20 đồng ? Nếu u cầu thêm có tờ đồng khơng q tờ 20 đồng có cách chọn ? 19/ Tìm số nghiệm nguyên phương trình x + y + z + t = 32 ( hay bất phương trình x + y + z + t 32 ) a) x, y, z, t b) x 2, y 3, z 1, t > c) x > 1, y 4, z > 4, t d) x, y, z > t < 25 20/ Có cách chia 18 viên kẹo giống cho đứa trẻ a) chia tùy ý b) đứa kẹo c) đứa lớn có viên d) đứa nhỏ nhất viên e) đứa lớn nhận không viên 21/ Khi khai triển (x + y + z + t)10, ta đơn thức khác ? Trong số có đơn thức xmynzu tv (khơng kể hệ số phía trước) thỏa m 2, n v ? 22/ Có cách chia 15 viên kẹo chanh (giống nhau) 10 viên kẹo dừa (giống nhau) cho đứa trẻ cho đứa có hai thứ kẹo ? 23/ Có cách mua 20 hộp sơn với màu số 10 màu mà cửa hàng có ? 24/ Xét chuỗi ký tự bao gồm phần mẫu tự đứng trước phần chữ số đứng sau Phần mẫu tự có mẫu tự , , , , , , , , xếp tùy ý ( , , mẫu tự khác lấy tùy ý từ A, E, H, P, Y ) Phần chữ số chữ số xyzuvw( x, y, z, u, v, w lấy tùy ý từ 0, 1, 2, … , 8, ) thỏa x + y + z + u + v + w Hỏi có tất chuỗi ký tự ? 25/ Cho A S = { 1, 2, … , 25 } thỏa | A | 14 Chứng minh có a, b A thỏa a b a + b = 26 26/ Cho A S = { 1, 2, … , 100 } thỏa | A | 11 Chứng minh có x, y A thỏa < | Tổng quát hóa kết theo hướng khác nhau: theo | S | theo ( n x 27/ Lấy 10 điểm khác tùy ý tam giác có cạnh 3cm Chứng minh số có điểm có khoảng cách không 1cm n y ) x y | < 28/ Từ thứ hai đến thứ bảy tuần có 12 buổi (sáng chiều) Có 782 sinh viên đăng ký học đàn theo buổi nói tuần: sinh viên chọn từ đến buổi Chứng minh có sinh viên có lịch học tuần hồn tồn giống 29/ Xếp số 1, 2, … , 25 cách tùy ý đường tròn Chứng minh có số gần đường tròn có tổng 41 có số gần đường tròn có tổng 37 30/ Cho A S = { 1, 2, … , 14 } thỏa | A | Chứng minh có H,K A ( mà H K ) thỏa | H | 5, | K | h hH = k kK CHƯƠNG : HỆ THỨC ĐỆ QUI 1/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính sau : a) a0 = an + = 3an n b) a1 = 5 an = 8an n c) a2 = 28, a3 = 8 an = 4an n d) a0 = 1, a1 = an + = 5an 6an n e) a1 = 6, a2 = an + = 4an + 4an n 2/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau : a) a0 = 3 an = an + n b) a1 = 13 an + = 2an + + 5.3n + n c) a2 = 61 an + = 3an + 4n n d) a0 = 7 an + = 4an 2(4)n + 1(n 2) n e) a3 = 128 an + = 5an + 12 n 3/ Giải hệ thức đệ qui tuyến tính khơng sau : a) a0 = 1, a1 = an + = 5an + 6an + n b) a1 = 4, a2 = 19 an + = 5an 4an + n c) a2 = 5, a3 = 26 an = 2an an 10 n d) a0 = 3, a1 = 5 an = 2an + 3an + 8(1) n + n e) a1 = 13, a2 = 50 an + = 7an + 10an + (40n 1) 3n n f) a2 = 28, a3 = 149 an + = 2an an 12n2 24n + n 4/ Tính tổng số sau theo n nguyên : a) Sn = 13 + 23 + … + n3 (n 1) b) Sn = 14 + 24 + … + n4 (n 1) c) Sn = 14 + 24 + … + (1)nn4 (n 1) n d) Sn = (k 1)(k 2)2k (n 0) e) Sn = k 0 n (2k 1)(3) k (n 0) f) Sn = k 0 n (k 2k 4k )(1)k (n 1) k 1 5/ Vẽ n đường thẳng mặt phẳng cắt đôi khơng có đường thẳng đồng qui (n 1) Các đường thẳng chia mặt phẳng thành miền rời đôi ? 6/ Giả sử dân số giới năm 2000 tỉ người tốc độ tăng dân số giới 3% năm Tính dân số giới vào năm n (n 2000) 7/ Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự a,b,c) cho chuỗi ký tự khơng có ký tự a đứng gần (n 1) ? 8/ Có chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự lấy tùy ý từ ký tự 1, 2) cho chuỗi ký tự ký tự đứng gần (n 1) ? 9/ Cho a0 = , a1 = an + = an + + an n Chứng minh an = fn + fn n fm số hạng thứ m (m 0) dãy số Fibonacci ( f0 = 0, f1 = fn + = fn + + fn n ) 10/ Tính an bn biết a0 = 1, b0 = 2, an + = 3an + 2bn bn + = an + 2bn n ( Hướng dẫn: Tìm , thỏa an + + bn + = (an + bn) tính un = an + bn n ) CHƯƠNG : QUAN HỆ HAI NGÔI 1/ Đặt Ik = {0, 1, … , k} k N Hãy viết tập hợp xét tính chất quan hệ hai ngơi S a) S = I2, x, y S : x y y x b) S = I2, x, y S : x y x2 + y2 c) S = I2, x, y S : x y 3x + y d) S = I3, x, y S : x y x + y e) S = I4, x, y S : x y ( x = y hay x + 2y = ) f) S = I4, x, y S : x y (x + 2) | y 2/ Xét tính chất quan hệ hai ngơi S a) S = Z, x, y S : x y x | y2 b) S = Z, x, y S : x y y | x2 c) S = Q, x, y S : x y x = | y | d) S = Q x Q, (x,u), (y,v) S : (x,u) (y,v) x y e) S = R, x, y S : x y x y f) S = R, x, y S : x y x = 2y ( để ý 2t > t t R ) 3/ Kiểm chứng quan hệ tương đương S viết lớp tương đương tập thương tương ứng: a) S = { Huế, Paris, Moscou, Rome, Tokyo, Kyoto, Milan, Vinh, Lyon, ĐàLạt, Kobe, Sàigòn, Cairo, Nice, Bonn, Turin, Berlin }, x, y S : x y x y thành phố thuộc quốc gia b) S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, }, x, y S : x y x2 + 5x = y2 + 5y c) S = { 4, 2, , 1, 0, 1, , 2, }, x, y S : x y x3 + 3y = y3 + 3x d) S = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 21, 24, 25, 35, 42, 48}, x,y S : x y k Z : x = 2ky (k phụ thuộc x y) e) S = { 11/6, , 4/5, /4, /5, /7, 0, /6, /3, 5/6, , 5/4, 3 } x, y S : x y sinx = cos(y + 21.7) f) S = (E) với E ={ 1, 2, }, X, Y S : X Y X A = Y A A = {1, 2} 4/ Kiểm chứng quan hệ tương đương S = R xác định lớp tương đương [ a ] a R tương ứng ( biện luận theo tham số thực a ) a) x, y S : x y x2 + 3x = y2 + 3y b) x, y S : x y x2 y2 = 2(x y) c) x, y S : x y x3 12y = y3 12x ( xét riêng hai trường hợp + ) d) x, y S : x y x2y + 7x = xy2 + 7y e) x, y S : x y 4x + xy2 = x2y + 4y f) x, y S : x y 2cos2x sin(xy)cos2y = 2cos2y sin(xy)cos2x 5/ Cho S = { a, b, c, d, e, f } a) Viết tập hợp quan hệ tương đương S có lớp tương đương {a, d, f},{c, e} {b} b) Trên S có quan hệ tương đương chia S thành lớp tương đương có số phần tử lớp 3, 2, (tương tự quan hệ tương đương ) ? c) Trên S có quan hệ tương đương chia S thành lớp tương đương ? 6/ Kiểm chứng quan hệ thứ tự S thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại ? Vẽ sơ đồ Hasse cho (S,) tìm min,max phần tử tối tiểu tối đại (nếu có): a) S = { 2, 3, … , 11, 12 }, x, y S : x y [ (x lẻ y chẵn) hay (x y chẵn x y) ] b) S = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20 }, x, y S : x y x | y (quan hệ ước số) c) S = { 2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48, 96 }, x, y S : x y x | y d) S = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,40, 50 }, x, y S : x y x y (quan hệ bội số) e) S = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 24, 48, 96 }, x, y S : x y x y f) S = { 96, 768, 6, 48, 384, 3, 24 }, x, y S : x y k N: y = 2kx ( k phụ thuộc x y ) 7/ Cho S = { a = 2m3n/ m, n N , m n } với quan hệ thứ tự | a) Vẽ sơ đồ Hasse tìm min,max cho (S, | ) (S, ) b) Đặt T = S \ { 1, 2, 72 } Vẽ sơ đồ Hasse tìm phần tử tối tiểu tối đại (T, | ) (T, ) 8/ Cho S = { a, b, c } với quan hệ thứ tự Giả sử a phần tử tối tiểu c phần tử tối đại (S, ) a) Vẽ tất trường hợp khác xảy cho sơ đồ Hasse (S, ) b) Yêu cầu a) có thêm điều kiện “ b phần tử tối đại (S, ) “ 9/ a) Giải thích thứ tự xếp từ sau từ điển tiếng Anh : individual, indistinct, real, indite, confirmation, individualism red b) Giải thích thứ tự xếp dãy số sau theo thứ tự từ điển : 852604, 74596, 935, 7489, 85297440, 85297311 7489231 10/ Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, ) tồn phần hóa (sắp xếp topo) thứ tự bán phần sau: a) S = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } với d a, b e, g e, h f, i e h d b) S = { 1, 2, 4, 5, 12, 15, 20 } với quan hệ | (ước số) c) S = { 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 16 } với quan hệ (bội số) d) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } với quan hệ | (ước số) CHƯƠNG : HÀM BOOL 1/ Tìm dạng nối rời tắc cho hàm Bool sau : a) f(x, y, z) = x y x(y z) b) f(x, y, z, t) = (xy zt)(x z) )(xz yt)(xt yz) c) f(x, y, z) = ( x yz)( y xz)( z xy) d) f(x, y, z, t) = yz zt xt (xy y z x t )xyt e) f(x, y, z, t) = xyz y zt [x t (x y) (z t)] [(x z) (y t)] [(x t)(y z)] 2/ Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool f có biến viết dạng nối rời tắc cho f f biết S = Kar(f) hay S = ( Phần bù S bảng mã B4 ) sau : a) S = { (1,1), (1,3), (2,2), ( 2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4) } b) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4), (4,3) } c) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (4,2), (4,3) } d) S = { (1,1), (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1) } e) S = { (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4) } f) S = { (1,1), (2,2), (2,3), (3,1), (4,1) } g) S = { (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), ( 4,1), (4,2) } h) S = { (1,3), (2,1), (2,2), (3,4) } 3/ Ký hiệu x’ = x , y’ = y , z’ = z t’ = t Tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool f có biến viết dạng nối rời tắc cho f f biết f có dạng đa thức sau : a) f(x, y, z, t) = yt’ xyz’ x’yz xy’z t’ x’y’z’t’ b) f(x, y, z, t) = xzt’ y’z’t’ xyt x’yz x’y’z’t’ x’yz’t c) f(x, y, z, t) = x’y’z’t’ yzt xy’z xyz’t yzt’ x’y’t d) f(x, y, z, t) = x’yz xy’ xz’t’ x’yt’ xyzt’ y’zt e) f(x, y, z, t) = xy’zt’ yz’t x’y’zt’ yz’t’ x’yz xy’z’t’ f) f(x, y, z, t) = x’z’t’ xyzt xy’z’t’ xy’t x’zt’ x’yz’t g) f(x, y, z, t) = xyzt x’y’ xz’t yz’t’ h) f(x, y, z, t) = z’t’ xyt’ x’yz’ x’y’zt’ xy’z’t y’zt 4/ Vẽ mạng cổng tổng hợp hàm Bool f (dùng công thức đa thức tối tiểu nó) 5/ a) Có hàm Bool biến lấy giá trị vector Bool có biến ( lấy giá trị tùy ý vector Bool khác ) ? b) Có hàm Bool biến lấy giá trị vector Bool có biến 1( lấy giá trị tùy ý vector Bool khác ) ? c) Có hàm Bool biến không phụ thuộc biến thứ ? d) Có hàm Bool biến khơng phụ thuộc biến ? CHƯƠNG 7: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 1/ Vẽ phác họa đồ thị vô hướng liên thông (đơn đồ thị, đa đồ thị cạnh song song, đa đồ thị khơng có vòng, đa đồ thị có vòng cạnh song song) có bậc đỉnh a) 1, 2, 2, (chỉ có trường hợp đầu) b) 1, 1, 1, 3, 3, (chỉ có trường hợp đầu) c) 1, 2, 3, 3, 4, d) 2, 2, 2, 4, 4, 2/ Cho đồ thị vơ hướng G = (V, E) Tìm | V | a) | E | = 12 đỉnh có bậc b) | E | = 21, G có đỉnh bậc đỉnh khác bậc c) | E | = đỉnh có bậc d) | E | = 16, G có đỉnh bậc đỉnh khác có bậc 3/ Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) a) | V | = đỉnh có bậc khơng? b) | V | = bậc số nguyên liên tiếp không? c) Giả sử đỉnh có bậc r lẻ Chứng minh r | | E | d) Tìm max| V | | E | =19 đỉnh có bậc 4/ Cho G = (V, E) Viết ma trận kề MG vẽ phác họa G Giải thích G liên thơng? G đơn hay đa đồ thị? G có chu trình hay đường Euler khơng? Tại sao? Nếu có xác định chúng theo thuật tốn : a) E = { AB(3), AF, AJ(3), BC(2), BK, CD(2), CH(2), CI, DF, DJ, FI(2), FK(2), HH(4), HJ,II(2), JK(3) } V = { A, B, C, D, F, H, I, J, K } b) E = { AB,AH,BC,BH,BJ,CD,CJ,CK,DF,DK,DL,FH,HI,IJ,JK,KL } V = { A,B,C,D,F,H,I,J,K,L } c) E = { AB, AC, AF, AH, BC, BH, CD, CH, DF(2), DI, FH } V = { A, B, C, D, F, H, I } d) E = { AA(2),AB,AF,BC,BD,BF,CF,CH(2),DH,DI,DJ,FI,HI,IJ,JJ(2) } V = { A, B, C, D, F, H, I, J } e) E = { AB(2), AD(3), BB(4), BF,BH, CC(2) ,CD,CH, DD(2 ), FF(2) ,FH } V = { A, B, C, D, F, H } f) E = { AB, AC, AD, AF, BD, CD, CH, CI, DF, DH, DI, FH, FI, HI } V = { A, B, C, D, F, H, I } g) E = { AB, AC(2), AF(2), AH(2), BF, BH(2), CD, CH, DF, FH } V = { A, B, C, D, F, H } Lưu ý: AB(3) có nghĩa có cạnh nối A với B 5/ Các đồ thị vơ hướng G H L có chu trình Euler hay đường Euler khơng ? Tại sao? Nếu có xác định chúng theo thuật tốn : 6/ Cho cặp đồ thị vô hướng từ (G G’) ( T T’) Hãy cho biết cặp đồ thị bao gồm hai đồ thị đẳng cấu với ( không đẳng cấu với nhau) giải thích ? ... dụ để thấy trường hợp khơng có dấu đẳng thức xảy a), b), c) d) 6/ Cho A = { 0, 1, a }, B = { a, } C = { 2, b } a) Liệt kê tập hợp A2, A x B, C x A, B x C C x B b) Liệt kê tập hợp B3, A x B2, C... x A, q( x) r(x) ] [ x A, s(x) r ( x) ]} [ x A, s( x) ] CHƯƠNG : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1/ Liệt kê tập hợp sau : A = {1 + (1)n / n N} B = {n + n1 / n N} C = {x = (m/n) / m, n ... 9}, A = {2,4,5,7,9},B = {2,5,9}, C = {1, 3, 8} D = {0, 2, 4, 5, 7, 8, 9} a) Có tập hợp X E thỏa X = A ? b) Có tập hợp Y, Z, T, W E thỏa A Y = B, A Z = D, (A T) = B (W A) = C ? 3/ Có