Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 119 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
119
Dung lượng
1,52 MB
Nội dung
Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI CHƯƠNG 1:ĐỀ VÀ LỜI GIẢI Bài 1:Cho x,y,z số thực dương có tích 1.Chứng minh: ( xy yz zx)2 ( x y z ) 24 x y z Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương: 1 ( xy yz zx)2 ( ) 24 x y z xy yz zx Áp dụng holder ta có: 1 1 1 ( xy yz zx)2 ( ) ( xy yz zx)( yz zx xy )( ) ( x y z )3 xy yz zx zx xy yz Sử dụng bất đẳng thức với a,b,c>0 (a b c)3 24abc a b3 c ta được: ( x y z )3 24 x y z x y z 24 x y z Suy điều phải chứng minh Lời giải 2:Bất đẳng thức tương đương với: ( x y z )( x y y z z x ) 4( xy yz zx ) x y z 24 Sử dụng cauchy ta dễ có điều 1 Bài 2:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn 1 2ab 2bc 2ca Chứng minh rằng: a b c 3abc Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu) 1 Ta có (1 ) a 2b 2ab hiển nhiên 2ab ab 1 1 Do đó:1 (3 2( ) a b c 3abc ,suy điều phải chứng minh ab bc ca Bài 3:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh; a b c ( )( ab bc ca ) b c a Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu) Đặt x ab , y bc , z ca ,khi x y z z x y Ta cần chứng minh: ( )( x y z ) y z x z x y ( x y z )2 Thật ta có: Ta chứng minh: ( x y z )3 9( xy yz zx) y z x xy yz zx 3 Mà ( x y z )3 ( x y z 2( xy yz zx)) (3 ( x y z )( xy yz zx) ) (3 3( xy yz zx) ) 9( xy yz zx) Điều phải chứng minh Bài 4:Chứng minh với số thực x,y,z ta ln có: ( x y z ) 3( xyz )2 4( x y y z z x ) Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: x y z 3( xyz ) 2( x y y z z x ) Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Mà theo schur ta có: x y z 3( xyz )2 x y ( x y ) x y Điều phải chứng minh Bài 5:Cho a,b,c số thực khơng âm có a b c khơng có hai số đồng thời bc ca a b a(1 a) 0,chứng minh: 64 a bc b ca c ab cyc ( a 1) Lời giải: bc a (b c) 4a (b c) 64a(b c ) 64a (1 a ) Ta có a bc (a bc)(ab ac) (a b)2 (a c )2 (b c 2a )4 (a 1)4 Làm tương tự ta có điều phải chứng minh Bài 6:Cho x,y,z số thực dương có tích 1,chứng minh: x y z xy yz zx 2( x y z ) Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương: ( x x ) ,hiển nhiên x Lời giải 2: VP 2( xy yz zx ) ( x y ) 2( xy yz zx ) ( xy yz ) 2 y VT Bài 7:Cho x,y,z số thực,chứng minh rằng: ( x 3)( y 3)( z 3) (3 xy yz 3zx xyz )2 27 Lời giải:Ta biến đổi bất đẳng thức dạng p,q,r sau: 243 p 45q 23r 24qr 162 pr 486q 729 11(3 p r )2 12(q r ) (q 27)2 144( p 3q ) 32(q pr ) Hiển nhiên,dễ dàng kiểm tra điều này.Ta có điều phải chứng minh,dấu xảy va x = y = z = (sin x +siny)sinz+cosxcosycosz Bài 8:Tìm max p sin x sin y Lời giải:Ta có (sin x +siny)sinz+cosxcosycosz sin z cos z (sin x +siny)2 (cosxcosy) sin x 2sin xsiny+sin y (1 sin x)(1 sin y ) sin x sin y 2sin xsiny+1 sin xsiny+1 Do đó: p 1 p Vậy:max p = x y z Min p = -1 x y 0, z Bài 9:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: abc ab bc ca 3 a b c a b2 c Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 3(a b c ab bc ca ) a3 b3 c3 3abc a2 b2 c a3 b3 c3 abc ( a b) ( a b) 2 2 2(a b c ) 2(a b3 c ) Do ta cần chứng minh: 3(a b3 c3 ) (a b c )(a b c ) ,ta dễ có bất đẳng thức x y z Bài 10:Tìm biểu thức: A = ,với x,y,z >0 x y z y z x x2 y z Lời giải 1: A x y z x y z 2y z x ,theo Cauchy ta có: 2z x y y y x2 x x z ) x A2 3( x y z ) A y z z Vậy A = a = b = c = Lời giải 2:Theo svac-xơ ta có: ( x y z) ( x y z) A x yy zz x ( x y z )( xy yz zx ) ( ( x y z) 3( x y z ) ( x y z)2 ( x y z ) Bài 11:cho x,y,z số thực thỏa mãn: x y z ,chứng minh: 6( x y z )2 ( x y z )3 Lời giải:Chúng ta có: z ( x y ) 27 ( x y z )3 ( x y ( x y )2 )3 ( ( x y )2 )3 ( x y) ( x y)2 27 16( xy ) ( x y ) 6.(3xy ( x y )) 6( x3 y ( x y )3 ) 6( x y z ) Bài 12:Cho a,b,c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời 0.Chứng minh rằng: a3 b3 c3 2 2 2 2 2 2 (2a b )(2a c ) (2b c )(2b a ) (2c a )(2c b ) a b c Gợi ý:Ta cần chứng minh: a3 a (a ab ac )2 (2a b )(2a c ) ,điều 2 2 (2a b )(2a c ) (a b c) đúng,theo bunhiacop-xki Bài 13:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh; 5(a b c ) 18 abc Lời giải:Bất đẳng thức viết lại dạng: p 18 r Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 3p ,vậy ta cần chứng minh; r q2 9p 36 ( p 3) (5 p 12 p p 18) p 18 p 18 0 q ( p 3)2 ( p 3) 18 Mà p 12 p p 18 p (5 p 12 ) p (5 12 6) p p Hoàn tất việc chứng minh Bài 14:Cho a,b,c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời không.Chứng minh rằng: 1 a bc b ca c ab ab bc ca ab bc ca a (b c a ) Lời giải:Để ý 1 ,bất đẳng thức viết lại thành: a bc a bc a (b c a ) b(c a b) c (a b c) 0 a bc b ca c ab Giả sử a b c b c a nên ta cần chứng minh: b ( c a b) c ( a b c ) (b c) (a b)(a c) abc (2a b c ) 2 b ca c ab Hiển nhiên,vì a b c Bài 15:Cho a,b,c số thực dương,thỏa mãn a b c Chứng minh: a2 b2 c2 3abc 3 ab bc bc ca ca ab a b b c c a abc Lời giải: Áp dụng Svac-xơ ta có: a2 b2 c2 (a b c )2 3(a 3b b3c c3 a) ab bc bc ca ca ab a b b3c c 3a abc(a b c ) a 3b b3c c 3a abc Suy điều phải chứng minh Bài 16:Cho a,b,c,d số thực không âm thỏa mãn a b c d Chứng minh: a3 b3 c d Gợi ý: a3 2a Bài 17:Cho a,b,c số thựuc không âm,chứng minh: bc a3 b3 c3 3abc 2( a )3 bc Lời giải:Nếu a ,hiển nhiên bc Nếu a ,đặt b a x, c a y ta có: bc a3 b3 c 3abc 2( a)3 12a ( x xy y ) 6( x y )( x y ) 6( x y )( x y ) 2 bc ( a )(a b) ,hiển nhiên 2 Từ giả thiết ta có p 2q p Mà q pr Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Dấu xảy (a, b, c) (1,1,1);(0,1,1) Bài 18:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a b c a2 b2 c 3 Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: (a b c)5 81abc (a b c ) Mà ta có (ab bc ca) 3abc (a b c) ,do ta cần chứng minh: (a b c)6 27(ab bc ca ) (a b c ) p 27q ( p 2q) ( p 3q )2 ( p 6q) ,hiển nhiên Bài 19:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: a b c 2abc 2(ab bc ca ) Lời giải 1:Khơng tính tổng quát ta giả sử (1 b)(1 c ) Bất đẳng thức viết lại: (a 1)2 (b c) 2a (1 b)(1 c ) Lời giải 2:Ta xét: (a b c)(1 2abc a b c 2(bc bc ca )) ((a b3 c 3abc) ab(a b )) a (bc cb 3bc ) Đúng,theo Cauchy schur.Suy điều phải chứng minh Lời giải 3:Đặt a x , b y , c z ,chúng ta có: x y z x y z x y z x y z x y z ( x y x y ) 2 x y Suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a = b = c =1 Lời giải 4:Ta có theo Cauchy schur bậc 1: 3abc 9abc a b c 2abc a b c a b2 c a bc abc 2 2 a b c 4(ab bc ca ) (a b c ) 2(ab bc ca) Điều phải chứng minh Bài 20:Cho a,b,c,k số thực không âm,chứng minh: (a k 1)(b k 1)(c k 1) (k 2)2 (ab bc ca k 1) Lời giải:Xét: (a k 1)(b k 1)(c k 1) (k 2)2 (ab bc ca k 1) ((b c)2 (c a) (a b)2 )k ((b c )2 (c a )2 (a b)2 (bc 1) 2 (ca 1)2 (ab 1)2 )k (bc 1)2 (ca 1)2 (ab 1)2 (abc 1)2 ((1 2abc a b c ) (2ab 2bc 2ca )) Đúng,theo toán trên.suy đpcm Bài 21:Cho a,b,c số thựuc phân biệt,chứng minh rằng: a b c ( ) ( ) ( ) 2 bc ca a b a b c Lời giải:Đặt x ,y ,z ta có xy yz zx 1 bc ca ab Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI VT ( x y z )2 2( xy yz zx) ( x y z )2 Bài 22:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: (a bc) b c (b ca ) c a (c ab) a b Lời giải:Đặt b c x , c a y , a b z ( x, y , z 0) Bất đẳng thức tương đương xy ( x y ) x y ( x y ) xy ( x y )( x y ) cyc cyc cyc Bài 23:Cho a,b,c,d số thực không âm,chứng minh: a b bc cd d a 0 a 2b c b 2c d c 2d a d 2a b Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: a b 3a c ( )2 4 cyc a 2b c cyc a 2b c Mà theo Svac-xơ thì: ( (3a c))2 3a c 16(a b c d ) cyc 4 cyc a 2b c (3a c)(a 2b c) 4(a b c d ) cyc Bài 24:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c a b c Chứng minh: a 2b b 2c c a ab bc ca Lời giải:Từ giả thiết ta có: a b c a b c 2(ab bc ca a 2b b2 c c a ) Nên ta cần chứng minh: a b c a b c (a b c )2 (a b c ) (a b c )3 Đúng,theo Holder,dấu xảy (a, b, c) (1,1,1);(0, 0, 0);(0,1,1) Bài 25:Cho a,b,c số thực dương giả sử: E (a, b, c) a (a b)(a c ) b(b c)(b a) c (c a )(c b) ,chứng minh rằng: a) (a b c) E (a, b, c ) ab(a b) bc(b c) ca (c a ) 1 b) 2( ) E (a, b, c) (a b) (b c) (c a) a b c Lời giải: a)Theo Schur ta có a (a b)(a c ) cyc (a b c) E (a, b, c ) a (a b)(a c) a(b c )(a b)(a c) cyc cyc a(b c)(a b)(a c ) ab(a b) ,hiển nhiên cyc cyc b)Ta có (ab bc ca) E (a, b, c ) abc (a b)(a c) (ab ac)a (a b)(a c ) cyc cyc abc bc(b c a )(b c)2 ( a b) cyc cyc Chúng ta dễ có điều này,theo Schur suy rộng Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 1 Bài 26:Cho a, b, c ;3 ,chứng minh rằng: 3 a b c f ( a, b, c ) a b bc ca Lời giải:Khơng tính tổng qt ta giả sử a = max{a,b,c} ( a b )( ab c) Ta xét f (a, b, c) f (a, b, ab ) f (a, b, c) f (a, b, ab ) ( a b )(b c)(c a) x2 (3 x)( x (1 x )2 ) Mà f (a, b, ab ) 0 x 1 x 1 5( x 1)( x 1) a 3 b Bài 27:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c abc ,chứng minh: 2(a b c ) 2(a b c ) (a b c ) Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: p p 4q Với x p3 ( p 6)( p 3) p 27 p (4q p ) p p 18 Theo schur bậc ta có: p r 4q p Vậy ta cần chứng minh: p p 18 p2 p p p 18 ( p 6)(2 p 3) ,hiển nhiên p Bài 28:Cho a,b,c,x,y,z số thực không âm thỏa mãn a b c x y z Chứng minh: ax(a+x)+by(b+y)+cz(c+z) 3(abc+xyz) Lời giải:Ta dễ có: (a x b y c z )( yz zx xy ) xyz (a b c ) xyz ( x y z ) Ta có p xyz ( xy yz zx ) a x b y c z 3xyz Tương tự ta có ax by cz 3abc ,suy đpcm Bài 29:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: 4(a b c)3 27(ab bc ca abc) Lời giải: Giả sử a = min{a,b,c},đặt b a x, c a y ( x, y 0) Bất đẳng thức tương đương: 9( x xy y )a (2 x y ) ( x y ) ,hiển nhiên Dấu xảy (a, b, c) (1,1,1);(0,1, 2) hoán vị Bài 30:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 2 2ab 2bc 2ca Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: ab bc ca 4a3b3c Mà ab bc ca 4a 3b3c 3abc 4a3b3c (1 abc)(1 2abc )2 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 31:Cho a,b,c số dương,chứng minh rằng: 1 1 a ab b bc c cd d da ac bd Lời giải:bất đẳng thức tương đương: ac bd ca b(d a) ( 1) 8 cyc a ab cyc a b cyc a ( a b ) b( d a) Nhưng: ,theo cauchy cyc a ( a b ) ca 1 1 (a c)( ) (b d )( ) ab c d ad bc cyc a b 4(a c) 4(b d ) 4 abcd abcd Baì 32:Chứng minh a, b, c ; 1 1 ( ) a 2b b 2c c 2a a b b c c a Lời giải:Bất đẳng thức viét dạng: 1 (2b a)( a b) ( ) 0 a b 6a 6b cyc a 2b cyc 6ab ( a 2b )( a b ) 0 Vì 2b a Bài 33:Cho a,b,c,d số không âm cho a ab b c cd d Chứng minh: (a b)(c d ) 2(ab cd ) Lời giải:Đặt x a ab b c cd d Khơng tính tổng qt ta giả sử ab cd Ta có x ab cd Bình phương hai vế ta có: ( x 3ab)( y 3cd ) 4(ab cd ) Vì x ab nên: ( x 3ab)( y 3cd ) 4(ab cd ) 4ab(ab 3cd ) 4(ab cd ) 4cd (ab cd ) Dấu xảy (a, b, c, d ) (1,1,1,1);(0,1,1,1) hoán vị Bài 34:Cho a,b,c,d số thực dương có tích 1,chứng minh: 1 1 1 2 (1 a) (1 b) (1 c ) (1 d ) 1 Lời giải:Để ý với x,y dương ta có: ,thật vậy,bđt tương 2 (1 x ) (1 y ) xy đương với: (1 xy )( x y ) ,đúng.Do đó: 1 ab cd ab cd VT (đpcm) ab cd ab cd abcd ab cd Bài 35:Cho a,b,c,d số thực không âm cho a b c d ,chứng minh: (1 a )(1 b)(1 c)(1 d ) abcd Lời giải 1:Ta cần chứng minh: Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI (1 a )(1 b) cd (1 c )(1 d ) ab 2 2 Dễ có 2cd c d a b ,do đó: 2(1 a)(1 b) 2c 2(1 a )(1 b) a b2 (1 a b)2 1 a 1 b 1 c 1 d Lời giải 2: Đặt x ,y ,z ,t ,thì ta có: a b c d 1 1 ,ta chứng minh: xyzt 2 (1 x ) (1 y ) (1 z ) (1 t )2 Giả sử xyzt tồn tai số k thỏa mãn k xyzt ,do theo tốn ta có: 1 1 1 1 1 2 2 2 (1 x ) (1 y ) (1 z ) (1 t ) (1 kx) (1 ky ) (1 kz) (1 kt ) Vơ lý,vậy ta có đpcm Bài 36:Cho a,b,c số thực khơng âm,thì ta có: 3(1 a a )(1 b b )(1 c c ) abc a 2b 2c Lời giải:Ta có: 2(1 a a )(1 b b ) a 2b (a b) (1 a) (1 b) a 2b Ta cần chứng minh: 3(1 a b )(1 c c ) 2(1 abc a 2b 2c ) (3 a 2b )c (3 2ab 3a 2b )c 3a 2b Xét 3(1 ab)4 ,ta có điều phải chứng minh Bài 37:Chứng minh a,b,c,x,y,z số thực,thì 4(a x )(b y )(c z ) 3(bcx cay abz ) Lời giải:SD bunhiacop-xki: (a x )((cy bz )2 b 2c ) (a(cy bz ) bcx ) Vậy ta cần chứng minh: 4(b y )(c z ) 3((cy bz ) b 2c ) (cy bz ) (bc yz ) Hiển nhiên.Trong trường hợp abc dấu xảy x y c a b z Bài 38:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 1 1 1 (a b c)( ) (a b c )( ) a b c a b c Lời giải:Ta có: 1 1 ( a)( ) ( a 2 ab)( 2 ) ( a )( ) ( ab)( ) cyc cyc a cyc cyc cyc a cyc ab cyc cyc a cyc cyc ab 1 1 ) ( a )( ) ( ( a )( ) 1) ( a )( ) cyc cyc a cyc cyc a cyc cyc a cyc cyc a Từ ta suy điều phải chứng minh Dấu xảy (a bc)(b ca)(c ab) Bài 39:Cho a,b,clà số thực dương,chứng minh: ( a )( Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 307:Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn x y z Chứng minh: ( y z )2 ( z x )2 ( x y)2 x y z 12 12 12 Bài 308:Cho a,b,c số thực nằm đoạn [1,2].Hãy tìm giá trị lớn biểu 10a 11b 12c thức: P bc ca ab Bài 309:Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng 2,chứng minh: a b 2ab b c 2bc c a 2ca Bài 310:Cho x 0, ,tìm max p x x x x Bài 311:Cho xi ( i n ) số thực dương bất kì,chứng minh: n ( n 1) n(n 1) n ( n21) ( ) ( x1 x2 xn ) 2 n xii i 1 n i i i 1 (Nguyễn Xuân Huy) Bài 312:Cho xi số thực dương có tổng 1,chứng minh: 1 x1x1 x2x2 xnxn n( ) n n (Nguyễn Xuân Huy) Bài 313:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3.Tìm max của: 2b a 2c3 b3 2a3 c3 p 2ab ( 13 1)b 2cb ( 13 1)c 2ac ( 13 1) a (Nguyễn Xuân Huy) Bài 314:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn ab bc ca Chứng minh: 1 ab bc ca Bài 315:cho a,b,c số thực không âm,chứng minh rằng: 1 (ab bc ca)( ) 2 ( a b ) (b c ) (c a ) Bài 316:Tìm max P =(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) với x,y,z [0,1] n Bài 317:Cho số thực dương xi,( i 1, n ),có x i k Chứng minh: i 1 xia k n( )T ,với a, b z , a b T 0, xn1 xn b n i 1 xi 1 n (Nguyễn Xuân Huy) Bài 318:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 1.Chứng minh: abc ( a b c )( a b c ) 3 abc 104 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 319:Cho a,b,c,d > 0,chứng minh: a3 b3 c3 d3 1 15bcd a 15cda b3 15dab c3 15abc d (Nguyễn Xuân Huy) x2 x3 x x 3 x 3x Bài 321:Cho a, b, c, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 số thực dương thỏa mãn a b c 1, x1 x2 x3 x4 x5 Bài 320:Chứng minh: Chứng minh: (ax12 bx1 c) i 1 Bài 322:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh: (1 a 2b)(1 b 2c )(1 c a ) 3abc Bài 323:Cho x,y,z số thực không âm,chứng minh: x y z x y z xy yz zx x xy y y yz z z zx x Bài 324:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a 2a b3 2b c 2c bc ca a b Bài 325:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: 2(a b c ) a b c ab bc ca n Bài 326:Cho số thực dương ai,( i 1, n ) thỏa mãn a i n Chứng i 1 n minh: i 1 n i 1 a b c ) bc ca ab a b c Bài 328:Cho a,b,c>0, a b c Chứng minh: 2 (b c) (c a ) (a b) Bài 329:Cho x,y,z>0, x y z xyz Tìm : Bài 327:Cho a,b,c>0,abc = 1.Chứng minh: (a b c) 6( p x ( yz 1) y ( zx 1) z ( xy 1) Bài 330:Cho a, b, c 0, a b c Chứng minh: Bài 331:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 3a 2ab b 3b 2bc c 3c 2ca a 0 3a 2ab b 3b 2bc c 3c 2ca a Bài 332:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 3a 2ab b 3b 2bc c 3c 2ca a 0 a b2 b2 c2 c2 a Bài 333:Cho a,b,c,d số thực dương,chứng minh: 1 1 a ab b bc c cd d da abcd 105 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 334:Cho a,b,c>0,chứng minh: a2 b2 c2 3(a3 b3 c3 ) b c c a a b 2(a b c ) 1 1 1 Chứng minh: 1 a 1 b c 1 a 1 b 1 c 1 (a b c)( x y z ) Bài 336:Cho x,y,z,a,b,c số thực thỏa mãn 2 2 2 (a b c )( x y z ) Chứng minh: ax+by+cz Bài 337:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a2 b2 c2 4a 4b3 4b3 4c 4c3 4a 4( ) a b bc ca Bài 338:Cho a, b, c R, a b c 1, a, b, c Chứng minh: a b c a b c 10 Bài 339:Cho a,b,c số thực dương có tích khơng nhỏ 1,chứng minh: 1 1 2005 2005 2005 2005 2005 ab c bc a c a b 2005 Bài 340:Cho a,b,c>0,chứng minh: a2 b2 c2 (2a b)(2a c ) (2b c)(2b a ) (2c a)(2c b) Bài 341:Cho a,b,c>0,chứng minh: ab bc ca a b c c ( c a ) a ( a b ) b (b c ) c a a b b c Bài 342:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a b c (1 a)(1 b)(1 c) b c a Bài 343:Cho số thực không âm có tổng 1.Chứng minh: a1a2 a2 a3 an1an 3 Bài 344:cho a,b,c >0, ab bc ca Chứng minh: 3 6(a b c) abc abc Bài 345:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3,chứng minh: 3(a b c ) 2(a 2b b 2c c a ) Bài 346:Cho a,b,c số thực dương,có a b c ,chứng minh rằng: a (1 2ca ) b(1 2ab) c(1 2bc) ca ab bc Bài 347:Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx xyz Chứng minh rằng: Bài 335:Cho a,b,c>0, 106 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI x yz 1 (( x y )2 ( y z )2 ( z x) ) xy yz zx 247 Bài 348:Cho x y hai số thực thỏa mãn: x 2009 y 2009 x 2004 y 2004 ,tìm giá trị nhỏ của: A xy y2 t Bài 349:Tìm giá trị lớn bé của: A ,với x,y,z,t thỏa mãn hệ phương 25 144 x y x y 20 trình sau: t z 2t 143 xt yz x t z 61 Bài 350:Cho x,y,z số thực thuộc (0;1).Chứng minh: 1 x(1 y ) y (1 z ) z (1 x) xyz (1 x)(1 y )(1 z ) Bài 351:Tìm giá trị lớn của: P x y ,với x y hai số thực thỏ mãn: 17 x 72 xy 90 y Bài 352:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,tìm giá trị nhỏ của: 1 P a (b 1)(c 1) b (c 1)(a 1) c (a 1)(b 1) Bài 353:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3,chứng minh: a 2b cyc ( a 2b ) n Bài 354:cho số dương , i 1, n 0, k Đặt s ,chứng minh rằng: i 1 n n n k an k a1 k a2 (k a1 )(k a2 ) (k an ) k n s a1 k s a2 k s an k (Nguyễn Xuân Huy) 2 Bài 355:Cho a,b,c>0 a b c Chứng minh : 1 a b3 c3 3 a b2 b2 c2 c a 2abc Bài 356:Cho x,y,z>0,thỏa mãn x y z x y z Chứng minh: 2 4( x y ) 4( y z ) 4( z x) Bài 357:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a b c Chứng minh : (3a abc) (3b abc) (3c abc )2 12 3a 3b 3c (Nguyễn Xuân Huy) 2 Bài 358:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x y z xyz 2( xy yz zx) Tìm giá trị lớn p xyz x y z xy yz zx P 107 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 359:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 ,chứng minh: a b c 4a 4b 4c Bài 360:Cho x,y,z>0 xyz = 1.Chứng minh rằng: x3 y3 y3 z z x3 3 xy yz zx 1995 Bài 361:Cho a,b số thực dương,chứng minh: A (1)n 1 ( n 1 Bài 362:Tìm MinA an bn )2 bn a n x y z ,với x, y, z thỏa mãn: y z z x x y x y y z z x 2006 Bài 363:Tìm Max P xy yz zx với x y z thỏa mãn: 32 x z 16 y Bài 364:Cho a,b,c số thực dương, ab bc ca Chứng minh rằng: 1 1 6b 6c 6a a b c abc Bài 365:Cho a, b, c ,chứng minh; a b c 1 a(1 b) b(1 c) c(1 a) Bài 366:Cho a,b,c > 0, a b c abc Chứng minh: 7 7 3 a 1 b 1 c 1 ( a b c) b c a Bài 367:Cho x,y,z số thực dương, x y z Chứng minh: x 3xy y yz z zx 2 x y yz zx Bài 368:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a2 b b2 c c2 a 3 ab(a b) bc (b c) ca(c a) Bài 369:Cho a,b,c>0, a b c Chứng minh rằng: 1 (a 2b b 2c c a )( ) 2 (1 ab) (1 bc) (1 ca) 2 Bài 370:Cho x,y,z số thực thỏa mãn x y z 4( x y z ) Chứng minh: x y z 16( x y z ) 8( x y z ) 27 Bài 371:Cho x,y,z số thực không âm,chứng minh: x y z xy yz zx x y z x y z 3 Bài 372:Cho x,y,z số thực không bé 1.Chứng minh: ( x x 2)( y y 2)( z z 2) ( xyz ) xyz Bài 373:Cho x,y R Chứng minh: 3( x y 1)2 3xy 108 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 374:Cho a,b,c>0, a b c Tìm min: a5 b5 c5 P a b4 c b c c a a b Bài 375:Cho a,b,c>0,chứng minh: a a2 2bc abc ab bc ca Bài 376:Cho a,b,c,d>0,a+b+c+d=1,tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P 2 a b c d acd abd abc bcd Bài 377:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh rằng: 1 a b b c bc 4(c a ) ca a b c Bài 378:Cho x,y,z số thực khác 0,giả sử x = max{x,y,z},tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức: A y z x a bc 2(a b c ) b2 c2 ab bc ca Bài 380:Cho a,b,c số thực dương thay đổi ln thỏa mãn abc = 4.Tìm giá trị nhỏ a3 b3 c3 của: S (1 a a )(1 b b ) (1 b b )(1 c c ) (1 c c )(1 a a ) Bài 379:Cho a,b,c không âm,chứng minh: Bài 381:Cho số thực dương x,y,z thỏa: x 2008 y 2009 z 2010 x 2007 y 2008 z 2009 Chứng minh: x y z Bài 382:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: 1 2 2 a b 4 b c 4 c b 4 3 Chứng minh: ab bc ca Bài 383:Cho a,b,c số thực dương có tổng 1.Chứng minh rằng: a b c b c a c a 2b bc ca ab Bài 384:Cho a,b,c số thực dương có a b c ,chứng minh: a b c 3 3 1 a 2b b 2c c 2a Bài 385:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác,chứng minh; a b c 1 3a b c 3b c a 3c a b 1 Bài 386:Cho a,b,c>0, Chứng minh: a 1 b 1 c 1 1 2(a b c) a b c Bài 387:Cho a,b,c số thực dương,abc = 2.Chứng minh rằng: 109 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI a3 b3 c a b c b c a c a b Bài 388:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh: P ( x 1)( y 1)( z 1) Bài 389:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh: a b c a 2b b 2c c a Bài 390:Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có: a bc b ca c ab (b c)2 (c a )2 (a b)2 Bài 391:Cho số thực a,b,c.Chứng minh rằng: (a 1)(b2 1)(c 1) (ab bc ca 1) 3x y 4x y2 Bài 393:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3,chứng minh rằng: 1 2 2 2 2a b 2b c 2c a Bài 394:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c ,tìm giá trị nhỏ a b c biểu thức sau: A 2 2 3(b c ) 2bc 3(c a ) 2ca 3(a b ) 2ab Bài 395:Cho a b c d e thỏa mãn a b c d e ,chứng minh: a(bc cd de ed ) cd (b e a) 25 Bài 396:Cho a,b,c số thực không âm khơng có hai số đồng thời 9(a b) (b c) (c a )2 0.Chứng minh: (a b)(a c )(a 2b)(a 2c ) ab bc ca Bài 397:Cho số thực x,y,z.Chứng minh bất đẳng thức: 3( x y )2 3( y z ) 4( z x ) x y z xy yz zx max , , 4 Bài 392:Cho x,y hai số thực dương,tìm giá trị nhỏ của: A Bài 398:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x, y, z x y z ,chứng minh: y 1 z2 x2 3 x2 y2 z2 Bài 399:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: a b c ( ) ( ) ( ) 2a b 2b c 2c a Bài 400:Cho a,b,c số thực khơng âm,khơng có hai số 0.Chứng minh a bc b ca c ab rằng: 3 b bc c c ca a a ab b Bài 401:Cho số không âm a,b,c,khơng có số khơng,chứng minh: a bc b ca c ab 3a 2b 2c b bc c c ca a a ab b (a ab b )(b bc c )(c ca a ) Bài 402:Cho số dương a,b,c thay đổi,tìm giá trị lớn biểu thức: 110 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI bc ca ab a bc b ca c ab 1 Bài 403:Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn ,tìm giá trị lớn x y z P y x z 2 x y y z z x2 Bài 404:Cho số thực dương a,b,c,d,chứng minh: ((a b)(b c)(c d )(d a)) 16(abcd ) (a b c d ) Bài 405:Cho x,y,z >0,chứng minh: x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) x yz ( x y )( x z ) ( y z )( y x ) ( z x)( z y ) Bài 406:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: 1 ab bc ca 2(a b c)( ) (4 ) a b c a b2 c2 Bài 407:Cho số thực dương a,b,c có tổng 1.Cgứng minh bất đẳng thức sau: ab bc ca a 2b b c c a 8abc Bài 408:Với a,b,c độ dài cạnh tam giác,chứng minh rằng; ab bc ca 1 2 3c (a b) 3a (b c ) 3b (c a) b(a b) c(b c) a(c a) Bài 409:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: ( c a ) ( a b ) (b c ) 2 Bài 410:Cho số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P (a b c )( ) 2 (a 2b c) (b 2c a ) (c 2a b) Bài 411:Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x, y, z (0,1) Chứng minh 1 rằng: ( x x )( y y )( z z ) ( x yz )( y zx )( z xy ) 2 Bài 412:Chứng minh a,b,c số dương thì: a (b c) b (c a ) c( a b) ( a b c) a bc b ca c ab a b c Bài 413:Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c ,chứng minh: 48abc 25 abc abc Bài 414:Cho a,b,c,d số thực dương,chứng minh: ab ac ad bc bd cd abc bcd cda dab Bài 415:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a b c 2(a b c)(b c a)(c a b) ( ) ( ) ( ) 1 bc ca ab (a b)(b c)(c a) Bài 416:Cho a, b, c số thực không âm, chứng minh: biểu thức: P 111 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI a 2bc b 2ca c ab 2 2 a bc 2b ca 2c ab Bài 417:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh; a b c 3(a b c)(b c a )(c a b) ( ) ( ) ( ) bc ca ab (a b)(b c )(c a ) Bài 418:Cho a,b,c số thực khơng âm,trong khơng có hai số đồng thời 0.Chứng minh bất đẳng thức sau: 9( a 1)(b 1)( c 1) 8( a b c abc 1) Bài 419:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: a3 b3 c3 a b2 c2 2 2 2 b bc c c ca a a ab b Bài 450:Cho a,b số thực dương,tìm giá trị nhỏ nhất: ab P a (4a 5b) b(4b 5a ) Bài 451:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn: ab bc ca Chứng minh: 1 2 2 b bc c c ca a a ab b Bài 452:Nếu x y z ,chứng minh: x y z 2( y z )2 xyz 9( y z ) x y z ( x y )2 b) xyz 5( x y ) Bài 453:Cho a,b,c khơng âm,kg có số đồng thời 0.Chứng minh: a) b2 c c a a b a b c 2( ) a bc b ca c ab bc c a a b Bài 454:Cho a,b,c số thực dương có tổng 1,tìm giá trị lớn của: P (a bc)(b ca)(c ab) a 2b c Bài 455:Cho x,y,z>0, x y z Chứng minh: x y y z zx xy yz zx 2( x y z ) Bài 456:Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = abc.Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2 a 1 b 1 c 1 Bài 457:Cho a,b,c>0,chứng minh: a b c 2 9ab (a b c ) 9bc (a b c) 9ca ( a b c) 2(a b c) 112 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 458:Cho x,y,z dương thỏa mãn xy yz zx xyz ,tìm của: S x 108 y 16 z x2 y2 z2 Bài 459:Cho x, y, z R ,chứng minh: cyc ( x y z )2 x2 1 ( x y )( x z ) 2( x y z ) Bài 460:Cho x,y,z >0,chứng minh: x 41xy y 41yz z 41zx 15 y (8 x y ) z (8 y z ) x(8 z x) Bài 461:Cho a,b,c>0,a + b + c =1.Tìm giá trị lớn của: P (a b) ab (b c) bc (c a) ca Bài 462:Cho x y ,chứng minh: x3 y y3 x xy x2 y Bài 463:Cho a,b,c>0, a b c ,chứng minh: ab bc ca 2 13a 3b 13b 3c 13c 3a 16 Bài 464:Cho a,b,c số thực dương, a b c ,chứng minh: a b c b 3 c 3 a 3 2 Bài 465:cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn (a b)(b c )(c d )(d a ) ,chứng minh: (2a b c)(2b c d )(2c d a)(2d a b)a 2b 2c d 16 Bài 466:Với a,b,c số dương,chứng minh: a b b c c a abc 2abc(a b )(b c)(c a ) Bài 312:Cho a,b,c x,y,z số thực dương thỏa mãn a b c m a b c m x y z n Chứng minh: x y z n Bài 467:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c ,chứng minh: 8(a b c ) 3(a b)(b c )(c a ) 1 1 ,chứng minh Bài 468:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x 1 y 1 z 1 1 1 bất đẳng thức: x 2 y 2 z 2 Bài 469:Cho a,b,c>0, abc Chứng minh rằng: 113 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 1 1 1 a b 1 b c 1 c a Bài 470:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh: 5( x y z ) 18 8( xy yz zx ) Bài 471:Cho a,b,c số thực dương cho a b c 4abc Chứng minh rằng: 1 3 ab bc ca Bài 472:Cho số thực dương a1 , a2 , , an thỏa mãn a1 a2 an Chứng minh a a a n rằng: (a1a2 a2a3 an a1 )( 2 n ) a2 a2 a3 a3 a1 a1 n 1 Bài 473:Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 1 2 ab 2c 2c bc 2a 2a ca 2b 2b ab bc ca Bài 474:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a b c ,tìm giá trị lớn biểu thức: A (a a 1)b (b b 1)c (c c 1) a Bài 475:Cho số thực x,y,z thỏa mãn z y x x y max xy, xyz z Tìm giá trị lớn biểu thức: A x5 y z Bài 476:Tìm giá trị lớn biểu thức: P ,với x,y,z>0; z x, y ; x y z xz , yz 15 z x, y x, y, z 0; Bài 477:Cho ,tìm giá tri lớn biểu thức: x z 6; y 10 z A x y z Bài 478:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a b c ,chứng minh: ( a b )3 (b c)3 (c a ) 3 a 6ab b b 6bc c c 6ca a Bài 479:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c ,chứng minh: a3 b3 c3 1 2b c 2c a 2a b ab Bài 480:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: b 4bc c abc Bài 481:Cho x,y,z>0, x y z ,Tìm giá trị bé của: 114 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI P x3 y3 z3 (1 x )2 (1 y )2 (1 z )2 y z 3 3 7 z y 7 x z 7 y x x yz y zx z xy Bài 483:Cho x,y,z>0, x y z ,chứng minh: 0 x x y y z z Bài 484:Cho a,b,c số thực khơng âm,khơng có hai số đồng thời không.Chứng minh rằng: 2a 5bc 2b2 5ca 2c 5ab 21 (b c ) (c a ) ( a b) Bài 485:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 2b b 2c c2 a 1 bc ca ab Bài 486:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a ab b bc c ca Bài 487:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a 4bc 4ca 4ab Bài 488:Cho a,b,c số thực khơng âm có tích 1,chứng minh rằng: a b c a 3 b 3 c 3 Bài 489:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh với số dương k ta ln có: a b c b k c k a k 1 k 1 1 Bài 490:Chứng tỏ rằng: 2 ab 2c 2c bc 2a 2a ca 2b 2b ab bc ca Bài 482:Cho x, y, z ,chứng minh: x 3 với số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a + b + c = Bài 491:Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh a b c ( y z) ( z x) ( x y ) 3( xy yz zx ) bc ca ab Bài 492:Chứng minh x,y,z [1,1] thoả mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, ta có: x 1 y 1 z 1 Bài 493:Cho a,b,c số thực không âm có tổng 3.Chứng minh rằng: 27 a (b c ) b (c a ) c ( a b ) Bài 494:Cho a,b,c số thực dương có tích 1.Chứng minh: a b c 9(ab bc ca ) 10(a b c) Bài 495 :Cho a,b,c số thực dương, ab bc ca Chứng minh : a (b c ) b (c a ) c ( a b ) 3 a bc b ca c ab 115 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 496 :Cho x,y,z>0, xy yz zx Chứng minh : 1 2 xy z yz x zx y 2 Bài 497 :Cho x,y,z>0, x y z Chứng minh : 1 2 2 2 2 2 x y 2z y z 2x z x 2y x y z Bài 498 :Cho a, b, c 0, a b c Chứng minh : 3ab 3bc 3ca Bài 499 :Cho x, y, z 0, 2 , x y z Chứng minh : x y z 116 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 117 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 118 ... ab bc ca 2abc Các bạn tự kiểm tra Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a b2 c 2(ab bc ca) 14abc p 14r 0; (q 2r ) Nếu p bất đẳng thức hiển nhiên p(4q ... min{a,b,c},thì với bất đẳng thức thứ nhất-ta cần chứng minh: (b c )(b a ) (c a)(c b) a(b c )2 (b2 c a 3ab bc 3ca ) 2 (c a)(3b ca) (a b)(3c ab) Với bất đẳng thức thứ... a) Lời giải: y3 y3 y3 ) (đpcm) x2 z2 zx b) Bất đẳng thức ( x y z )( x3 y z ) x y z 2( x y z ) x y z a) Bất đẳng thức ( 16 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ