Tổng hợp bài tập toán hình học phổ thông phương pháp giảng dạy toán 2 (bản 2)

PHƯƠNG PHÁP TOÁN 2- BÀI TẬP SỐ Danh sách thành viên nhóm Đỗ Thị Thu Hiền Bùi Thị Yến Duyên Trần Thị Ngọc Cẩm Trịnh Thị Thu Trinh Lê Thị Hiền Diệu 1311106 1311046 1311026 1311369 1311038 Bài tập Câu 1: Xác định điểm M câu sau: a)   Vậy M nằm đoạn AB b) Gọi I trung điểm AB, J trung điểm CD  (I, J trung điểm AB CD)   M trung điểm IJ c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  Gọi I tâm tị cự AD theo hệ thức :   TH - ĐHKHTN Page Khi   Vậy M nằm đường trung trực GI d) Gọi I tâm tị cự tam giác ABC theo hệ số   Khi đó:  Vậy M nằm đường tròn tâm I bán kính Xác định điểm I: Gọi H trung điểm AC    Câu 2: TH - ĐHKHTN Page Cho Δ��� nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm đối xứng với B qua O H trực tâm Δ��� a) Chứng minh b) Gọi I trung điểm AH, M trung điểm BC Chứng minh Giải: a) Chứng minh = Ta có:  AH // DC (1) Ta có:  AD // CH (2) Từ (1), (2) suy tứ giác ADCH hình bình hành  = (đpcm) b) Gọi I trung điểm AH, M trung điểm BC Chứng minh Ta có: OB = OC = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)  cân tai O Mặt khác M trung điểm BC Do OM vừa trung tuyến vừa đường cao Ta có: TH - ĐHKHTN Page  OM // AH  OM // AI (1)  OM đường trung bình tam giác BCD  OM = DC Mặt khác ADCH hình bình hành nên DC =AH Do  OM = DC = AH = AI  OM = AI (2) Từ (1), (2) suy AOMI hình bình hành  (đpcm) Câu 3: Cho hình thang ABCD, có CD=3AB, M, N AD BC cho a) Tìm cho b) Gọi P giao điểm AC MN, tìm cho Giải: a) Tìm cho Ta có: Suy ⇒ TH - ĐHKHTN Page Vậy k = b) Gọi P giao điểm AC MN, tìm cho Ta có: (định lý talet hình thang ABCD) Suy Mà P giao điểm MN AC Nên Áp dụng hệ định lý Talet tam giác ABC, có: ⇒ Vậy Câu 4: Gọi O, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm Δ��� Chứng minh rằng: a) b) Giải a) Chứng minh: Gọi D điểm đối xứng A qua O I trung điểm BC Ta có: TH - ĐHKHTN Page ⇒ ⇒ BH DC (1) BD HC (2) Từ (1) (2) ta có: Tứ giác BDCH hình bình hành, I trung điểm HD Xét tam giác AHD, ta có: ⇒ OI đường trung bình nên: Ta có: (G trọng tâm ) Vậy b) Chứng minh: CHỨNG MINH ĐỀ SAI Theo câu a), ta có BDCH hình bình hành nên: (1) Mặt khác O trung điểm AD nên: (2) Từ (1) (2), suy ra: SỬA LẠI ĐỀ: CM: TH - ĐHKHTN Page Từ câu a), ta có: + Vậy Câu 5: Cho Δ���, cạnh BC ta lấy điểm ,đối xứng qua trung điểm BC Trên cạnh CA ta lấy điểm ,đối xứng qua trung điểm CA Trên cạnh BA ta lấy điểm ,đối xứng qua trung điểm BA Chứng minh trọng tâm ba tam giác thẳng hàng Giải Gọi: tâm ba tam giác E, D F trung điểm ba cạnh AC, BC AB Ta có: + ( tâm hai tam giác ) TH - ĐHKHTN Page ⇔ (1) Chứng minh tương tự ta có: (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: 3(+) = + (E, D, F trung điểm ba cạnh AC, BC AB) ⇔ ⇔ 3(+) = Vậy thẳng hàng trung điểm Câu 6: Cho hình bình hành ABCD Kí hiệu điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho Chứng minh giao điểm đường chéo tứ giác trùng với giao điểm đường chéo hình bình hành Giải Gọi Ta có: TH - ĐHKHTN Page ⇒ Do , thẳng hàng O trung điểm (1) ⇒ , thẳng hàng O trung điểm (2) Từ (1) (2) suy ra: Tứ giác hình bình hành • • Vậy giao điểm hai đường chéo hình bình hành trùng với giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Câu 7: Cho Δ��� có , , a b c Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A Tính độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A Tính độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A Giải TH - ĐHKHTN Page a) Gọi I trung điểm BC Ta có: ⇔ ⇒ ⇒ b) Gọi AD đường phân giác tam giác ABC Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ c) Gọi AD’ đường phân giác tam giác ABC Ta có: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ Câu 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a N trung điểm AC, M cạnh CD cho 4AM = AC a) Tính độ dài cạnh diện tích ΔBMN theo a b) Gọi I giao điểm BN AC Tính CI theo a c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a TH - ĐHKHTN Page 10 Lý luận toán Theo đề điểm M nằm CD nên AM < AC (AC cạnh huyền tam giác ADC) Ta có AM > AD (1) Theo đề ta lại có 4AM = AC => AM=vì N trung điểm AC giao điểm đường chéo hình vuông nên AND vuông N => AN AD hay < AD) (2) Từ (1) (2) => mâu thuẫn Ta sửa lại đề Cho hình vuông ABCD cạnh a N trung điểm CD, M cạnh AC cho 4AM = AC a) Tính độ dài cạnh diện tích ΔBMN theo a b) Gọi I giao điểm BN AC Tính CI theo a c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a Giải: a) Tính độ dài cạnh diện tích ΔBMN theo a * Tính BN Xét ΔBCN vuông C, áp dụng định lý pi-ta-go ta có BN2 = BC2 + CN2 => BN = = = Vậy BN = * Tính BM Gọi K giao điểm đường chéo BD AC hình vuông Ta có TH - ĐHKHTN Page 11 Vậy BM = * Tính MN Ta có CA đường chéo hình vuông ABCD, chia góc C thành góc Ta có định lý cosin :  MN = = = Vậy MN = *Tính diện tích ΔBMN: Ta thấy BM =MN = => ΔBMN vuông cân M = = b) Gọi I giao điểm BN AC Tính CI theo a Ta có CA đường chéo hình vuông ABCD, chia góc C thành góc => CA đường phân giác góc C cắt BN I Xét ΔBCN, Ta có tỷ lệ độ dài : (3) Theo câu a ta lại có IN + IB = BN = (4) Từ (3) (4) ta có hệ phương trình sau, nghiệm hệ độ dài cạnh IN IB => Ta có Ta có định lý cosin :  = =a Vậy IC =a c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a Ta có ΔABC vuông B, đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC AC = TH - ĐHKHTN Page 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a R = Câu 9: Cho ΔABC có A(1; 5), B(4; −1), C(−4; −5) Giải Hình vẽ a Tìm tọa độ trực tâm Ta có: Xét ∆ABC uuur uuur AB(3; −6), BC (−8; −4) , uuu r uuur AB.BC = 3.( −8) + ( −6).( −4) = ⇒ ∆ABC vuông B B (4; −1) ∆ABC Vậy trực tâm TH - ĐHKHTN Page 13 b Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A Ta có: ∆ABC ∆ABC vuông B Vậy chân đường cao kẻ từ A B (4; −1) ∆ABC ∆ABC c Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi O(x;y) trung điểm AC mà ∆ABC vuông B suy O tâm đường tròn ngoại tiếp xA + xB − −3  x = = = o  2 ⇒  y = y A + yB = − =  o 2 Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp d Đường phân giác Xét ∆ABC · BAC ∆ABC O( là: cắt BC D Tìm tọa độ D , có AD phân giác · BAC BD AB = = = DC AC 5 uuur uuur ⇒ DC = BD (*) D(x; y) Gọi TH - ĐHKHTN −3 ;0) Page 14 , ta có: ∆ABC Ta có: uuur uuur DC (−4 − x; −5 − y ), BD( x − 4; y + 1) (*)  x = −4 − x = ( x − 4) −12 − x = x − 20  ⇒ ⇔ ⇔ −5 −15 − y = y + −5 − y = ( y + 1)  y =  D (1; Vậy −5 ) e Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp Đường phân giác ·ABC Xét ⇒ cắt AD E Do E tâm đường tròn nội tiếp ∆ABD ∆ABC ∆ABC , có BE phân giác ·ABC AE AB = = =2 ED BD uuur uuur ⇒ AE = ED (**) E ( x, y ) Gọi Ta có: (**) uuur uuur −5 AE (x − 1; y − 5), ED (1 − x; − y )  x − = 2(1 − x) 3x = x =  ⇒ ⇔ ⇔ −5 3 y =  y =  y − = 2( − y ) Vậy tâm đường tròn nội tiếp TH - ĐHKHTN ∆ABC E (1;0) là: Page 15 f ∆ABC Tìm tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp Đường phân giác ·ABC ¶ACB , thuộc cắt F Do F tâm đường tròn bàng tiếp ∆ABC ⇒ EB ⊥ BF , EC ⊥ CF F (x; y) Gọi Ta có: uuu r uuur EB (3; −1), BF ( x − 4; y + 1) uuur uuur EC (−5; −5), CF (x + 4; y + 5) uuu r uuur  EB.BF = 3.(x − 4) − 1.(y + 1) = 3 x − y = 13  x = ⇔ ⇔ ⇔  uuur uuur −5.( x + 4) − 5.( y + 5) =  x + y = −9  y = −10  EC.CF = Vậy tâm đường tròn bàng tiếp ∆ABC là: F (1; −10) Câu 10: Cho A(2; 5), B(−3; 4) a) Xác định điểm M trục Ox cho nhỏ b) Xác định điểm N trục Ox cho lớn c) Xác định điểm K trục Ox cho nhỏ nhất, với C(−1,2) Giải: a) Xác định điểm M trục Ox cho �� +�� nhỏ Theo đề ta có A, B phía với , ta lấy đối xứng qua Ox  Ta có Do đạt giá trị nhỏ dấu “=” xảy tức TH - ĐHKHTN Page 16 hay M, A, B’ thẳng hàng    => Vậy b) Xác định điểm N trục Ox cho lớn Do đạt giá trị lớn dấu “=” xảy tức hay N, A, B thẳng hàng Theo đề ta có A, B phía với    => Vậy c) Xác định điểm K trục Ox cho K nằm trục Ox, ta đặt K(x,0) Ta có TH - ĐHKHTN Page 17 đạt GTNN dấu “=” xảy ra, tức   TH - ĐHKHTN Page 18 [...]...Lý luận bài toán Theo đề bài điểm M nằm trên CD nên AM < AC (AC là cạnh huyền tam giác ADC) Ta có AM > AD (1) Theo đề bài ta lại có 4AM = AC => AM=vì N là trung điểm AC cũng là giao điểm 2 đường chéo của hình vuông nên AND vuông tại N => AN AD hay < AD) (2) Từ (1) và (2) => mâu thuẫn Ta sửa lại đề Cho hình vuông ABCD cạnh a N là trung điểm của CD, M trên... cạnh và diện tích của ΔBMN theo a * Tính BN Xét ΔBCN vuông tại C, áp dụng định lý pi-ta-go ta có BN2 = BC2 + CN2 => BN = = = Vậy BN = * Tính BM Gọi K là giao điểm 2 đường chéo BD và AC của hình vuông Ta có TH - ĐHKHTN Page 11 Vậy BM = * Tính MN Ta có CA là đường chéo trong hình vuông ABCD, chia góc C thành 2 góc Ta có định lý cosin :  MN = = = Vậy MN = *Tính diện tích ΔBMN: Ta thấy và BM =MN = => ΔBMN... o  2 2 2 ⇒  y = y A + yB = 5 − 5 = 0  o 2 2 Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp d Đường phân giác của Xét ∆ABC · BAC ∆ABC O( là: cắt BC tại D Tìm tọa độ D , có AD là phân giác trong · BAC BD AB 3 5 3 = = = DC AC 5 5 5 uuur 5 uuur ⇒ DC = BD 3 (*) D(x; y) Gọi TH - ĐHKHTN −3 ;0) 2 Page 14 , ta có: ∆ABC Ta có: uuur uuur DC (−4 − x; −5 − y ), BD( x − 4; y + 1) (*) 5  x = 1 −4 − x = 3 ( x − 4) − 12 −... − 20  ⇒ ⇔ ⇔ −5 −15 − 3 y = 5 y + 5 −5 − y = 5 ( y + 1)  y = 2  3 D (1; Vậy −5 ) 2 e Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp Đường phân giác trong của ·ABC Xét ⇒ cắt AD tại E Do đó E là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABD ∆ABC ∆ABC , có BE là phân giác trong của ·ABC AE AB 3 5 = = =2 ED BD 3 5 2 uuur uuur ⇒ AE = 2 ED (**) E ( x, y ) Gọi Ta có: (**) uuur uuur −5 AE (x − 1; y − 5), ED (1 − x; − y ) 2 ... EC.CF = 0 Vậy tâm đường tròn bàng tiếp của ∆ABC là: F (1; −10) Câu 10: Cho A (2; 5), B(−3; 4) a) Xác định điểm M trên trục Ox sao cho nhỏ nhất b) Xác định điểm N trên trục Ox sao cho lớn nhất c) Xác định điểm K trên trục Ox sao cho nhỏ nhất, với C(−1 ,2) Giải: a) Xác định điểm M trên trục Ox sao cho �� +�� nhỏ nhất Theo đề bài ta có A, B cùng phía với , ta lấy đối xứng qua Ox  Ta có Do đó đạt giá trị... phân giác trong của ·ABC AE AB 3 5 = = =2 ED BD 3 5 2 uuur uuur ⇒ AE = 2 ED (**) E ( x, y ) Gọi Ta có: (**) uuur uuur −5 AE (x − 1; y − 5), ED (1 − x; − y ) 2  x − 1 = 2( 1 − x) 3x = 3 x = 1  ⇒ ⇔ ⇔ −5 3 y = 3  y = 0  y − 5 = 2( 2 − y ) Vậy tâm đường tròn nội tiếp của TH - ĐHKHTN ∆ABC E (1;0) là: Page 15 f ∆ABC Tìm tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp Đường phân giác ngoài của ·ABC ¶ACB , thuộc cắt... ΔBMN vuông cân tại M = = b) Gọi I là giao điểm của BN và AC Tính CI theo a Ta có CA là đường chéo trong hình vuông ABCD, chia góc C thành 2 góc => CA là đường phân giác trong của góc C cắt BN tại I Xét ΔBCN, Ta có tỷ lệ độ dài : (3) Theo câu a ta lại có IN + IB = BN = (4) Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình sau, nghiệm của hệ là độ dài cạnh IN và IB => Ta có Ta có định lý cosin :  = =a Vậy IC =a c)... c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a Ta có ΔABC vuông tại B, vậy đường kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC chính là AC = TH - ĐHKHTN Page 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC theo a là R = Câu 9: Cho ΔABC có A(1; 5), B(4; −1), C(−4; −5) Giải Hình vẽ a Tìm tọa độ trực tâm Ta có: Xét ∆ABC uuur uuur AB(3; −6), BC (−8; −4) , uuu r uuur AB.BC = 3.( −8) + ( −6).( −4) = 0 ⇒ ∆ABC vuông ở B B (4;... ra tức là TH - ĐHKHTN Page 16 hay M, A, B’ thẳng hàng    => Vậy b) Xác định điểm N trên trục Ox sao cho lớn nhất Do đó đạt giá trị lớn nhất khi dấu “=” xảy ra tức là hay N, A, B thẳng hàng Theo đề bài ta có A, B cùng phía với    => Vậy c) Xác định điểm K trên trục Ox sao cho K nằm trên trục Ox, ta đặt K(x,0) Ta có TH - ĐHKHTN Page 17 đạt GTNN khi dấu “=” xảy ra, tức là   TH - ĐHKHTN Page 18