• Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh.. • Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường
Trang 1PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
A Lý thuyết
1 Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức và viết dạng tổng quát.
A.(B+C) = AB+ AC
( A+B).(C+ D) = AC+ AD+ BC+BD
2 Những hằng đẳng thức đáng nhớ
1 (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 2 (A-B) 2 =A 2 -2AB +B 2 3 A 2 - B 2
=( A-B)(A+B)
4 (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 5 (A-B) 3 =A 3 -3A 2 B+3AB 2 -B 3
6 A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 ) 7 A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 )
3 Phân tích đa thức thành nhân tử
- Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm các hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp - Thêm, bớt cùng 1 hạng tử
- Tách hạng tử
- Đặt biến phụ - Nhẩm nghiệm của đa thức
4 - Khi nào đơn thức A chia hết cho đơn thức B?
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như thế nào?
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
• Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B.
• Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
5 - Khi nào đa thức chia hết cho đơn thức?
Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của A đều chia hết cho B.
- Muốn chia đa thức cho đơn thức ta làm như thế nào?
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
• Chú ý: Trong trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường
phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.
6 Nêu cách chia hai đa thức 1 biến đã sắp xếp?
- Phương pháp:
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho: A = B Q + R (với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1)
- Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
- Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.
• Chú ý:
• Định lí Bơdu: Cho đa thức bậc n của ẩn x: ,
Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất (x- a) bằng giá trị của
đa thức f(x) tại x =a.
• Hệ quả: f(x) chia hết cho (x- a), nghĩa là (f(x) tại a, với a là nghiệm của đa thức f(x)).
• Trong đa thức , Với là các số nguyên thì nghiệm hữu tỉ nếu có, khi đó nó phải có dạng , trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số
Trang 2của hạng tử cao nhất
• Trong trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.
B Bài tập
Bài 1: Làm tính nhân:
a) 2x (x2 - 7x -3) b) (2x2 - xy + y2)(-3x3) c) ( 2x3 - 3x -1) (5x +2)
d) ( 25x2 + 10xy + 4y2)(5x – 2y) e) (5x3 – x2 +2x–3)(4x2 – x+ 2)
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) ( 2x + 3y )2 b) ( 5x – y)2 c)
e) (2x + y2)3 f) ( 3x2 – 2y)3 g)
h) ( x+4) ( x2 – 4x + 16)
k) ( x-3y)(x2 + 3xy + 9y2 ) l)
Bài 3: Tính nhanh (không dùng máy tính):
a) 20042 -16; b) 8922 + 892.216 + 1082 c) 10,2.9,8 – 9,8 0,2 + 10,22 –10,2.0,2
d) 362 + 262 – 52.36 e) 993 + 1 + 3(992 + 99) f) 37.43 g) 20,03.45 + 20,03.47 + 20,03.8
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phân tích triệt để):
a) x3 - 2x2 + x b) x2 – 2x – 15 c) 5x2y3 – 25x3y4 + 10x3y3 d) 12x2y – 18xy2 – 30y2
e) 5(x-y) – y.( x – y) f) y ( x – z) + 7(z-x) g) 27x2( y- 1) – 9x3 ( 1 – y) h) 36 – 12x + x2
i) 4x2 + 12x + 9 k) x4 - y4 l) xy + xz + 3y + 3z
m) xy – xz + z - y n) 11x + 11y – x2 – xy
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (phân tích triệt để):
Bài 6: Chứng minh rằng: x2 – x + 1 > 0 với mọi số thực x?
Bài 7: Làm tính chia: ( x4 – 2x3 + 2x – 1): ( x2 – 1)
Bài 8:
• Tìm giá trị của m để f(x) = x2 – ( m +1)x + 4 chia hết cho g(x) = x -1
• Tìm a để đa thức f(x) = x4 – 5x2 + a chia hết cho đa thức g(x) = x2 – 3x + 2
( Gợi ý: Cách 1: Đặt tính , sau đó cho dư bằng 0
Cách 2: Sử dụng định lí Bơ - du: Nghiệm của đa thức g(x) cũng là nghiệm của đa thức f(x))
Bài 9: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, biết:
a) A= (2x + 5)- 30x(2x+ 5) - 8x
b) B = (3x + 1)2 + 12x – (3x + 5)2 + 2(6x + 3)
Bài 10: Tìm x, biết
Trang 3e) g) (2x – 1)2 – (2x + 5)(2x –5) = 18
m)
Tø gi¸c Nhắc lại kiến thức lớp 6, 7:
• Đường trung tuyến của một tam giác : là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện
• Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến: mỗi trung tuyến đều chạy từ mỗi đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện
• Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh
• Ba đường trung tuyến cắt nhau tai một điểm (còn gọi là đồng quy), điểm này gọi
là Trọng tâm của tam giác
• Độ dài đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm bằng hai phần ba độ dài đường trung tuyến tương ứng
• Đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau
• Đường cao của tam giác: Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến
đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao
• Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao Độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy
• Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm điểm này gọi là trực tâm
• Trong một tam giác cân đường cao xuất phát từ đỉnh cũng chính là đường trung tuyến
• Độ dài đường cao được sử dụng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy
Trang 4• Khoảng cỏch từ một đỉnh tới trực tõm của một tam giỏc bằng hai lần khoảng cỏch
từ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú đến cạnh nối hai đỉnh cũn lại
gúc vuụng
• Đường trung trực: đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuụng gúc đoạn
thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đú (BC là đường trung trực của AK)
• Điểm nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng thỡ cỏch đều hai đầu mỳt của đoạn thẳng đú (CA = CK, BA = BK)
• Điểm cỏch đều hai đầu mỳt của đoạn thẳng thỡ nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng đú
• Đường trung trực của cạnh của tam giỏc là đường trung trực của tam giỏc.
• Trong tam giỏc cú ba đường trung trực Ba đường trung trực của tam giỏc cựng đi qua một điểm Điểm đú cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc và là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc
• Trong tam giỏc vuụng, tõm đường trũn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.
• Trong tam giỏc cõn, đường trung trực của cạnh đỏy đồng thời là đường trung tuyến, đường cao xuấ phỏt từ đỉnh tương ứng với cạnh này
hai gúc cú độ lớn bằng nhau
• Bất kỳ gúc nào cũng chỉ cú duy nhất một đường phõn giỏc
• Mọi điểm trờn một đường phõn giỏc cỏch đều hai đường thẳng hợp thành gúc mà
nú chia đụi tức là điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc thỡ cỏch đều hai cạnh của gúc đú
bằng nhau
thành hai gúc bằng nhau
• Điểm nằm bờn trong một gúc và cỏch đều hai cạnh của gúc thỡ Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú
• Tia phõn giỏc của gúc của tam giỏc gọi là đường phõn giỏc của gúc đú.
• Trong tam giỏc cú ba đường phõn giỏc Ba đường phõn giỏc của tam giỏc cựng nhau tại một điểm Điểm đú cỏch đều ba cạnh của tam giỏc và chớnh là tõm của
đường trũn nội tiếp tam giỏc đú.
• Trong tam giỏc cõn, đường phõn giỏc xuất phỏt từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, đường cao, đường trung trực tương ứng với cạnh đỏy
• Trong tam giỏc đều: 4 đường: trung tuyến, đường cao, trung trực, phõn giỏc trựng
nhau
Kiến thức lớp 8
1 Phát biểu định nghĩa tứ giác lồi Tính chất của tứ giác
• Định nghĩa: Tứ giỏc lồi là tứ giỏc luụn nằm trong một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng chứa bất kỡ cạnh nào của tứ giỏc.
Trang 5• Tớnh chất: Tổng 4 gúc của một tứ giỏc bằng
2 Nêu định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết: hình thang, hình thang cân, hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Hỡnh thang Hỡnh thang là tứ giỏc
cú 2 cạnh đối song song
• Hai cạnh song song gọi là 2 đỏy
• Hai cạnh cũn lại gọi là 2 cạnh bờn
• Nếu 1 Hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn đú bằng nhau và hai cạnh đỏy cũng bằng nhau
• Nếu 1 Hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau
Tứ giỏc cú 2 cạnh đối song song là hỡnh thang
Hỡnh thang vuụng Hỡnh thang vuụng là
hỡnh thang cú 1 cạnh bờn vuụng gúc với hai đỏy
Hỡnh thang cú 1 gúc vuụng là hỡnh thang vuụng
Hỡnh thang cõn Hỡnh thang cõn là
hỡnh thang cú 2 gúc
kề một đỏy bằng nhau
• Trong hỡnh thang cõn, 2 cạnh bờn bằng nhau
• Trong hỡnh thang cõn, 2 đường chộo bằng nhau
• Hỡnh thang cú 2 gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn
• Hỡnh thang cú 2 đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn
Hỡnh bỡnh hành Hỡnh bỡnh hành là tứ
giỏc cú cỏc cạnh đối song song
• HBH là hỡnh thang cú 2 cạnh bờn song song
• Trong HBH:
• Cỏc cạnh đối bằng nhau
• Cỏc gúc đối bằng nhau
• 2 đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối song song là HBH
• Tứ giỏc cú cỏc cạnh đối bằng nhau là HBH
• Tứ giỏc cú 2 cạnh đối song song và bằng nhau là HBH
• Tứ giỏc cú cỏc gúc đối bằng nhau là HBH
• Tứ giỏc cú 2 đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là HBH
• Hỡnh thang cú 2 cạnh bờn song song là HBH
Hỡnh chữ nhật Hỡnh chữ nhật là một
tứ giỏc cú 4 gúc vuụng
• HCN cũng là 1 HBH, cũng là 1 hỡnh thang cõn nờn nú cú tất cả cỏc tớnh chất của HBH, của hỡnh thang cõn
• Tứ giỏc cú 3 gúc vuụng là HCN
• Hỡnh thang cõn cú 1 gúc vuụng là HCN
Trang 6• Trong HCN, 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• HBH có 1 góc vuông là HCN
• HBH có 2 đường chéo bằng nhau là HCN
Hình thoi Hình thoi là tứ giác có
4 cạnh bằng nhau • Hình thoi cũng là 1 HBH nên nó có tất cả các tính
chất của HBH
• Trong hình thoi:
• 2 đường chéo vuông góc với nhau
• 2 đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
• Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi
• HBH có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi
• HBH có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
• HBH có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi
Hình vuông Hình vuông là tứ giác
có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau
• Hình vuông là HCN có 4 cạnh bằng nhau
• Hình vuông là hình thoi
có 4 góc vuông
• Hình vuông vừa là HCN, vừa là hình thoi nên nó có tất cả các tính chất của HCN và hình thoi
• HCN có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông
• HCN có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
• HCN có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc
là hình vuông
• Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông
• Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông
• 1 tứ giác vừa là HCN, vừa
là hình thoi thì là hình vuông
• Đường trung bình của tam giác: là đoạn thẳng nối trung điểm 2
cạnh của tam giác
• Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ 2
thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3
• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy
• Đường trung bình của hình thang: là đoạn thẳng nối trung điểm của 2 cạnh bên.
• Đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh bên của hình thang và song song với 2
đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ 2
Trang 7• Đường trung bình của hình thang thì song song với 2 đáy và bằng nửa tổng 2 đáy.
• Các bước giải 1 bài toán dựng hình.
• B1: Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn tất cả yêu cầu của bài toán
Căn cứ vào đó xét mối liên hệ giữa các bộ phận, các yếu tố của hình để định ra nên dựng bộ phận hoặc yếu tố nào của hình trước sao cho từ đó có thể dựng được hình cần dựng
• B2: Cách dựng: Dựa vào bước phân tích ở trên, lần lượt nêu rõ các phép dựng
và thể hiện các phép dựng trên hình vẽ
• B3: Chứng minh: Bằng lập luận, chứng tỏ rằng hình đã dựng thỏa mãn các yêu
cầu của bài toán
• B4: Biện luận: Với điều kiện nào của giả thiết thì các phép dựng đã nêu ở trên
thực hiện được? Khi đó có bao nhiêu nghiệm hình (dựng được bao nhiêu hình)?
• Chú ý: Đối với HS lớp 8, chỉ yêu cầu HS trình bày 2 phần: Cách dựng và Chứng
minh.
• Đối xứng trục.
• 2 điểm đối xứng qua một đường thẳng: 2 điểm gọi là đối xứng
với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm
đó Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng
d cũng là điểm B
• 2 hình đối xứng nhau qua 1 đường thẳng: 2 hình gọi là đối xứng với nhau qua
đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với 1 điểm thuộc hình kia và ngược lại
• Khi đó, đường thẳng d gọi là trục đối xứng của 2 hình đó
• Nếu 2 đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua 1 đường thẳng thì chúng bằng nhau
• Trục đối xứng của 1 hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm
đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F
• Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm 2 đáy làm trục đối xứng
• 2 điểm đối xứng qua một điểm: 2 điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O
Trang 8là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm đó
• Điểm O đối xứng với chính nó
B
• 2 hình đối xứng qua 1 điểm: 2 hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu mỗi
điểm thuộc hình này đối xứng qua O với 1 điểm thuộc hình kia và ngược lại
• Điểm O gọi là tâm đối xứng của 2 hình đó
• Nếu 2 đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua 1 điểm thì chúng bằng nhau
• Tâm đối xứng của 1 hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng
của hình F nếu điểm đối xứng qua O của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F
• Giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó
• Đường trung tuyến trong tam giác vuông:
• Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
• Nếu 1 tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh và bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông
• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia
đường thẳng bất kì các đoạn thẳng liên tiếp bằng
nhau
• Nếu đường thằng a //d và a cách d khoảng h thì
mọi điểm thuộc a đều cách d một khoảng bằng h
Trang 9• Các điểm có khoảng cách không đổi h đến đường thẳng d cố định thì nằm trên 2 đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng h
• Đa giác
• Đa giác lồi: là đa giác luôn nằm trong 1 nửa mặt phẳng mà bờ là
đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó
• Đa giác đều: là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
• Tổng số đo các góc của hình n- giác là:
• Số đo 1 góc của đa giác đều n cạnh là:
• Số đường chéo của hình n- giác là:
• Diện tích HCN: bằng tích 2 kích thước của nó
• Diện tích Hình vuông: bằng bình phương cạnh của nó
• Diện tích Tam giác vuông: bằng nửa tích 2 cạnh của góc vuông
• Diện tích Tam giác bất kì: bằng nửa tích của 1 cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó
• Diện tích Hình thang: bằng nửa tích của tổng 2 đáy với chiều cao:
• Diện tích Hình bình hành: bằng tích của 1 cạnh với
chiều cao tương ứng của nó
Trang 10• Diện tích Hình thoi: bằng nửa tích 2 đường chéo
B Bµi tËp
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AC, K là điểm
đối xứng của M qua I
a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao?
b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =MA Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi
Bài 2: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Qua B
vẽ đường thẳng song song với AC;
qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I
a) Chứng minh: OBIC là hình chữ nhật
b) Chứng minh AB = OI
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để tứ giác OBIC là hình vuông
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600 Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD
a) Chứng minh AE vuông góc với BF
b) Tứ giác ECDF là hình gì ? Vì sao?
c) Tứ giác ABED là hình gì ? Vì sao?
d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật
e) Chứng minh M, E, D thẳng hàng
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của
BC và AD Gọi P là giao điểm của
AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD
a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang
b) PMQN là hình gì?Vì sao?
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK Gọi 3 ®iÓm D, E , F lần lượt là
trung điểm của AB, AC, BC
• BDEF là hình gì? Vì sao?
• Chứng minh DEFK là hình thang
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm tam giác, M là trung điểm BC Gọi D
là điểm đối xứng của H qua M
a) Chứng minh các tam gíac ABD, ACD vuông
b) Gọi I là trung điểm AD Chứng minh IA = IB = IC = ID
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song BC Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD=DC
a) Tính các gãc DAC và góc BAD
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân
Bài 8 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D sao cho