Lý thuyết Tốn Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để giải toán Những đẳng thức đáng nhớ: • A ( B + C) = A.C + A.B • ( A + B ) (C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B C • ( A + B ) (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F • đẳng thức:(SGK) Với A, B biểu thức • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 • (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • A2 – B2 = (A + B)(A – B) • (A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3 • (A – B) = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 • A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) • A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2) • Các đẳng thức liên quan: • (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB • (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB • A2 + B = ( A + B ) − AB • A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B) • A3 - B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B) • (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) • Các đẳng thức dạng tổng quát: • (A + B)n = An + n An-1B + + n ABn-1 + Bn • An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + +ABn-2 + Bn-1) • (A1 + A2 + +An)2 = A12 + A22 + + An2 + 2(A1A2 + A1A3+ +An-1An) ( a + b ) =a + (1 + ( a ) = + a + a a − b ) =a − (1 − ) a − =( b a ab + b = − ab + b a + a a − b )( a + b ) a a + b b = ( a + b )(a − ab + ) b a a − b b = ( a − b )(a + ab + ) b 1− a 1+ a ( a = 1+ ( )(1 + a )(1 − a = 1− a ( a =( a b +b a = a b −b ) a + ) a a + a ) ab ) ( ab ( a + b ) GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG a − b) ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Tốn ƠN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LÝ THUYẾT • Điều kiện có nghĩa số biểu thức: 1) A(x) đa thức ⇒ A(x) ln có nghĩa A( x ) có nghĩa ⇔ B(x) ≠ B( x) 3) A(x) có nghĩa ⇔ A(x) ≥ A( x) 4) có nghĩa ⇔ B(x) > B ( x) • 2) • • A = B • A.B = B2 A.B B ( với B ≠ 0, A.B ≥ ) Trục thức mẫu số: A A2 = A = − A Nếu A khơng âm A2 = A = • Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai: Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số bình phương A A = A.B = A B ( A ) ( với A ≥ ; B ≥ ) Tổng quát: A1 A2 A n = A1 A2 An với Ai ≥ (1 ≤ i ≤ n) • • A A = B B (với A ≥ 0, B ≥ 0) Đưa thừa số A2 dấu bậc hai: ta |A| Ta có: • A2 B = A B Đưa thừa số vào dấu bậc hai: A B = A2 B A B = − A2 B • ( với A ≥ ) ( với A < ) Phương trình chứa thức bậc hai: 1) A2 = ⇔| A |= ⇔ A = 3) B ≥ A=B⇔ A = B 2) B ≥ 0(hoặc A ≥ ) A= B⇔ A = B 4) A + B = O ⇔ A = B = GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thøc cã nghÜa A cã nghÜa A ≥ Các công thức biến đổi thức A2 = A a AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) b c A = B d A2 B = A B e A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B = − A2 B f A = B B ( B ≥ 0) AB ( A < 0; B ≥ 0) ( AB ≥ 0; B ≠ 0) i A A B = B B k C C ( A mB ) = A − B2 A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Kiến thức bản: CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT 1.1Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y = ax + b Trong a, b số cho trước a ≠ b Tính chất :Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = ta điểm Q( ; 0) thuộc trục hoành Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi a = a ' + d // d ' ⇔ b ≠ b ' GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán + d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' a = a ' + d ≡ d ' ⇔ b = b ' d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 + e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) *Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương *Hệ số góc đường thẳng y = ax + b - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b f Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y - Đường thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0 ≠ x + y = 0 2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) - Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức xM = x A + xB y + yB ; yM = A 2 CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I CÁC KHÁI NIỆM: Phương trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số biết( a ≠ b ≠ 0) + Một nghiệm phương trình cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c luôn có vơ số nghiệm + Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ 0; b ≠ đường a b c b thẳng (d) đồ thị hàm số bậc nhất: y = − x + Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c.(1) + Dạng: , , , a x + b y = c (2) + Nghiệm hệ nghiệm chung hai phương trình + Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phương trình (1) biểu diễn đường thẳng (d) -Phương trình (2) biểu diễn đường thẳng (d') *Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm *Nếu (d) song song với (d') hệ vơ nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vơ số nghiệm Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phơng trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH: GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Tốn Giải hệ phương trình phương pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bước 1: Từ phương trình hệ cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) + Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ hệ phương trình cho để phương trình + Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Lưu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn ta trừ vế theo vế hệ Khi hệ số ẩn không khơng đối ta chọn nhân với số thích hợp để đưa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số) HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A Kiến thức Góc tạo đường thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox - Góc α tạo đường thẳng y = ax + b (a khác 0) trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương 8 6 T 4 T A -15 -10 α α α -5 10 15 -15 -10 -5 α A y=ax+b 10 15 y=ax y=ax -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 y=ax+b Trường hợp a > Trường hợp a < 0 - với a > ⇒ < α < 90 , a lớn α lớn - với a < ⇒ 900 < α < 1800 , a lớn α lớn y = ax + b (a khác 0) a gọi hệ số góc đường thẳng ' ' ' ' Với đường thẳng ( d ) : y = ax + b ( d ) : y = a x + b ( a; a ≠ ) , ta có: ( ) + ( d ) ×( d ) ⇔ a ≠ a + ( d ) / / d ' ⇔ a = a ' ; b ≠ b' ' ' ( ) + ( d ) ⊥ ( d ) ⇔ a.a = −1 + ( d ) ≡ d ' ⇔ a = a' ; b = b' ' ' - Chú ý: a khác a’ b = b’ đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán A Kiến thức Quy tắc - từ phương trình hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) - dùng kết cho x (hoặc y) pt lại thu gọn Cách giải hệ phương trình phương pháp - dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để đc hpt có pt ẩn - giải pt ẩn vừa tìm đc, suy nghiệm hpt cho GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ A Kiến thức Quy tắc cộng đại số: gồm bước - Cộng hay trừ vế pt hpt cho để đc pt - Dùng pt thay cho pt hệ (giữ nguyên pt kia) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số - Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn thành” - Nghĩa là: + nhân cho hệ số ẩn hai phương trình + đổi dấu vế pt: hệ số ẩn đối + cộng vế với vế pt hệ, rút gọn tìm ẩn + thay vào tính nốt ẩn cịn lại GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức Để giải toán cách lập hệ phương trình ta thực theo bước sau : - bước : lập hpt (bao gồm công việc sau) + chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn) + biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + lập hpt biểu thị tương quan đại lượng - bước : giải hpt vừa lập đc bước - bước : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ban đầu 2 HÀM SỐ y = ax ( a ≠ ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax ( a ≠ ) A Kiến thức Tính chất hàm số y = ax ( a ≠ ) a) Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < b) Nhận xét: Nếu a > y > với x khác 0; y = x = giá trị nhỏ hàm số y = Nếu a < y < với x khác 0; y = x = giá trị lớn hàm số y = 2 Tính chất đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ ) Đồ thị hàm số y = ax ( a ≠ ) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy trục đối xứng đường cong gọi Parabol với đỉnh O Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O(0;0) điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành, O(0;0) điểm cao đồ thị PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán A Kiến thức Định nghĩa: pt bậc hai ẩn pt có dạng: ax + bx + c = ( a ≠ ) b, c số cho trước Cách giải (1), x ẩn; a, x = x = ⇔ a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: ax + bx = ⇔ x ( ax + b ) = ⇔ x = − b ax + b = a c b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: ax + c = ⇔ ax = −c ⇔ x = − (2) a c - − < pt (2) vơ nghiệm, suy pt (1) cung vô nghiệm a c c - − > ⇒ x = ± − a a c) đầy đủ: ax + bx + c = ( a ≠ ) Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ > pt có nghiệm phân biệt: −b + ∆ −b − ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a ∆ = pt có nghiệm kép: + −b x1 = x2 = 2a + ∆ < pt vơ nghiệm ∆ ' = b '2 − ac + Nếu ∆ ' > pt có nghiệm phân biệt: −b ' + ∆ ' −b ' − ∆ ' x1 = ; x2 = a a ' + ∆ = pt có nghiệm kép: −b ' x1 = x2 = a ' + ∆ < pt vơ nghiệm d) Cho pt: ax + bx + c = ( a ≠ ) Điều kiện để phương trình: - Vơ nghiệm: ∆ < ( ∆ ' < ) - Nghiệm kép: ∆ = ( ∆ ' = ) - Có nghiệm phân biệt: ∆ > ( ∆ ' > ) a.c < ∆ ( ∆ ' ) ≥ - Có nghiệm dấu: P = x1.x2 > ∆ ( ∆ ' ) ≥ - Có nghiệm dấu âm: P = x1.x2 > S = x + x < ∆ ( ∆ ' ) ≥ - Có nghiệm dấu dương: P = x1.x2 > S = x + x > ∆ ( ∆ ' ) ≥ - Có nghiệm khác dấu: P = x1.x2 < Hệ thức Vi-ét ứng dụng GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán b x1 + x2 = − a - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax + bx + c = ( a ≠ ) x x = c a - Ứng dụng nhẩm nghiệm hệ thức Vi-ét: + pt ax + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = pt có nghiệm là: x1 = 1; x2 = c a + pt ax + bx + c = ( a ≠ ) có a − b + c = pt có nghiệm là: x1 = −1; x2 = − c a u + v = S suy u, v nghiệm pt: x − Sx + P = (điều kiện để tồn u, v u.v = P + ∆ = S − 4P ≥ ) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương - dạng tổng quát: ax + bx + c = ( a ≠ ) - cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt x = t ( t ≥ ) Khi ta có pt: at + bt + c = (đây pt bậc hai ẩn) Phương trình chứa ẩn mẫu: Các bước giải - Tìm đk xác định pt - Quy đồng mẫu thức vế pt, khử mẫu - Giải pt vừa nhận - Kết luận: so sánh nghiệm tìm với đk xác định pt Phương trình tích - dạng tổng qt: A( x ) B( x ) = A( x ) = - cách giải: A( x ) B( x ) = ⇔ B( x ) = Hµm sè y = ax + b (a 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > hµm số nghịch biến x < đồng biến x > + NÕu a < hµm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành + Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành Vị trí tơng ®èi cđa hai ®êng th¼ng XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a a' (d) // (d') ↔ a = a' vµ b ≠ b' (d) ≡ (d') ↔ a = a' vµ b = b' Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung Phơng trình bậc hai Xét phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän ∆ = b2 - 4ac ∆' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ∆ > : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm - NÕu ∆' > : Phơng trình có hai phân biệt: nghiệm phân biệt: x1 = −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a ' ' − b ' + ∆' ; x2 = − b − ∆ x1 = a a NÕu ∆ = : Phơng trình có nghiệm kép - Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm b b ' : x1 = x2 = kÐp: x1 = x2 = 2a a Nếu < : Phơng trình vô nghiệm - Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - Hệ thức Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a≠0) th×: −b S = x1 + x2 = a P = x x = c a - Mét sè øng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0) + NhÈm nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a≠0) NÕu a + b + c = th× phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x = c a NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c a Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận B dạng tập Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A Để rót gän biĨu thøc A ta thùc hiƯn c¸c bíc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán - Đa bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A(x) biÕt x = a Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh A=B A = A1 = A2 = = C B = B1 = B2 = = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng A = B A' = B' A" = B" ↔ ↔(*) (*) ®óng ®ã A = B - Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất đẳng thức Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (víi a1.a2 a3 an ≥ ) n Dấu = xảy khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với số a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a a a a n DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: b = b = b = = b n Mét sè ph¬ng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiÕp GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyt Toỏn Thay vào phơng trình ta có: A(t2 - 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C - 2A = = t giải tìm x x 1 Bài toán 3: Giải phơng trình A( x + ) + B( x − ) + C = x x Đặt x = t x2 - tx - = x 1 Suy t2 = ( x − )2 = x + − ↔ x + = t + x x x Giải phơng trình ẩn t sau vào x + Thay vào phơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x = t giải tìm x x Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai Nội dung 7: giải hệ phơng trình ax + by = c a ' x + b ' y = c ' Bài toán: Giải hệ phơng trình Các phơng pháp giải: + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp + Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình dạng Ta cã g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ↔ f ( x ) = [ g ( x )] f ( x ) = g ( x ) (1) (2) (3) Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + h( x) = g ( x) Điều kiện có nghĩa phơng tr×nh f ( x) ≥ h ( x ) ≥ g ( x) ≥ Với điều kiện thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x GV : PHM HNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán Néi dung 8: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải phơng trình dạng f ( x ) =g ( x ) Phơng pháp 1: g ( x) ≥ f ( x ) =g ( x ) ↔ [ f ( x)] = [ g ( x)] 2 XÐt f(x) ≥ → f(x) = g(x) XÐt f(x) < → - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) Phơng pháp 2: Nội dung 9: giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ®ã ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ®ã ymin = m h(x) = Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) điểm A(x A;yA) Hỏi (C) có qua A không? Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phơng trình (C) A(C) yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * tơng giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) HÃy khảo sát tơng giao hai đồ thị Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hoành ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiÕp xóc - NÕu (*) cã nghiƯm th× (C) (L) có điểm chung GV : PHM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * lập phơng trình đờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) có hệ số góc k Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta có phơng trình (D) Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) lµ : y = ax + b y A = ax A + b y B = ax B + b (D) qua A B nên ta có: Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đ ợc b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(x A;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung cđa (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) → a vµ b Phơng trình đờng thẳng (D) GV : PHM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Tốn PhÇn II: HÌNH HỌC A KiÕn thøc cÇn nhí HƯ thức lợng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c' ah = bc a = b2 + c2 1 = 2+ 2 h b c A b c B h c' b' C H a Tỉ số lợng giác gãc nhän < sinα < < cossα < tgα = sin α cos α tgα.cotgα = cos α sin α 1 + tg 2α = cos α cot gα = sin2α + cos2α = 1 + cot g 2α = HÖ thức cạnh góc tam giác vuông b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B sin α B a c §êng tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc đờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng : Đờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đờng kính dây Trong đờng tròn + Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung A GV : PHM HNG PHƯƠNG b C ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đờng thẳng đờng tròn cắt - Đờng thẳng đờng tròn tiếp xúc - Đờng thẳng đờng tròn không giao - Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đờng tròn cắt - Hai đờng tròn tiếp xúc + Tiếp xúc R - r < OO' < R + r OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng t©m GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG OO' < R - r OO' = ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toỏn Tiếp tuyến đờng tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiếp tuyến: + Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính + Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vuông góc với bán kính qua điểm A - Tính chất tiếp tuyến cắt MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB O M + MO phân giác góc AMB + OM phân giác góc AOB - Tiếp tuyến chung hai đờng tròn: đờng B thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn đó: Tiếp tuyến chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung d d d' O O' O O' d' Góc với đờng tròn Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo A B Gãc ë t©m · AOB = sd » AB O A B · AMB = sd » AB O Gãc néi tiÕp M x Gãc tạo tia tiếp tuyến dây cung A B O GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG · xBA = sd » AB ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán B A Góc có đỉnh bên ®êng trßn · » AMB = ( sd » + sdCD) AB M O C D M D C Góc có đỉnh bên đờng tròn · » AMB = ( sd » − sdCD) AB O A B Chó ý: Trong mét đờng tròn - Các góc nội tiếp chắn c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ë t©m cïng chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn góc vuông ngợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l= Rn 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S = Các loại đờng tròn Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiÕp tam gi¸c A π R n lR = 360 Đờng tròn bàng tiếp tam giác A A B C O O F B E J C B C Tâm đờng tròn giao ba đờng trung trực tam giác GV : PHM HNG PHNG Tâm đờng tròn giao ba đờng phân giác tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đờng phân giác góc B C giao điểm đờng phân giác góc A đờng phân giác T : 0976.580.880 Lý thuyt Toỏn B (hoặc C) 10 Các loại hình không gian a H×nh trơ - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2πrh - Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = πr2h b H×nh nãn: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - Diện tích toàn phần: Stp = 2rl + r2 - Thể tích hình trụ: V = r: bán kÝnh Trong ®ã h: chiỊu cao Trong ®ã π r 2h c H×nh nãn cơt: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = π h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = πd - ThÓ tÝch hình cầu: V = R r: bán kính l: đờng sinh h: chiều cao r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong l: đờng sinh h: chiều cao R: bán kính Trong d: ®êng kÝnh 11 Tø gi¸c néi tiÕp: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã ®Ønh c¸ch ®Ịu điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc B dạng tập Dạng 1: Chứng minh hai gãc b»ng C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi - Hai gãc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc nhọn tù có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc ó le trong, so le đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trơng hai cung đờng tròn hai ®êng b»ng GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Tốn D¹ng 2: Chøng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + ë vÞ trÝ so le + ë vị trí so le + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác cđa hai gãc kỊ bï D¹ng 4: Chøng minh ba đờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 5: Chứng minh hai tam giác C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c thêng: - Trêng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c thêng: - Có hai góc đôi - Có góc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB MAD MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đờng thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán ∆MCE ∼ ∆MFD MA.MB = MC.MD * Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chøng minh ∆MTA ∼ ∆MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp C¸ch chøng minh: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đờng tròn (O;R) Cách chứng minh: - Chøng minh OT ⊥ MT t¹i T ∈ (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích Vn đề: định nghĩa xác định đường tròn Tập hợp điểm cách O cho trước khoảng R khơng đổi gọi đường trịn tâm O bán kính R Kí hiệu: (O; R) Để xác định đường trịn ta có cách sau: 2.1 Biết tâm O bán kính R 2.2 Biết điểm khơng thẳng hàng nằm đường trịn Cho (O; R) điểm M Khi có khả sau: 3.1 Nếu MO > R M nằm ngồi đường trịn (O; R) 3.2 Nếu MO=R M nằm đường trịn (O;R) Kí hiệu: M ∈ (O; R) 3.3 Nếu MO < R M nằm đường tròn (O; R) Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm đường trịn Đường kính dây cung qua tâm Vậy đường kính dây cung lớn đường tròn Muốn c/m điểm nằm (O; R) ta khoảng cách từ điểm đến O R Các cách khác sau xét sau Đường tròn qua hai điểm A B có tâm nằm trung trực AB đường trịn ngoại tiếp tam giác vng có tâm trung điểm cạnh huyền Vấn đề: tính chất đối xứng xủa đường trịn Đường trịn hình có tâm đối xứng tâm đường trịn Đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính Đường kính vng góc dây cung qua trung điểm ngược lại Hai dây cung chúng cách tâm Dây cung gần tâm dài ngược lại Vận dụng tính chất ta tính độ dài đoạn c/m tính chất so sánh đoạn thẳng dựa vào đường tròn Vấn đề: vị trí tương đối đường thẳng đường trịn GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng độ dài đường vng góc từ điểm đến đường thẳng Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d có trường hợp sau: 2.1 Nếu d(O;d) = OH > R đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung Ta nói đường thẳng đường trịn ngồi khơng cắt 2.2 Nếu d(O; d) = OH = R đường thẳng đường trịn có điểm chung H Khi ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường thẳng gọi tiếp tuyến (O)) 2.3 Nếu d(O; d) = OH < R đường thẳng d cắt đường trịn (O; R) hai điểm phân biệt A B Đường thẳng gọi cát tuyến với (O; R) Vậy muốn xác định vị trí đường thẳng d đường trịn ta cần tìm bán kính R khoảng cách d(O; d) so sánh kết luận Vấn đề: tiếp tuyến đường tròn Cho (O; R) tiếp tuyến (O; R) đường thẳng tiếp xúc với (O; R) Vậy d tiếp tuyến (O; R) d ⊥ OA A A gọi tiếp điểm .O D A Nói cách khác : d tiếp tuyến (O; R) d(O; d) =R Ta có tính chất: từ điểm M nằm (O; R) ta kẽ hai tiếp tuyến đến (O; R) hai tiếp điểm A B MA=MB Từ điểm A (O; R) ta kẽ tiếp tuyến nhất, đường thẳng qua A vng góc bán kính OA Từ hai điểm A B (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt M MA= MB A O M B Ngồi ta cịn có : MO phân giác góc AOB OM phân giác góc AOB Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ điểm nằm (O) 8.1 Ta nối OM 8.2 Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) hai điểm A B 8.3 Nối MA MB hai tiếp tuyến .Vấn đề: vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường trịn (O; R) (O’; R’) dựa vào khoảng cách OO’ R; R’ ta có khả sau: Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ hai đường trịn tiếp xúc Nếu OO’ = R +R’ hai đường trịn có điểm chung điểm giao điểm OO’ hai đường tròn Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngồi Nếu OO’ < R+R’ hai đường tròn cắt hai điểm Hai điểm nhận OO’ làm trung trực GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán Nếu OO’ > R+R’ hai đường trịn khơng cắt ngồi OO’ < R-R’ hai đường tròn đựng (O; R) chứa (O’; R’) hay (O’; R) chứa (O; R) Hai đường tròn đồng tâm hai đường trịn có tâm Nếu có hai đường trịn tiếp tuyến chung chúng đường nối tâm OO’ đồng quy - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung - Nếu đồng quy bên đoạn OO’ gọi tiếp tuyến chung ngồi - Điếm đồng quy chia OO’ theo tỉ lệ tỉ lệ hai bán kính Vấn đề: đường trịn ngoại tiếp- nội tiếp bàng tiếp tam giác… đa giác Cho tam giác ABC, đường tròn qua đỉnh A; B C tam giác gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tâm đường tròn ngoại tiếp điểm cách đỉnh nên giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp điểm cách cạnh nên giao điểm ba đường phân giác Đường tròn tiếp xúc với cạnh BC phần kéo dài hai cạnh (AB AC) gọi đường tròn bàng tiếp góc A Vậy đường trịn bàng tiếẩmtong góc A có tâm giao điểm phân giác góc A hai phân giác ngồi B C Một tam giác có ba đường trịn bàng tiếp Tam giác nội tiếp đường trịn đường tròn gọi ngoại tiếp tam giác Tam giác ngoại tiếp đường trịn đường trịn ngoại tiếp tam giác Vấn đề: Góc tâm- số đo độ cung—so sánh cung Góc tâm góc có đỉnh tâm đường trịn Góc cắt đường trịn A B cung AB cung bị chắn góc tâm AOB Ta có tính chất: số đo cung bị chắn số đo góc tâm chắn cung So sánh cung: cung lớn có số đo lớn ngược lại Cung có góc tâm lớn lớn ngược lại Vấn đề: Liên hệ cung dây Cho (O) cung AB đường cong chạy từ A đến B theo đường tròn Còn dây (dây cung) đoạn thẳng AB Ta ý với hai điểm A B (O) tạo hai cung lớn cung nhỏ Sau ta xét cung nhỏ Hai dây cung hai cung Dây lớn cung lớn Vấn đề: góc nội tiếp Góc nội tiếp (O) góc có đỉnh nằm đường tròn (O) hai cạnh cắt (O) hai điểm phân biệt Để có góc nội tiếp thường ta có ba điểm nằm đương trịn Số đo góc nội tiếp chắn cung ½ số đo góc tâm chắn cung Chú ý cung Góc nội tiếp có số đo ½ số đo cung bị chắn Cùng cung có nhiều góc nội tiếp góc Đặc biệt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 900 GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Tốn Các cung góc nội tiếp chắn cung ngược lại Cung lớn góc nội tiếp chắn cung lớn Vấn đề: góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Góc tạo bới tiếp tuyến tiếp điểm A dây cung AX gọi góc tạo bỡi tiếp tuyến dây cung Số đo góc ½ số đo góc tâm chắn cung AX Số đo góc ½ số đo cung AX Số đo góc số đo góc nội tiếp chắn cung Vấn đề: góc có đỉnh bên – bên ngồi đường trịn Cho (O) M (O) có hai đường thẳng qua M tạo thành góc Góc góc bên đường trịn Hai đường thẳng cắt đường trịn tạo thành cung Khi số đo góc đường trịn tổng số đo hai cung chia hai A B M C D » » sd AB + sdCD · · AMB = CMD = Cho (O) M ngồi (O) góc mà cạnh ln tiếp xúc cắt (O) gọi góc ngồi đường trịn (O) M Khi góc cắt đường tròn tao thành hai cung; cung lớn cung nhỏ Số đo góc ngồi sđ cung lớn – cung nhỏ sau chia hai C A C A A M M n m M B D B B » » sdCD − sd AB · AMB = » » sdCB − sd AB · AMB = ¼ ¼ sd AmB − sd AnB · AMB = Vấn đề: cung chứa góc Cho đoạn thẳng AB cố định quỹ tích điểm M cho: · AMB = α cho trước cung Cung gọi cung chứa góc α độ nhận AB làm dây Cho dây AB α độ ta có hai cung chứa góc α độ nhận AB làm dây hai cung đối xứng qua AB Cách vẽ cung chứa góc α độ nhận AB làm dây sau: 3.1 Có AB: A vẽ tia At tạo AB góc α 3.2 Tại A vẽ tia Ax ⊥ At cắt trung trực AB O 3.3 Vẽ cung trịn (O; OA) phía chứa O 3.4 Khi cung cung chứa góc α nhận AB làm dây 3.5 Ta lấy O’ đối xứng O qua AB vẽ cung tròn (O’; O’A) ta cung thứ hai Vấn đề: tứ giác nội tiếp GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường trịn Tứ giác ABCD nội tiếp đồng nghĩa điểm A; B; C D nằm đường tròn Tứ giác nội tiếp đường trịn đường trịn gọi ngoại tiếp tứ giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tứ giác Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) OA= OB= OC = OD =R Chú ý: O nằm ngồi tứ giác; nằm nằm cạnh lúc nằm Cho ABCD tứ giác nội tiếp A+C= B+D = 1800 Ngược lại tứ giác ABCD có A+C =1800 B+D=1800 ABCD nội tiếp Để c/m tứ giác ABCD nội tiếp ta có cách sau: a Chỉ A+C =1800 b Chỉ B+D=1800 c Chỉ bốn điểm A; B;C D thuộc đường trịn cụ thể d Chỉ góc nội tiếp A B nhìn CD góc Vấn đề: đa giác ngoại tiếp nội tiếp đường tròn Đa giác đa giác có tất cạnh góc Đa giác nội tiếp (O) đa giác có đỉnh nằm (O) Khi đường trịn gọi ngoại tiếp đa giác Đa giác ngoại tiếp (O) đa giác có cạnh tiếp xúc (O) Khi (O) gọi ngoại tiếp đa giác Mỗi đa giác có đường trịn ngoại tiếp đường trịn nơị tiếp hai đường đồng tâm Tâm giao điểm hai đường trung trực hai cạnh hai đường phân giác hai góc Bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác khoảng cách từ tâm đến đỉnh: OA= Bán kính đường trịn nội tiếp đa giác khoảng cách từ tâm O đến cạnh Khoảng cách gọi trung đoạn đa giác Cho n giác cạnh a đó: 7.1 Chu vi đa giác: 2p= na với p nửa chu vi (tên thường dùng) 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 (n − 2).180 Mỗi góc có số đo: A=B=…= n a 180 (dùng tỉ số lượng giác) Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R= 2sin n a 180 Bán kính đường trịn nội tiếp r= tan n Ta có: R2-r2 = a2/4 Diện tích đa giác đều: S= n/2.a.r GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 Lý thuyết Toán Vấn đề: độ dài đường trịn diện tích hình trịn Đường trịn đường biên ngồi cịn hình trịn phần biên Cho (O; R) độ dài đường trịn chu vi đường tròn: C=∏ 2R Nếu cho cung n0 (O; R) độ dài cung là: l = 2∏ R nên 10 dài 2Π R Π R = sau ta nhân lên 360 180 Π R.n Vì đường trịn 3600 dài 1800 Diện tích của(O; R) : S= ∏ R2 Trên (O; R) cho cung AB có số đo n0 hình quạt OAB có diện tích: = ΠR2 Squạt OAB n = lab.R/2 360 Hình viên phân ta lấy phần quạt bỏ tam giác OAB viên phân : tính diện tích viên phân lấy Sh.quạt- Stgiac OAB Hình xuyến hình tạo có hai đường trịn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Bằng cách lấy đường tròn lớn bỏ đường tròn nhỏ Phần hình xuyến Vậy: Sxuyến = Stron lớn- Stròn nhỏ = ∏( R2-r2) ∏ =3.14… thường dùng ∏=3.14 Vấn đề: phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta ba điểm tạo thành góc bẹt (1800) Vận dụng tính chất đường đồng quy C/m hai tia AB AC trùng theo tiên đề Ơclit(cùng song song đường) Chỉ điểm nằm đường Có thể AB+BC=AC Vấn đề: phương pháp c/m hai đoạn thẳng Dùng hai tam giác Dùng tính chất tam giác; hình thang cân; hình bình hành;… Sử dụng tính chất đường chéo hình Tính chất đường trung bình Sử dụng tính chất bắc cầu Vấn đề:phương pháp c/m hai đường thẳng vuông góc Hai đường thẳng vng góc hai đường thẳng cắt góc tạo thành có góc vng 900 Cho điểm O d có đường thẳng qua O ⊥ d Cho a//b c ⊥ a c ⊥ b Ngồi ta cịn dùng tính chất khác xem hai đường thẳng hai cạnh tam giác vuông Xét tính chấtấtm giác cân; tam giác vng; hình thoi, hình chữ nhật;… Để c/m hai đường thẳng vng góc Vấn đề: c/m hai đường thẳng song song Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung( khơng làm gì) Hai đường thẳng song song có đường thẳng cắt qua tạo cặp: 2.1 So le 2.2 Đồng vị 2.3 Các góc phía đồng vị Hai đường thẳng vng góc đường thứ ba song song Hai cạnh đối hình bình hành song song Tính chất dường trung bình tam giác hình thang Các tính chất hình khác hình hộp chữ nhật… Tính chất bắc cầu: a//b b//c a//c GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880 ... P = x1.x2 < Hệ thức Vi-ét ứng dụng GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 097 6.580.880 Lý thuyết Toán b x1 + x2 = − a - Định lý: Nếu x1; x2 nghiệm pt ax + bx + c = ( a ≠ ) x x = c a - Ứng... trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức A(x)... biệt Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) XÐt hƯ sè a: Có thể có khả GV : PHM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 097 6.580.880 Lý thuyết Toán