Tổng hợp lý thuyết toán lớp 10, 11 và lớp 12 luyện thi đại học

Cho phân giác trong và ngoài AD và AE của góc ˆA... Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, kí hiệu là Ω.. Biến cố A là một tập con của không gian mẫu.. Tập ∅ là biến cố

Đặng

Mục lục

1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4

1.1 DIỆN TÍCH TAM GIÁC 4

1.2 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS 4

1.3 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN 4

1.4 CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN 4

1.5 CÔNG THỨC PHÂN GIÁC 4

2 LƯỢNG GIÁC 5

2.1 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 5

2.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7

3 ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN 9

4 MŨ - LOGARIT 12

4.1 MŨ 12

4.2 LOGARIT 12

5 PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 14

5.1 CĂN THỨC 14

5.2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 14

6 TỔ HỢP - XÁC SUẤT 14

6.1 HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP 14

6.2 NHỊ THỨC NEWTON 15

6.3 XÁC SUẤT 15

7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 16

8 HÌNH HỌC OXY 17

9 HÌNH KHÔNG GIAN OXY Z 20

10 BẤT ĐẲNG THỨC 23

10.1 CƠ BẢN 23

10.2 BĐT CAUCHY 23

Đặng

10.3 BĐT B.C.S 24

10.4 BĐT SCHWATZ 24

11 SỐ PHỨC 24

11.1 ĐỊNH NGHĨA 24

11.2 CÁC PHÉP TOÁN 24

11.3 CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC 25

11.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 26

Đặng

§1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ∆ABC, AB = c; BC = a; CA = b

= pr

= pp(p − a)(p − b)(p − c)(Công thức Herong)

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC; r là bán kính đường tròn nội tiếp

∆ABC; p là nửa chu vi; p = a + b + c

bsin B =

csin C = 2R.

Cho phân giác trong (và ngoài) AD (và AE) của góc ˆA Khi đó:

DB

DC =

EB

EC =AB

AC.

Đặng

CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, BA

1 sin 2x = 2 sin x cos x

2 cos 2x = cos2x − sin2x =

2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x

3 tan 2x = 2 tan x

1 − tan2x

4 sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x

5 cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

6 tan 3x = 3 tan x − tan

1 sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

2 sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

3 cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y

4 cos(x−y) = cos x cos y +sin x sin y

5 tan(x + y) = tan x + tan y



3 sin x + sin y = 2 sin x + y

2

cos x − y2



4 sin x − sin y = 2 cos x + y

2

sin x − y2



CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG

1 cos x cos y =12[cos(x + y) + cos(x − y)]

2 sin x sin y = 12[cos(x − y) − cos(x + y)]

3 sin x cos y = 12[sin(x + y) + sin(x − y)]

4 a cot2x + b cot x + c = 0 (a 6= 0) Đặt t = tan x (không có điều kiện của t).

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COS

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN COS

Dạng: a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0 (1) hoặc a(sin u − cos u) +

b sin u cos u + c = 0 (2)

Cách giải

a Với phương trình (1): a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0

X Đặt t = sin u + cos u = √2 sinu + π

X Thay sin u + cos u = t, sin u cos u = t

2− 1

2 vào (1) ta được phương trình bậchai theo t

b Với phương trình (2): a(sin u − cos u) + b sin u cos u + c = 0

X Đặt t = sin u − cos u =√2 sinu −π

4

, giải tương tự trường hợp trên

PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI

Dạng rút gọn: a sin2u + b sin u cos u + c cos2u = d (a, b, c 6= 0) (1)

⇔ a tan2u + b tan u + c = d 1 + tan2u

⇔ (a − d) tan2u + b tan u + c − d = 0 được phương trình bậc hai theo tan u

a b

a0 b0

x 2 +2

a c

a0 c0

x+

b c

b0 c0

(a 0 x 2 +b 0 x+c 0 ) 2

= (ab

0 −a 0 b)x 2 +2(ac 0 −a 0 c)x+bc 0 −b 0 c (a 0 x 2 +b 0 x+c 0 ) 2

11 (um)0= mum−1u0

12  1u

0

2√u

(ax + b)n.dx = 1

a.

(ax + b)n+1

n + 1 + C3

axdx = a

x

ln a+ CZ

α(ax+b)dx = 1

a

α(ax+b)

ln α + CMỘT SỐ NGUYÊN HÀM KHÁC

x − 1

x + 1

+ C

x − a

x + a

+ C

(d) Ký hiệu y = ln x để chỉ hàm số lôgarit cơ số e

(e) Ký hiệu y = log x (hoặc lg x) để chỉ hàm số lôgarit cơ số 10

1 Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là hành động không đoán trước được kết quả.

2 Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, kí hiệu là Ω

3 Biến cố A là một tập con của không gian mẫu

4 Tập ∅ là biến cố không thể, còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn

5 Phép toán trên biến cố

(a) Ω\A là biến cố đối của A, kí hiệu A

(b) A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B

(c) A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B

(a) A ∪ B (A + B) xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.

(b) A ∩ B (A.B) xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra

(c) A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Định nghĩa xác suất Giả sử A là biến cố trong không gian mẫu Ω Xác suấtcủa biến cố A, cho bởi: P (A) = n(A)

n(Ω)n(A) là số phần tử của A; n(Ω) phần tử của Ω

2 Tính chất của xác suất

(a) P (∅) = 0; P (Ω) = 1, 0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A

(b) Nếu A và B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

(c) Với mọi biến cố A ta có: P A
= 1 − P (A)

(d) Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P (AB) = P (A).P (B)

j = (0; 1).

1 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Điểm M ∈ (d) nếu tọa độ điểm

M thỏa phương trình đường thẳng (d)

Đặng

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho đường thẳng d : Ax + By + C = 0; d0 : A0x + B0y + C0 = 0 Khi đó:

a Nếu d [I, (∆)] < R thì đường thẳng cắt đường tròn

b Nếu d [I, (∆)] = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Tiếp điểm hay giao điểm là nghiệm hệ phương trình:

(

Ax + By + C = 0

x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0 .

c Nếu d [I, (∆)] > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung

4 Vị trí tương đối của hai đường tròn (I1, R1) và (I2, R2):

a Nếu |R1− R2| < I1I2< R1+ R2thì hai đường tròn cắt nhau

b Nếu I1I2 = R1+ R2 hoặc I1I2 = |R1− R2| thì hai đường tròn tiếp xúc(trong hoặc ngoài) nhau

c Nếu I1I2 > R1+ R2 hoặc I1I2< |R1− R2| thì hai đường tròn không cóđiểm chung

a3 a1

b3 b1

;

a1 a2

b1 b2

3 Góc giữa hai đường thẳng (d1), (d2):

1 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Cho đường thẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0; (β) : A0x+B0y+C0z+D0= 0 Khi đó:

d, −→u

d 0] ·−−−→

M M0 6= 0 thì d, d

0 chéo nhau

b = z−z0

c

Ax + By + Cz + D = 0

(a) Hệ (I) có vô số nghiệm: d ⊂ (α);

(b) Hệ (I) vô nghiệm: d k (α);

(c) Hệ (I) có nghiệm duy nhất: d ∩ (α) = I

4 Vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α)

a Nếu d[I, (α)] > R thì mặt phẳng (α) và (S) không có điểm chung

b Nếu d[I, (α)] = R thì (α) và (S) tiếp xúc nhau tại J

c Nếu d[I, (α)] < R thì (α) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn,tâm J , bán kính r =pR2− d2[I, (α)]

Chú ý Tọa độ tâm hay tiếp điểm J là hình chiếu của I lên (α)

4 Cho b, d > 0 Nếu ab < cd thì ab < a+cb+d <dc

5 Cho b, c > 0 Nếu ab < 1 thì ab < a+cb+c < 1

Cho n số a1, a2, , an≥ 0, ta có a1+ a2+ + an≥ n√n

a1a2 an

Ký hiệu số phức là z = a + bi, a là phần thực, b là phần ảo.

◦ Số i được gọi là đơn vị ảo;

c) Số phức đối của z = a + bi là −z = −a − bi

d) Phép nhân hai số phức: z.z0 = (aa0− bb0) + (ab0+ a0b)i

◦ Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai đối nhau

◦ Số thực dương a có hai căn bậc hai là√a và −√

a , số thực âm a có haicăn bậc hai là i√

−a và −i√−a

Đặng

2 Cách tìm căn bậc hai của số phức w

Trường hợp 1 w = a là số thực thì tìm căn bậc hai như trên

Trường hợp 2 w = a + bi (b 6= 0) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là căn bậc hai của w

⇔ (x + yi)2= a + bi ⇔



x2− y2= a2xy = bGiải hệ tìm x, y Mỗi nghiệm (x, y) của hệ phương trình cho mộtcăn bậc hai z = x + yi của w

Chú ý Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì |z| =p|w|

3 Phương trình bậc hai

Là phương trình có dạng Az2+ Bz + C = 0 trong đó A, B, C ∈ C , A 6= 0.Cách giải Tính ∆ = B2− 4AC

X Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép z = −2AB

X Nếu ∆ là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm là: z1= −B +√∆

2A trong đó δ là một căn bậc hai của ∆

Chú ý Định lý Viete và Viete đảo vẫn đúng với phương trình bậc hai với hệ sốphức

1 Argument của số phức

Cho số phức z 6= 0, M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn của z Số

đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu là Ox, tia cuối là OM được gọi là

(i) Nếu ϕ là một argument của z thì mọi argument của z có dạng ϕ + k2π(k ∈ Z).

(ii) Hai số phức z và mz (với z 6= 0 và m là số thực dương) có argument sai khác

là k2π, k ∈ Z

2 Dạng lượng giác của số phức

Dạng lượng giác của số phức z = a + bi là:

z = r(cos ϕ + i sin ϕ)trong đó:

(i) r là môđun của số phức z: r =√

3 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) và z0= r0(cos ϕ0+ i sin ϕ0) thì:

z.z0= r.r0[cos(ϕ + ϕ0) + i sin(ϕ + ϕ0)]

z

z0 = r

r0 [cos(ϕ − ϕ0) + i sin(ϕ − ϕ0)]

Công thức Moivre Với n là số nguyên dương:

[r(cos ϕ + i sin ϕ)]n = rn(cos nϕ + i sin nϕ)

4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác

Các căn bậc hai của số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ) (r > 0) là:

√

r cosϕ2 + i sinϕ2

và −√

r cosϕ2 + i sinϕ2

... c)x+bc −b c (a x +b x+c ) 2

11 (um)0= mum−1u0

12  1u

0

2√u

axdx = a

x

ln... quả.

2 Không gian mẫu Tập hợp tất kết phép thử, kí hiệu Ω

3 Biến cố A tập không gian mẫu

4 Tập ∅ biến cố khơng thể, cịn tập Ω gọi biến cố chắn

5 Phép toán biến cố

(a)