Tổng hợp lý thuyết toán lớp 10, 11 và lớp 12 luyện thi đại học

KIẾN THỨC CƠ BẢN 10 - 11 - 12 - LTĐH g n ặ BIÊN SOẠN: THẠC SĨ HỒ HÀ ĐẶNG h T Đ H H S KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Mục lục 10 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1.1 DIỆN TÍCH TAM GIÁC 1.2 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS 1.3 ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN 1.4 CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN 1.5 CÔNG THỨC PHÂN GIÁC LƯỢNG GIÁC 2.1 CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN 2.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN MŨ - LOGARIT 4.1 MŨ 4.2 LOGARIT PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 5.1 CĂN THỨC 5.2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TỔ HỢP - XÁC SUẤT 6.1 HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP 6.2 NHỊ THỨC NEWTON 6.3 XÁC SUẤT HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ HÌNH HỌC OXY HÌNH KHƠNG GIAN OXY Z BẤT ĐẲNG THỨC 10.1 CƠ BẢN 10.2 BĐT CAUCHY Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân g n ặ Đ H H S h T 4 4 4 5 12 12 12 14 14 14 14 14 15 15 16 17 20 23 23 23 ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH 11 Trang 10.3 BĐT B.C.S 10.4 BĐT SCHWATZ SỐ PHỨC 11.1 ĐỊNH NGHĨA 11.2 CÁC PHÉP TOÁN 11.3 CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ 11.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC PHỨC 24 24 24 24 24 25 26 g n ặ Đ H H S h T Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN §1 1.1 LUYỆN THI ĐẠI HỌC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ∆ABC, AB = c; BC = a; CA = b 1 S∆ABC = aha = bhb = chc 2 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B = 2 abc = 4R = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Herong) g n ặ R bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC; r bán kính đường trịn nội tiếp a+b+c ∆ABC; p nửa chu vi; p = 1.2 Đ H H S ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; 1.3 1.4 h T c2 = a2 + b2 − 2ab cos C; ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN a b c = = = 2R sin A sin B sin C CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN m2a = 1.5 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; a2 b2 + c2 − ; m2b = a2 + c2 b2 − ; m2c = a2 + b2 c2 − CÔNG THỨC PHÂN GIÁC ˆ Khi đó: Cho phân giác (và ngồi) AD (và AE) góc A DB EB AB = = DC EC AC Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang Và AD = §2 2.1 AB.AC sin A (AB + AC) sin A2 LƯỢNG GIÁC CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN CƠNG THỨC CƠ BẢN Ta có đẳng thức sau: sin2 x + cos2 x = 1, −1 ≤ sin x, cos x ≤ g n ặ cos x sin x , cot x = , tan x cot x = cos x sin x 1 tan2 x + = , cot2 x + = cos2 x sin2 x tan x = Đ H H S CUNG LIÊN HỆ Cos đối −x x cos(−x) = cos x h sin(−x) = − sin x T tan( π2 − x) = cot x cot( π2 − x) = tan x Nửa pi sin cos chéo trừ sin( π2 tan(−x) = − tan x cot(−x) = − cot x cos( π2 + x) = − sin x Sin bù π − x x tan( π2 + x) = − cot x sin(π − x) = sin x cot( π2 + x) = − tan x cos(π − x) = − cos x tan(π − x) = − tan x cot(π − x) = − cot x Phụ chéo π − x x sin( π2 − x) = cos x cos( π2 − x) = sin x π + x x + x) = cos x Nguyên pi hai đối, hai π + x x sin(π + x) = − sin x cos(π + x) = − cos x tan(π + x) = tan x cot(π + x) = cot x Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, BA sin 3x = sin x − sin3 x sin 2x = sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x cos2 x − = − sin2 x tan 2x = = tan x − tan2 x cos 3x = cos3 x − cos x tan 3x = tan x − tan3 x − tan2 x CÔNG THỨC HẠ BẬC − cos 2x + cos 2x cos2 x = − cos 2x tan2 x = + cos 2x sin x − sin 3x sin3 x = cos 3x + cos x cos3 x = Biểu diễn theo t = tan sin2 x = sin x = x g n ặ 2t + t2 Đ H H S h T cos x = − t2 + t2 tan x = 2t − t2 CÔNG THỨC CỘNG sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tan(x − y) = sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y Hệ cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y tan x − tan y + tan x tan y cos(x−y) = cos x cos y +sin x sin y sin √ x + cos xπ = cos(x − ) tan x + tan y tan(x + y) = − tan x tan y sin√x − cos x = − cos(x + π4 ) √ √ sin(x + π 4) = sin(x − π 4) = CƠNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH cos x + cos y = cos x+y cos x−y Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang x+y 2 cos x − cos y = −2 sin sin x−y sin x + sin y = sin x+y cos x−y sin x − sin y = cos x+y sin x−y CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG cos x cos y = [cos(x + y) + cos(x − y)] sin x sin y = [cos(x − y) − cos(x + y)] sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] 2.2 g n ặ Đ H H S PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT sin u = sin v ⇔ u = v + k2π (k ∈ Z) u = π − v + k2π h cos u = cos v ⇔ T u = v + k2π (k ∈ Z) u = −v + k2π tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) v = π2 + kπ cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (k ∈ Z) v = kπ Một số trường hợp đặc biệt: sin u = ⇔ u = π + k2π (k ∈ Z) cos u = ⇔ u = k2π (k ∈ Z) sin u = −1 ⇔ u = − π2 + k2π (k ∈ Z) cos u = −1 ⇔ u = π+k2π (k ∈ Z) sin u = ⇔ u = kπ (k ∈ Z) cos u = ⇔ u = Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân π + kπ (k ∈ Z) ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI a sin2 x + b sin x + c = (a =0) Đặt t = sin x (với |t| 1) Ta có phương trình: at2 + bt + c = Giải phương trình chọn nghiệm t thỏa |t| Giải phương trình sin x = t a cos2 x + b cos x + c = ( a = 0) Đặt t = cos x (với |t| cos x = t a tan2 x + b tan x + c = t) 1.) Giải PT (a = 0) Đặt t = tan x (khơng có điều kiện a cot2 x + b cot x + c = (a = 0) Đặt t = tan x (khơng có điều kiện t) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COS a sin x + b cos x = c a, b = (1) √ Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 , ta được: √ a sin x + √a2b+b2 cos x = √a2c+b2 a2 +b2 √ a + a2 +b2 a sin α = √a2 +b2 cos α = √a2b+b2 Vì g n ặ Đ H H S √ b a2 +b2 = nên tồn góc α ∈ [0, 2π) thỏa: Khi (1) có dạng : sin α sin x + cos α cos x = √a2c+b2 ⇔ cos(x − α) = √a2c+b2 phương trình h Điều kiện có nghiệm T √ |c| a2 +b2 ⇔ a2 + b2 c2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN COS Dạng: a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = (1) a(sin u − cos u) + b sin u cos u + c = (2) Cách giải a Với phương trình (1): a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = √ √ π Đặt t = sin u + cos u = sin u + |t| ≤ ⇒ t2 = (sin u + cos u) t −1 ⇔ t2 = + sin u cos u ⇔ sin u cos u = t2 − Thay sin u + cos u = t, sin u cos u = vào (1) ta phương trình bậc hai theo t Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang Tìm t, đưa phương trình √ sin u + π = t b Với phương trình (2): a(sin u − cos u) + b sin u cos u + c = √ π , giải tương tự trường hợp Đặt t = sin u − cos u = sin u − PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI Dạng rút gọn: a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d (a, b, c = 0) (1) Cách giải π cos u = ⇔ u = + kπ, k ∈ Z (⇔ sin u = ±1) thay vào lại phương trình xem có thỏa khơng? π cos u = ⇔ u = + kπ, k ∈ Z: chia hai vế phương trình cho cos2 u ta d được: a tan2 u + b tan u + c = cos2 u ⇔ a tan2 u + b tan u + c = d + tan2 u ⇔ (a − d) tan2 u + b tan u + c − d = phương trình bậc hai theo tan u g n ặ §3 Đ H H S ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN ĐẠO HÀM h (C) = với C số T ax + b cx + d (xm ) = mxm−1 x =− x 10 √ ( x) = √ x = = (sin x) = cos x (cos x) = − sin x = + tan2 x cos2 x −1 (cotx) = = − + cot2 x sin2 x (tan x) = = ad − bc (cx + d) ax2 + bx + c a x2 + b x + c a a b x2 +2 a a b c c x+ b b c c (a x2 +b x+c )2 (ab −a b)x2 +2(ac −a c)x+bc −b c (a x2 +b x+c )2 11 (um ) = mum−1 u 12 u =− u u2 √ u 13 ( u) = √ u Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 (sin u) = u cos u 18 (u + v + w) = u + v + w 15 (cos u) = −u sin u u 16 (tan u) = = u (1 + tan2 u) cos2 u −u = 17 (cot u) = sin2 u −u + cot u 19 (au) = a.u ( a số ) 20 (u.v) = u v + u.v 21 u v = uv−v u v2 NGUYÊN HÀM CƠ BẢN MỞ RỘNG kdx = k.x + C xn dx = xn+1 +C n+1 n+1 (ax + b) n (ax + b) dx = +C a n+1 g n ặ Đ H H S dx = ln |x| + C x 1 dx = ln |ax + b| + C (ax + b) a 1 dx = − + C x x 1 dx = − a(ax + b) + C (ax + b) h T 1 dx = − + C (n = 1) n x (n − 1)xn−1 −1 n dx = n−1 + C (ax + b) a(n − 1)(ax + b) sin x.dx = − cos x + C sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C a cos x.dx = sin x + C cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang 13 (b) loga ab = b, ∀b ∈ R (c) aloga b = b, ∀b ∈ R, b > (d) Ký hiệu y = ln x để hàm số lôgarit số e (e) Ký hiệu y = log x (hoặc lg x) để hàm số lơgarit số 10 Các quy tắc tính lơgarit Cho < a = b, c > loga (b.c) = loga b + loga c loga b c = loga b − loga c loga bα = αloga b (α ∈ R) g n ặ Cho < a = b > n số nguyên dương loga 1b = −loga b √ n loga b = loga b n Đ H H S Công thức đổi số logb c = loga c hay loga b.logb c = loga c loga b hay loga b.logb a = logb a h T loga b = logaα c = log c α a So sánh hai logarit số Cho < a = b, c > a > : loga b > loga c ⇔ b > c < a < : loga b > loga c ⇔ b < c Cho < a = b, c > a > 1, b > ⇒ loga b > a < 1, b < a > 1, b < ⇒ loga b < a < 1, b > Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN §5 LUYỆN THI ĐẠI HỌC PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 5.1 5.2 CĂN THỨC √ √ √ B≥0 A = B2 A=B⇔ A= A> √ √ B≥0 A=B B⇔ B(≥) ⇔   B > 0(≥) A≥0 A < B(≤) ⇔  A < B (≤)  B B ⇔   B≥0 A > B (≥) √ B≥0 A > B(≥) g n ặ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Đ H H S A=B A = −B |A| = |B| ⇔ )   B≥0 A=B |A| = B ⇔  A = −B h |A| > |B| (≥) ⇔ A2 > B (≥) ⇔ (A − B)(A + B) > 0(≥) T 6.1 §6 |A| < B(≤) ⇔ −B < A < B(≤ ⇔ A < B(≤) A > −B(≥) |A| > B(≥) ⇔ A > B(≥) A < −B(≤) TỔ HỢP - XÁC SUẤT HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP Hốn vị Kí hiệu số hốn vị n phần tử Pn Pn = n! = 1.2.3.4 (n − 2).(n − 1).n (a) Quy ước: 0! = 1; 1! = (b) Chú ý: n! = (n − 1)!n = (n − 2)!(n − 1)n Chỉnh hợp Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Akn Akn = n! (n−k)! , 0≤k≤n Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 15 Tổ hợp Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cnk Cnk = n! 0≤k≤n (n−k)!k! , (a) Chú ý: Akn = k!Cnk (b) Các hệ thức số Cnk : Cnk = Cnn−k k−1 k Cn−1 + Cn−1 = Cnk (1 ≤ k ≤ n) 6.2 (0 ≤ k ≤ n) NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton (a + b) n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 + + Cnn−1 a1 bn−1 + Cnn bn n Cnk an−k bk = g n ặ (1) k=0 Đ H H S n Hệ Với a = b = 1, ta có: = a = 1, b = −1, ta có: 2n = Cn0 − Cn1 + − Cn0 + Cn1 + + Cnn−1 + (−1)n Cnn Cnn−1 + Cnn Với Chú ý Trong biểu thức vế trái công thức (1) (a) Số hạng tử (n + 1); (b) Số hạng (hạng tử) thứ (k + 1) Tk+1 = Cnn−k an−k bk , 6.3 k = 0, 1, 2, , n h T XÁC SUẤT PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ Phép thử Phép thử ngẫu nhiên hành động khơng đốn trước kết Không gian mẫu Tập hợp tất kết phép thử, kí hiệu Ω Biến cố A tập không gian mẫu Tập ∅ biến cố không thể, tập Ω gọi biến cố chắn Phép toán biến cố (a) Ω\A biến cố đối A, kí hiệu A (b) A ∪ B gọi hợp biến cố A B (c) A ∩ B gọi giao biến cố A B Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC (d) A ∩ B = ∅ A B xung khắc Chú ý (a) A ∪ B (A + B) xảy A B xảy (b) A ∩ B (A.B) xảy A B đồng thời xảy (c) A B xung khắc chúng không xảy XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Định nghĩa xác suất Giả sử A biến cố không gian mẫu Ω Xác suất n(A) biến cố A, cho bởi: P (A) = n(Ω) n(A) số phần tử A; n(Ω) phần tử Ω g n ặ Tính chất xác suất ≤ P (A) ≤ với biến cố A Đ H H S (a) P (∅) = 0; P (Ω) = 1, (b) Nếu A B xung khắc P (A ∪ B) = P (A) + P (B) (c) Với biến cố A ta có: P A = − P (A) (d) Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất A B hai biến cố độc lập P (AB) = P (A).P (B) h T §7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab; a2 − b2 = (a − b)(a + b) (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 ; a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 ); a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b); a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 ; (a ± b)n = an ± Cn1 an−1 b + + (−1)n−1 Cnn−1 abn−1 + (−1)n Cnn bn (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b − c) = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 17 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca 2 = 12 (a − b) + (b − c) + (c − a) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca §8 HÌNH HỌC OXY Vectơ → − − Cho A(xA ; yA ); B(xB ; yB ); C(xC ; yC ); → a = (a1 ; a2 ); b = (b1 ; b2 ) −−→ AB = (xB − xA ; yB − yA ) AB = g n ặ (xB − xA ) + (yB − yA ) I làtrung điểm AB  xI = xA + xB ⇔  y = yA + yB I Đ H H S G tam giác ABC  trọng tâm  xG = xA + xB + xC ⇔  y = yA + yB + yC G → − → − a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ) → − − → a · b = a1 b1 + a2 b2 h T − |→ a | = a21 + a22 → − → − − − → a⊥b ⇔→ a · b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 = − k → a = (ka1 ; ka2 ) → − a1 a2 − 10 → a phương b ⇔ = ⇔ a1 b2 − a2 b1 = b1 b2 → − − 11 → a = b ⇔ a = b1 a = b2 → − 12 Trục Ox có VTCP vectơ đơn vị i = (1; 0), trục Oy có VTCP vectơ → − đơn vị j = (0; 1) Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Phương trình đường thẳng − Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → u = (a; b) làm VTCP có dạng: x = x0 + at (d) (t ∈ R) y = y0 + bt − Phương trình tắc đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → u = (a; b) làm VTCP có dạng: (d) x−x0 a = y−y0 b − Phương trình tổng quát đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận → n = (A; B) làm VTPT có dạng: (d) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = g n ặ Phương trình đoạn chắn đường thẳng (d) qua điểm A(a; 0) ∈ Ox; B(0; b) ∈ Oy có dạng: (d) x a + y b Đ H H S =1 Góc hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) xác định công thức − − |→ u d1 → u d2 | − − √2 b22 | với → u d1 = (a1 ; a2 ); → u d2 = (b1 ; b2 ) cos(d1 ; d2 ) = |→ = √ |a21 b1 2+a − − u d ||→ ud | a1 +a2 b1 +b2 cặp vecto phương (hoặc pháp tuyến) Khoảng cách h T a Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + By + C = xác định công thức: +By0 +C| d [M, (∆)] = |Ax√0A +B Phương trình đường trịn 2 Phương trình tắc: (x − a) + (y − b) = R2 Trong I(a; b) tọa độ tâm, R bán kính Phương trình√ khai triển: x2 + y − 2ax − 2by + c = Trong I(a; b) tọa độ tâm, R = a2 + b2 − c bán kính Vị trí tương đối Vị trí tương đối điểm đường thẳng: Điểm M ∈ (d) tọa độ điểm M thỏa phương trình đường thẳng (d) Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang 19 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho đường thẳng d : Ax + By + C = 0; a d A A ⇔ AA d ⇔ b d ≡ d d : A x + B y + C = Khi đó: B C B = C ; = BB = CC ; ⇔ AA = BB ; tọa = c d ∩ d = I độ giao điểm I nghiệm hệ hai phương Ax + By + C = trình: Ax+B y+C =0 Vị trí tương đối đường thẳng d : Ax + By + C = với đường tròn (C) : x2 + y − 2ax − 2by + c = 0: a Nếu d [I, (∆)] < R đường thẳng cắt đường trịn b Nếu d [I, (∆)] = R đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Tiếp điểm hay giao điểm nghiệm hệ phương trình: Ax + By + C = x2 + y − 2ax − 2by + c = g n ặ Đ H H S c Nếu d [I, (∆)] > R đường thẳng đường trịn khơng có điểm chung Vị trí tương đối hai đường tròn (I1 , R1 ) (I2 , R2 ): a Nếu |R1 − R2 | < I1 I2 < R1 + R2 hai đường trịn cắt b Nếu I1 I2 = R1 + R2 I1 I2 = |R1 − R2 | hai đường trịn tiếp xúc (trong ngoài) h T c Nếu I1 I2 > R1 + R2 I1 I2 < |R1 − R2 | hai đường trịn khơng có điểm chung Phương trình Elip Dạng tắc: (E) : x2 y2 + = 1, với a > b > a2 = b2 + c2 : a2 b2 2a độ dài trục lớn, 2b độ dài trục bé, 2c tiêu cự Tâm sai: e = c a < 1; Đỉnh A1 (−a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, −b), B2 (0, b); đỉnh tạo thành hình chữ nhật sở có phương trình cạnh: x = ±b; y = ±a; Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Tiêu điểm F1 (−c, 0), F2 (c, 0); Gọi M (xM , yM ) ∈ (E) , bán kính qua tiêu: M F1 = a + exM ; M F2 = a − exM ; §9 HÌNH KHƠNG GIAN OXY Z Vectơ − Cho A(xA ; yA , zA ); B(xB ; yB , zB ); C(xC ; yC , zC ); → a (b1 ; b2 ; b3 ) = → − (a1 ; a2 ; a3 ); b = −−→ AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA ) AB = 2 (xB − xA ) + (yB − yA ) + (zB − zA ) g n ặ Đ H H S I làtrung điểm AB xA + xB   xI =   yA + yB ⇔ yI =     z = zA + zB I G tam giác ABC  trọng tâm xA + xB + xC   xG =   yA + yB + yC ⇔ yG =     z = zA + zB + zC G → − − → a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) h T → − − → a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 − |→ a|= a21 + a22 + a23 → − → − − − → a⊥b ⇔→ a · b = ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = − k → a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) → − a1 a2 a3 − 10 → a phương b ⇔ = = b1 b2 b3 Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang 21   a1 = b1 → − − a2 = b2 11 → a = b ⇔  a3 = b3 → − → − 12 Trục Ox, Oy, Oz có VTCP vectơ đơn vị i = (1; 0; 0), j = → − (0; 1; 0), k = (0; 0; 1) 13 Tích có hướng: → − a2 a3 a3 a1 a1 a2 − [→ a, b]= ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) → − − − [→ a, b]⊥→ a 14 → − → − → − [a, b]⊥ b → − → − → − − − 15 → a phương b ⇔ [→ a, b]= Phương trình đường thẳng g n ặ Đ H H S − Phương trình tham số đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận → u = (a; b; c) làm VTCP có dạng:   x = x0 + at y = y0 + bt (t ∈ R) (d)  z = z0 + ct h T − Phương trình tắc đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận → u = (a; b; c) làm VTCP có dạng: (d) y − y0 z − z0 x − x0 = = a b c Góc hai đường thẳng (d1 ), (d2 ): − − |→ u d1 → u d2 | cos(d1 ; d2 ) = → − − | u d1 ||→ u d2 | |a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 | = a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 Phương trình mặt phẳng − Phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận → n = (A; B; C) làm VTPT có dạng: (d) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (α) qua điểm A(a; 0; 0) ∈ Ox; B(0; b; 0) ∈ Oy; C(0, 0, c) ∈ Oz có dạng: x y z (α) + + =1 a b c Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 , z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax+By +Cz +D = xác định công thức: |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ d [M, (α)] = A2 + B + C Phương trình mặt cầu 2 Phương trình tắc: (x − a) +(y − b) +(z−c)2 = R2 Trong I(a; b; c) tọa độ tâm, R bán kính 2 Phương trình khai triển: √ x + y − 2ax − 2by − 2cz + d = Trong I(a; b; c) tọa độ tâm, R = a2 + b2 + c2 − d bán kính g n ặ Vị trí tương đối Đ H H S Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho đường thẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0; Khi đó: a (α) A A ⇔ AA (β) ⇔ b (α) ≡ (β) h c (α) ∩ (β) = d mặt phẳng T B C D B = C = D ; D = BB = CC = D ; ⇔ AA = BB ∨ BB = CC (β) : A x+B y+C z+D = = ; (d) gọi giao tuyến − Vị trí tương đối đường thẳng d qua M (x0 , y0 , z0 ) VTCP → ud = → − (a, b, c); d qua M (x0 , y0 , z0 ) VTCP u d = (a , b , c ); → − − − [→ u d, → ud ] = a Nếu −−−→ → d ≡ d ; → − [M M , − u d] = → − − − [→ u d, → ud ] = b Nếu −−−→ → d d ; → − [M M , − u d] = → − − − [→ u d, → ud ]= c Nếu → d ∩ d = I; − − −→ − [− u d, → u d ] · MM = → − − − [→ u d, → ud ]= d Nếu → d, d chéo −−−→ − [− u d, → u d ] · MM = Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TỐN 6-12-LTĐH Trang 23 Vị trí tương đối đường thẳng d : (α) : Ax + By + Cz + D = 0: x−x0 a = y−y0 b z−z0 c = mặt phẳng x−x0 0 = y−y = z−z a b c Xét HPT: Ax + By + Cz + D =  y−y0 x−x0   a = b y−y0 z−z0 ⇔ (I) = c b   Ax + By + Cz + D = (a) Hệ (I) có vơ số nghiệm: d ⊂ (α); (b) Hệ (I) vô nghiệm: d (α); (c) Hệ (I) có nghiệm nhất: d ∩ (α) = I Vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (α) g n ặ a Nếu d[I, (α)] > R mặt phẳng (α) (S) khơng có điểm chung Đ H H S b Nếu d[I, (α)] = R (α) (S) tiếp xúc J c Nếu d[I, (α)] < R (α) (S) cắt theo giao tuyến đường trịn, tâm J, bán kính r = R2 − d2 [I, (α)] Chú ý Tọa độ tâm hay tiếp điểm J hình chiếu I lên (α) §10 10.1 BẤT ĐẲNG THỨC h T CƠ BẢN a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca am+n + bm+n ≥ am bn + an bm , a2 − ab + b2 ≥ 2 a + ab + b Cho b, d > Nếu a b < Cho b, c > Nếu a b < 10.2 (a, b > 0; m, n ∈ N ) c d a b a b < < a+c b+d a+c b+c < c d a2 an a1 = = = =s Dấu xảy x1 x2 xn 1 n Hệ quả: + + + ≥ , ∀x1 , x2 , , xn > x1 x2 xn x1 + x2 + + xn §11 11.1 SỐ PHỨC g n ặ Đ H H S ĐỊNH NGHĨA Một số phức có dạng a + bi với a, b ∈ R i số thoả i2 = −1 Ký hiệu số phức z = a + bi, a phần thực, b phần ảo h T ◦ Số i gọi đơn vị ảo; ◦ Số thực a số phức có phần ảo 0: z = a + 0i = a ∈ R; ◦ Số phức có phần thực gọi số ảo: z = + bi = bi; ◦ Số phức = + 0i (cũng số thực 0) ◦ Mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M (a, b) mặt phẳng toạ độ (gọi mặt phẳng phức) ◦ Số phức nhau: a + bi = c + di ⇔ 11.2 a=c b=d CÁC PHÉP TOÁN Cho z = a + bi, z = a + b i a) Tổng hai số phức: z + z = (a + a ) + (b + b )i Tính chất Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 25 ∀z, z ∈ C (i) z + z = z + z (ii) z + = z ∀z ∈ C b) Phép trừ hai số phức: z − z = a − a + (b − b )i c) Số phức đối z = a + bi −z = −a − bi d) Phép nhân hai số phức: z.z = (aa − bb ) + (ab + a b)i Tính chất (i) zz = z z ∀z, z ∈ C (ii) z.1 = 1.z = z ∀z ∈ C e) Số phức liên hợp z = a + bi số phức z¯ = a − bi, kí hiệu z Tính chất (i) z + z = z + z (ii) z.z = z.z (iii) z z = z z (iv) z.z = a2 + b2 f) Môđun số phức z = a + bi số thực không âm Ta có, √ √ |z| = z.z = a2 + b2 g n ặ √ Đ H H S a2 + b2 , kí hiệu |z| hay z −1 : z b − a2 +b 2i g) Số nghịch đảo số phức z khác số z −1 = z = z.z z = a2 +b2 z = a a2 +b2 h) Phép chia số phức: Phép chia số phức z cho số phức z = tích z với số phức nghịch đảo z: z −1 = z|z|.z2 = zz.z.z z = z z 11.3 h T CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC Định nghĩa Cho số phức w , số phức z thoả mãn z = w gọi bậc hai w Tính chất ◦ Số có bậc hai ◦ Mỗi số phức khác có hai bậc hai đối √ √ ◦ Số thực dương a√có hai căn√bậc hai a − a , số thực âm a có hai bậc hai i −a −i −a Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Cách tìm bậc hai số phức w Trường hợp w = a số thực tìm bậc hai Trường hợp w = a + bi (b = 0) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) bậc hai w ⇔ (x + yi) = a + bi ⇔ x2 − y = a 2xy = b Giải hệ tìm x, y Mỗi nghiệm (x, y) hệ phương trình cho bậc hai z = x + yi w |w| Chú ý Nếu z bậc hai số phức w |z| = Phương trình bậc hai g n ặ Là phương trình có dạng Az + Bz + C = A, B, C ∈ C , A = Cách giải Tính ∆ = B − 4AC B Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép z = − 2A Đ H H S √ −B + ∆ ; Nếu ∆ số thực dương phương trình có hai nghiệm là: z1 = 2A √ −B − ∆ z2 = 2A √ −B + i −∆ Nếu ∆ số thực âm phương trình có hai nghiệm : z1 = ; 2A √ −B − i −∆ z2 = 2A −B + δ Nếu ∆ số phức phương trình có hai nghiệm là: z1 = ; z1 = 2A −B − δ δ bậc hai ∆ 2A h T Chú ý Định lý Viete Viete đảo với phương trình bậc hai với hệ số phức 11.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Argument số phức Cho số phức z = 0, M điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn z Số đo (radian) góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM gọi Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6-12-LTĐH Trang 27 argument z Tức là: argument(z) = (Ox, OM ) Chú ý (i) Nếu ϕ argument z argument z có dạng ϕ + k2π (k ∈ Z) (ii) Hai số phức z mz (với z = m số thực dương) có argument sai khác k2π, k ∈ Z Dạng lượng giác số phức Dạng lượng giác số phức z = a + bi là: g n ặ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Đ H H S đó: (i) r mơđun số phức z: r = √ a2 + b2 (ii) ϕ argument số phức z thoả: cos ϕ = ar sin ϕ = rb h T Nhân, chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) thì: z.z = r.r [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] z r = [cos(ϕ − ϕ ) + i sin(ϕ − ϕ )] z r Công thức Moivre Với n số nguyên dương: n [r(cos ϕ + i sin ϕ)] = rn (cos nϕ + i sin nϕ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác z = √ Các ϕcăn bậcϕ hai của√ số phức r cos + i sin − r cos ϕ2 + i sin ϕ2 r(cos ϕ + i sin ϕ) (r Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân > 0) là: ĐT: 0987 536 210 ... c)x+bc −b c (a x2 +b x+c )2 11 (um ) = mum−1 u 12 u =− u u2 √ u 13 ( u) = √ u Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 14 (sin u) = u cos... Chỉnh hợp Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử Akn Akn = n! (n−k)! , 0≤k≤n Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 TOÁN 6 -12- LTĐH Trang 15 Tổ hợp Nếu kí hiệu số tổ hợp. .. i −a −i −a Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân ĐT: 0987 536 210 KIẾN THỨC CƠ BẢN LUYỆN THI ĐẠI HỌC Cách tìm bậc hai số phức w Trường hợp w = a số thực tìm bậc hai Trường hợp w = a +