Tổng hợp lý thuyết môn toán giải tích 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu định K K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số ta có: ( ) y=f x • ( ) y=f x Hàm số gọi đồng biến (tăng) ( ) K xác nếu: ( ) ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2 ( ) y=f x • Hàm số gọi nghịch biến (giảm) ( ) ( ) K nếu: ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến * Nhận xét: • • • • gọi chung đơn điệu ⇔ ( ) f x • K x2 − x1 ( ) ( ) ( ) Nếu ( ) > 0 ∀x1, x2 ∈ K , x1 ≠ x2 f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ ( ) ( ) f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒ Nếu ( ) Nếu ( ) Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x hàm số ( ) nghịch biến khoảng f x hàm số đồng biến khoảng không đổi khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) f x • ( ) Hàm số đồng biến K Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải f x2 − f x1 ⇔ < 0 ∀x1, x2 ∈ K , x1 ≠ x2 f x x2 − x1 Hàm số nghịch biến K Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒ f x a;b Nếu hàm số đồng biến khoảng f x • ( ) f x2 − f x1 K nghịch biến khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page ( a;b) ( a;b) TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Nếu thay đởi khoảng ( a;b) mợt đoạn nửa khoảng phải ( ) f x bổ sung thêm giả thiết “hàm số khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm ( ) ( ) liên tục đoạn hoặc nửa u = u x ; v = v x ;C : Quy tắc tính đạo hàm: Cho ′ u ± v = u′ ± v′ • Tổng, hiệu: ′ ′ uv = u′.v + v′.u ⇒ C u = C u′ • Tích: ( ) ( ) ( )  u  u′.v − v′.u  C ′ C u′ = , v ≠ ⇒ = − ữ ữ v2 u2 v u ( Thương: số ) ( ) ( ) y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ ux′ • Đạo hàm hàm hợp: Nếu 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp ′ ′ C =0 xα = α xα −1 (C số) ′ ′ xα = α xα −1 uα = α uα −1.u′ ( ) ( ) ( ) ( )  ′  ÷ = − (x ≠ 0) x x  ′ u′  ÷ =− u ≠ u u ( x ) ′ = 21x ( x > 0) ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) ( sinx) ′ = cosx ( sinu) ′ = u′.cosu ( cosx) ′ = − sin x ( cosu) ′ = −u′.sinu ( tan x) ′ = cos1 x ( tanu) ′ = cosu u ( cot x) ′ = − sin1 x ( cot u) ′ = − sinu u 2 ( ) ′ ′ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 ( e ) ′ =e x ( e ) ′ = u′.e x u u ( a ) ′ = a lna ( a ) ′ = u′.a lna ( ln x ) ′ = x1 ( ln u ) ′ = uu′ ( log x ) ′ = xln1 a u′ ( log u ) ′ = u.ln a x x u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax + b ′ ad − bc  ÷ =  cx + d  cx + d ( • ) a b x2 + a c x+ d f  ax2 + bx + c ′ d e =  ÷  dx + ex + f  dx2 + ex + f ( • ) b c e f 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa ′ f ′′ ( x) =  f ′ ( x)  1.5.2 Ý nghĩa học () s=f t Gia tốc tức thời chuyển động 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý: ( n) ( ) n −1 Nếu hàm số ( ) ( ) ( ) là: gx ( ) đồng biến (nghịch biến) f x +g x số ( ) a t0 = f ′′ t0 ′ ( x) =  f ( ) ( x)  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2) f x • thời điểm t0 đồng biến (nghịch biến) ( ) K K hàm Tính chất có ( ) f x −g x • thể khơng hiệu f x gx Nếu hàm số hàm số dương đồng biến ( ) (nghịch biến) ( ) K ( ) ( ) f x g x hàm số đồng biến (nghịch Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 biến) K Tính chất khơng hàm số ( ) ( ) f x ,g x • K khơng hàm số dương u=u x x ∈ a;b Cho hàm số , xác định với ( ) ( ) ( ) f u( x)  ( ) u=u x Giả sử hàm số ( ) x ∈ a;b đồng biến với ( ) ( ) x ∈ a;b ⇔ f u đồng biến với ( ) đồng biến với u=u x • Hàm số x ∈ a;b xác định với Ta có nhận xét sau: • ( ) ( ) u x ∈ c;d Giả sử hàm số ( ) nghịch biến với x∈ ( a; b) ⇔ f ( u) f u x  nghịch biến với Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm ( ) f' x ≥0 với x∈K Khi đó, hàm số u∈ ( c; d) x ∈ ( a; b) Khi đó, hàm số ( ) u ∈ c;d nghịch biến với ( ) f' x =0 • Nếu • f x∈ K K hạn điểm hàm số đồng biến f' x ≤0 f' x =0 x∈K Nếu với một số hữu ( ) hạn điểm một số hữu ( ) x∈K hàm số f nghịch biến K Chú ý: y= * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y′ dấu đạo hàm không xảy ( ) ax + b  d x ≠ − ÷ cx + d  c dấu "= " xét ( ) y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c Giả sử Hàm số đồng biến ¡ f u( x)  Hàm số nghịch biến ¡ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =  c>0    a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =  c ⇔ a ≠ ( *) Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài ( ⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2 Bước 4: Giải ( *) giao với ) − 4x1x2 = l ⇔ S2 − 4P = l ( * *) l ( * *) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa f Giả sử hàm số • x0 x0 xác định tập K x0 ∈ K điểm cực tiểu hàm số cho ( a;b) ⊂ K ( ) f Ta nói: tồn mợt khoảng ( ) ( ) { } f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 Khi ( a;b) f ( x0 ) f gọi giá trị cực tiểu hàm số Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page chứa TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • x0 x0 • • • • • điểm cực đại hàm số ( a;b) ⊂ K cho ( ) f tồn một khoảng ( ) ( ) { } f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 ( a;b) ( ) chứa f x0 Khi f gọi giá trị cực đại hàm số Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải một điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Nếu x0 ( x ;f ( x ) ) điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm f cực trị đồ thị hàm số * Nhận xét: ( ) f x0 • Giá trị cực đại (cực tiểu) (nhỏ nhất) hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn tập D; f nhất) hàm số khác x0 ( ) f x0 một khoảng ( a;b) giá trị lớn (nhỏ chứa • ( ) Giả sử hàm số ( ) đạt cực trị điểm x0 ( ) y=f x Khi đó, có đạo hàm ( ) f ′ x0 = Chú ý: • giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số khoảng f K Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập Hàm số khơng có cực trị một tập cho trước y=f x điểm x0 ( a;b) f 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: x0 hay nói cách điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa f x0 cho x0 Đạo hàm f ′ ( x) cực trị điểm x0 điểm x0 hàm số f không đạt Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • • Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x0 f f Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = ( ) f′ x > • Nếu • (x khoảng − h;x0 ) ( ) f′ x < ( x ;x khoảng +h ) ( ) f x x0 một điểm cực đại hàm số f′ x < x0 − h;x0 f′ x > ( x0; x0 + h) Nếu khoảng khoảng ( ) x0 ( ) ( ) ( ) f x một điểm cực tiểu hàm số 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: ( ) f′ x • • • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi Bước 2: Tìm điểm mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f′ x f′ x Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Nếu đổi ( ) dấu qua Định lí 3: ( i = 1;2; ) ( ) xi hàm số đạt cực trị y=f x Giả sử có đạo hàm cấp khoảng ( ) ( ) f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < • Nếu (x ( ) xi − h;x0 + h ) với f hàm số f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > đạt cực đại f Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • ( ) h > Khi đó: x0 x0 ( ) f′ x • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm Sưu tầm biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 xi ( i = 1;2; ) Bước 2: Tìm nghiệm phương trình f ′′ x f ′′ xi • Bước 3: Tính tính f ′′ xi < xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực đại điểm f ′′ xi > xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm • ( ) ( ) f ′ x = ( ) ( ) ( ) MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: ( ) y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số x1, x2 K có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước? Phương pháp: • Bước 1: D =¡ ∗ Tập xác định: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C ∗ Đạo hàm: • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) ⇔ y′ = y′ có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt A = 3a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈ D1  2 ∆y′ = B − 4AC = 4b − 12ac > b − 3ac > • • Bước 3: x1, x2 y′ = Gọi hai nghiệm phương trình  B 2b x1 + x2 = − = − A 3a  C c x x = =  A 3a Khi đó: Bước 4: K S P Biến đổi điều kiện dạng tởng tích Từ giải tìm Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 m ∈ D2 được Bước 5: • Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 ( ) y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ * Chú ý: Hàm số bậc ba: y ' = 3ax2 + 2bx + c Ta có: Điều kiện   b2 − 3ac ≤ Kết ḷn Hàm số khơng có cực trị b2 − 3ac > Hàm số có hai điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ AC = 3ac < ⇔ ac <  Hàm số có hai cực trị dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ∆y′ >  ⇔ C >0 P = x1.x2 =  A  Hàm số có hai cực trị dấu dương y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  ∆y′ >  B ⇔ S = x1 + x2 = − > A  C P = x x = >0  A  Hàm số có hai cực trị dấu âm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  ∆y ' >  B ⇔ S = x1 + x2 = − < A  C P = x x = >0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 10 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb cosa tan(a ± b) = tana ± tanb mtana.tanb 5.3.1.2 Công thức nhân đôi − tan2 a cos2a = cos a – sin a = 2cos a – = 1– 2sin a = + tan2 a 2 sin2a = 2sina.cosa = 2tana + tan2 a ; tan2a = ; cos3α = 4cos α − 3cosα 2tana − tan2 a sin3α = 3sin α − 4sin3 α 5.3.1.3 Công thức hạ bậc ; ; − cos2a + cos2a − cos2a sin2 a = cos2 a = tan2 a = 2 + cos2a 3sinα − sin3α sin3 α = ; cos3 α = cos3α + 3cosα t 5.3.1.4 Cơng thức tính theo Với Thì ; ; 2t 2t a − t2 sina = tana = t = tan cosa = 2 1+ t − t2 1+ t 5.3.1.5 Cơng thức biến đởi tích thành tởng  cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 sinα sin β = cos(α − β ) − cos(α + β ) sinα cos β = sin(α + β ) + sin(α − β ) cosα cos β = 5.3.1.6 Công thức biến đổi tổng thành tích Sưu tầm biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 52 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 α +β α −β cos 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin sin 2 α+β α −β sinα + sin β = 2sin cos 2 α+β α−β sinα − sin β = 2cos sin 2 sin(α + β ) tanα + tan β = cosα cos β sin(α − β ) tanα − tan β = cosα cos β Công thức thường dùng: + cos4α cos4 α + sin4 α = + 3cos4α 6 cos α + sin α = Hệ quả:   π π cosα + sinα = 2cos α − ÷ = 2sin  α + ÷ 4 4     π π cosα − sinα = 2cos α + ÷ = − 2sin  α − ÷ 4 4   cosα + cos β = 2cos 5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác • Nếu gặp ta đặt t = sin x b I = ∫ f ( sin x) cos xdx a • Nếu gặp dạng ta đặt b I = ∫ f ( cos x) sin xdx t = cos x a • Nếu gặp dạng b I = ∫ f ( tan x) a • Nếu gặp dạng b dx cos2 x dx I = ∫ f ( cot x) sin2 x a ta đặt ta đặt t = tan x t = cot x 5.3.2.1 Dạng I1 = n n ( ) ( ) sinx dx ; I cosx dx 2∫ ∫ * Phương pháp n • Nếu chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc n =3 • Nếu sử dụng cơng thức hạ bậc biến đổi (n = p +1) 3n • Nếu lẻ thực biến đổi: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 53 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 I1 = ∫ ( sinx ) dx = ∫ ( sinx ) n 2p+1 dx = ∫ ( sin x ) 2p sin xdx = − ∫ ( − cos2 x ) d ( cosx ) p k p k p   = − ∫ C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cosx ) k p   ( −1) k ( −1) p 2k+1 2p+1 1 ( )  +c = − C p cosx − C p cos x + + C p cosx + + C p ( cosx ) 2k + 2p +   I2 = ∫ ( cosx ) n dx = ∫ ( cosx ) 2p+1 dx = ∫ ( cosx ) 2p cosxdx = ∫ ( − sin x ) p d ( sin x ) k p k p   = ∫ C p0 − C p1 sin2 x + + ( −1) C pk ( sin2 x ) + + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) k p   ( −1) k ( −1) p 2k+1 2p+1 1  +c = C p sin x − C p sin x + + C p ( sin x ) + + C p ( sin x ) 2k + 2p +   5.3.2.2 Dạng I = ò sin m x cos n xdx * Phương pháp • Trường hợp 1: a Nếu m số nguyên n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng ( n = p +1) m n b Nếu chẵn, lẻ biến đổi: I= chẵn, m, n ( m, n Ỵ N ) m 2p m m 2p+1 ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( sin x) ( cosx) cosxdx = ∫ ( sin x) ( − sin x) d ( sin x ) p k p k p   = ∫ ( sin x ) C p0 − C p1 sin2 x + + ( −1) C pk ( sin2 x ) + + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) =  ( sin x ) m+1 ( ) m+3 ( sin x ) 2k+1+m ( sin x ) 2p+1+m  k p sin x k p C p  +c −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p m+1 m+ 2k + + m 2p + + m   c m m I= lẻ ( m = p +1) n , ∫ ( sinx ) 2p+1 chẳn biến đổi: ( cosx ) n dx = ∫ ( cosx ) n ( sin x ) 2p sin xdx = − ∫ ( cosx ) n ( − cos2 x ) d ( cosx ) p k p n  k p  = − ∫ ( cosx ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cosx ) =  ( cosx ) n+1 ( ) n+ ( cosx ) 2k+1+n ( cosx ) 2p+1+n  k p cosx k p  +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n+1 n+3 2k + + n 2p + + n   n lẻ, lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé m, n u = sinx • Nếu số hữu tỉ biến đổi đặt d Nếu m Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 54 Nếu TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 B = ∫ sinm x cosn xdx = ∫ ( sin x ) m ( cos2 x ) Tích phân (*) tính ⇔ số n −1 n −1 2 cosxdx = ∫ um ( − u m+1 n −1 m+ k ; ; 2 ) (*) du số nguyên 5.3.2.3 Dạng I1 = • n n ( ) ( ) tan x dx ; I = cot x dx ( n Ỵ N ) ∫ ∫ dx ∫ ( + tan x) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x) = tan x + c 2 • dx ∫ ( + cot x) dx = ∫ sin x = −∫ d ( cot x) = − cot x + C 2 • ∫ tan xdx = sin x d ( cosx ) dx = − ∫ cosx ∫ cosx = − ln cosx + C cosx • ∫ cot xdx = ∫ sin x dx = ∫ d ( sin x ) = ln sin x + C sin x ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn y = f (x) a;b , trục hoành hai đường thẳng , xác định: x =a x =b S= b ∫ f (x) dx a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 55 b c3 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y O Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 56 y TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , liên tục y = f (x) y = g(x) đoạn a;b hai đường thẳng , xác định: x =a x =b b S= ∫ f (x) − g(x) dx a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 57 O TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: b ∫ a f (x) dx = b ∫ f (x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 58 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x = h(y) hai đường thẳng , xác định: y=c y=d x = g(y) , d S= ∫ g(y) − h(y) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox B điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm [a;b] x , (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 59 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 O 6.2.2 Thể tích khối tròn xoay - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f (x) , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Ox: x =a x =b Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 60 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 d O y c (C): x = g(y)  (Oy): x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c y O - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Oy: y=c y=d - Thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng , quanh trục Ox: x =a x =b y = f (x) y = g(x) b V = π ∫ f 2(x) − g2(x) dx a Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 61 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : phần ảo, i ( z = a + bi ; a,b ∈ ¡ đơn vị ảo, • z z số thực ⇔ £ phần thực, phần ảo z ( ( ) b= ⇔ phần thực ( ) a=0 ) ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) phần thực phần ảo chúng tương đương • Khi ta viết a = c z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔  b = d 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức biểu diễn điểm z = a + bi a, b ∈ ¡ ( ) hay r mặt phẳng phức với hệ tọa M a;b u = a;b ( ) Oxy ( ) 1.4 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z =z; • vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức • Hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ độ b số ảo (hay gọi ảo) • Số a i = −1 • Tập hợp số phức kí hiệu: • ) Trong : ( z = a + bi a, b ∈ ¡ z ± z' = z ± z'; ) z = a − bi z  z z.z ' = z.z ';  ÷ = ; z ÷ z  2 z.z = a2 + b2 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 62 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • z số thực ⇔z=z ; z số ảo z = −z 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ uuuu r gọi môđun số phức z kí hiệu Vậy z OM uuuu r hay uuuu r 2 z = OM z = a + bi = OM = a + b Mợt số tính chất: • uuuu r ; z = a + b = zz = OM • • z ≥ 0, ∀z ∈ £ ; z = ⇔ z = z1.z2 = z1 z2 ; ; z1 z2 • z = z = z1 − z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2 z1 z1 z2 z2 = z1z2 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức Khi đó: z1 = a + bi a, b ∈ ¡ z2 = c + di c, d ∈ ¡ ( ( ) ( ) ( ) ) z1 ± z2 = a + c ± b + d i • Số đối số phức z = a + bi −z = −a − bi • Tổng mợt số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z = a + bi, z + z = 2a 2.2 Phép nhân số phức • Cho hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ ( Khi đó: ( )( ) ( ) ( ) ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) ) z1z2 = a + bi c + di = ac – bd + ad + bc i Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 63 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Với số thực ( k số phức Đặc biệt: ) k.z = k a + bi = ka + kbi • Lũy thừa i 4n = 1, i 4n+1 = i, : i i = 1, i 4n +2 = −1, 2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo Phép chia hai số phức z' z 0.z = i = i, z≠0 với số phức i = −1, i 4n +3 = −i , khác ( z = a + bi a, b ∈ ¡ z−1 = z i = i 2.i = −i ∀n ∈ ¥ ∗ số ) , ta có z z z' z '.z z '.z = z 'z−1 = = z z.z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • tập hợp điểm đường thẳng ax + by + c = ⇒ • • • • x = 0⇒ y = 0⇒ tập hợp điểm trục tung Oy tập hợp điểm trục hoành Ox ( x − a) + ( y − b) ( ) ( ) tập hợp điểm hình tròn tâm  x − a + y − b = R2  ⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + c =  ( ) bán kính I a;b , 0⇒ tập hơp điểm miền bên phải trục tung y < 0⇒ x < 0⇒ R tập hợp điểm miền phía trục hoành tập hợp điểm miền bên trái trục tung Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 64 bán TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • • • • y > 0⇒ tập hợp điểm phía trục hồnh y = ax + bx + c ⇒ 2 2 tập hợp điểm đường Parabol tập hợp điểm đường Elip x y + = 1⇒ a b tập hợp điểm đường Hyperbol x y − = 1⇒ a b PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm • Cho số , có số phức cho z z z z =z ta nói z1 mợt bậc hai • Mọi số phức z≠0 có hai bậc hai • Căn bậc hai số thực z âm ±i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm ±i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai Xét biệt số ax + bx + c = 0, ∀a,b,c ∈ ¡ ,a ≠ ∆ = b2 − 4ac phương trình Ta thấy: • Khi , phương trình có mợt nghiệm thực ∆=0 • Khi • Khi b x=− 2a , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ∆>0 ∆ 0)  max z =   min z =   z1.z − z2 = r1,( r1 > 0) z2 z1 z2 z1 + − r z1 r z1 max P = • Cho số phức z z2 z1 − z3 + thỏa mãn max z = r1 z1 P = z2 r − z3 − z1 z1 ( ) z1.z + z2 + z1.z − z2 = k, k > k z1 z = k2 − z2 2 z1 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 66 ... tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 12 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < a > ⇔ b ≥ • Hàm số có mợt cực... Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142 Page 16 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y = ax3 + bx2 + cx + d 6.1.1 Hàm số bậc ba a>0 TRƯỜNG HỢP ( a ≠ 0) a< y/ = Phương trình có nghiệm... Page 23 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 ( ) ( M a;Aa3 + Ba2 + Ca + D , N b;Ab3 + Bb2 + Cb + D • Gọi xứng qua điểm • Ta có I ( ) ( a,b ) đối (C ) + Bx2 + Cx + D Bài toán 2:

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	2,55 MB