Toàn bộ công thức toán lớp 12 - Luyện Thi Đại Học

Toàn bộ công thức toán lớp 12 - Luyện Thi Đại Học

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai   a / f ( x)  0, x  R   a    b / f ( x)  0, x  R   a  c / x1    x2  af ( )      d /   x1  x2  af ( )  S    2     e / x1  x2    af ( )  S    2   x1  x2   f /  af ( )   x1  x2   af ( )  g / x1    x2     af (  )  af ( )  h / x1      x2   af (  )  af ( )  i /   x1    x2   af (  )  b (a  0;  ,   R;    ; S   ;   b  4ac)  x    x   a j/  f ( ) f (  )    x1    x2 f ( x)  ax  bx  c lvdoqt hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn      af ( )   k /   x1  x2    af (  )  S    2 S   0 2 Bất đẳng thức: Các tính chất bất đẳng thức: a  b * ac b  c *a  b  a  c  b  c c  *  ac  bc a  b c  *  ac  bc a  b a  b *  ac bd c  d *a  c  b  a  b  c a  b  *  ac  bd c  d  a  b  *  a n  bn * n  N  *a  b   a  b *a  b  a  b Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:  a  a  a a  R x  a  a  x  a  a  0 x  a  x  a  x  a a  b  ab  a  b (a , b  R ) Bất đăûng thức Cauchy( cho số không âm): ab  ab dấu “=” xảy a = b * abc  abc * dấu “=” xảy a= b= c Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho số thực): *ab  cd  (a  c )(b  d ) lvdoqt hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Dấu “=” xảy ad= bc *a1b1  a2b2  c3b3  a  a22  a32  b12  b22  b32  Dấu “=” xảy a1 a2 a3   b1 b2 b3 Cấp số cộng: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số cộng có công sai d un  un1  d b/Số hạng thứ n: un  u1  (n  1)d c/Tổng n số hạng đầu tiên: n n Sn  (u1  un )  [2u1  (n)d ] 2 Cấp số nhân: a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…… Gọi cấp số nhân có công bội q un  un 1.q b/Số hạng thứ n: un  u1.q n1 c/Tổng n số hạng đầu tiên:  qn Sn  u1 (q  1) 1 q u Nếu 1  q   lim S n  n  1 q Phương trình, bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối: * A  B  A  B B  *A B  A  B A  B *A B  A  B * A  B  A2  B A  B *A B  A  B lvdoqt hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Phương trình , bất phương trình chứa thức: ( B  0) A  * A B A  B B  * AB A  B A  * A B A  B A   * A  B  B   A  B2   B   A  * A  B   B     A  B Phương trình, bất phương trình logarit: 0  a   *log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  ( g ( x)  0) f(x)=g(x)  hoctoancapba.com 0  a   f ( x)   *log a f ( x)  log a g ( x)    g ( x)  (a  1)  f ( x)  g ( x)    Phương trình , bất phương trình mũ:  0  a    f ( x)  g ( x) f ( x) g ( x) *a a   a     / f ( x), g ( x) a  *a f ( x )  a g ( x )   (a  1)  f ( x)  g ( x)  lvdoqt hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Lũy thừa: *a a  a   a    a *   a   a *(a )   a   * a  a   a  a  *    b b   *a b  (a.b) *a    a k * a  a a 10 Logarit:0AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH  B H C 1   2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CƠSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA a b c    2R sin A sin B sin C IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC A MN // BC AM AN MN ;   AB AC BC b) N M AM AN  MB NC B C VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p  a)(p  b)(p  c) (Cơng thức Hê-rơng) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a) Đường cao: h = ; a2 b) S = c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vng: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng): a) S = a (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vng có góc 30o 60o a a2 b) BC = 2AB c) AC = d) S = B Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) A 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b kích thước) Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 đường chéo) lvdoqt 23 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Hình vng: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C =  R (R: bán kính đường tròn) b) S =  R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƢỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 A N M G B C P Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Hình chóp đều: Có đáy đa giác Có mặt bên tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Đường thẳng d vng góc với mp(  ): d  a; d  b  d ( ) a) Đt d vng góc với đt cắt nằm mp(  ) Tức là: a  b a,b    ()  ()  b) ()  ()  a  d  (  ) d a  d  ()  c) Đt d vng góc với mp(  ) d vng góc với đt nằm mp(  ) Góc  đt d mp(  ): d cắt (  ) O A  d AH  () d' ˆ = Nếu  góc d (  )  hay AOH   H  ( ) Góc mp(  ) mp(  ): ()  ()  AB  Nếu FM  AB;EM  AB EM  (),FM  ()  ˆ = góc (  ) (  )  hay EMF A  O H  F E B  M  A Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ): Nếu AH  (  ) d(A, (  )) = AH (với H  (  )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: V= Bh (diện tích đáy đa giác) lvdoqt 24 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Tỉ số thể tích khối chóp: Diện tích xq hình nón tròn xoay: Thể tích khối nón tròn xoay: Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Thể tích khối trụ tròn xoay: Diện tích mặt cầu: Thể tích khối nón tròn xoay: VS.ABC SA SB SC  VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh (diện tích đáy đường tròn) Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) S = R (R: bk mặt cầu ) V = R (R: bán kính mặt cầu) lvdoqt 25 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn PHẦN: HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN x A  x B  xC   xG   y A  y B  yC   yG   z A  zB  zC   zG   I CƠNG THỨC VECTƠ:  Trong khơng gian với hệ trục Oxyz cho  a  a1 ; a2 ; a3   b  b1 ; b2 ; b3  k  R Ta có:   1) a  b  a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3   2) ka  ka1 ; ka ; ka   3) a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3  4) a  a12  a 22  a 32 4) G trọng tâm tứ diện ABCD   GA  GB  GC  GD  x A  x B  xC  X D  xG   y A  y B  yC  y D   yG   z A  z B  zC  z D   zG   5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có:   5) Tích có hướng hai vectơ a b a, b    ab ba a a1 a1 a ; b b  3 b1 b2       a, b  a b Sin a, b 6) ;         a1  b1    7) a  b  a  b2 a  b       8) a phương b  a, b        9) a a, b hay b  a, b       10) a , b , c đồng phẳng  a, b c    11) ab  a1 b1  a2 b2  a3 b3  x A  kx B  x M  1 k  y  A  ky B y M  1 k  z  A  kz B z M   k           Ứng dụng vectơ:  AB, AC   S ABC   VHộpABCD A B C D  AB, AD AA /  VTứdiệnABCD  / / /  /  6) I trung điểm đoạn AB thì: xA  xB  x I   y A  yB  y I   z A  z2  z I   III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp   có cặp VTCP :   AB, AC AD  a  a1 ; a ; a   b  b1 ; b2 ; b3  II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog khơng gian Oxyz cho Ax A ; y A ; z A  Nên có VTPT là: B x B ; y B ; z B  2) AB  x B  x A   y B  y A   z B  z A  3) G trọng tâm ABC , ta có:     a a a a1 a1 a  ; ; n  a, b     b2 b3 b3 b1 b1 b2  2) Phương trình tổng qt mp   có   1) AB  x B  x A ; y B  y A ; zB  zA  , k 1 dạng: Ax + By + Cz + D = 2 Với A  B  C  ;  n   A; B; C  VTPT mp   lvdoqt 26 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn 3) Phương trình mặt phẳng toạ độ:  Mp    AB Nên có VTPT AB  (Oxy) : z = ; (Ozy) : x =  (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau:   : A1 x  B1 y  C1 z  D1    : A2 x  B2 y  C z  D2  P.tr chùm mp xác định     là:  A1 x  B1y  C1z  D1    A2 x  B2 y  C2 z  D2   với 2    5) Các vấn đề viết phƣơng trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng P.Pháp:   Tìm VTPT n   A; B; C  điểm qua M x0 ; y0 ; z   dạng: Ax  x   By  y   C z  z   Vấn Đề 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp:   Tính AB, AC Mp (ABC) có VTPT   n  AB, AC  qua A  Kết luận Vấn Đề 3: Viết phƣơng trình mp   qua điểm A vng góc BC P.Pháp: Mp    BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý:   Trục Ox chứa i  1;0;0    Trục Oz chứa k  0;0;1  Trục Oy chứa j  0;1;0 qua I trung điểm AB  Kết luận Vấn Đề 5: Viết phƣơng tình mp   qua điểm M x ; y ; z  song song với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  P.pháp:    //   Nên phương trình   có dạng: Ax + By + Cz + D / =  M    D /  Kết luận Vấn Đề 6: Viết phƣơng trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q) P.Pháp:  Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT  (Q) n Q      Mp (P) có VTPT n  AB, nQ qua A  Kết luận Vấn Đề 7: Viết phƣơng trình mp   qua điểm hình chiếu điểm M x ; y ; z  trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) y x z   1 x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phƣơng trình mp   qua * Phương trình mp   là: điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) P.Pháp:   (P) có VTPT n P   (Q) có VTPT n Q     Mp   có VTPT n P , nQ qua Mo Vấn Đề 4: Viết phƣơng tình mp   mặt  Kết luận phẳng trung trực AB P.Pháp:  Vấn Đề 9:Viết phƣơng trình mặt phẳng   qua giao tuyến hai mp     * Đi qua điểm M0 P.Pháp: Mp   qua giao tuyến     có dạng:  A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C z  D   M     k1   k  Chọn   Kết luận  lvdoqt 27 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn *Song song với mặt phẳng   : A3x + B3y + C3z +D3 = Mp   có dạng: A1  A2  x  B1   B2  y  C1   C  z  D1  D2    Có VTPT : n   A1  A2 ; B1  B2 ; C1  C    Có VTPT : n3  A3 ; B3 ; C  Vì   //   Nên A1  A2 B1  B2 C1  C   A3 B3 C3 Giải tìm ,  *   vng góc với   : A3x + B3y + C3z +D3 =     Ta có : n  n  n  n  Chọn    Kết luận  Vấn Đề 10: Viết phƣơng trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp:  Xác định tâm I mặt cầu (S) Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT : IA Viết phương trình tổng qt I  Vấn Đề 12: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng II ĐƢỜNG THẲNG: : P.Pháp:  Phƣơng trình đƣờng thẳng:  1) Phƣơng trình tổng qt đường thẳng:  Cần biết VTCP a  a1 ; a ; a  điểm    A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B y  C z  D  với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 2) Phƣơng trình tham số đường thẳng qua điểm M x ; y ; z  có VTCP  aa1 ; a ; a  là:  x  x  a1 t  y  y  a t z  z  a t   Viết phương trình tham số theo cơng thức (2)  Viết phương trình tắc theo cơng thức (3)  Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt:  x  x0 y  y0   a a2    x  x  z  z0  a1 a3 t  R  3) Phƣơng trình tắc đường thẳng  qua điểm M0 có VTCP: aa1 ; a2 ; a3  x  x y  y z  z0   a1 a2 a3 Với a12  a 22  a 32   Qui ƣớc: Nếu = x – x0 =  Vấn Đề 11: Tìm VTCP đƣờng thẳng tổng qt  A1 x  B1 y  C1 z  D1  :   A2 x  B y  C z  D  P.Pháp:  M x ; y ; z     B1C1 C1 A1 A1 B1   ; ;  B C C A A B  2 2 2  có VTCP : a    Rút gọn dạng (1)  Chú ý: Viết phương trình tổng qt phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm:  - VTCP u  a1 ; a ; a  vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận  Vấn Đề 13: Viết ptr đƣờng thẳng  qua điểm M x ; y ; z  vng góc với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  P.Pháp:   Mp   có VTPT n   A; B; C  Đường thẳng  qua điểm M0 có VTCP  n lvdoqt 28 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn  Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt  Vấn Đề 14: Viết phƣơng trình hình chiếu d mp   P.Pháp:  Gọi d/ hình chiếu d trê mp    Gọi   mặt phẳng chứa d     Nên   có cặp VTCP    VTCP d u d n  VTPT mặt phẳng       Mp   có VTPT n  u d , n    Mp   qua điểm M0 d Viết phương trình tổng qt Mp     :  Phương trình đường thẳng d/:    :  Vấn Đề 15: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M x ; y ; z  vng góc với hai đƣờng   P.Pháp:    có VTCP u1    có VTCP u  d vng góc với   Nên d có VTCP    u d  u1 , u   Vấn Đề 16: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm A cắt hai đƣờng  2 P.Pháp:  Thay toạ độ A vào phương trình    A  1 , A    Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa  Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa  P.tr đường thẳng d:  1 2 P  : Q  :  Vấn Đề 17: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d  P  cắt hai đƣờng   P.Pháp:  Gọi A    P   Gọi B    P   Đường thẳng đường thẳng AB  Vấn Đề 18: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d // d1 cắt hai đƣờng   P.Pháp Gọi (P) mặt phẳng chứa  (P) // d1   Gọi (Q) mặt phẳng chứa  (Q) // d1  d  P   Q  P  : Q  :  Phương trình đường thẳng d   Vấn Đề 19: Viết phƣơng trình đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng chéo   P.Pháp:    Gọi u1 u VTCP      Gọi v  u1 , u  Gọi (P) mặt phẳng chứa  có           VTCP v Nên có VTPT n P  u1 , v   phương trình mặt phẳng (P)  Gọi (Q) mặt phẳng chứa  có VTCP v Nên có VTPT nQ  u2 , v   phương trình mặt phẳng (Q)  Phương trình đường vng góc chung  P  : Q  :  :   Vấn Đề 30: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc (P) cắt hai đƣờng thẳng  2 P.Pháp:  Gọi   mặt phẳng chứa  có VTCP n P ( VTPT (P) )  Gọi   mặt phẳng chứa  có VTCP n P ( VTPT (P) )  Đường thẳng d        Vấn Đề 31: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua điểm M0 vng góc với đƣờng thẳng  cắt đƣờng thẳng  P.Pháp:  Gọi   mặt phẳng qua M0 vng góc   Gọi   mặt phẳng qua điểm M0 chứa   Đường thẳng d        Vấn Đề 32: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua giao điểm đƣờng thẳng  mặt phẳng   d   , d P.Pháp:  Gọi A      lvdoqt 29 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn  Gọi I(xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu,  Gọi   mặt phẳng qua A I  Oxy  vng góc với  Nên   có VTPT  VTCP  Đường thẳng d       IV MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R  a  b  c  d  Vấn Đề 20: Viết phƣơng trình mặt cầu P.Pháp: Cần:  Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2  Vấn Đề 21: Viết phƣơng trình mặt cầu đƣờng kính AB P.Pháp:   Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu  Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 22: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D = P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với   Nên có bán kính  R  d I ,    Ax I  By I  CzI  D A2  B2  C  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 23: Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d =  A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d  Kết luận  Vấn Đề 24: Lập phƣơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy P.Pháp: Ta có AI2 = BI2 = CI2  AI  BI  Ta có Hpt  2  AI  CI  Giải Hpt  I  IA = R  Kết luận  Vấn Đề 25: Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = P.Pháp 1:  Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d =  a  m a   b  n b      Suy ra:    2c  p c  d  q d   Vậy (S) có tâm I(a ; b ; c) , Bán kính R  a2  b2  c2  d P.Pháp 2:  Đưa dạng (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 V KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm AB AB  x B  x A   y B  y A   z B  z A  2 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = d M ,    Ax  By  Cz0  D A2  B2  C 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d  Lấy M0 d   Tìm VTCP đường thẳng d u M M , u d M , d    u 4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  /  Gọi u u / VTCP  /   qua điểm M0 , M 0/  /  u, u .M M d ,    u, u  / / / / lvdoqt 30 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn VI.GĨC:   Góc hai vectơ a b   Gọi  góc hai vectơ a b  a1 b1  a b2  a3 b3 a.b Cos     a.b a12  a 22  a32 b12  b22  b32 Góc hai đường thẳng (a) (b) Gọi  góc hai đường thẳng (a) (b) 0    90  Đường thẳng (a) (b) có VTCP :  a  a1 , a , a3   b  b1 , b2 , b3   a.b Cos     a.b a1 b1  a b2  a b3 a12  a 22  a 32 b12  b22  b32   Đặc biệt: ab  a.b    Gọi  góc hai mặt phẳng    / AA /  BB /  CC / A2  B2  C A/  B/  C / Góc đường thẳng (d) mặt phẳng    (d): có VTCP u = (a, b, c)   : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc nhọn (d)   Aa  Bb  Cc Sin  A2  B2  C a2  b2  c2  Vấn Đề 26: Vị trí tƣơng đối Vị trí tƣơng đối hai đƣờng  /   có VTCP : a  a1 , a , a  ; M    có VTCP : a  a ; a ; a a)  / đồng phẳng   a.a / M M 0/  /   / / /  Giả sử:   có VTCP : a  a1 , a , a  qua M0(x0 ; y0 ; z0)   : Ax + By + Cz + D = P.Pháp:  Viết phương trình tham số   Toạ d0ộ giao điểm đường thẳng  mp   nghiệm hệ phương trình  / /   /  : A/x + B/y + C/z + D/ = Cos   x 0/  x  : y 0/  y  : z 0/  z   d)  chéo /  a.a / M M 0/  Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng  mặt phẳng      Góc hai mặt phẳng      : Ax + By + Cz + D =    a.a / M M /  0 b)  cắt    a1 : a : a  a1/ : a 2/ : a 3/ c)   /  a1 : a : a  a1/ : a 2/ : a 3/ / ; M  / /  x  x  a1 t _ 1  y  y  a t _ 2    z  z  a t _ 3  Ax  By  Cz  D  _ 4  Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình () theo t  Nếu () vơ nghiệm  //    Nếu () có nghiệm tuỳ ý      Nếu () có nghiệm  cắt   điểm vào (1), (2), (3) tìm toạ độ giao điểm Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng   : A1 x  B1 y  C1 z  D1    : A2 x  B2 y  C z  D2  P.Pháp:    //    A1 B1 C1    A2 B C        A1 B1 C1    A2 B C D1 D2 D1 D2 A B    cắt     hay A2 B B1 C1 A C hay   B2 C A2 C Vị trí tƣơng đối mp   mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R lvdoqt 31 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn P.Pháp:  Tính d(I,   )  Nếu d(I,   ) > R =>   khơng cắt (S)  Nếu d(I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)  Nếu d(I,   ) < R =>   cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r  R  d I ,   Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d /   Gọi H  d /    H tâm đường tròn giao tuyến Tọa độ giao điểm đƣờng thẳng  mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường  dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t  Nếu ptr () vơ nghiệm =>  khơng cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số  => Tọa độ giao điểm  Vấn Đề 27: Tìm giao điểm H  mp    x  x  a1 t   : y  y  a t z  z  a t    : Ax + By + Cz + D =  Gọi d đường thẳng qua M d   Nên d có VTCP n  Viết phương trình tham số d  Gọi H   d     Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương d  : => Tọa độ điểm H   : trình   Vì H trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/  Vấn Đề 29: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đƣờng thẳng d P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 P d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT  Gọi H   d  P   M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn M0 M/  x0  x / x   H  y0  y /  Ta có:  y H    z0  z / z H   => M/ P.Pháp:  Gọi H        Tọa điểm H nghiệm hệ phương trình   x  x  a1 t _ 1  y  y  a t _ 2    z  z  a t _ 3  Ax  By  Cz  D  _ 4  Thế (1), (2), (3) vào (4) ta phương trình => t  Thế t = vào (1), (2), (3) ta tọa độ điểm H  Vấn Đề 28: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng   P.Pháp:  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua   lvdoqt 32 LTĐH- TOÁN Gv ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng Trang 33/33 [...]... b2 -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) - ỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0) c -Tâm sai : e   1 a -Phương trình đường chuẩn: x   a e lvdoqt 15 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn -Phương trình tiệm cận: y   b x a -Bán kính qua tiêu: MF1  exM  a MF2  exM  a -Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)  ( E ) x0 x y0 y  2 1 a2 b - iều... Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng -Chọn công thức tính diện tích: a S   f ( x)  g ( x) dx b a S   f ( y )  g ( y ) dy b -Chọn công thức tính thể tích: *Hình phẳng quay quanh trục Ox: a V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx b lvdoqt 11 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn *Hình... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG TAM GIÁC VNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cos  = (KỀ chia HUYỀN) BC BC A AC AB 3 tan  = (ĐỐI chia KỀ) 4 cot  = (KỀ chia ĐỐI) AB AC 1 sin  = II HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VNG 1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 -. .. tuyến 12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2: - Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với d1 - Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại N - Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M - Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 lvdoqt 21 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Hình chóp- Hình lăng tr - Hình... 2by0  c 4/Elip: -Phương trình chinh tắc Elip (E) x2 y 2  1 a 2 b2 (a  b); c 2  a 2  b2 -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) - ỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) - ỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b) c -Tâm sai : e   1 a a -Phương trình đường chuẩn: x   e -Bán kính qua tiêu: MF1  a  exM MF2  a  exM -Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)  ( E ) x0 x y0 y  2 1 a2 b - iều kiện tiếp...     y' z' z' x' x' y'  Các ứng dụng: - u, v cùng phương  u, v   0 - u, v, w đồng phẳng  u , v  w  0 1 - SABC   AB, AC  2 -ABCD là tứ diện   AB, AC  AD  m  0 1 m 6 b/ Mặt phẳng: -Phương trình tổng quát mặt phẳng: Dạng 1: - VABCD  lvdoqt 16 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Ax  By  Cz  D  0 n  ( A;... TỔ HP -Hoán vò: Pn  n !  n(n  1)(n  2) 3.2.1 n! -Chỉnh hợp: Ank  0  k  n  n  k ! -Tổ hợp: Cnk  n!  n  k !k ! -Các hệ thức cần nhớ: n !   n  1 !n Cnk  Cnn  k C C k n k n 1 C 0  k  n 0  k  n k 1 n 1 -Nhò thức Newton: (a  b)n  Cn0 a nb0  Cn1a n 1b   Cnk a n k b k   Cnnb n k 0   Cnk a n k b k n -Các công thức cần nhớ: Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  2n Cn0  Cn1... M’ đối xứng với M qua a  Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình  Biểu thức tọa độ: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có: x '  x  y'  y lvdoqt 12 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn  Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm của mặt cầu,  Gọi   là mặt phẳng đi qua A và I  Oxy  vng góc với  Nên   có VTPT  là VTCP của  Đường thẳng d       IV MẶT CẦU: 1 Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by... hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn 3/Đường tròn: Phương trình đường tròn: -Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R 2 2  x  a    y  b  R2 -Dạng 2: Phương trình có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 Với điều kiện a 2  b2  c  0 là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R  a 2  b2  c -Phương tích ... 22 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GĨC NHỌN TRONG... hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình đường giới hạn hình phẳng -Chọn công thức tính diện tích: a S   f ( x)  g ( x) dx b a S   f ( y )  g ( y ) dy b -Chọn công thức tính... 4/Elip: -Phương trình chinh tắc Elip (E) x2 y  1 a b2 (a  b); c  a  b2 -Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0) - ỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0) - ỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b) c -Tâm sai