Tổng hợp lý thuyết toán cấp 3 đầy đủ

Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề: Mệnh đề khẳng định sai Mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: i) + = mệnh đề ii) “ số hữu tỉ” mệnh đề sai iii) “Mệt q !” khơng phải mệnh đề Mệnh đề chứa biến: Ví dụ: Cho mệnh đề + n = với giá trị n ta đề sai Mệnh đề gọi mệnh đề chứa biến Phủ định mệnh đề: Phủ định mệnh đề P kí hiệu P Nếu mệnh đề P P sai, P sai P Ví dụ: P: “3 số ngun tố” P : “3 khơng số ngun tố” Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q sai P Q sai Ví dụ: Mệnh đề “ 3  2  (3)2  (2)2 ” sai Mệnh đề “    ” Trong mệnh đề P  Q thì: P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q) Q: kết luận (điều kiện cần để có P) Ví dụ: Cho hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC có hai góc 600” Q: “Tam giác ABC tam giác đều” Hãy phát biểu mệnh đề P  Q dạng điều kiện cần, điều kiện đủ i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc 600 điều kiện cần tam giác ABC tam giác đều” ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC tam giác điều kiện đủ tam giác ABC có hai góc 600” Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo mệnh đề P  Q mệnh đề Q  P Chú ý: Mệnh đề P  Q mệnh đề đảo Q  P chưa 1|Page Nếu hai mệnh đề P  Q Q  P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Kí hiệu P  Q Kí hiệu ,  :  : Đọc với (tất cả)  : Đọc tồn (có hay có một) Phủ đỉnh   : * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P  x  ” “ x  X , P  x  ” * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P  x  ” “ x  X , P  x  ” Ghi nhớ: - Phủ định   - Phủ định   - Phủ định =  - Phủ định >  - Phủ định <  Ví dụ: P: “ n  Z : n  ” P : " n  Z : n  0" ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC Định lí chứng minh định lí: - Trong tốn học, định lí mệnh đề Nhiều định lí phát biểu dạng x  X , P  x   Q  x  (1) Trong P  x  , Q  x  mệnh đề chứa biến, X tập hợp - Chứng minh định lí dạng (1) dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định mệnh đề (1) đúng, tức cần chứng tỏ với x thuộc X mà P(x) Q(x) Có thể chứng minh định lí dạng (1) cách trực tiếp gián tiếp * Phép chứng minh trực tiếp gồm bước: - Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng; - Dùng suy luận kiến thức tốn học biết để Q(x) * Phép chứng minh phản chứng gồm bước: - Giả sử tồn x0  X cho P  x0  Q  x0  sai, tức mệnh đề (1) mệnh đề sai - Dùng suy luận kiến thức tốn học biết để điều mâu thuẫn Điều kiện cần, điều kiện đủ: 2|Page Cho định lí dạng: " x  X , P  x   Q  x  " (1) - P(x) gọi giả thiết Q(x) gọi kết luận định lí - Định lí (1) phát biểu dạng: + P(x) điều kiện đủ để có Q(x), + Q(x) điều kiện cần để có P(x) Định lí đảo, điều kiện cần đủ: Xét mệnh đề đảo định lí dạng (1) x  X ,Q  x   P  x  (2) Mệnh đề (2) đúng, sai Nếu mệnh đề (2) gọi định lí đảo định lí (1), lúc (1) gọi định lí thuận Định lí thuận đảo viết gộp lại thành định lí dạng: x  X , P  x   Q  x  (3) Khi ta nói: P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại) Ngồi ta nói “P(x) (nếu nếu) Q(x)” TẬP HỢP I TẬP HỢP: - Tập hợp khái niệm tốn học - Cho tập hợp A Phần tử a thuộc tập A ta viết a  A Phần tử a khơng thuộc tập A ta viết a  A Cách xác định tập hợp: a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất phần tử tập hợp Ví dụ: A  1,2,3,4,5 b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ tính chất đặc trưng phần tử tập Ví dụ: A   x  R : x  x   0 Ta thường minh hoạ tập hợp đường cong khép kín gọi biểu đồ Ven Tập hợp rỗng: Là tập hợp khơng chứa phần tử Kí hiệu  Vậy: A    x : x  A Tập con: A  B  x ( x  A  x  B) A A Chú ý: i) A  A, A ii)   A, A 3|Page iii) A  B, B  C  A  C Hai tập hợp nhau: A  B  x( x  A  x  B) II CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP A B Phép giao: A  B   x / x  A vàx  B x  A Ngược lại: x  A  B   x  B Phép hợp: A  B   x / x  A x  B x  A Ngược lại: x  A  B   x  B Hiệu hai tập hợp: A \ B   x / x  A vàx  B x  A Ngược lại: x  A \ B   x  B Phần bù: Khi A  E E\A gọi phần bù A E Kí hiệu: CA B Vậy: CE A = E\A A  E III CÁC TẬP HỢP SỐ: Tập số tự nhiên: N  0,1,2,3,4,  ; N *  1,2,3,4,  Tập số ngun: Z   , 2, 1,0,1,2,   Tập số hữu tỉ: Q   x   4|Page  m / m, n  Z , n  0 n  Tập số thực: kí hiệu R, gồm số hữu tỉ số vơ tỉ Tập số thực biểu diễn trục số Quan hệ tập số:        -  + Các tập thường dùng R: Chú ý: Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu tập hợp trục số: Vẽ trục số, biểu diễn số biên tất tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Sau biểu diễn tập hợp theo qui tắc sau: Phép hợp: Muốn lấy hợp hai tập hợp A B Tơ đậm bên hai tập hợp, phần tơ đậm hợp hai tập hợp Phép giao: Muốn lấy giao hai tập hợp A B Gạch bỏ phần bên ngồi tập A, tiếp tục gạch bỏ bên ngồi tập B phần khơng gạch bỏ giao hai tập hợp A B Cách tìm hiệu (a;b) \ (c;d): Tơ đậm tập (a;b) gạch bỏ tập (c;d) Phần tơ đậm khơng bị gạch bỏ kết cần tìm 5|Page SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Số gần đúng: Trong đo đạc, tính tốn ta thường khơng biết giá trị đại lượng ta quan tâm mà biết giá trị gần Sai số tuyệt đối sai số tương đối: a) Sai số tuyệt đối: Giả sử a giá trị đại lượng a giá trị gần a Giá trị a  a phản ánh mức độ sai lệch a a Ta gọi a  a sai số tuyệt đối số gần a kí hiệu a , tức là: a  a  a Trên thực tế nhiều ta khơng biết a nên khơng thể tính xác a Tuy nhiên, ta đánh giá a khơng vượt q số dương * Nếu a  d thì: a  a  d  d  a  a  d  a  d  a  a  d Khi ta qui ước viết: a  a  d Như viết: a  a  d ta hiểu số a nằm đoạn  a  d; a  d  Vì vậy, d nhỏ độ sai lệch b) Sai số tương đối: Sai số tương đối số gần a, kí hiệu  a , tỉ số Nếu a  a  d a  d đó:  a  Nếu a  Tức là:  a  a a a d a d nhỏ chất lượng phép đo đạc hay tính tốn cao a Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Số qui tròn: Ngun tắc qui tròn số: * Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số * Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay ta thay chữ số chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Chú ý: Khi qui tròn số a đến hàng ta nói số gần a nhận xác đến hàng 6|Page Nếu kết cuối tốn u cầu xác đến hàng 10 n q trình tính tốn, kết phép tính trung gian ta cần lấy xác đến hàng 10 n1 Cho số gần a có độ xác d (tức a  a  d ) Khi u cầu qui tròn số a mà khơng nói rõ qui tròn đến hàng ta qui tròn số a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng Chữ số cách viết chuẩn số gần đúng: a) Chữ số chắc: Cho số gần a số a với độ xác d số a, chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d khơng vượt q đơn vị hàng có chữ số * Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số tất chữ số đứng bên phải chữ số khơng chữ số khơng b) Dạng chuẩn số gần đúng: Trong cách viết a  a  d , ta biết độ xác d số gần a Ngồi cách viết trên, người ta qui ước dạng viết chuẩn số gần cho số gần dạng chuẩn, ta biết độ xác * Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ số * Nếu số gần số ngun dạng chuẩn A.10k , A số ngun, k hàng thấp có chữ số  k  N  Chú ý: Với qui ước dạng chuẩn số gần hai số gần 0,14 0,140 viết dạng chuẩn có ý nghĩa khác Số gần 0,14 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,005 số 0,140 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,0005 Kí hiệu khoa học số: Mỗi số thập phân khác viết dạng  10 n , đó:    10,n  Z Dạng gọi kí hiệu khoa học số Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi số lớn số bé 7|Page Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Khái niệm hàm số: a) Hàm số: Cho tập hợp khác rỗng D   Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x thuộc D với số, kí hiệu f(x); số f(x) gọi giá trị hàm số f x Tập D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số hay đối số hàm số f Để rõ kí hiệu biến số, hàm số f viết y  f  x  b) Hàm số cho biểu thức: Cho hàm số y  f  x  , ta nói hàm số cho biểu thức f(x) * Tập xác định hàm số: Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số biểu thức y = f(x), khơng nói thêm tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất giá trị x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay giá trị biểu thức f(x) xác định) Kí hiệu là: D Vậy: Tập xác định D   x  R / y  f ( x ) có nghóa * Tập xác định hàm số thường gặp: y P( x ) có nghĩa  Q( x )  Q( x ) y  P ( x ) có nghĩa  P( x )   y P( x ) Q( x ) có nghĩa  Q( x )   P( x )   y  P( x )  Q( x ) có nghĩa   Q( x )   Các hàm đa thức như: y = ax + bx + c, y = ax + b, có tập xác định  c) Đồ thị hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ D Đồ thị (C) hàm số tập hợp điểm M  x, f  x   mặt phẳng tọa độ  Oxy với x  D Vậy C   M  x, f  x   y  f  x  , x  D  Lưu ý giải tốn: Điểm thuộc đồ thị  tọa độ điểm phải thỏa mãn phương trình đồ thị Sự biến thiên hàm số: Ta kí hiệu K khoảng, nửa khoảng hay đoạn Ta có: 8|Page * Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) K nếu: x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) * Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) K nếu: x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Nhận xét: - Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải - Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải * Phương pháp khảo sát biến thiên hàm số B 1: Lấy x1 , x2  K , x1  x2 B 2: Lập tỉ số: T  f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 B 3: Nếu tỉ số T > hàm số tăng K Nếu tỉ số T < hàm số giảm K Tính chẵn lẻ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định D x  D   x  D * Hàm số y = f(x) gọi hàm số chẵn   f ( x )  f ( x ) x  D   x  D  f ( x )   f ( x ) * Hàm số y = f(x) gọi hàm số lẻ  * Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ B 1: Tìm tập xác định D hàm số B 2: Chứng minh tập D tập đối xứng (cần c/m: x  D   x  D ) B 3:Tính f(-x) Nếu f(-x) = f(x) hàm số hàm số chẵn Nếu f(-x) = - f(x) hàm số hàm số lẻ * Lưu ý: Hàm số khơng chẵn khơng lẻ Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ: * Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung * Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 9|Page HÀM SỐ y = ax + b Hàm số bậc nhất: y  ax  b  a   a Tập xác định D =  b Sự biến thiên: - Nếu a > hàm số đồng biến  - Nếu a < hàm số nghịch biến  Bảng biến thiên : X y = ax + b (a > 0) - + + - x y = ax + b (a < 0) - + + - c Đồ thị: Đồ thị đường thẳng khơng song song, khơng trùng với hai trục toạ độ  b  cắt trục Ox A   ;  , Oy B(0; b)  a  * Chú ý: - a gọi hệ số góc đường thẳng - Nếu gọi  góc tạo đường thẳng y=ax+b chiều dương trục Ox a  tan  - Nếu a>0 đường thẳng y=ax+b nghiêng bên phải - Nếu a< đường thẳng y=ax+b nghiêng bên trái - Cho hai đường thẳng  d  : y  ax  b,  d ' : y  a ' x  b ' Ta có: a  a ' +  d  / /  d '   b  b ' a  a ' +  d    d '   b  b ' +  d  cắt  d '  a  a ' +  d    d '  a.a '  1 + a  a '  b  b ' < => ( d) cắt ( d ' ) điểm trục tung Hàm số y = b - Tập xác định D =  - Hàm số hàm số chẵn - Đồ thị đường thẳng song song với trục hồnh cắt trục tung điểm (0; Hàm số y  x - Tập xác định D =  - Hàm số y  x hàm số chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung 10 | P a g e   : A2 x  B2y  C 2z  D  P.tr chùm mp xác định     là:   A1 x  B1 y  C z  D     A x  B y  C z  D   với     Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng   Tìm VTPT n   A ; B ; C  điểm qua M  x ; y ; z  dạng: A  x  x   B y  y   C z  z   Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C  Tính AB , AC    Mp (ABC) có VTPT n  AB , AC qua A  Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp   qua điểm A vng góc BC   Mp    BC Nên có VTPT BC qua A Chú ý:   Trục Ox chứa i  1 ; ;    Trục Oy chứa j  0 ; ;    Trục Oz chứa k  0 ; ;1  Vấn Đề 4: Viết phương tình mp  mặt phẳng trung trực AB    Mp   AB Nên có VTPT AB qua I trung điểm AB  Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp   qua điểm M  x ; y ; z  song song với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D     //   Nên phương trình   có dạng: Ax + By + Cz + D / =  M     D /  Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B vng góc với mp (Q)  Mp (P) có cặp VTCP là: AB VTPT (Q)  nQ    Mp (P) có VTPT n  AB , n Q qua A  Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp   qua điểm hình chiếu điểm M  x ; y ; z  trục toạ độ   P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) y x z   1 x0 y z0 * Phương trình mp   là: Vấn Đề 8: Viết phương trình mp   qua điểm M0 vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q)  (P) có VTPT  (Q) có VTPT  nP  nQ    Mp   có VTPT n P , n Q  Kết luận  qua M o Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A  Xác định tâm I mặt cầu (S)  Mặt phẳng   : Mp tiếp diện có VTPT : IA  Viết phương trình tổng qt IV ĐƯỜNG THẲNG:  Phương trình đường thẳng: 4) Phương trình tổng qt đường thẳng:  A1 x  B1 y  C z  D   A2 x  B2 y  C z  D  với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 5) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M  x ; y ; z0   có VTCP a a ; a ; a   x  x  a1 t  là:  y  y  a t z  z  a t  t  R 6) Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: x  x0 y  y0 z  z0  2   a a ; a ; a  Với a1  a2  a3  a1 a2 a3  Qui ước: Nếu = x – x0 =  Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng qt  A x  B1 y  C z  D   : A2 x  B2 y  C z  D2   B 1C C A1 A1B  ; ; có VTCP : a   A1B  B 2C C A  Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng  : P.Pháp:        Cần biết VTCP a  a ; a ; a  điểm M  x ; y ; z     Viết phương trình tham số theo cơng thức (2)  Viết phương trình tắc theo cơng thức (3)  Viết phương trình tổng qt từ phương trình tắc , ta có phương trình tổng qt: x    x   x0 y  y0  a1 a2  x0 z  z0  a1 a3  Rút gọn dạng (1)  Chú ý: Viết phương trình tổng qt phương trình tham số Hoặc tắc Ta tìm:  -   VTCP u  a1 ; a ; a vấn đề 11 Cho ẩn Hoặc giá trị đó.Giải hệ tìm x, y => z Có điểm thuộc đường thẳng Kết luận  Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  qua điểm M  x ; y ; z  vng góc với mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D    Mp   có VTPT n   A ; B ; C   Đường thẳng  qua điểm M0 có VTCP n  Viết phương trình tắc => Ptr tổng qt  Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d mp    Gọi d/ hình chiếu d trê mp    Gọi   mặt phẳng chứa d      Nên   có cặp VTCP   u d n  VTPT mặt phẳng      Mp   có VTPT n   u d , n    VTCP d   Mp   qua điểm M0 d  Viết phương trình tổng qt Mp        Phương trình đường thẳng d/:  : :  Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0x0;y0;z0 vng góc với hai đường      u  có VTCP   có VTCP u      d vng góc với   Nên d có VTCP u d  u1 , u  Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt hai đường       A  1 , A   Thay toạ độ A vào phương trình   Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A chứa  Gọi (Q) mặt phẳng qua điểm A chứa   P  : P.tr đường thẳng d:   Q :  Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d  P  cắt hai đường 1 2  Gọi A    P   Gọi B    P   Đường thẳng đường thẳng AB  Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 cắt hai đường 1 2  Gọi (P) mặt phẳng chứa  (P) // d  Gọi (Q) mặt phẳng chứa  (Q) // d1  d  P   Q  P  : Q  :  Phương trình đường thẳng d   Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo         Gọi v  u , u  Gọi u1 u VTCP  2   Gọi (P) mặt phẳng chứa  có VTCP    n P  u1 , v   phương trình mặt phẳng (P)  Gọi (Q) mặt phẳng chứa  có VTCP    nQ  u2 , v   phương trình mặt phẳng (Q)  v Nên có VTPT  v Nên có VTPT  Phương trình đường vng góc chung   : P  : Q  :  Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vng góc (P) cắt hai đường thẳng    Gọi   mặt phẳng chứa  có VTCP n P ( VTPT (P) )  Gọi  mặt phẳng chứa  có VTCP n P ( VTPT (P) )  Đường thẳng d        Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vng góc với đường thẳng 1 cắt đường thẳng   Gọi   mặt phẳng qua M0 vng góc   Gọi  mặt phẳng qua điểm M0 chứa   Đường thẳng d        Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng  mặt phẳng   d   , d   P.Pháp:  Gọi A      Gọi  mặt phẳng qua A vng góc với  Nên   có VTPT VTCP  Đường thẳng d       V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = với đk a2 + b + c2 –d > (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R  a  b  Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần:  Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu  Bán kính R  Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2  c2  d  Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp:  Gọi I trung điểm AB Tính toạ độ I => I tâm mặt cầu  Bán kính R  AB  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) tiếp xúc với   : Ax + By + Cz + D = P.Pháp:  Mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với   Nên có bán kính  R  d I ,    Ax I  By I  Cz I A2  B2 C  D  Viết phương trình mặt cầu  Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD  Phương trình mặt cầu (S) có dạng : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D =0  A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình  Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D  Kết luận  Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng Oxy  Gọi I ( xI ; yI ; 0) tâm mặt cầu, I  Oxy   Ta có AI2 = BI2 = CI2  AI  BI  Ta có Hpt  2  AI  CI  Giải Hpt  I  IA = R  Kết luận VI KHOẢNG CÁCH: 5) Khoảng cách hai điểm AB : AB   x B  x A    y B  y A   z B  z A  6) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = ; Ax  By  Cz  D d M ,    A2  B2  C 7) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d  Lấy M0 d   Tìm VTCP đường thẳng d u : d M1 , d   8) M M , u  u Khoảng cách hai đường thẳng chéo  /   Gọi u u / VTCP  / u, u .M M : d ,    u, u  /   qua điểm M0 , M   / / / / / VII GĨC:     Góc hai vectơ a b : Gọi  góc hai vectơ a b   a b Cos      a b a b1  a b  a b a12  a 22  a 32 b12  b 22  b 32 Góc hai đường thẳng (a) (b) ; Gọi  góc hai đường thẳng (a) (b) 0    900   Đường thẳng (a) (b) có VTCP : a  a , a , a  ;  b  b1 , b , b3    a b Cos      a b a b1  a b  a b a 12  a 22  a 32 b 12  b 22  b 32    Đặc biệt: a  b  a b  Góc hai mặt phẳng    /    : Ax + By + Cz + D = ;  /  : A/x + B/y + C/z + D/ = Gọi  góc hai mặt phẳng     ; / Cos   AA /  BB /  CC / A2  B2  C A/2  B/2  C /2 Góc đường thẳng (d) mặt phẳng    (d): có VTCP u = (a, b, c) ;   : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc nhọn (d)   ; Sin   Aa  Bb  Cc A2  B2  C a2  b2  c2 Vị trí tương đối mp   mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R  Tính d(I,   )  Nếu d ( I,   ) > R =>   khơng cắt (S)  Nếu d ( I,   ) = R =>   tiếp xúc (S)  Nếu d ( I,   ) < R =>   cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r  R2 dI, Gọi d/ đường thẳng qua tâm I d   Gọi H   d /     H tâm đường tròn giao tuyến Tọa độ giao điểm đường thẳng  mặt cầu (S) * Viết phương trình đường  dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t /  Nếu ptr () vơ nghiệm =>  khơng cắt mặt cầu (S)  Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số  => Tọa độ giao điểm  Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng    Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) điểm đối xứng M qua     Gọi d đường thẳng qua M d  Nên d có VTCP n  Viết phương trình tham số d  Gọi H   d     d  : =>Tọa độ điểm H    :   Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình   Vì H trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/  Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d  Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ )  Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M0 P  d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT  Gọi H   d  P   M/ điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H trung điểm đoạn M0M/ Ta có:   x    y    z  H H H    x y z 0  x  y  z / / / => M/ ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng Để viết pt măt phẳng em có cách : Xác định điểm VTPT Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D Vậy sử dụng cách , sử dụng cách em phân biệt dạng đề sau:  Dạng 1: Viết PT mp qua A(x0; y0 ;z0) có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =  Ax + By + Cz + D = Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) // mp (Q) - Từ ptmp(Q)  VTPT nQ = (A;B;C)  - Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C) - PT mp (P) qua A có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mp qua A(x0; y0 ;z0) vng góc với đường thẳng d - Từ (d)  VTCP u d = (A;B;C)   - Vì (P) vng góc với (d)  Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C)   Viết ptmp (P) qua A có vtpt n P Dạng 4: Viết ptmp qua A  (Q) ,  (R)  - Từ pt mp (Q) (R)  VTPT n Q ; VTPT n R     - Vì (P)  (Q)  (R)  VTPT n P  nQ n P  n R     Chọn n P = [ n Q; n R]    - Vậy pt mp (P) qua A có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5: Viết mp (P) Pt  3 điểm  qua  A,B,C khơng thẳng hàng - Tính AB , AC a = [ AB , AC ]    - PT mp (P) qua A có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6: Viết ptmp (P) qua A,B    (Q) - Tính AB , vtpt n Q tính [ AB , n Q]   - Vì A, B  (P) ; (Q)  (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) qua A ;  (Q) và // với dt (d) - Tính VTPT   n Q mp (Q); VTCP u d đường thẳng (d) - Tính [ u d, n Q]    - Vì (P)  (Q) // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ viết PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) trung trực của  AB - Tình trung điểm I ABvà  AB - Mp (P) qua I nhận AB làm VTPT Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) qua A  - Tính VTCP đường thẳng (d) tìm điểm M (d)  u dcủa  - Tính AM [ u d, AM ]    - Ptmp (P) qua A có VTPT n P =[ u d, AM ] Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) // (  )  - Từ (d)  VTCP u d điểm M  (d)    - Từ (  )  VTCP u  tính [ u d, u  ]    - PT mp (P) qua M có VTPT n = [ u d, u  ] Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d)  (Q)  - Từ (d)  VTCP u d điểm M   (d)  - Từ (Q)  VTPT n Q tính [ u d, n Q]   - PT mp (P) qua M có VTPT n =[ u d, n Q] Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt mp (Q) , D  DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) d(A,(P))=h - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP u d điểm   M  (d) - Vì (d) nằm (P)  u d n P=0 (1) - PT mp (p) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) hợp với mp (Q) góc   900  - Gọi VTPT mp(P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP  u d điểm M (d) - Vì d  (P)  u d n P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) (2) ta tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) hợp với đt(  )một góc   900  - Gọi VTPT mp (P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Từ (d)  VTCP  u d điểm M  (d) - Vì d  (P)  u d n P=0 (1) - Tính sin ((P),(  )) (2) - Hệ (1) (2) tìm A,B theo C từ chọn A,B,C tỉ lệ , ta viết PT mp(P) Dạng 16: Cho A (d) , viết PT mp (P) chứa (d) cho d(A,(P)) lớn - Gọi H hình chiếu  A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc đường xiên) Do d(A(P)) max  AK = AH  K  H - Viết PT mp (P) qua H nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D'  DQ) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm D' - Từ ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn(C) có bán kính r ( diện tích, chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r diện tích S =  r tính r - d(I,(P)) = R  r (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt mp (Q) , D'  D Q) - Suy d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm D'  viết pt (P) Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R  mặt cầu (S) - Gọi VTPT mp(P) n P = (A;B;C) với đk A2 + B2 + C2 >0 - Từ (d)  VTCP   u d điểm M  (d) - d  (P)  u d n P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C  PT mp(P) Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính r ( diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường   tròn C = 2 r diện tích S =  r tính r - Vì d  (P)  u d n P=0 (1)  - Gọi VTPT mp (P) n P = (A,B,C) với đk A2 + B2 + C2 >0, chọn M đường thẳng d =>PT mp (P) qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) (2) tìm A,B theo C  PT mp(P) Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) có bán kính nhỏ (áp dụng trường hợp d cắt (S) điểm) - Xác định tâm I, bán kính R mặt cầu (S) - Bán kính r = R  d ( I ,( p )) để r  d(I,(P)) max - Gọi H hình chiếu  I lên (d) ; K hình chiếu  I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK  Ih ( tính chất đường vng góc đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max  AK =AH  KH  - PT mp(P) qua H nhận IH làm VTPT ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng Có loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố PT ChínhTắc  Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) có VTCP u =(a,b,c) PP: phương trình tham số đường thẳng d là:  x  x0  at  (d):  y  y0  bt với t  R  z  z  ct  x  x0 y  y0 z  z0   * Chú ý : Nếu a, b, c  (d) có PT tắc a b c * Chú ý: Đây tốn Về ngun tắc muốn viết PT dt(d) cần phải biết yếu tố tọa độ điểm thuộc d toạ độ VTCP d Dạng 2: Viết pt dt(d) qua điểm A,B  - Tính AB  - Viết PT đường thăng qua A, nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) qua A //với đường thẳng (  )  - Từ pt(  )  VTCP u   - Viết Pt dt(d) qua A nhận u  làm VTCP Dạng 4: Viết PT dt(d) qua A  (P)  - Tìm VTPT mp(P) n P   - Pt dt(d) qua A Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) qua A  vng  góc với cả2 dt (d1),(d 2) - Từ (d1),(d2)  VTCPd1, d 2là u1và u => tính [ u1 , u2 ]    - Vì (d)  (d1),(d 2) nên có VTCP u d= [ u1 , u ]    - Pt dt(d) qua A có VTCP u d= [ u1 , u2 ] Dạng 6: Viết PT dt (d) giao tuyến mp (P):Ax + By + Cz + D = (Q):A'x + B 'y + C'z + D' = - Từ (P)và (Q)   nP ,nQ - Tính [ n P , n Q] Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ  Chọn nghiệm (x0; y0 ;z0) từ  Md ' ' ' ' A x  B y  C z  D     - Pt dt(d) qua M có VTCP u d =[ n P , n Q] Dạng 7: Viết PT hình chiếu d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d ' = (P)  (Q) Cách 2: + Tìm A = d  ( P ) ( áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d xác định hình chiếu H M lên (P) + Viết phương trình d' qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng d1, d2: Cách : * Viết pt mặt phẳng (  ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 * Tìm B = ( )  d2 * Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : - Viết pt mặt phẳng (  ) qua điểm A chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng (  ) qua điểm B chứa đường thẳng d - Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 cắt d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P)  (Q) Dạng 10 : Viết ptđt d qua A vng góc đường thẳng d1 cắt d2 Cách : - Viết pt mp ( ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = ( )  d - Đường thẳng cần tìm qua A, B Cách : * Viết pt mp ( ) qua A vng góc d1 * Viết pt mp (  ) qua A chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 11 : Viết ptđt d qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách : - Viết ptmp(P) qua A song song với ( ) - Viết ptmp(Q) qua A chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P)  (Q) Cách : * Viết ptmp(P) qua A song song với ( ) * Tìm B = ( P )  d ' * Đường thẳng cần tìm qua điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm mp(P) cắt đường thẳng d1, d2 cho trước - Tìm giao điểm A=d1 ( P ) B=d2 ( P ) - Đường thẳng d qua điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm mp(P) vng góc với đường thẳng d' giao điểm I (P) d' * Tìm giao điểm I' = d' ( P )     * Tìm VTCP u d' VTPT n (P) tính v  [u,n]  * Viết ptđt d qua I có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vng góc chung d dường thẳng chéo d 1, d2 : - Gọi M ( x0  at , y0  bt , z0  ct )  d1 , ; N ( x0'  a ' t ', y0'  b ' t ', z0'  c ' t ')  d chân đường vng góc chung d1, d2    MN u1   MN  d1 - Ta có hệ       t,t '  MN  d  MN u  - Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt qua M,N ( Với cách em tính thêm khoảng cách MN, độ dài đường vng góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vng góc với mp(P) cắt đường thẳng d 1,d2 * Viết ptmp(Q) chứa d vng góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 vng góc với mp(P) * Đường thẳng d = (Q )  ( R ) Dạng 16 : Viết ptđt d qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d1 - Viết pt mp ( ) qua A vng góc d1 - Tìm giao điểm B = ( )  d1 - Đường thẳng cần tìm qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d qua A ,vng góc với d1,tạo với d2 góc   (00 ;900 ) (= 300, 450, 600)  * Gọi VTCP d u  ( a; b; c ), dk : a  b  c   * Vì d  d1  u.u1  =>phương trình (1) ;  u.u Vì cos    => phương u u2 trình (2) Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d  u u P ( ý : thay giả thiết d tạo với mp(P) góc   (00 ;900 ) có sin    ) u uP Dạng 18: Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc   (00 ;900 )  - Gọi VTCP d u  (a; b; c), dk : a  b  c   - Vì d//(P) nên u.n p  => phương trình (1)  u.u1 - Vì cos (d , d1 )     cos nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.=>viết ptđt d qua A,  có vtcp u  ( a; b; c ) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm mp(P) , tạo với d1 góc   (00 ;900 )  - Gọi VTCP d u  (a; b; c), dk : a  b  c   - Vì d (P) nên u.n p  => phương trình (1)  u.u1 - Vì cos (d , d1 )     cos nên có phương trình (2) u u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u  (a; b; c) Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vng góc d1 khoảng cách từ M đến d h  * Gọi VTCP d u  (a; b; c), dk : a  b  c   * Vì d  d1 nên u.n  => phương trình (1)   [u , AM ] * Vì d ( M , d )  h   h => phương trình (2)  u *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d qua A, có vtcp u  ( a; b; c ) Chóc c¸c em «n tËp tèt, ®¹t kÕt qu¶ cao!!! G¹o ®em vµo gi· bao ®au ®ín, G¹o gi· xong råi tr¾ng tùa b«ng Sèng ë trªn ®êi ng­êi còng vËy, Gian nan rÌn lun míi thµnh c«ng! Hå ChÝ Minh! v [...]... -60o -45o -30 o 0 30 o 45o 60o 90o 120o 135 o 150o 180o 1 -2 2 - 2 3 - 2 -1 3 - 2 2 - 2 1 -2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 3 - 2 1 3 2 - 2 1 -2 0 1 2 2 2 2 2 1 2 0 1 -2 2 - 2 1 3 || - 3 -1 3 2 1 3 1 3 || - 3 -1 3 - 2 1 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 3 3 2 1 3 - 3 1 0 || 2 Các hệ thức cơ bản: * tan   sin   cos  0  ; cos * cot   * sin 2   cos2   1,  ; * 1  tan 2   31 | P a g e 1 cos2... cứu 30 | P a g e Chương VI: LƯỢNG GIÁC TĨM TẮT KIẾN THỨC 1 Độ và radian: 180  0  180  1(rad )        1  (rad); 180 0   (rad ) ; 0 sin π 1 2 3 π 4 4 2π π cos 1 O -1 0 7π 5π 4 4 3 -1 2 6 BẢNG x r a - d đ -180o ộ sin 0 cos -1 tan 0 cot || GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT 5 -6 3 -4 2 -3  -2  -3  -4  -6 0  6  4  3  2 2 3 3 4 5 6  -150o - 135 o -120o -90o -60o -45o -30 o... 3 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn:  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a x  b y  c z  d 3 3 3  3 Cách giải:Khử dần từng ẩn số để đưa hệ phương trình trình về dạng tam giác:  a1 x  d1  (pp Gausse)  a2 x  b2 y  d2 a x  b y  c z  d 3 3 3  3 4 Hệ phương trình gồm một bậc nhất và một bậc hai đối với 2 ẩn:  x 2  3x  y  y2  4 Ví dụ:  2 x  y  4 Cách giải: - Từ phương trình bậc nhất ta rút... phương trình bậc hai: Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 Ta có một số biểu thức thường gặp như sau:   x * x12  x22  x1  x2 * x 13  x 23 * 1  x2 2  x1 x2  S 2  2P 3  3 x1 x2  x1  x2   S 3  3PS   1 1 x2  x2 S    x1 x2 x1 x2 P * 2 2 1 1 x1  x2 S 2  2P    x12 x22 x12 x22 P2 Dạng 2: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số... kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới VD: Giải bpt: 23 | P a g e 5x  2 3  x x 4 3 3 x 1   4 4 6 ii) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức f(x) ta cần lưu ý về dấu của f(x) Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn âm thì ta phải lần lượt xét cả hai trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình iii) Khi giải bất phương trình có ẩn ở mẫu ta... = c' Cách giải: Có 3 cách: 1 Dùng phương pháp cộng đại số 2 Dùng phương pháp thế 3 Dùng định thức: Tính D  19 | P a g e a b  ab' - a' b ; a' b' Dx  c b  cb' - c' b ; c' b' Dy  a c  ac' - a' c a' c' * Nếu D  Dx  Dy  0 thì hệ có vơ số nghiệm * Nếu D  0, Dx  0 hoặc Dy  0 thì hệ vơ nghiệm  x  * Nếu D  0 thì hệ có 1 nghiệm  y   Dx D Dy D  a1 x  b1 y  c1z  d1  3 Hệ ba phương trình... ( x )  (4 x  1)( x  2) 3 x  5 5 Áp dụng vào việc giải bất phương trình: a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu: Phương pháp giải: 24 | P a g e B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0 B2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x) B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất phương trình VD: Giải bất phương trình: a) (4 x  1)( x  2) 0 3 x  5 b) 1 1 1 x * Chú... dấu với a TH3: Nếu   0 Bảng xét dấu:   X x1 x2 f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Quy tắc: “Trong trái – Ngồi cùng” Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a  0 ) B1: Tính  và tìm nghiệm của tam thức (nếu có) B2: Lập bảng xét dấu của biểu f(x) B3: Kết luận dấu của tam thức * Chú ý: Khi xét dấu một thương cần xác định điều kiện để phân số có nghĩa 3 Bất phương... khúc tần suất c/ Cách vẽ đường gấp khúc tần số tương tự 3 Biểu đồ hình quạt: B1: Vẽ đường tròn, xác định tâm của nó B2: Tính các góc ở tâm của mỗi hình quạt theo cơng thức a0=f .3, 6 (trong đó f là tần suất) III SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT 1 Số trung bình cộng (hay số trung bình) x là số trung bình cộng của các số liệu thống kê a/ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất: x 1  n x  n x  ... hai bằng cách đặt t = x2 ( t  0 ) 3 Định lí Viet: '  0 - Cho phương trình bậc hai có hai ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) có hai nghiệm x 1, x2  b  x1  x2   a Khi đó:  x x  c  1 2 a 16 | P a g e - Ngược lại nếu có hai số u và v mà có tổng u + v = S, tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình: t 2  St  P  0 * Chú ý: u  t1 + Nếu phương trình (3) có hai nghiệm t1 , t2 thì   ... 5 -6 3 -4 2 -3  -2  -3  -4  -6     2 3 5  -150o - 135 o -120o -90o -60o -45o -30 o 30 o 45o 60o 90o 120o 135 o 150o 180o -2 - - -1 - 2 - -2 2 3 2 2 - - -2 2 2 2 -2 - || - -1 3 || -... phép hợp, giao, hiệu tập hợp trục số: Vẽ trục số, biểu diễn số biên tất tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Sau biểu diễn tập hợp theo qui tắc sau: Phép hợp: Muốn lấy hợp hai tập hợp. ..  x   Q  x  (3) Khi ta nói: P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại) Ngồi ta nói “P(x) (nếu nếu) Q(x)” TẬP HỢP I TẬP HỢP: - Tập hợp khái niệm tốn học - Cho tập hợp A Phần tử a thuộc