Tổng hợp lý thuyết TOÁN 12, Nguyễn Văn Lực

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 uO nT hi D H oc 01 TÀI LIỆU TOÁN 12 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie TỔNG HỢP LÝ THUYẾT ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 _15_ Phần Nguyên hàm, tích phân ứng dụng _21_ Phần Số phức _31_ Phần Khối đa diện _33_ Phần Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu _45_ Phần Tọa độ không gian Oxyz _53_ oc Phần Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit H _01_ nT hi D Phần Ứng dụng đạo hàm 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm 01 I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Định lý 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K [ f '  x   với x  K ] hi D '( x )  với x  K f '( x )  với x  K [ f '( x )  với x  K ] [ f '( x )  với x  K ] nT a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến K f b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến K  [ f ( x ) đồng biến K ]   [ f ( x ) nghịch biến K ]  H oc SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ta iL ie Định lý 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K uO  [ f ( x ) không đổi K ] a) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) đồng biến K b) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) nghịch biến K up s/ c) Nếu f '  x   với x  K hàm số f ( x ) không đổi K [ f '  x   với x  K ]  [ f ( x ) đồng biến K ]  [ f '  x   với x  K ]  [ f ( x ) nghịch biến K ] ro  om /g Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm K a) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K c hàm số f ( x ) đồng biến K ok b) Nếu f '( x )  với x  K f '  x   số điểm hữu hạn thuộc K bo hàm số f ( x ) nghịch biến K ce Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax  bx  cx  d  a   , ta có fa f '  x   3ax  2bx  c w w w a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   đồng biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   b) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   nghịch biến   f '  x   3ax  2bx  c  x   www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm 01 NHẮC LẠI Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax  bx  c (a  0) ta có:    f ( x)  x     a     f ( x)  x     a  oc VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số H Để xét chiều biến thiên hàm số y  f  x  , ta thực bước sau: D – Tìm tập xác định hàm số – Tính y Tìm điểm mà y   y  không tồn (gọi điểm tới hạn) nT hi – Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ta iL ie uO VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm soá y  f ( x , m) , m tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m up s/  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D om /g 2) Neáu y  ax  bx  c thì: ro Chú ý: 1) y   xảy số hữu hạn điểm  a  b   c   y '  0, x       a     ok c  a  b   c   y '  0, x       a     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c : bo  Nếu   g  x  dấu với a b ) 2a fa ce  Nếu   g  x  dấu với a (trừ x    Nếu   g  x  có hai nghiệm x1 , x2 khoảng hai nghiệm g  x  khác w w w dấu với a , khoảng hai nghiệm g  x  dấu với a 4) So sánh nghiệm x1 , x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:     x1  x2    P   S  www.facebook.com/VanLuc168      x1  x2   P   S  VanLucNN  x1   x2  P  www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm 5) Để hàm soá y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)  x1; x2  d ta thực bước sau:  Tính y   Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a      Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  x1 x2  d 01 1 oc 2 H  Sử dụng định lí Viet đưa   thành phương trình theo m nT Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: hi VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức D  Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm uO  Chuyển bất đẳng thức dạng f ( x )  (hoaëc , ,  ) Xét hàm số y  f ( x ) tập Ta iL ie xác định đề định  Xét dấu f '  x  Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến  Dựa vào định nghóa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f '  x  ta đặt h  x   f '  x  quay lại up s/ tiếp tục xét dấu h '  x  … xét dấu 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f  a   f  b  om /g ro Xét tính đơn điệu hàm số f ( x ) khoảng  a; b  VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm c Để chứng minh phương trình f  x   g  x  (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: ok  Chọn nghiệm x0 phương trình bo  Xét hàm số y  f ( x )  C1  vaø y = g(x)  C2  Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi  C1   C2  giao điểm có ce hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) w w w fa Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y  C kết luận www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc a) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm x0 nT hi b) Nếu f '( x )  với x   a; x0  f '( x )  với x   x0 ; b  D khoảng  a; x0   x0 ; b  Khi H oc Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm uO hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x0 Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc cấp hai khác khơng điểm x0 Khi Ta iL ie Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f ( x0 )  f có đạo hàm a) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực đại điểm x0 up s/ b) Nếu f   x0   hàm số f ( x ) đạt cực tiểu điểm x0 Định lý 4: ro a) Hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d  a   có hai điểm cực trị om /g  f '  x   3ax  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y  f  x   ax  bx  c  a   có ba điểm cực trị ok c  f '  x   4ax  2bx  có ba nghiệm phân biệt VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số ce bo Qui tắc 1: Dùng định lí  Tìm f   x  fa  Tìm điểm xi  i  1, , mà đạo hàm đạo hàm w  Xét dấu f   x  Nếu f   x  đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi w w Qui tắc 2: Dùng định lí  Tính f   x   Giải phương trình f   x   tìm nghiệm xi  i  1, 2,   Tính f   x  vaø f   xi   i  1, 2,  Neáu f   xi   hàm số đạt cực đại xi www.facebook.com/VanLuc168 01 Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm x0 Khi f có đạo hàm x0 f '  x0   VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm Neáu f   xi   hàm số đạt cực tiểu xi VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực trị điểm x0 f   x0   x0 đạo hàm Chú ý: H phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y  x0  hai cách: oc  Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trị  Phương trình y  có hai nghiệm D + y  x0   ax03  bx02  cx0  d hi + y  x0   Ax0  B , Ax  B phần dư pheùp chia y cho y nT ax  bx  c P( x )   aa '   có cực trị  Phương trình y  coù hai a' x  b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác  a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y  x0  hai cách: P  x0  Q  x0  y  x0   P ' x0 Q ' x0 up s/ y  x0   Ta iL ie uO  Hàm số y   Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ om /g ro nghiệm ngoại lai  Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax  bx  cx  d f  x   Q  x  f   x   Ax  B ok c  Chia f  x  cho f   x  ta được:  y  fx  Ax  B bo 1  Khi đó, giả sử  x1; y1  ,  x2 ; y2  điểm cực trị thì:  y  fx  Ax  2 B ce  Các điểm  x1; y1  ,  x2 ; y2  nằm đường thẳng y  Ax  B w w w fa P( x ) ax  bx  c  2) Hàm số phân thức y  f ( x )  Q( x ) dx  e  Giaû sử  x0 ; y0  điểm cực trị y0  P '  x0  Q '  x0   Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y  P ' x Q ' x  2ax  b d www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 Để hàm số y  f ( x ) đạt cực trị điểm x0 f   x  đổi dấu x qua x0 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên 01 Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng  Tính f   x  oc  Xét dấu f   x  lập bảng biến thiên H  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận D Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn  a; b   Tính f   x  nT hi  Giải phương trình f   x   tìm nghiệm x1 , x2 , , xn  a; b  (nếu có)  Tính f  a  , f  b  , f  x1  , f  x2  ,  , f  xn  uO  So saùnh caùc giaù trị vừa tính kết luận M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ) Ta iL ie [a; b ] m  f ( x )   f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [a; b ] up s/ VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức om /g ro Cách dựa trực tiếp vào định nghóa GTLN, GTNN hàm số  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Một số kiến thức thường dùng:  b   a) f ( x )  ax  bx  c  a  x    2a  4a  b) Bất đẳng thức Cô-si: ab  ab  a  b  ab Với hai số a, b không âm  a, b   ta ln có: Dấu "=" xảy a  b abc  abc  a  b  c  33 abc Với ba số a, b, c không âm  a, b, c   ta ln có: Dấu "=" xảy a  b  c c) Một số bất đẳng thức thường dùng w w w fa ce bo ok c 1) a2  b2  2ab  ab  a2  b2 2) (a  b)2  4ab   ab  (a  b)2 3) (a  b)2  2(a2  b2 )  a2  b2  www.facebook.com/VanLuc168 (a  b)2 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz IV Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng   (  ) gọi chùm mặt phẳng  Gọi  d  giao tuyến hai mặt phẳng d Khi  P  mặt phẳng chứa  d  phương trình mặt phẳng  P  có dạng  P oc m  n2  H  P  : m.(A1x  B1y  C1z  D1 )  n.(A2 x  B2 y  C2 z  D2 )  0,  01   : A1 x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0     Dạng 2:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có caëp VTCP a , b :    Ta iL ie Khi VTPT   n   a , b  uO   : nT hi D Để lập phương trình mặt phẳng   ta cần xác định điểm thuộc   VTPT  Dạng 1:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  coù VTPT n   A; B;C  : Dạng 3:   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vaø song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  :   : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   up s/ Dạng 4:   qua điểm không thẳng hàng A, B, C :    Khi ta xác định VTPT   là: n   AB, AC  ro Dạng 5:   qua điểm M đường thẳng  d  không chứa M :  om /g – Treân  d  lấy điểm A VTCP u    – Một VTPT   là: n   AM , u  Dạng 6:   qua điểm M vuông góc với đường thẳng  d  : c  ok VTCP u cuûa đường thẳng  d  VTPT   bo Dạng 7:   qua đường thẳng cắt d1 , d2 :   fa ce – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2    – Một VTPT   là: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M    w w w Dạng 8:   chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 ( d1 , d2 cheùo ) :   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2    – Một VTPT   là: n   a , b  – Lấy điểm M thuộc d1  M    Daïng 9:   qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1 , d2 :   – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1 , d2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 62 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz    – Một VTPT   là: n   a , b  Daïng 10:   qua đường thẳng  d  vuông góc với mặt phẳng    :   – Xác định VTCP u  d  VTPT n       – Một VTPT   là: n  u , n  01 – Lấy điểm M thuộc d  M    Dạng 11:   qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt     ,    : oc   – Xaùc định VTPT n , n    vaø       H – Một VTPT   là: n  u , n  D Dạng 12:   qua đường thẳng  d  cho trước cách điểm M cho trước khoảng k hi cho trước: nT – Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D   A2  B  C   uO – Laáy điểm A, B   d   A, B    ( ta hai phương trình 1 ,  ) – Từ điều kiện khoảng caùch d ( M ,( ))  k , ta phương trình  3 Ta iL ie – Giải hệ phương trình 1 ,   ,  3 (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13:   tiếp xúc với mặt cầu  S  điểm H : – Giả sử mặt cẩu  S  có tâm I bán kính R  up s/  – Một VTPT   là: n  IH om /g ro Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác định mặt phẳng học lớp 11 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng c VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ok Khoảng cách hai mặt phẳng song song bo Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng .fa ce  Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  d  M0 ,( )   Ax0  By0  Cz0  D w w w A2  B  C  Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng   MH , n phương  Điểm H hình chiếu điểm M  P     H  (P )    Điểm M ' đối xứng với điểm M qua  P   MM   MH www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 63 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   ,   có phương trình:   : A1 x  B1y  C1z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2    bù với góc hai VTPT n1 , n2   cos  ( ),( )      n1 n2 Chú ý:  00  ( ),( )  900 A1 A2  B1B2  C1C2 01 n1.n2 A12  B12  C12 A22  B22  C22  ( )  ( )  A1 A2  B1B2  C1C2  oc   H Góc   , D VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu hi Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu    tiếp xúc với  S    tiếp diện Ta iL ie  d ( I ,( ))  R uO     S  điểm chung  d ( I ,( ))  R nT Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I  S  vuông góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d   up s/ H tiếp điểm  S  với      cắt  S  theo đường tròn  d ( I ,( ))  R om /g ro Để xác định tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I  S  vuông góc với   – Tìm toạ độ giao điểm H d   H tâm đường tròn giao tuyến  S  với   w w w fa ce bo ok c Baùn kính r đường tròn giao tuyến: r  R  IH www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 64 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng: 01 1) Vectơ phương đường phẳng:   Định nghĩa: Cho đường phẳng d Nếu vectơ a  có giá song song trùng uO nT hi D H oc với đường phẳng d vectơ a gọi vectơ pháp tuyến đường phẳng d Kí  hiệu: a  (a1; a2 ; a3 )  Chú ý:   1) a VTCP d k.a (k  0) VTCP d  2) Nếu d qua hai điểm A, B AB VTCP d   3) Trục Ox có vectơ phương a  i  (1; 0; 0)   4) Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1; 0)   5) Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) Ta iL ie 2.Phương trình tham số đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm  M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP :  a () M0 t   ro M ( x, y , z ) y  x  x0  ta1  () :  y  y0  ta2  z  z  ta  up s/ z om /g O x c Phương trình tắc đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình tắc đường thẳng () qua  bo ok điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a  (a1; a2 ; a3 ) làm VTCP : ( ) : x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 ( ) w w w fa ce II Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC  M a  ( ) a n  n a M a a www.facebook.com/VanLuc168  n VanLucNN M  a ( ) www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 65 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz  x  x0  a1t (1)   Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho: đường thẳng () :  y  y0  a2 t (2) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 )  z  z  a t (3)   qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT n  ( A; B; C ) ()  ( )  01 oc Aa1  Ba2  Ca3    Ax  By0  Cz0  D  Aa1  Ba2  Ca3    Ax  By0  Cz0  D   a  a1 : a2 : a3  A : B : C a uO   n nT ( )  ( )  a n phương Đặc biệt: H () // ( ) Aa1  Ba2  Ca3  D   a.n    a.n    M  ( P )   a.n     M  ( P ) () cắt ( ) hi Khi : Ta iL ie  pt () PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M      ta giải hệ phương trình:  tìm  pt ( ) x , y, z Suy ra: M  x , y, z    Thế 1 ,   ,  3 vào phương trình mp  P  rút gọn đưa dạng: at  b  (*) up s/  d cắt mp  P  điểm  Pt * có nghiệm t  d song song với  P   Pt * vô nghiệm om /g ro  d nằm  P   Pt * có vô số nghiệm t    d vuông góc  P   a n phương  u M0  u  u' 2 M bo ok c Vị trí tương đối hai đường thẳng: 1  ' a  M0 M0 u 1  '  b 1 M M u '  2 ' M0 M0 ' 1  u' 2 w w w fa ce PP HÌNH HỌC Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng:  x  x0 y  y0 z  z0   coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) a b c  x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c      (1 ) ( ) đồng phẳng  u, u'  M M 0'    (1 ) : www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 66  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : (z0'  z0 )  (1 )  ( )  a : b : c  a' : b' : c'  ( x0'  x0 ) : ( y0'  y0 ) : ( z0'  z0 )      u, u'  M M0'       u.u '   (1 ) ( ) chéo H  (1 )  ( ) oc  (1 ) // ( ) 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz     '  '  u, u  M0 M0    (1 ) caét ( )    a : b : c  a' : b ' : c '  hi D  pt (1 ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) ( ) ta giải hệ phương trình :   pt ( ) tìm x , y, z Suy ra: M  x , y, z    nT 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: Ta iL ie uO  x  x0  a1t (1)  Cho đường thẳng d:  y  y0  a2 t (2) mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R2 có  z  z  a t (3)  tâm I (a; b; c) , bán kính R PP HÌNH HỌC h  d (I , d )  up s/ B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu  S  đến đường thẳng d    IM a     ro a om /g B2 So sánh d ( I , d ) bán kính R mặt cầu: ● Nếu d ( I , d )  R d khơng cắt  S  c ● Nếu d ( I , d )  R d tiếp xúc  S  ok ● Nếu d ( I , d )  R d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với bo đường kính (bán kính) mặt cầu ce PP ĐẠI SỐ: Thế 1 ,   ,  3 vào phương trình  S  rút gọn đưa phương trình bậc fa hai theo t * w w w ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt  S  ● Nếu phương trình * có nghiệm d tiếp xúc  S  ● Nếu phương trình * có hai nghiệm d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 67 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz oc a A1 A2  B1 B2  C1C2 0    90 A12  B12  C12 A22  B22  C22 b H cos   01 III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình :  n1  ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1 x  B1y  C1z  D1   (  ) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  n  ( A2 ; B ; C ) Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có cơng thức: hi x  x0 y  y0 z  z0   Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho đường thẳng () : a b c mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: D Góc đường thẳng mặt phẳng:  n  ( A; B ; C ) nT uO A2  B  C a  b  c 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0 y  y0 z  z0 ( ) :   a' b' c' ro up s/ (1 ) :  a  ( a ; b; c ) a Aa  Bb  Cc Ta iL ie sin   ( ) 0    90  a1  ( a; b; c ) 1  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 2 0    90 om /g Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & ( ) ta có cơng thức: a  b  c a '2  b '2  c '2 c cos   aa '  bb '  cc ' bo ok IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) fa ce Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính công thức: M ( x0 ; y ; z ) w w w a d ( M0 ; )  H Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho đường thẳng () qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP  u  (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến ( ) tính cơng thức:    M0 M1; u  M1   d ( M1 , )    u u ( ) M ( x0 ; y0 ; z ) H www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 68 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho hai đường thẳng chéo :  (1 ) coù VTCP u  (a; b; c) vaø qua M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( ) coù VTCP u'  (a' ; b' ; c' ) vaø qua M'0 ( x0' ; y0' ; z0' ) M0 2 oc H M 0'    u, u ' M M 0'   d (1 ,  )    u; u '   D  u' 01 Khi khoảng cách (1 ) vaø ( ) tính cơng thức  1 u hi VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Dạng 2: d qua hai điểm A, B :  up s/ Một VTCP d AB ( t  R) Ta iL ie  x  xo  a1t  (d ) :  y  yo  a2 t z  z  a t o  uO nT Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP  Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) : Daïng 3: d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng  cho trước: ro Vì d / /  nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: om /g Vì d   P  nên VTPT  P  VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phaúng  P  ,  Q  : c  Cách 1: Tìm điểm VTCP bo ok ( P ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với việc (Q ) chọn giá trị cho ẩn)    – Tìm VTCP d : a   nP , nQ  ce  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm .fa Dạng 6: d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 :    w w w Vì d  d1 , d  d2 nên VTCP d là: a   ad , ad   2 Daïng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H      M0 H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 69 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz  Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua A vuông góc với d ;  Q  mặt phẳng qua A chứa d Khi d    P    Q  Daïng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1 , d2 :  Cách 1: Gọi M1  d1 , M2  d2 Từ điều kiện M , M1 , M2 thẳng hàng ta tìm  Cách 2: Goïi  P   ( M , d1 ) ,  Q   ( M , d2 ) Khi d   P    Q  Do đó, VTCP    oc d chọn a   nP , nQ  H Daïng 9: d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d2 : Tìm giao điểm A  d1   P  , B  d2   P  Khi d đường thẳng AB D Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d2 : nT hi Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1 , mặt phẳng  Q  chứa  d2 Khi d   P    Q  uO Dạng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau:  MN  d Ta iL ie , ta tìm M , N  Cách 1: Gọi M1  d1 , M2  d2 Từ điều kieän  MN  d  up s/ Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:    – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a   ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d d1 , cách: ro + Lấy điểm A d1    om /g + Một VTPT  P  laø: nP   a, ad    – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d   P    Q  c Daïng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng  P  : ok  Lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa  vuông góc với mặt phẳng  P  cách: ce bo – Laáy M      – Vì  Q  chứa  vuông góc với  P  neân nQ   a , nP  Khi d   P    Q  w w w fa Daïng 13: d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1 , ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa M d2 Khi d   P    Q  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 M1 , M2 Từ suy phương trình đường thẳng d 70 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng 01 Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng oc VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng uO VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu nT hi D H Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng up s/ Ta iL ie Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách ro Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d   Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a   M M , a    d(M , d )   a – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thẳng d – d  M , d   MH om /g ok c  Cách 2: – Gọi N  x; y; z   d Tính MN theo t (t tham số phương trình bo  Cách 3: fa ce đường thẳng d ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2   d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2   w w w – Tìm t để MN nhỏ – Khi N  H Do d  M , d   MH   a1 , a2  M1M d (d1 , d2 )     a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 71 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ khơng gian Oxyz Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách 01 từ điểm M d đến mặt phẳng   Góc hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP a1 , a2 H oc VẤN ĐỀ 6: Góc   Góc d1 , d2 bù với góc a1 , a2 D   a1.a2   nT Góc đường thẳng mặt phẳng   Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng   có VTPT n  ( A; B; C ) uO hi cos  a1 , a2     a1 a2 Ta iL ie Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d ' treân   Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ sin d ,()  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 72 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý: Trong Kg  Oxyz  Phương trình mặt cầu S  tâm I  a; b; c  , bán kính R là: oc z I H (S) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R2 1 (S ) R M ( x; y; z ) Phương trình 1 gọi phương trình hi nT Khi I  O (C ) : x  y  z2  R uO Đặc biệt: x D y tắc mặt cầu O Ta iL ie Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg  Oxyz  Phương trình : x  y  z2  2ax  2by  2cz  d  với a2  b2  c  d  phương trình mặt cầu  S  có up s/ tâm I  a; b; c  , bán kính R  a2  b2  c2  d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg  Oxyz  cho mặt phẳng ( ) mặt cầu  S  có phương trình : ro ( ) : Ax  By  Cz  D  om /g (S ) : ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R Gọi d ( I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu  S  đến mặt phẳng  Ta có :  d(I; ) < R ( ) tiếp xúc mặt cầu (S)  d(I; ) =R ( ) không cắt mặt cầu (S)  d(I; ) > R ok c ( ) cắt mặt cầu (S) bo (S ) (S ) w w w fa ce I R R a (C ) I M H a (S ) I R M H M r H a Chú ý: Khi  cắt mặt cầu  S  cắt theo đường tròn  C  Đường trịn  C  có:  Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN 01 MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 73 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz  Bán kính r  R2  d ( I ,  ) Để viết phương trình mặt cầu  S  , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1:  S  có tâm I  a; b; c  bán kính R :  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R Dạng 2:  S  có tâm I  a; b; c  qua điểm A : oc 01 Phương pháp:  Khi bán kính R  IA Dạng 3:  S  nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Phương pháp: x A  xB y  yB z  zB ; yI  A ; zI  A 2 AB Dạng 4:  S  qua bốn điểm A, B, C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) : Bán kính R  IA  x2  y  z  2ax  2by  2cz  d  * uO Phương pháp:  Giả sử phương trình mặt cầu  S  có dạng: nT hi  H Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI  D  Thay toạ độ điểm A, B, C , D vào  * , ta phương trình  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu  S  Ta iL ie  Dạng 5:  S  qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng  P  cho trước: up s/ Phương pháp: Giải tương tự dạng Dạng 6:  S  có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T  cho trước: Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu  S  om /g  ro Phương pháp:  Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu T  (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) 2 Chú ý: Với phương trình mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với c a  b  c  d   S  có tâm I  –a; –b; –c  bán kính R  a  b2  c  d ok Cho hai mặt cầu S1  I1 , R1  S2  I , R2    S1  ,  S2   I1I  R1  R2   S1  ,  S2   I1 I  R1  R2   S1  ,  S2  tiếp xúc w w w fa ce bo  I1 I  R1  R2  I1I  R1  R2   S1  ,  S2  tiếp xúc  R1  R2  I1I  R1  R2   S1  ,  S2  cắt theo đường trịn (đường trịn giao tuyến) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp:  Ta có bán kính mặt cầu R  d  I ;  P   www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 74 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz H oc theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường trịn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d  I ,  P   01  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước nT uO theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện Phương pháp:  Ta có bán kính mặt cầu R  d  I ;  P   hi D   Ta iL ie  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước om /g ro up s/ theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường trịn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d  I ,  P   Tính bán kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có ok c   bo tâm I  a; b; c  cho trước ce Phương pháp Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu  S  ta có R  d  I ,   fa Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm Phương pháp  Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M vng góc với đường thẳng w w w M  xo , yo , zo  thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước   Toạ độ tâm I   P    nghiệm phương trình  Bán kính mặt cầu R  IM  d  I ,    Kết luận phương trình mặt cầu  S  www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 75 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Tọa độ không gian Oxyz Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  a; b; c  cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ dài AB số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp 01 AB oc Xác định d  I ,    IH , IAB cân I nên HB  w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D H a Bán kính mặt cầu R  IH  HB IH b Bán kính mặt cầu R  sin 45o IH c Bán kính mặt cầu R  sin 60o www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 76 ... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... tích toàn phần hình đa diện tổng diện tích tất mặt đa diện  Diện tích toàn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy  Diện tích toàn phần hình nón tổng diện tích xung quanh diện... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phần Ứng dụng đạo hàm CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc a) Nếu f ''( x )