Phần 2 cuốn sách Hướng dẫn giải bài tập toán cơ sở ứng dụng trong phân tích kinh tế cung cấp cho người học các kiến thức: Ứng dụng của phép tính vi phân, tích phànhàm một biến số trong phân tích kinh tế, ứng dụng của phép tính vi phân hàm nhiềubiến số trong phân tích kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.
C hư ng ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ A ĐỀ BÀI Bài 3.1 Cho hàm cung, hàm cầu thị trường hàng hóa: Qs = P - l Qd = - P 1) Tìm điều kiện p để hàm cung, hàm cầu dương 2) Tìm giới hạn cao (thấp nhất) giá mua (giá bán) người mua (bán) 3) Tìm giá lượng cân (P ,Q ) Bài 3.2 Cho mơ hình thị trường Hàm cung: Qs = 0,1 p + 5P +10 Hàm câu: Qn = -— P-2 Chứng tị mơ hình có giá cân bàng thuộc khoảng (3; 5) Bài 3.3 Cho mô hình thị trường Qs = P -4 Q d = -P 2; p > Chương ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân 61 1) Tìm hàm cầu đảo 2) Giới hạn cao (thấp nhất) giá người mua (người bán) chấp nhận bao nhiêu? 3) Chứng minh tồn điểm cân thị trường Bài 3.4 Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu: TR = 4000Q - 33Q hàm chi phí TC = 3Q - 3Q + 400Q + 500 Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa Bài 3.5 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu: p = 40 - 0,03Q hàm chi phí TC = 10Q + 120 Hãy xác định sản lượng mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận Bài 3.6 Cho hàm chi phí trung bình AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10 1) Tìm hàm chi phí cận biên 2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận Bài 3.7 Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q 1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR 2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ + 0,25Q3 Xác định lợi nhuận cận biên Mn tính Mn điểm Qj = ; Q 2= ) Có tồn hay khơng điểm hịa vốn thuộc (10; 20) 62 _ Hướng dẫn giải tập Toan so UTỊ£ dụng Bài 3.8 Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ: (Q>0) 1) Viết hàm chênh lệch doanh thu cận biên doanh thu trung bình 2) Tìm cực trị doanh thu trung bình 0.1 Bài 3.9 Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ——— F & 0.2 + Q 1) Tính chi phí cận biên MC Qo = 10 2) Tìm hàm chênh lệch chi phí trung bình chi phi cận biên; cho nhận xét hàm 3) Tính hệ số co giãn chi phí theo sản lượng Q Q o -1 Bài 3.10 Cầu hàng hóa A là: Qu = 200P '0 5, thị trường hàng hóa A có hàm cung là: Qsi = 5P ° Q S2 = 4P° 1) Hãy lập mơ hình thị trường hàng hóa A 2) Thị trường có tồn trạng thái cân bang khơne? Bài 3.11 Cho mơ hình thị trường hàng hóa sau: p = -0 ,5Q ị p =30 + 2Ọ^ 1) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna 2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa phái định t la đê tôna thuế thu lớn 3) Khi t tăng 1% g iá cản b àna c ó tăna 1% k h n ° Chương ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân 63 Bài 3.12 Hàm cầu vể ngơ có dạng: Q o = 200 - 50p Có 50 sở giống có hàm chi phí sở TC = Q (Q - sản lượng ngô sờ) Xác định mức sản lượng Q đê tơi đa hóa lợi nhuận giá cân bàng thị trường Bài 3.13 Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD loại hàng hoá: Q s = ,2 p + p -1 50 Qd = — với p giá hàng hoá P -2 1) Với điều kiện p cung cầu dương? Với điều kiện viết phương trình cân thị trường 2) Xác định hàm dư cầu khảo sát tính đơn điệu hàm Chứng tỏ tồn giá trị cân khoảng (3,5) Bài 3.14 Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ (Ọ > 0) 1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q) 2) Tại điểm Qo = 500, Q tăng lên đơn vị doanh thu thay đổi đơn vị 3) Tính giá trị doanh thu cận biên Qo = 710 giai thích ý nghĩa kết nhận Bài 3.15 Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q +3Q + 100 (Q > 0) 1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q) 2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q = giải thích V nghĩa kết qua nhận 64 Hướng dẫn giải tập Toán sà m tg d ụ n g Bài 3.16 .Cho hàm cầu QD = p - p (p > 0), Po = Tại mức giá Po, tăng giá lên 3% lượng cầu thay đổi lượng xấp xỉ % Bài 3.17 Hãy phân tích mối quan hệ hàm chi phí bình qn AC(Q) hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí TC = Q + Q + ( Q > ) Bài 3.18 Hãy phân tích mối quan hệ hàm sản xuất bình quân APL hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L (L > 0) Bài 3.19 Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/ l (L > 0) giá sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng p L = 20ƯSD Hãy tìm mức sử dụng lao động lợi nhuận tối đa Bài 3.20 Cho hàm tổng chi phí TC = Q - 120Q + 14Ọ (Ọ > 0) Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình qn đạt giá trị nhị Bài 3.21 Cho biết hàm chi phí TC = Q -7Ọ + 49Ọ - (Ọ > ]) hàm cầu đảo p = 40 - Q Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ cho lợi nhuận đạt cực đại Bài 3.22 Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu: TR = 58Q - 0,5Q hàm tồng chi phí TC = - ọ - 8,5Q + 97Q + FC Ọ sản lượng (Q > 0) FC chi phí cổ định Chương ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân 65 1) Với FC = 4, xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận 2) Hãy phân tích tác động chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận mức lợi nhuận tối đa Bài 3.23 Một cơng ty cạnh tranh hồn hảo có hàm tổng chi phí TC = Q - Ọ + (Q > ) 1) Với giá thị trường p, viết phương trình xác định hàm cung cơng ty 2) Hãy phân tích tác động giá p tới mức cung tối đa hóa lợi nhuận tới mức lợi nhuận tối đa công ty Bài 3.24 Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo: p = 490 - 2Q hàm chi phí TC = 0,5Q 2A D °5; Trong đó: Q sản lượng AD chi phí quảng cáo 1) Với AD = 9, xác định mức sản lượng giá bán tối ưu 2) Hãy phân tích tác động chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng giá bán toi ưu Bài 3.25 Cho hàm tổng chi phí: TC = Q - 5Q + 14Q + 144 (Q > 0) 1) Khảo sát thay đổi tuyệt đối TC theo Q, từ cho nhận xét mở rộng sản xuất 2) Tírìh hệ số co giãn TC theo Q Qo = 66 Hướng dẫn giải tập Toán sỏ ưn? dụng Bài 3.26 Cho hàm chi phí TC = 5000+ ^ Q+3 (Ọ sản lượng, ọ > 0) 1) Tìm hàm chi phí cận biên MC 2) Tính chi phí trung bình AC Qo = 100 Bài 3.27 Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất sản phẩm: AC = Ọ - 12Ọ + 60 (Q sản lượng, Q>0) 1) Xác định biểu thức tính thay đổi tuyệt đổi tương đối AC theo Q cho nhận xét 2) Xác định hàm chi phí cận biên MC mơ tà mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC Từ hãv nêu nhận xét quan hệ MC AC Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu hàm chi phí cùa nhà sản xuất sau: TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q - Q + 140Q + 750 (Q > 0) Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa Bài 3.29 Hãy xác định mức sản lượng tối ưu nhà sán xuất độc quyền, biết: Hàm chi phí cận biên MC = 3Q - Q + 96 Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p Chương ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân 67 Bài 3.30: Cho mơ hình thị trường hàng hố Qs = 0,3pa(0 < a < ) Qd= 0,1 pbMcqd ( b < , < c < l , d * ) Trong đó: Qs, QD hàm cung, cầu hàng A, p hàng A, M thu nhập khả dụng, q giá hàng B làgiá 1) Giải thích ý nghĩa kinh tế a? 2) Hai hàng hố nêu mơ hình có quan hệ thay hay bổ sung? 3) Tìm mối liên hệ b, c, d để p, M, q thay đổi tỉ lệ cầu D khơng đổi 4) Phân tích ảnh hưởng M tới lượng cân Bài 3.31: Hàm cung Qs hàm cầu Qo hàng A có dạng Qs = ,7 p -1 Qd= 0,3M - 0,5p +120 Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng 1) Có ý kiến cho lượng cân bàng khơng phụ thuộc vào thu nhập, ý kiến hay sai? 2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân tích tác động thuế tới mức giá cân bàng Bài 3.32 Cho mơ hình thị trường hàng A dạng: Q p = D( p , Y 0) ( D p < ; D y >0) 68 Hướng dẫn giải tập Toan Qs = S (p ,T 0) I/Tiff dụtĩỹ (S p> ;S To< ) Trong đó: p giá hàng A, Y thu nhập, T lả ihuẻ 1) Phân tích ảnh hưởng Y0, T tới giá cản băng, giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận 2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng Y tới lượng cân bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng To tới lượng cản Bài 3.33 Gọi p giá hàng A, q giá hàng B, M thu nhập, T thuế Mơ hình thị trường có dạng Da = 0,8M°’4p'0’5q 0,1 Sa = 5,4p°’3T '0,05 1) Cho biết quan hệ hàng hoá A, B 2) Phân tích tác động M, T tới giá cân mặt hàng A 3) Lượng cung Sa thay đổi giá hàne A lảng 7% thuế tăng 7% Bài 3.34 Cho hàm tổng chi phí: TC = Q - 5Q + 14Q +75 với Q sản lượng (Q > 0) 1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC 2) Tìm hệ số co giãn c theo ọ mức Qo = 10 giải thích ý nghĩa kinh tế 3) Tìm hàm MC AC, chứng minh MC cắt AC lại điêm AC cực tiểu Chương ứ n g dung phép tính vi phản, tích phân 69 Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 -3Ọ Tìm hàm MR, chứng minh AR, MR có tung độ gốc, độ dốc MR gấp đôi độ dốc AR Bài 3.36 Cho hàm tống chi phí: TC(Q) = Q - Q + 1800Q + 150 ( Q > ) Hàm cầu sản phẩm công ty Q = 9000 - p 1) Viết hàm tổng doanh thu hàm Q (là hàm p) 2) Tìm MC MR theo Q 3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại Bài 3.37 Cho hàm lợi nhuận: 71 = - Q + Q + Q - 10 (Q > 0) Tính 7ĩ( ) giai thích ý nghĩa kinh tế Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại _9 Bài 3.38 Cho hàm sản xuât: Q = ——L’ +10L2 Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng 1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm 2) T ì m h m san phâi n trun g bình A Ọ h m sản p h â m biên MQ Chứng minh ràng AỌ = MQ mức sản lượng ọ mà AỌ đạt cực đại 3) Tìm mức su dụng la động L* ọ đạt giá trị lớn rh; ì Chưcmg ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biêh C ọ rr — • P sỉ ọ 3: : 123 —— Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa 3) K L tăng 1% Q tăng 1% 4) Q trình sản xuất có hiệu không đổi việc tăng quy mô 5) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 6) Tính dQK = Q 'K dK; dQL = Q 'L dL; dQ = dQK + dQL Bạn đọc tự giải thích ý nghĩa Ko= 27; L0 = 64; dK = 0,1; dL = 0,3 Bài 4.13 Bạn đọc giải tương tự 4.12 Bài 4.14 Bước ỉ Giải hệ phương trình: k 'q, * - Q i +4Q = ÍQ i = 400 - n 'Qi = -6 Q + 300 = 7i ,Q3 = « Ì q =50 -14Q +4Q i +1200 = [Q3 = 00 Vậy hàm số có điểm dừng: M(400; 50; 200) Bước Kiểm tra điều kiện đủ: a n _ I "q,Qi " a 12 a 21 2; a22 A ,a22 ~ 71 "o o n q 2q - -6; a = 71 ^"QiQỉi ~ a i3= a 3i= «"0 ,0 , = 4; a 23 = a 32= 7t"Q2Q3= = -1 124 Hướng dẫn giải tập Tốn sớ uiìỹ dụng- Xét ma trận H = H, = - < có < h = 12 > "-2 -6 -1 H = -7 < Nên M điểm cực đại hàm sổ 7t Bước Kết luận Doanh nghiệp cần bán mặt hàng với số lượng Qj = 0 ;Q = 50;Q = 200 thu lợi nhuận tối đa bàng 127520 Bài 4.15 1) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 2) Hai hàng hóa thay cho 3) Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm được: Xi = X2 = 30 X = 0,248 Gọi Umax lợi ích cực đại B ngân sách chi cho tiêu dùng B thay đổi Ưmax thay đổi d^max-= x = 0,248 ỠB Nên ngân sách chi cho tiêu dùng giảm 2% thi lợi ích cực đại giảm khoảng 0,596% Chương ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến Bài 4.18 Bạn đọc tự giải tương tự 4.12 Bài 4.19 1) Hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 2) Lợi ích tăng 0,4% Bài 4.20 MC j = (T C )' q = 125 + 2,4Q^ —12Q,q ! MC2 = (TC) •0 i = 84 + 3,6Qị - 2QÍQ2 Bài 4.21 ? = - p 35 - 0,4p + ,15m + ,1 p s ọ _ 2) 0,15m ~ - , p + 0,15m + ,1 p s Q ,1 p s 3) So = - - 1— Ps 35 - 0,4p + 0,15m + 0,12 p s Bài 4.22 1) Hiệu giảm theo quy mô 2) Hiệu tăng teo quy mô 3) Hiệu tăng theo quy mô 4) Hiệu tăng theo quy mô Bài 4.23 X, =17; x = 125 126 Hướng dẫn giải tập Toán sơ 1/7»,e dung -• Bài 4.24 ộ = — ;Õ 35 1576 256 p , ~ ; p 2~ Bài 4.25 Q* = 260 p* = 40 Bài 4.26 ĨC = 40; L = 135 Bài 4.27 Q ,=3;Q 2=4 P, = ; p = Bài 4.28 1) K (t) = ự tĩ + 90 2) K (t) = ự t7 + 40 3) c = 0,8Y + 40 4) c s = 82— Bài 4.29 1) Ý kiến khơng ) Xi = ; X = 127 Chương ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến Bài 4.30 1) K = — ;L = — 36 16 2) Gọi lợi nhuận tối đa n Ta có: Ỡ7ĩ’ _ ĨT -1 n d ĩì T -1 —— = - K = — < ; —— = - L = — < ỔK 36 ỠL 16 Bài 4.31 1) Hệ số co giãn riêng cầu theo giá, theo thu nhập là: 6° = - ,2 ;8 ° = 0,3 2) Gọi giá cân P Chứng minh đươc > ỠM Bài 4.32 1) Hệ số co giãn riêng Y theo K, L là: eỵ k = 0,4;El = 0,8 2) Hệ số tăng trưởng K L là: 0,1 rK = 120 + 0,lt 0,3 -;rL = 200 + 0,3t Hệ sổ tăng trưởng Y là: rY 3) quy mô Y_ , „Y_ E KrK + e L rL - 0,04 0,24 120 + 0,lt 200 + 0,3t Q trình sàn xuất có hiệu tăng việc tăng Hướng dẫn giải tập Toán sở úmg dụng- ■■ 128 Bài 4.33 Bạn đọc tự giải tương tự 4.24 vã 4.25 Bài 4.34 rY =6KrK + £LrL + GrG Bài 4.35 Bài tốn đưa tìm cực trị hàm lợi nhuận 7ĩ = 300 kJ i J - 0 K - L Kết lợi nhuận đạt giá trị lớn K = 64 L = 16 Bài 4.36 1) Hàm Q = K°'4L0'3 hàm bậc k = 0,3 + 0,4 = 0,7 < nên doanh nghiệp sản xuất có hiệu theo quy mô 2) Bước Xác định tốn Tìm cực đại hàm số Q = K° 4L °3 với điều kiện: 4K + 3L = 1050 Bước Xét hàm Lagrange: F = K°-4L0-3 + MI 050 - 4K - 3L) Bước Giải hệ phương trình: F'k = 0,4K'°'6L0’3-4X = K -0,6L0,3= x F'l = 0,3K04L'°’7-3X = • K°-4L'°’7=X F \= Ì050-4K-3L =0 1050 = 4K+3L K = L = 150 < 10.150°3 Chương ứ n g dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến 129 Bước Kiểm tra điều kiện đủ: g| = g ' K = 4; g2 = g ' L = F"KK = -0.24x l 6y06 Fn =-0,24.150“' 150-6 Fj2 = F21 = 0,12.15 Xét định thức: |H = F„ F12 = 24FI2 - F m —16F22 > nên M điểm F„ F22 cực đại hàm số Bước Ket luận: Doanh nghiệp cần sử dụng 150 đơn vị tư 150 đơn vị lao động để thu sản lượng tối đa Q(150, 150)= 1500,7 Bài 4.37 1) Hàm Q = 40K0,75L0'25 hàm bậc k = 0,75 + 0,25 = nên trinh sản xuất có hiệu không đổi tăng quy mô sản xuất Hệ số co giãn riêng cúa sản lượng theo vốn lao động là: EỈ = 0,75; = 0,25 => + 3e? = 0,75 + 3.0,25 = 1,5 Nên nêu K tăng 1% L tăng 3% sản lượng tăng lên 1,5% Hương dẫn giai bai tập Toan so 1/Tig du 11$ 130 2) Bài tốn đưa tìm cực trị hàm Ọ = K 1L1 với điêu kiện: 3K + L = 160 Hàm Laerange là: F(K.L.Ằ) = K 4L4 + Â(160- 3K - L) - Điêu kiện cần: -I I -3 F’k = 30K L4 -3X; F'L =1 K4L -Ầ; F \ = - K - L -1 30K L4 = 3X (1) F'[ = ; L >0(5) Từ (4) (5) suy hàm Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần -I 4) I Hàm sản lượng cận biên theo vốn là: Q k = 30K L4 Hàm sản lượng cận biên theo lao động là: Q ’L = 10K4L 5) Tại Ko = 625; L0 = 16: Hướtì - Nếu Q < nên (AC)' < TC = Q 2Q 2- 12Q Q2-12Q+60 = 2Q(Q-6) Q2-12Q+60 - Nếu Q > nên e jc > - Nếu Q < nên £qC < 85 86 Hướng dẫn giải tập