RÈN LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI bài tập GIẢI TÍCH CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG BÁCH KHOA nước CỘNG hòa dân CHỦ NHÂN dân lào

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI -000000 PHOUTHONG VONGPHANKHAM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG BÁCH KHOA NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN HÀ NỘI - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ động viên khích lệ tác giả suốt trình thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội nhiệt tình giảng dạy truyền thụ cho tác giả kiến thức kinh nghiệm quý báu, đặc biệt thầy giáo, cô giáo tổ phương pháp giảng dạy môn Toán tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Bộ giáo dục thể thao, Đại sư quán nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào, Ban Giám hiệu trường CĐBK Lào tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu thời gian thử nghiệm sư phạm Cuối tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình, đến người thân bạn bè, nguồn động viên lớn lao, tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót kính mong giúp đỡ, dẫn thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà nội, tháng 10 năm 2016 TÁC GIẢ LUẬN VĂN PHOUTHONG VONGPHANKHAM DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CÁC TỪ VIẾT TẮT CHỮ VIẾT TẮT CĐ CĐBK CHDCND ĐC ĐS GV KN PPDH SGK SV SL TN TTPP ĐẦY ĐỦ Cao đẳng Cao đẳng Bách Khoa Cộng hòa dân chủ nhân dân Đối chứng Đáp số Giảng viên Kỹ Phương pháp dạy học Sách giáo khoa Sinh viên Số lượng Thực nghiệm Tri thức phương pháp MỤC LỤC DANG MỤC BẢNG BIỂU, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ Sơ đồ 2.1 Mô hình trình nhận thức Sinh viên Biểu đồ 3.1 So sánh kết kiểm tra thực nghiệm số nhóm ĐC TN Biểu đồ 3.2 So sánh kết kiểm tra thực nghiệm số nhóm ĐC TN Biểu đồ 3.3 So sánh kết kiểm tra thực nghiệm số nhóm ĐC TN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài1 Nước Cộng hòa dân chủ nhân dân (CHDCND) Lào thời kỳ đổi mới, đòi hỏi ngành Giáo dục Đào tạo có bước mặt, nhằm đào tạo người lao động có đủ kiến thức, lực sáng tạo, trí tuệ phẩm chất đạo đức tốt, đáp ứng yêu cầu nhân lực đất nước Nghị Đại hội Đảng Nhân dân Cách mạng Lào lần thứ IX (2011) khẳng định: Phát triển hệ thống giáo dục quốc gia cho có chất lượng đổi tích cực, tiến tới đại Trong điều kiện khoa học công nghệ trở thành lực lượng sản xuất trực tiếp yếu tố định phát triển giới, công tác giáo dục đóng vai trò quan trọng Nếu công tác giáo dục người có chất lượng giúp cho phát triển có tốc độ nhanh nước ta bắt kịp xu phát triển chung giới Trong công tác giáo dục đào tạo, cần phải ý hai mặt đôi với nhau: Thứ cần phải ý đào tạo tư tưởng trị lý tưởng xã hội chủ nghĩa, giáo dục ý thức pháp luật kỷ luật; Thứ hai phải mở rộng quy mô đào tạo chuyên gia đáp ứng yêu cầu trình độ chuyên môn ngành khoa học giáo dục nay, bước sánh kịp với nước giới [37] Nghị Đại hội Đảng nhân dân cách mạng Lào lần nêu rõ: Cần phải “tập trung phát triển giáo dục Lào, tạo bước chuyển biến chất lượng giáo dục theo hướng tiếp cận với trình độ tiên tiến giới, phù hợp với thực tiễn Lào, phục vụ thiết thực cho phát triển kinh tế - xã hội đất nước, vùng, địa phương; hướng tới xã hội học tập; Phấn đấu đưa giáo dục Lào thoát khỏi tình trạng tụt hậu số lĩnh vực so với nước phát triển khu vực giới; Ưu tiên nâng cao chất lượng đào tạo nhân lực, đặc biệt trọng nhân lực khoa học, công nghệ có trình độ cao, cán quản lí, kinh doanh giỏi công nhân kỹ thuật lành nghề trực tiếp góp phần nâng cao sức cạnh tranh kinh tế; đẩy nhanh tiến độ thực phổ cập sở; Đổi mục tiêu, nội dung, phương pháp (PP), chương trình giáo dục cấp bậc học trình độ đào tạo; phát triển đội ngũ nhà giáo đáp ứng yêu cầu vừa tăng quy mô, vừa nâng cao chất lượng, hiệu đổi phương pháp dạy học; đổi quản lí giáo dục tạo sở pháp lí phát huy nội lực phát triển giáo dục[37] Môn Toán có khả to lớn giúp SV phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho SV tư trừu tượng, tư biện chứng, tư logic, phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, học tập Trong dạy học môn Giải tích nói chung, rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK Lào nói riêng, khó khăn, tồn tại: Nặng truyền đạt kiến thức từ thầy sang trò theo chiều, nặng thuyết trình, giảng giải; SV lĩnh hội kiến thức thụ động, chủ yếu nhờ vào giảng viên, giao lưu GV với SV môi trường dạy học chưa được coi trọng, thói quen khả SV giúp đỡ việc lĩnh hội kiến thức nhiều hạn chế, Nhằm khắc phục tình trạng trên, GV phải đổi cách thức tổ chức dạy học; biết cách phối hợp sử dụng phương pháp dạy học truyền thống không truyền thống dạy Thực trạng dạy học môn Giải tích trường CĐBK Lào cho thấy chưa có đổi đáng kể Trước tình hình đó, mục tiêu tác giả cập nhật kiến thức PPDH môn Toán rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK nước CHDCND Lào để bước nâng cao chất lượng dạy học, góp phần đào tạo hệ SV đáp ứng yêu cầu ngày phát triển đất nước Trong đó, tác giả tập trung nghiên cứu xây dựng số biện pháp dạy học để rèn luyện kỹ giải tập Giải tích cho SV trường CĐBK Lào Từ lí trên, tác giả lựa chọn nghiên cứu đề tài: Rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK Nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào Mục đích nghiên cứu Xác định kỹ đề xuất số biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK Lào Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng thuật số lí luận (kỹ năng, kỹ giải toán…) - Xác định kỹ giải tập giải tích - Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ giải toán - Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ giải tập Giải Tích cho SV Trường CĐBK Nước CHDCND Lào - Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp đề xuất Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học giải tập giải tích - Phạm vi nghiên cứu: Việc rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK nước CHDCND Lào Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK, sách bồi dưỡng giảng viên, sách tham khảo, tạp chí giáo dục, số luận văn có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát, điều tra: Quan sát điều tra thực trạng lực giải tập giải tích cho SV CĐBK - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy số giáo án Trường CĐBK Lào nhằm đánh giá tính khả thi hiệu đề tài; Đánh giá kết học tập SV sau dạy thực nghiệm - Phương pháp thống kê toán học: Sử dụng thống kê toán học để xử lý kết nghiên cứu; sử dụng phần mềm tin học sử dụng bảng biểu, mô hình, sơ đồ, đồ thị để phục vụ nghiên cứu biểu đạt kết nghiên cứu Giả thuyết khoa học Nếu vận dụng biện pháp rèn luyện kỹ giải toán Giải tích cho SV CĐBK Lào đề xuất luận văn SV có kỹ giải toán Giải tích tốt hơn, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu dạy học môn Toán trường Cao đẳng Bách khoa Lào Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục luận văn gồm chương sau: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Biện pháp rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV Cao đẳng Bách Khoa nước Cộng hòa Dân chủ nhân dân Lào Chương 3: Thực nghiệm sư phạm CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ 1.1.1 Khái niệm kỹ Kỹ “là khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực áp dụng vào thực tế” [18; tr670] Theo tâm lý học, kỹ khả thực có hiệu hành động theo mục đích điều kiện xác định Nếu tạm thời tách tri thức kỹ để xem xét riêng tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc khả “biết”, kỹ thuộc phạm vi hành động, thuộc khả “biết làm” Tác giả A.V Petrovxki cho rằng: “Kỹ cách thức hành động dựa sở tổ hợp tri thức kĩ xảo Kỹ hình thành đường luyện tập tạo khả cho người thực hành động không điều kiện quen thuộc mà điều kiện thay đổi” “Kỹ năng lực sử dụng kiện, tri thức hay khái niệm có, lực vận dụng chúng để phát thuộc tính chất vật giải thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [17] “Kỹ nghệ thuật, khả vận dụng hiểu biết có bạn để đạt mục đích mình, kỹ đặc trưng toàn thói quen định, kỹ khả làm việc có phương pháp” [6] “Kỹ khả vận dụng kiến thức thu nhận lĩnh vực vào thực tế” [10] Theo tác giả “Kỹ hệ thống thao tác, cách thức hành động phù hợp để thực có kết hoạt động dựa tri thức định” “Trong toán học kỹ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhận được” [5] Kỹ giải toán dựa sở tri thức toán học, nói đến kỹ giải toán gắn liền với phương pháp toán học nhằm hình thành rèn luyện kỹ Chẳng hạn như: kỹ để thực toán cách giải tích, SV phải có tri thức khoa học liên quan, liên hệ quãng đường thời gian, vận tộc quãng đường,… Đồng thời SV phải biết biểu diễn quan hệ yếu tố toán thành giải tích, SV phải có kỹ giải tập giải tích Hệ thống kỹ giải toán sinh viên chia làm ba cấp độ: biết làm, thành thạo sáng tạo việc giải toán cụ thể Như dù phát biểu góc độ nào, kỹ khả vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp…) để giải nhiệm vụ đặt Nói đến kỹ nói đến cách thức thủ thuật trình tự thực thao tác hành động để đạt mục đích định Kỹ kiến thức hành động Trong thực tế dạy học cho thấy, SV thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: SV không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho SV, người thầy giáo cần phải tổ chức cho SV học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để SV nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn 1.1.2 Sự hình thành kỹ Để hình thành kỹ trước hết cần có kiến thức làm sở cho việc hiểu biết, luyện tập thao tác riêng rẽ thực hành động theo mục đích yêu cầu Kỹ hình thành thông qua trình tư để giải nhiệm vụ đặt Muốn có kỹ thực hành động ta cần phải: + Có kiến thức để hiểu mục đích hành động, biết điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hành động + Tiến hành hành động với yêu cầu + Đạt kết phù hợp với mục đích để + Có thể hành động có hiệu điều kiện khác + Có thể qua bắt trước, rèn luyện để hình thành kỹ phải trải qua thời gian đủ dài 1.1.3 Đặc điểm kỹ Trong vận dụng, ta thường ý đến đặc điểm kỹ năng: - Bất kỳ kỹ phải dựa sở lý thuyết, kiến thức, cấu trúc kỹ bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đến kết - hiểu điều kiện để triển khai cách thức - Kiến thức sở kỹ kiến thức phản ánh đầy đủ thuộc tính chất đối tượng, thử nghiệm thực tiễn tồn ý thức với tư cách hành động - Kỹ giải toán phải dựa sở tri thức toán học, bao gồm: kiến thức, kỹ năng, phương pháp 1.1.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến hình thành kỹ - Nội dung toán: Nhiệm vụ đặt trìu tượng hoá hay bị che phủ yếu tố phụ làm lệch hướng tư có ảnh hưởng đến hình thành kỹ - Tâm thói quen ảnh hưởng đến hình thành kỹ Việc tạo tâm thuận lợi học tập giúp sinh viên dễ dàng việc hình thành kỹ - Kỹ khái quát nhìn đối tượng cách toàn thể mức cao hay thấp 1.2 Kỹ giải toán 1.2.1 Kỹ giải toán gì? “Kỹ giải toán khả vận dụng tri thức toán học để giải tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [3, tr.12] Để thực tốt môn toán trường Cao đẳng, yêu cầu đặt là: “Về tri thức kỹ năng, cần ý tri thức, phương pháp đặc biệt tri thức có tính chất thuật toán kỹ tương ứng Chẳng hạn: tri thức kỹ giải toán cách lập phương trình, tri thức kỹ chứng minh toán học, kỹ hoạt động tư hàm…” [13, tr.41] Giải toán tiến hành hệ thống hành động có mục đích, chủ thể giải toán phải nắm vững tri thức hành động, thực hành động theo yêu cầu cụ thể tri thức đó, biết hành động có kết điều kiện khác Trong giải toán, theo quan niệm kỹ giải toán SV sau: "Đó khả vận dụng có mục đích tri thức kinh nghiệm có vào giải toán cụ thể, thực có kết hệ thống hành động giải toán để đến lời giải toán cách khoa học" Cần ý tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có yêu cầu rèn luyện kỹ khác 1.2.2 Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng hàng đầu môn Toán Rèn luyện kỹ toán học kỹ vận dụng toán học vào thực tiễn mà trước tiên kỹ giải toán nhằm đạt yêu cầu cần thiết sau: - Giúp sinh viên hình thành nắm vững mạch kiến thức xuyên suốt chương trình - Giúp sinh viên phát triển lực trí tuệ 10 Stt Kỹ đánh giá Tốt SL Khá % SL Ý kiến Trung % bình SL % yếu SL Kỹ xác định Kỹ định hướng lời giải, cách giải Kỹ chứng minh Kỹ tính toán tập theo công thức Theo bạn 04 biện pháp mà tác giả đề xuất, biện pháp mang tính cần thiết ? ST Nội dung giải pháp Mức độ cần thiết Cần Bình thường T Chưa cần thiết Trang bị kiến thức khái niệm tính chất để làm sở cho việc giải tập giải tích Trang bị củng cố tri thức phương pháp cho sinh viên Xây dựng hệ thống tập có phân bậc Giúp SV phát sửa chữa sai lầm giải tập giải tích Theo bạn 03 biện pháp mà tác giả đề xuất, biện pháp mang tính khả thi ST T Mức độ khả thi Nội dung giải pháp Khả thi Trang bị kiến thức khái PL.90 Bình thường Không khả thi % niệm tính chất để làm sở cho việc giải tập giải tích Trang bị củng cố tri thức phương pháp cho sinh viên Xây dựng hệ thống tập có phân bậc Giúp SV phát sửa chữa sai lầm giải tập giải tích CHÂN THÀNH CẢM ƠN! PL.91 PHỤ LỤC HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN Kỹ NĂNG MÔN GIẢI TÍCH I Bài tập rèn luyện kỹ tính tích phân * Dành cho sinh viên yếu = = ( = = lne-ln1 = 1-0 = = + = ( + (x) * Dành cho sinh viên trung bình dx Đặt x= asint; 0dx = acostdt Khi dx = = = = (t+ ) = , -= Vậy = 2(1-) = 7: Tính I= Vì = Cho nên: I= = + = -+ = (x) - () + () - (x) = (1-(-2))= 38: Tính Giải: Đặt x=sint (t€ Khi x=0 t=0, x=1 t= Vậy ta đặt x=sint với Ta có: =-sit = =∣cost∣=cost (vì t€ Dx=costdt, đó: PL.92 I== = = == 9: Tính dx Đặt t= Ta có: dx = dx= =2ln(=2(ln3-ln1)=2ln3 10: Tính Giải: Đặt , ta có Do đó: -= = e-(e-1)=1 * Dành cho sinh viên giỏi 11 Tính I = dx Đổi biến x= I= = = - dt 2I= = - = I= 12 I = Giải: Đặt t= ⇒ x= -1 ⇒ dx=2tdt Đổi cận x t Khi I = = = 2arctant = 13 I = Đặt t = + ⇒ dx= Đổi cận x 29 t Khi đó: I = = 3dt = dt + 27 = ( + arctan = + II Bài tập rèn luyện giải phương trình Vi phân PL.93 * Dành cho sinh viên yếu 14 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: Giải: Phương trình đặc trưng = có nghiệm kép k1,2 = nên nghiệm tổng quát phương trình là: = (C1 + C2x) 15 Tìm nghiệm tổng quát phương trình Giải: Phương trình đặc trưng = có nghiệm k1,2 = -1 i Nghiệm tổng quát phương trình = (C1cosx + C2sinx) 16 Cho phương trình vi phân: Tìm nghiệm tổng quát; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu y() =1 Lời giải: * ↔ y = (C- số tùy ý) Đây nghiệm tổng quát * Thay y() =1 vào nghiệm tổng quát được: 1= + C ↔ 1= + C ↔ C = Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: y=sin2x + 17 = Giải: Đặt y=ux, = u+x Phương trình có dạng u+ x = ↔ x =1 ↔ xdu= dx ↔ u=ln + C Thay u= , ta có y = x(ln∣x∣ + C) (x 18 Phương trình (1) Có nghiệm tổng quát y =C (C tùy ý) (2) Coi C (2) hàm biến x, ta có = Thay vào phương trình , ta được: - = x ↔ =x ↔ (D tùy ý) Thay C vừa tìm vào (2), nghiệm tổng quát y = (D -) = D (D tùy ý) * Dành cho sinh viên trung bình PL.94 19 (1) Phương trình nhất: (2) Phương trình đặc trưng : -3 = ↔ =3 Nghiệm tổng quát (2) =C Tìm nghiệm riêng (1) dạng: = A cosx + B sinx Ta có = - A sinx + B cosx Thay vào (1), ta có: - A sinx + B cosx – (Acosx + B sinx) = cosx (∀x) So sánh hệ số cosx, sinx, ta hệ: ↔ Vậy =- cosx + Nghiệm tổng quát (1) là: y= + = Ccosx + sinx 20 Phương trình =0 Phương trình đặc trưng +2 = ↔λ=1; λ=2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: (C1, C2 tùy ý) Tìm Lưu ý f(x) = 2x+1 = (2x+1) Ta tìm nghiệm riêng dạng = Ax+ B (A, B số chưa biết) Ta có (x) = A, (x) = Thay , (x), (x) vào phương trình cho được: 2Ax+ 2B-3A = 2x+1, ∀x So sánh hệ số bậc lũy thừa x, hệ: ↔ Vậy ta có nghiệm y = 21 Giải phương trình Giải: Phương trình đặc trưng: k2+k-2=0 k=1; k= -2 PL.95 Nghiệm tổng quát phương trình nhất: Vì α=1 nghiệm đơn phương trình đặc trưng nên tìm nghiệm riêng dạng Ta có =(Ax2+Bx) + (2Ax+B) = (Ax2+Bx) + (2Ax+B) + thay vào phương trình giải rat a được: A=, B= Vậy nghiệm riêng: Nghiệm tổng quát phương trình không là: y= + = + * Dành cho sinh viên giỏi 22 Phương trình Phương trình đặc trưng +5 ⇔λ=1 Nghiệm tổng quát phương trình là: (C1, C2 tùy ý) Để tìm nghiệm riêng phương trình cho thuận lợi, ta xét phương trình thành phần (1) (3x+1) = p1 (x) (3) Tìm nghiệm riêng phương trình (1) dạng Khi đó: = Thay (x), (x) vào (1) tìm A= Vậy Tìm nghiệm riêng phương trình (2) dạng =x (Acos2x + B sin2x) (vì λ=1 cặp nghiệm phức liên hợp phương trình đặc trưng) Tính ; thay vào (2) hệ: ⇔ PL.96 Vậy = Tìm nghiệm riêng phương trình (3) dạng = Ax+B Thay , , = vào (3) tìm Vậy = Như vậy, + = + nghiệm riêng Nghiệm tổng quát phương trình cho là: y(x) = = + + ) (C1, C2 tùy ý) 23 (1) Phương trình (2) Phương trình dạng đặc trưng +1=0 ⇔λ= (3) Nghiệm tổng quát phương trình (2) y= () = (C1, C2 tùy ý) Xét phương trình thành phần sau: () (3.1) () (3.2) Tìm nghiệm riêng (3.1) dạng = A cos2x + B sin2x (vì λ=0 nghiệm phương trình đặc trưng) Ta có: -2Asin2x + 2B cos2x = Thay vào (3.1), so sánh hệ số hệ: ⇔ Vậy Tìm nghiệm riêng (3.2) dạng = x(Acosx+ B sinx) (vì λ=0 nghiệm phương trình đặc trưng Tính đạo hàm, thay vào (3.1), tìm =x Nghiệm tổng quát (1) là: PL.97 y= + = + (C1, C2 tùy ý) III Bài tập rèn luyện tìm giới hạn hàm số, hàm số liên tục * Dành cho sinh viên yếu 24 Tìm: ĐS 25 Tìm: ĐS 26 Định f(1) để hàm số sau liên tục x=1 Y= ĐS Hàm số liên tục x=1 khi: * Dành cho sinh viên trung bình 27 Tìm: ĐS 28 Tìm: ĐS 29 Xét tính liên tục hàm số R, phân loại điểm gián đoạn hàm số: f(x) = * Dành cho học sinh khá, giỏi 1  lim1 +  x →∞ x y →a  30 x2 x+ y ,a ∈ R ĐS.e PL.98 ( lim x + y x →0 y →0 ) x2 y2 31 ĐS.1 x2  x+ y  lim1 +  , a ∈ R x →∞ 2x  y→a  32 ĐS.e1/2 lim x →∞ y →∞ 33 x+ y x − xy + y 2 ĐS.0 34 Xét tính liên tục hàm số sau  − | x1| |y|  , xy ≠ , g ( x, y ) = x + sin f ( x, y ) = e x + y2 +1  0, xy = ĐS.miền liên tục f R2 bỏ hai tục tọa độ miền liên tục g PL.99 R2 PHỤ LỤC NHỮNG DẠNG BÀI TẬP CHỦ YẾU TRONG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG CĐBK LÀO Dạng 1: Hội tụ phân kì dãy số Ví dụ: Xét hội tụ, phân kì dãy số 1) Xét hội tụ dãy = 1+ Ta thấy, với n bất kỳ, m=2n thì: = Do , dãy phân kỳ 2) Xét hội tụ dãy = 1+ + …+ Giả sử m>n, ta có = = ⇒n Như vậy, cho trước bé tùy ý, chọn số p> +1 (ký hiệu phần nguyên ), đó, với m, n p, Vậy dãy số hội tụ Dạng 2: Giới hạn dãy số Ví dụ: Tìm giới hạn dãy số Lim = lim = Vậy giới hạn dãy số Dạng 3: Giới hạn hàm số Ví dụ: Cho hàm số f(x) = chứng minh: Giải: Hàm số f(x) = không xác định x=2 Giả sử số dương cho trước tùy ý, x ≠2 ta có: = = Lấy = 5, ta có: Vậy Dạng 4: Sự liên tục hàm số Ví dụ: Xét liên tục hàm số f(x) = điểm Giải: Rõ ràng f(x) xác định lân cận + Ta có f(1) = (=2 f(x) =2 =f(1) Vậy hàm số cho liên tục x=1 Dạng 5: Đạo hàm Ví dụ: PL.100 1) Cho y=x, x ( -, ta có = =1 2) Cho y=, x ( -, ta có = = = Dạng 6: Vi phân Ví dụ: 1) Tìm vi phân hàm số y= arctanx Giải ta có dy= (arctanxdx= 2) Tìm vi phân hàm số y=sin( Ta có dy= (x)dx = (2x+3) cos( dx = Trong đó: u= ; du= (2x+3)dx Dạng 7: Tính giới hạn dạng vô định ( ) ( quy tắc L’Hospital kí hiệu Lop) Ví dụ: Tính () Giải: Ta có = = Dạng 8: Cực trị hàm số Ví dụ: Cho hàm số y=2x-3 a,Tìm cực trị hàm số b,Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số [-2;3/2] Giải: a, Tập xác định hàm với x Ta có y’=2-3 = 2- = Với y’=0  – =  =  x=1 y’ không xác định =  x=0 Bảng biến thiên x -1 y’ y + ∣ ∣∣ CĐ + - ∣ + + + + + CT Cực đại: ycđ = y(0) = Cực tiểu: yct = y(1) = -1 b,Ta có y(-2) = -4 - 3; y(3/2) =3 - Vậy ymax=max{-4 - 3; 3-3; 0; -1}= ymin= min{-4 - 3; 3-3; 0; -1}= -4 - Dạng 9: Tính diện tích Ví dụ: Tính diện tích miền D giới hạn đường cong: xy=, (a>0) Giải: Đường xy= cắt đường thẳng x+y = , a>0, hai giao điểm có hoành độ x= x=2a Do diện tích miền D là: PL.101 D = == ( Dạng 10: Tính thể tích Ví dụ: Áp dụng tích phân lớp, tính thể tích vật thể giới hạn mặt sau: z=1+x+y, z=0, x+y=1, x=0, y=0 Giải: Thể tích tính sau: V== =2- =2– =2 - = Vậy thể tích vật thể Dạng 11: Tổng chuỗi số Ví dụ: Tính tổng chuỗi số sau: Giải: Ta có = = = =→= + = + = Dạng 12: Sự hội tụ phân kỳ chuỗi số Ví dụ: Xét hội tụ phân kỳ chuỗi số sau 1) Giải: Ta có = + +…++…+=2 Suy bị chặn Vậy chuỗi hội tụ 2) Giải: Ta có = + +…++…+= Suy không bị chặn Vậy chuổi phân kỳ Dạng 13: giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ: Tính: Giải: Hàm f(x) = có miền xác định Xét dãy tùy ý , →0, →1 ta có: → = -3 Vậy, Dạng 14: Tính liên tục liên tục hàm số nhiều biến Ví dụ 1: Tính liên tục hàm số nhiều biến Xét hàm số f(x,y) xác định R2 cho biểu thức; f(x,y)= ta thấy ∣xy∣0f(x,y) = Vậy hàm số liên tục (0,0) Ví dụ 2: Tính liên tục hàm số nhiều biến Xét hàm số z= R2 Với cặp điểm M1(x1,y1), M2(x2,y2) ta có: ∣∣ Do PL.102 Nên ( + Từ ta có: ∣f(M1)-f(M2)∣(M1,M2) Do đó: ε > 0, = ,∀ M1, M2 R2 mà (M1,M2) ∣f(M1)-f(M2)∣ < Vậy hàm số liên tục điều R2 Dạng 15: Đạo hàm hàm số nhiều biến Ví dụ: Cho z=3x2y+2x+y3-1+sin(xy2) = 6xy + +y2 cos(xy2), =3x2+3y2+2xy cos(xy2) Dạng 16: Vi phân hàm nhiều biến Ví dụ: tính gần arctg Xét hàm số z=arctg Ta thấy z’x= , z’y= Coi x0=1, y0=1 x=-0,05, y=0,02 Ta có: arctg=z(1-0,05+0,02)z(1,1) + =arctg1+ 0.035= + 0.035=0,82 rad Dạng 17: Tích phân hai lớp Ví dụ: Tính tích phân I= V=[0,1] x [0,2] hình chữ nhật Giải: I = = =dx = =2.= Dạng 18: Tích phân ba lớp Ví dụ: Tính tích phân: I=, V hình hộp ba chiều: V=[0,1] x [0,1] x [0,3] Giải: I= = = = dx = == Dạng 19: Tích phân mặt loại Ví dụ: Tính tích phân mặt loại I: I = Trong S phần mặt phẳng x+y+z=1, x Giải: Trên mặt S ta có: Z=1-x-y, (x,y) , D = Do đó: I= = == Dạng 20: Tích phân mặt loại Ví dụ tính tích phân mặt loại II: I= Trong mặt cầu định hướng theo pháp tuyến hướng phía Giải: Chọn phép tham số hóa mặt S theo tọa độ cầu: x= Rsincos y= Rsincos z= Rsin (0) Khi vectơ = (A,B,C) hướng phía mặt cầu, đó: PL.103 A= = = cos B = = sin, C = = cos Vậy nên: I= ) d = ) d = 2cos) = Dạng 21: Phương trình vi phân cấp Ví dụ: Giải phương trình x(1+) dx+ y(1+) dy=0 Giải: Do 1+ , nên ta có dx + dy =0 ↔ + = C Tính tiếp, ta tích phân tổng quát phương trình là: (1+) (1+) = D (với D= ) Dạng 22: Phương trình vi phân cấp Ví dụ: Giải phương trình + 2x=0 Giải: Đặt p= = Thay vào có phương trình + 2xp=0 Giải, nghiệm p= Thay p=, = y = + Đây nghiệm tổng quát phương trình đầu PL.104 ... CHƯƠNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG BÁCH KHOA NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO 19 2.1 Định hướng xây dựng biện pháp rèn luyện kỹ giải tập toán giải tích 2.1.1... nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho SV phải dựa quan điểm hoạt động với bốn tư tưởng chủ đạo 2.2 Biện pháp rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho sinh viên trường CĐBK Lào Rèn kỹ giải toán rèn luyện. .. để rèn luyện kỹ giải tập giải tích cho SV trường CĐBK Lào Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng thuật số lí luận (kỹ năng, kỹ giải toán…) - Xác định kỹ giải tập giải tích - Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kỹ