Giải các dạng bài tập giải tich 2

DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctg y x chứng minh z’’ xx + z’’ yy = 0 Z = artag y x ⇒Z’ X = ) 2 )(1( 1 y x y + = 22 yx y + 22 2 )(1 1 . 2 ' yx x y x y x y z + −= + − = Nên ⇒ ' ) 22 ('' x yx y xx z + = = -y. 2 ) 22 ( 2 2 ) 22 ( 2 yx xy yx x + − = + y yx x yy z ' 22 )( '' + − = = 222222 )( 2 )( )2( . yx xy yx y x + = + − − Vậy ⇒ =+ yy z xx z '''' .0 2 ) 22 ( 22 = + +− yx xyxy (đpcm ) Câu 3 : (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’ x -yz’ y =x Z =x + f(xy) vì f(t) khả vi ⇒∃ f ’ (t) = f ’ (xy) ⇒ =+= x xyfx x z ' )(( ' )( ' . ' )(1 xyfxxy+ (a); Z ’ Y = )( ' . ' )(0 ' ))( ' ( xyf y xy y xyfx +=+ )( ' . xyfx = (b) Thay (a) và (b) ta có =− y zy x zx ' . ' . ))(.())(1( '' xyfxyxyyfx −+ = =−+ )( ' )( ' xyxyfxyxyfx x (đpcm) Câu 4 : (1đ) Cho hàm số z = y f (x 2 -y 2 ), với f(t) là hàm số khả vi CMR 2 ' 1 ' 1 y z z y z y yx =+ ) 22 ( yxyfz += )(.2)(.).()(( 22'22''22'22' yxfxyyxfyxyyxyfz xxx −=−−=−= và )(.2)()(.)()())(( 22'22222''2222'22' yxfyyxfyxfyxyyxfyxyfyz yy −−−=−−+−=−= Khi đó ⇒ =+ y z y x z x ' . 1 ' . 1 ))(2)(.( 1 )(2. 1 22'22222' yxfyyxf y yxxyf x +−−+− = y yxf ) 22 ( + (đpcm) Câu 5 : (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= 22 yx + CMR z’’ xx + z’’ yy =0 r r z ln 1 ln −== ,với 2 yxr += Ta có: r x yx x x r = + = 22 2 2 ' r y yx y y r = + = 22 2 2 ' 2 / . 1 '. 1 )ln(' r x r x r r r rz x x x − =−=−=−=⇒ )( 2 2 .'2 . 1 )'('' 4 22 4 2 422 a r rx r r r x xr r rr x rr x z x xxx − = +− =+ − = − =⇒ Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức → tính tương tự ta được : )( 4 22 2 '' b r ry yy z − = Cộng 2 vế (a) và (b) → 4 222 4 22 4 22 2)(222 '''' r ryx r ry r rx zz yyxx −+ = − + − =+ = 0 (đpcm ) Câu 6 : (1đ) Cho hàm số x yx xy y x arctgx y x y x y x arctgzyx y x xarctgz x 22 )(1 1 . 1 .' 22 2 22 − + +=− + +=⇒−−= Khi đó )(2'. 22 2 2 a yx yx x y x xarctgzx x + +−= )(2'.22 )(1 1 ' 2 22 2 22 2 2 2 by yx yx zyy yx x y y x y x xz yy − + − =⇒− + − =− + − = Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được )('')(222'.' 22222 22 2 2 yxzyzxzyx y x xarctgy yx yx x y x xarctgzyxz yxyx +−=+⇔+−=− + − +−=+ Câu 7 : (1đ) )2,1,1 222 (A,zyxu ++= Ta có : 2 z 2 y 2 x x 2 z 2 y 2 x2 x2 x u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 z 2 y 2 x y 2 z 2 y 2 x2 y2 y u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 z 2 y 2 x z 2 z 2 y 2 x2 z2 z u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 x )A(u = ++ = ∂ ∂ ⇒ 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 y )A(u = ++ = ∂ ∂ ⇒ 2 2 2 )2( 2 1 2 1 2 z )A(u = ++ = ∂ ∂ ⇒ Biết rằng: AOl   = tạo với 3 trục của Oxyz cỏc gúc γβα ,, cosin Chỉ phương: 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 cos = ++ = α 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 cos = ++ = β 2 2 2 )2( 2 1 2 1 2 cos = ++ = γ Vậy: 1 cos )( cos )( cos )()( 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 =++= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ γβα l Au y Au x Au l Au Câu 8 : (1đ) Cho trường vô hướng A(1,0),T¹i TÝnh u )1,1()ln(.2 −=−−+ ∂ ∂ lyxyxxu l   Bg: Ta có yx2 1 yx x )yxln(2 x u − − + ++= ∂ ∂       yx2 1 yx x2 x u − + + = ∂ ∂ ( ) 2 3 012 1 01 1 )01ln(.2 )( = − − + ++= ∂ ∂ ⇒ x Au 2 5 012 1 01 1.2 y )A(u = − + + = ∂ ∂ Biết rằng ⇒−= )1,1(l  véctơ Chỉ phương 2 1 )1(1 1 2 1 )1(1 1 0 2222 coscos)cos,(cos − −+ − −+ ======= l y l x l   βαβα Biết rằng βα cos y )A(u cos x )A(u l )A(u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂  2 2 2 1 2 5 2 1 2 3 − − =         += Câu 9 : (1đ) Cho trường vô hướng (gradu). div TÝnh )3x2y(eu 2xy −+= Bg: Ta có ( ) y u x u gradu kh¸c MÆt ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = +−+=+−+=+−+=+−+= ; )232.(.2)32(.)232(.2)32(. 22232 yxxxyeeyxyexyxyyeexyey xyxyxy x u xyxyxy x u và xy eyyxyy xy ey x u .2)232 3 (. 2 2 ++−+= ∂ ∂ )y4y3xy2y(e 224xy +−+ )24 2 3 3 2 22 4 2 3 2 2 4 ( 22 )24 2 3 3 2 22 ()22()23 2 2 2 (. 2 2 ++−+++−+= ∂ ∂ + ∂ ∂ =⇒ ++−+=++++−+= ∂ ∂ xyxxxyyyxyy xy e x u y u xyxxxy xy exy xy eyxxxy xy ex y u 22 (gradu) div Câu 10 : (1đ) Cho hàm ẩn ),( yxzz = Có PT xz y arctgxz − =− Ta có y d y zdx x z yxz d '' ),( += mà 0 ),,( =−+ − =⇔ − =− zx xz y arctgF xz y arctgxz zyx 2 )( 2 2 )(1 1 . 1 ' 2 )( 2 2 )( 2 1 2 )(2 1 2 )(1 1 . 2 )( ' xzy xz xz y xz y F xzy xzyy xz y y xz y xz y x F −+ − == − + − = −+ −++ ==+ −+ =+ − + − = 2 2 )( 2 ) 2 )( 2 ( 2 )( 2 ) 2 )( 2 ( 1 2 )( 2 1 2 )(1 1 . 2 )( ' xzy xzyy xzy xzyy xzy y xz y xz y z F −+ −++− = −+ −++− =− −+ − =− − + − − = 22 22 22 22 22 )(' ' ' 1 )( ))(( )( ))(( ' ' ' xzyy xz F F z xzy xzyy xzy xzyy F F z z y y z x x −++ − = − = = −+ −++− −+ −++− = − =→ nnª VËy dy xzyy xz dxdyzdxzd yxyxz 22 ),( )( '' −++ − +=+= dã, Do Câu 11 : (1đ) cho hàm ẩn ),( zyxx = có PT : 23 xyxx4z +−= Víi 2 4 3 ),,( xyxxz zyx F −−+=⇔ 1' 2' 43' 22 = −= −−= zF xyF yxFd y x ã, Khi 22 22 43 1 ' ' ' 43 2 ' ' ' yx F F x yx xy F F x x z z x y y −− − = − = −− = − =⇒ Như vậy = dz yx dy yx xy dzxdyxd zyzyx 2222 ),( 43 1 43 2 '' −− − −− =+= Câu 12 : (1đ) cho hàm ẩn ),( zyxx = có PT )y2yx(ez 2x2 ++= ozyyxeF x zyx =−++=⇔ )2( 22 ),,( Ta có: 1' )1(.2)22(')1242()2(.2' 2222222 −= +=+=+++=+++= z xx y xxx x F yeyeFyyxeeyyxeF )2412( 1 ' ' ' 2412 )1(2 )2412( )1(2 ' ' ' 22222 2 yyxe F F x yyx y yyxe ye F F x x x z z x x x y y +++ =−= +++ +− = +++ +− = − =⇒ Như vậy )2412( )1(2 '' 22 2 ),( yyxe dzdyey dzxdyxd x x zyzyx +++ ++− =+= DẠNG CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 1 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số )4)(( +−+= yxyxez x Mxđ : Ryx ∈∀ ),( ta có [ ] 42)4)(()()4()4)((' +++−+=+++−++−+= xyxyxeyxeyxeyxyxez xxxx x [ ] yeyxeyxez xxx y 24)()4(' −+=+−+−= Xét tọa độ các điểm tới hạn của h/số : M(x,y)      = = 0)(' 0)(' M y z M x z ⇔ [ ] )189'( 2 2 4 2 086 2 042)2( 2 042)4)(( 0)24( 2 2 =−=∆           −= =    −= = ⇔      =++ =    =+++ = ⇔      =+++−+ =− x y x y x y xx y xyxyxe ye y x x ⇒ Hàm số có 2 điểm tới hạn: )2,2( 1 − M và )2,4( 2 −M Ta lại có: [ 42)4)(('' +++−+== xyxyxezAr x xx ] [ ] ====+++−+=++++−+ yxxy x zzBsxyxyxeyxyx ''''104)4)((2)()4( [ ] [ ] x y x yy x x x eyezCtyeye 2)24('')24()24( // −=−===−=− 3 Tại M1(-2,2),ta có: [ ] 0.2 0.4.40.2)1('' 0)2.24(''.210)2(4)422.(0)('')( 2 )1( 4422 )1( 2 )1()1( 22 11 >= >=+=−⇒−== =−===+−++−−== − −−− −−− eA eeACBeMzC ezBeeMzMA M yyM MxyMxx ⇒Hàm số không đạt cực trị tại M 1 (-2,2) Tại M 2 (-4,2),ta có : 0.2 0.4.40 .2 0)2.24( 2)104(4)424)(24(()('' 4 882 4 4 44 2 <−= <−=−=−⇒ −= =−= −=+−++−−+−== − −− − − −− eA eeACB eC eB eeMzA xx Vậy hàm số đạt cực đại tại M 2 (-4,2) và 44 )2,4(max .4)424)(24( −− − =+−−+−== eezz Câu 2 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số xyyxz 3 22 −+= Ta có MXĐ :       ∈∀= 2 ),( RyxD và xy y z yx x z 3 2 3' 3 2 3' −= −= Xét tọa độ các điểm tới hạn M(xo,yo) của Z(x,y) :      = = ⇔      =− =− ⇔    = = )2( )1( 033 033 0' 0' 2 2 2 2 xy yx xy yx z z y x Thay (2) vào (1) ⇔=→ yy 4    = = ⇔=++−⇔=− 0 1 0) 4 3 ) 2 1 )((1(0)1( 2 1 23 y y yyyyy Với : 1 2 11 1 1 ==→= yxy Với : 0 2 22 0 2 ==→= yxy ⇒Ta có 2 điểm tới hạn của :M 1 (1,1) và M 2 (0,0): ta có yz zz xz yy yxxy xx 6'' 3'''' 6'' = −== = Tại M 1 (1,1) thì ⇒ 027)6.6()3( 6)1('' 3'' 61.6'' 22 )1( )1( <−=−−=−=∆⇒ == −== === ACB MzC zB zA yy Mxy Mxx Vậy ⇒    >= <∆ → 06 0 A H/s đạt cực tiểu tại M 1 (1,1) Tại M 2 (0,0) ta có 090)3( '' 3'' 00.6'' 22 00.6)( )( )( 2 2 2 >=−−=−=∆ = −== === == ACB zC zB zA Myy Mxy Mxx ⇒hàm số không đạt cực trị tại M 2 (o,o) .Như vậy hàm số đó cho đạt cực tiểu tại M 1 (1,1) = - 1 Câu 3 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số 0, 2 )2)( 2 2( ≠−−= abybyxaxz MXĐ : 2 ),( Ryx ∈∀ Ta có : [ ] [ ] )2()(22)2(' )2()(22)2(' )2()2()2)(2( 22 axxbyybyaxxz byyaxxaxbyyz byyaxxybxxaxz y x −−=+−−= −−=+−−= −−=−−= Xét hệ PT:    =−− =−− ⇔      = = 0))(2(2 0)2()(2 0' 0' byaxx byyax y z x z 4                 = =    = =    = =    = =    = = ⇔              = = =     = = = ⇔ by ax y ax by x oy x by ax by ax ox by y ax 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 Kết hợp các khả năng với ab ≠ 0→a ≠0 ,b≠0, ta có 5 điểm tới hạn sau :M 1 (0,0) , M 2 (0,2b), M 3 (a,b) , M 4 (2a,0) ,M 5 (2a,2b) Ta lần lượt xét các điểm tới hạn trên với ][ ))((42)(2'''' )2(2))2()(2('' ' byaxybyaxyxzxyz byybyyaxz xxx −−=+−−== −=−−= và )2(2'' axxyyz −= với M 1 (0,0)→ ) 1 ('' Mxxzr = 0)20.(0.2 =−= b 0)20(0.2)('' 4)0)(0(4)('' 2 1 =−== =−−== aMyyzt abbaMxyzs =−=−=∆⇒ 0.0 2 )4( 2 abrts 0 22 16 〉 ba (ab ≠ 0) mà r = 0 ⇒ M 1 (0,0) không là điểm cực trị Với M 2 (0,2b)→ 0)22(2.2)('' 2 =−== bbbMxxzr 0)20(0.2)('' )(4)2)(0(4)('' 2 2 =−== −=−−== aMyyzt abbbaMxyzs 0 22 16 2 〉=−=∆ barts ⇒M 2 (0,2b) không là điểm cực trị Với M 3 (a,b)⇒ 2 3 3 2 3 4)2(2)('' 0))((4)('' 4)2(.2)('' aaaaMyyzt bbaaMxyzs bbbbMxxzr −=−== =−−== −=−== =−=−=∆→ 22 16 2 0 2 barts 0 22 16 〈−= ba mà r= -4b 2 < 0 ⇒hàm số đạt cực đại tại M 3 (a,b) * Với M 4 (2a,0)⇒ 0)20(0.2) 4 ('' =−== bMxxzr obaabrtsaaaMyyzt abbaaMxyzs 〉=−−=−=∆⇒=−== −=−−=== 2222 4 4 160)4(0)22(2.2)('' 4)0)(2(4)('' →Hệ số không đạt cự trị tại M 4 (2a,0) Với M 5 (2a,2b) ta có: 0160)22(2.2)('' 4)2)(2(4)('' 0)22(2.2)('' 222 5 5 5 〉=−=∆→=−== =−−== =−== bartsaaaMyyzt abbbaaMxyzs bbbMzr →Hệ số không đạt cự trị tại M 5 (2a,2b) Như vậy hệ số đạt cực đại tại M 3 (a,b) khi đó 222222 ),(max )2)(2( babbaaZZ ba =−−=== Câu 4 : (2đ) yxyxyxz ln10ln4 22 −−++= Mxđ: { } 0,0:),( 〉〉∀= yxyxD →ta có: x yxxz 4 2' −+= y xyyz 4 2' −+= ; Xét hệ pt tọa độ cỏc điểm tới hạn M (x,y): 5        =−+ =−+ ⇔    = = 0 4 2 0 4 2 0' 0' y xy x yx yz xz        = + −+ =+−− ⇒ 0 )(4 )(3 0 44 xy yx yx yx yx        =−+ =−− ⇔ 0) 4 3)(( 0) 4 1)(( xy yx xy yx { 0 0 0 ==⇔    =+ =− ⇒ yx yx yx → loại Với khụg ∈ D 3 32 3 4 0 4 3 0 ==⇔      = = ⇔      =− =− yx xy yx xy yx    −= −= ⇔      =+ =− 4 0 0 4 1 2 x yx yx xy (vụ n 0 )      = = →        =− =− 3 4 4 0 4 3 0 4 1 xy xy xy xy ( vụ n 0 ) vậy→ hệ pt có 1 n 0 3 32 == yx → Hệ số có 1 điểm tới hạn ) 3 32 , 3 32 (M Xét: 2 4 2'' x zr xx +== 2 4 2'' 1'''' y yy zt yx z xy zs +== === ⇒tại 0154.41 4 4 1'' 1'' 4 4 1'' ) 3 32 , 3 32 ( 2 3 4 )( )( 3 4 )( <−=−=−⇒ =+== == =+== ⇒ rts zt zs zr M Myy Mxy Mxx và r = 4 > 0 ⇒ h/số cực tiểu tại: ) 3 32 , 3 32 (M và 3 4 ln74 3 4 ln 2 14 3 4 .3) 3 32 , 3 32 ( min −=−== zZ Câu 5 : (2đ) yxyxz −−+= 33 MXĐ:∀(x,y)∈R 2 Ta có : 1 2 3' −= x x z 1 2 3' −= y y z Xét hệ PT tọa độ các điểm tới hạn của h/số: 6                                 = =        − = =        = − =        − = − = ⇔                    = − =       = − = ⇔      =− =− ⇔    = = 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 013 013 0' 0' 2 2 y x y x y x y x y y x x y x z z y x ⇒h/số có 4 điểm tới hạn: ) 3 1 , 3 1 ( 4 ), 3 1 , 3 1 ( 3 ) 3 1 , 3 1 ( 2 ), 3 1 , 3 1 ( 1 MM MM − −−− Ta lại có: 6xxx'z'r == yyyzt yxzxyzs 6'' '''' == ⊗=== ⇒lần lượt xét các điểm tới hạn ta có : Tại ) 3 1 , 3 1 ( 1 − M 032 012 32.32 2 32 3 1 .6 ) 1 ( '' 32 3 1 .6 ) 1 ( '' <−= <−= −⊗=−⇒ −= − == ⊗= −= − == r rts Myy zt s Mxx zr ⇒h/số đạt cực đại tại ) 3 1 , 3 1 ( 1 −− M và 9 34 max ) 3 1 , 3 1 ( max =⇒ −− = Z zZ Tại ⇒ − ) 3 1 , 3 1 ( 2 M 7 01232.32 32 3 1 .6'' '' 32) 3 1 .(6'' 2 )( )( 2 2 >=+⊗=−⇒ === ⊗== −= − == rts zt zs zr Myy xy Mxx ⇒h/số ko đạt cực trị tại M 2 Tại          −=−== == === ⇒− 32) 3 1 .(6'' 0'' 32 3 1 .6'' ) 3 1 , 3 1 ( )( )( 3 3 3 Myy xy Mxx xt zs zr M 01232.32 2 >=+⊗=−⇒ rtS ⇒h/số dạt cực trị tại : ) 3 1 , 3 1 (3 − M Tại ⇒ ) 3 1 , 3 1 ( 4 M          == = ⊗=== === 32 3 1 .6 )4 ( '' '''' 32 3 1 .6) 4 ('' Myy zt yx z xy zs Mxxzr 01232.32 2 〈−=−⊗=−⇒ rtS mà 032 〉=r ⇒h/số đạt cực tiểu tại ) 3 1 , 3 1 ( 4 M với 9 34 ) 3 1 , 3 1 ( min −== zZ Như vậy h/số đạt cực đại tại 9 34 max1 ); 3 1 , 3 1 ( =−− ZM Đạt cực tiểu tại: 9 34 min4 ); 3 1 , 3 1 ( −= ZM Câu 6 : (2đ) Tỡm cực trị của hàm số z = x 4 +y 4 – 2x 2 + 4xy -2y 2 z’x = 4x 3 – 4x + 4y z’y = 4y 3 – 4y + 4x z’’xy = 4, z’’x 2 = 12x 2 – 4 z’’y 2 = 12y 2 – 4      =+− =+−      ↔ = = 0xyy 0yxx 0'z 0'z 2 2 y x      =+− =−++ ↔ =+− =+ ↔    0yx 3 x 0)xy 2 y 2 x)(yx( 0yx 3 x 0 3 y 3 x 8                         = = =− =+ ⇔ =+− = =+− =+ ⇔ 0y 0x 0x2 3 x 0yx 0yx 3 x 0xy 0yx 3 x 0yx                   = −= −= = = = ⇔ 2y 2x 2y 2x 0y 0x + Xét A(0,0) z’’x 2 = - 4 = z’’y 2 z’’x 2 y – z’’x 2 . z’’y 2 = 0 + Xét (x,y) theo đường (0,y) => z(0,y) – z(0,0) = y 2 (y 2 -2)<0 Khi y ở lõn cận 0 ( ) 2y < + Xét (x,y) theo đường (x=y) => z(y,y) – z(0,0) = 2y 4 >0 Khi y lõn cận 0. Từ 2 trường hợp trên => (0,0) k 0 là Cực trị * Xét A ( ) ¹i cùc vµo thay d2,2 =>− * Xét B ( ) tiÓu cùc vµo thay =>− 2,2 Câu 7 : (2đ) Tỡm cực trị của hàm số: z = xy+ y 20 x 50 + với x>0, y>0 Giải: Bước 1      − −= 2 y 20 x 2 x 50 x 'z y'z Tỡm cỏc điểm dừng           = =− ⇒ =− =− )2( )1(0 0 0 2 2 2 2 20 50 20 50 y x y x x y x y Thay (2) vào (1) ta có 0y.y0y 4 8 1 2 2 y 20 50 =−⇒=−         => 8y – y 4 = 0 => y(8-y 3 ) = 0    =++−=− = ⇒ 0) 2 24)(2( 3 8 0 yyyy y      =⇒= = ⇒ >++=+− 03 2 )1(42 2 0 yy y y 2 y 5 x ra bµi theo lo¹i Vậy có 1 điểm dừng M 1 (5,2). Bước 2: Tính ACB 2 −=∆ 3 4000 3 40 '' 11'' 100 '' 2 33 2 y zC zB x zA y yx xy x == −=∆⇒== == Tại điểm dừng M(5,2) ta có 0341)2,5( <−=−=∆ => hàm số đạt cực trị ta lại có 9 ⇒>= 0)2,5(A 125 100 Tại M hàm số đạt cực tiểu. Câu 8 : (2đ) Tỡm cực trị cuả hàm số z= x 3 + y 3 – x 2 y Giải: Bước 1:      −= −= 22 y 2 x xy3'z xy2x3'z Tỡm cỏc điểm dừng có hệ      =− =− )2(0 22 3 )1(02 2 3 xy xyx Từ (1) => x(3x-2y) =0    =⇒= = ⇒ yxyx x 3 2 23 0 thay x=0 vào (2) ta có 3y 2 =0 =>y=0 thay x=2/3.y vào (2) ta có 042703 222 9 4 2 =−⇒= yyyy 23 y 2 = 0 => y=0 Vậy ta có điểm dừng M(0,0) Bước 2: Tớnh ACB 2 −=∆ yxzA x 26'' 2 −== yzC y yyxxx xy zB 6'' 2 6).26( 2 42'' == −−=∆⇒−== xét tại điểm dừng M(0,0) ta có 0)0,0( =∆ => chưa có k.luận về cực trị, xét hàm số tại (0,0): z=0; z>0 với x=y Câu 9 : (2đ) Tỡm cực trị của hàm số 1 122 22 ++ ++ = yx yx z 1 22 )122( 1 22 1 22 2 ' ++ ++ ++ −++ = yx yx yx x yx x z 3 22 2 3 22 222 1 222 1 )22()1(2       ++ +−−       ++ ++−++ == yx xxyy yx xxyxyx 3 22 2 1 222 '       ++ +−− = yx yxyx y z 10 [...]... − y = 0   2 2 y 2 2 xy − x + 2= 0  z ' x =0 ( x − y ) (2 x + 2 y + 1) = 0 2 x − 2 xy − y + 2  ↔ 2 ↔  ⇔ Ta có  z ' =0  2 x + 2 y + 1 = 0 2 2 xy − y + 2= 0 2 x − 2 xy − y + 2 = 0  2 x  y   2  2 x − 2 xy − y + 2 = 0  x=y =2 Ta có: 2 x + 2 y +1 ≤ ( 22 +22 + 12 )( x2 + y2 +1) = 3 x 2 + y 2 + 1 ⇒ 2 x + 2 y +1 x 2 + y 2 +1 ≤3⇒ z ≤3 => max z=3 y ↔ x = =1↔ x = y = 2 2 2 => A (2, 2) là cực đại... a x2  = ∫  a2 − x2 − dx   −a a2 − x2    2  a a 2 2   dx  = ∫ 2 a −x − 2 − x2  2 − x 2 + x − x dx − a  a   a    a2 − x2  a  = 2 ∫ a 2 − x 2 dx − −a a dx a2 ∫ − a a2 − x2 a ∫   −a   a ⇒ I = 2 ∫ a 2 − x 2 dx − a 2 a ∫ −a −a dx a2 − x2 14 a I1 = ∫ a 2 − x 2 dx ,đặt x=asint −a −π π ⇒ ≤t ≤ ⇒ 2 2 π I1 = 2 2 2 2 ∫ a − a sin t −π 2 d(asint) π 2 ∫ a cos t.a cos t.dt −π 2 π 2 = a 2. .. A = ⇔ 2 2 B = 0  x → N0 riêng yR1 = − 2 0 – (Ax +B) = ∗ Ta có : f2(x) = eox [ P ( x) cos 2 x + Q0 ( x) sin 2 x] 1 → Ta tìm N0 riêng dạng yR2 = e0x.((ax+b)cos2x+ Csin2x) → yR2 = (ax+b)cos2x + Csin2x → y’R2 = acos2x 2( ax+b)sin2x + 2Ccos2x = (a+2c)cos2x – 2( ax+b) sin2x → y’’R2 = -2( a+2c)sin2x – 2asin2x – 4(ax+b)cos2x = -4(a+c)sin2x – 4(ax+b)cos2x Thay vào (2) ⇒ - (4a +5c)sin2x – 5(ax+b)cos2x =  ... x 2 → 0 (Ax+B)= 23 có N0 riêng dạng yR2= (Ax+B)cos2x + Csin2x → y’R2 =Acos2x 2( Ax + B)sin2x +2Ccos2x = (A+2C)cos2x – 2( Ax +B)sin2x → y’’R2 = - 2( A +2C)sin2x – 2Asin2x – 4(Ax+B) cos2x = -4(A+C)sin2x –4(Ax+B)cos2x Thay vào pt ta được : (-4A –5C)sin2x – 5(Ax+B)cos2x −(4 A + 5C ) = 0  1  ⇔ 5 A = 2  5B = 0  x = − cos 2 x 1  2  A = 10   ⇔ B = 0  −4 1 2 C = =  5 10 25  No riêng: y 'R2 =... o π 2 − a 2 ∫ (cos t − sin t ) cos tdt = o π 4 π 4 I = a 2 ∫ (cos2 t − sin t cos t )dt o π 2 − a 2 ∫ (cos2 t − sin t cos t )dt π 4 π 4 1 + cos 2 t sin 2t = a2 ∫ ( − )dt 2 2 π 2 π 2 1 + cos 2 t sin 2t = a2 ∫ ( − )dt 2 2 π 4 2  1 t + sin 2t + cos 2 t  π 4 =a  4 4  o  2  1 sin 2t cos 2 t  π 2 = a2  t + + 4 4 π  4 2 =0 Câu6(3đ) x2 2 ∫ 2x ln ydx + ( + 1 + y )dy y AB Y B C 1 A 1 Đặt :p = 2xlny... d(asint) π 2 ∫ a cos t.a cos t.dt −π 2 π 2 = a 2 ∫ cos 2 tdt = −π 2 π 2 2 1 + cos 2t dt =a ∫ 2 −π 2 = a 2  sin 2t  π 2 t+ −π 2  2  2   a 2  π −π  −( )  2  2 2   2 sin π − sin(−π ) + ] = πa 2 2 = a d( x ) a dx I2 = ∫ a ∫ −a a 2 − x 2 − a 1− ( x ) 2 a x a a = arcsin − a a −a −a arcsin =π a ⇒ I = 2 I1 − a 2 I 2 = πa 2 2 − a 2 = 0 2 = arcsin b.Dùng công thức Green: y a B L D A -a C 0 a... y 1 + y2 y2 dy 1 + y2 2 1 2 y2 + 1 − 1 −∫ dy = y 1 + y 2 2 1 1+ y 2 2 dy − ∫ 1 + y 2 dy + ∫ 1 1 1 + y2 = y 1 + y2 2 1 − I + ln(y + 1 + y 2 ) 2 1 ⇒ I = (2 5 − 2 ) + ln (2 + 5 ) − ln(1 + 2 ) ⇒ I= 5− 2 1 2+ 5 + ln( ) 2 2 1+ 2 Câu7(3đ) ∫ c (x + y)dx + (y − x )dy x2 + y2 Biểu diễn Pt đường tròn trong dạng tham số: x = a cos t , o < t < 2   y = a sin t 2 [ (a cos t + a sin t )(− a sin t ) I= ∫ a2 o +... 2 , yz 2 zx 2 ) Φ = ∫∫ xy 2 dydz + yz 2 dzdx s + zx 2 dxdy áp dụng công thức :Ostrogratski Φ = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 + x 2 )dxdydz v V : x2 + y2 + z2 ≤ 1 0 ≤ θ ≤ π  Đổi qua toạ độ cầu : V o ≤ ϕ ≤ 2 0 ≤ r ≤ 1  2 π 1 ⇒ Φ = ∫ dϕ ∫ dθdθ ∫ r 4 dr o o o 1 4π = 2 2 = 5 5 Câu14(3đ) 0 ≤ ϕ ≤ 2 r2  Đổi qua toạ độ trục  ≤ z ≤ 2  2  0≤r 2  2 2 2 0 0 r2 2 I = ∫ dr ∫ dϕ ∫ r 3 dz 2 = 2 ∫ r 3 (2 − 0 r2... 2 − x 2 − 2mxy = ny 2 − nx 2 − 2 xy ⇔ ( x 2 − y 2 )(n − 1) + 2 xy (1 − m) b/ = 0, ∀x, y ⇔  n −1 = 0 ⇔ n = m = 1 1 − m = 0  B(a,o) A(a,o) C(a,a) x a a+y a a−x =∫ dy + ∫ dx 2 + y2 2 2 a oa + x I = ∫ pdx + Qdy + ∫ pdx + Qdy o a a+x a a−x CB AC x− y x+ y =∫ dx + ∫ dx p= ,Q = 2 2 2 2 2 2 2 2 oa + x oa + x x +y x +y a 2a a a+ y 0 x− a 1 xa ⇒ I= ∫ dy + ∫ dx = ∫ dx = 2a arctg 2 + x2 a ao a2 + y2 x2 + a2... x − x 2 ⇔ ( x − 1) 2 + y 2 = 1 ⇔  2  x = 1− 1− y ⇔  x = 1+ 1 − y2  y = 2x ⇔ x = y2 2   0≤ y≤1    ≤ x ≤ 1− 1− y2  2  → D = D1 D2  D3 với D1 =  ( x, y) : y 2    1≤ y ≤ 2    D2 = ( x, y ) : y 2  ≤ x ≤ 2  2   2  0≤ y≤1  1 1− 1− y   D3 =  ( x, y ) : f ( x, y )dx +  Vậy → I = ∫ dy ∫ 0 y2 1 + 1 − y 2 ≤ x ≤ 2    2 1 2 0 1+ 1− y 2 + ∫ dy 2 2 1 f ( x, y )dx + ∫ y2 2 ∫ dy . vậy⇒ ∫ += L ydxxdyI dx a a xa x xxa ∫ −           − − +− 22 . 22 ∫ − − ∫ − −−= ∫ −           − −−= ∫ −           − −−= a a xa dx a a a dxxa dx a a xa a xa dx a a xa x xa 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 ∫ − ∫ −−=⇒ − − a a a a xa dx a dxxaI 22 2 22 2 14 ∫ − −= a a dxxaI 22 1 ,đặt x=asint 22 ππ ≤≤ − ⇒ t ⇒ ∫ − −= 2 2 2 sin 22 1 π π taaI .d(asint) ∫ − == ∫ − = 2 2 2 cos 2 2 2 .cos.cos π π π π tdta dttata = ∫ − + 2 2 2 2cos1 2 π π dt t a . MÆt ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = +−+=+−+=+−+=+−+= ; )23 2.( .2) 32( . )23 2( .2) 32( . 22 2 32 yxxxyeeyxyexyxyyeexyey xyxyxy x u xyxyxy x u và xy eyyxyy xy ey x u .2) 2 32 3 (. 2 2 ++−+= ∂ ∂ )y4y3xy2y(e 22 4xy +−+ )24 2 3 3 2 22 4 2 3 2 2 4 ( 22 )24 2 3 3 2 22 ( )22 ( )23 2 2 2 (. 2 2 ++−+++−+= ∂ ∂ + ∂ ∂ =⇒ ++−+=++++−+= ∂ ∂ xyxxxyyyxyy xy e x u y u xyxxxy xy exy xy eyxxxy xy ex y u 22 . : 2 z 2 y 2 x x 2 z 2 y 2 x2 x2 x u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 z 2 y 2 x y 2 z 2 y 2 x2 y2 y u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 z 2 y 2 x z 2 z 2 y 2 x2 z2 z u ++ = ++ = ∂ ∂ 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 x )A(u = ++ = ∂ ∂ ⇒ 2 1 2 )2( 2 1 2 1 1 y )A(u = ++ = ∂ ∂ ⇒