CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP

Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP 1. Các tính chất. • ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy± = ±    ∫∫ ∫∫ ∫∫ . • ( ) ( ) . , . , D D k f x y dxdy k f x y dxdy= ∫∫ ∫∫ . • Nếu 1 2 D D D= ∪ với D 1 và D 2 không có điểm chung thì : ( ) ( ) ( ) 1 2 , , , D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= + ∫∫ ∫∫ ∫∫ . 2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các.  Trường hợp 1: ( ) { } , : ,D M x y a x b c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( ) ,z f x y= liên tục trên D thì:  ( ) ( ) ( ) , . , , (1) b d b d D a c a c f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx   = =     ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .  Hoặc: ( ) ( ) ( ) , . , , (2) d b d b D c a c a f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy   = =     ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . *) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính ( ) , d c f x y dy ∫ thì ta coi x là hằng số. - Trong biểu thức (2) khi tính ( ) , b a f x y dx ∫ thì ta coi y là hằng số. - Nếu ( ) ( ) ( ) , .f x y g x h y= và : ,D a x b c y d≤ ≤ ≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( ) , . b d D a c f x y dxdy g x dx h y dy= ∫∫ ∫ ∫  Trường hợp 2: ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , : ,D M x y a x b y x y y x= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( ) ,z f x y= liên tục trên D thì:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 , . , , (3) y x y x b b D a y x a y x f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx   = =       ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫  Trường hợp 3: ( ) ( ) ( ) { } 1 2 , : ,D M x y x y x x y c y d= ≤ ≤ ≤ ≤ và ( ) ,z f x y= liên tục trên D thì:  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 , . , , (4) x y x y d d D c x y c x y f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy   = =       ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Đổi biến số trong hệ đề-các.  Phương pháp:  Bước 1: Đặt ( ) ( ) , , x x u v y y u v =   =   .  Bước 2: Tính ' ' ' ' . u v u v x x J dxdy J du dv y y = ⇒ =  Bước 3: Xác định ( ) ( ) ' , ,x y u v D D→ . Page 1 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com  Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ' , , , . . D I f x u v y u v J dudv= ∫∫ 4. Tích phân trong tọa độ cực. DÊu hiÖu nhËn biÕt: ( ) , D f x y dxdy ∫∫ mà D chứa biểu thức: 2 2 2 2 2 2 ; x y x y a b + + .  Phương pháp:  Đặt: cos sin x r y r ϕ ϕ =   =   Tính: ' ' ' ' cos sin . sin cos r r x x r J r dxdy rdr d y y r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = = = ⇒ = .  Xác định ( ) ( ) ' , ,x y r D D ϕ → .  Tính ( ) ' cos , sin . . D I f r r rdrd ϕ ϕ ϕ = ∫∫  Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D. x y (D) O Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 ϕ ϕ = , 2 ϕ ϕ = ( ) 1 2 ϕ ϕ < suy ra cận ϕ : 1 2 ϕ ϕ ϕ ≤ ≤ Thay cos sin x r y r ϕ ϕ =   =  vào biên D. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , .r r r r r r ϕ ϕ ϕ ϕ → = = < suy ta cận r: ( ) ( ) 1 2 r r r ϕ ϕ ≤ ≤ . Vậy: ( ) ( ) 1 2 1 2 ':D r r r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ ≤    ≤ ≤   (Tính theo r trước, ϕ sau).  Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D. Luôn có:  0 2 ϕ π ≤ ≤ .  Thay cos sin x r y r ϕ ϕ =   =  vào biên D ( ) r r ϕ → = . Khi đó: ( ) 0 r r ϕ ≤ ≤  Vậy ( ) 0 2 ': 0 D r r ϕ π ϕ ≤ ≤    ≤ ≤   .  Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D. Page 2 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com (D) x y O ( ) ( ) 0 0 r r r r r ϕ ϕ =  → ⇒ ≤ ≤  =  Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 ϕ ϕ = , 2 ϕ ϕ = ( ) 1 2 ϕ ϕ < suy ra cận ϕ : 1 2 ϕ ϕ ϕ ≤ ≤ Thay cos sin x r y r ϕ ϕ =   =  vào biên D Vậy: ( ) 1 2 ': 0 D r r ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ ≤    ≤ ≤   Page 3 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com . Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP 1. Các tính chất. • ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , D D. www.caotu28.blogspot.com Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com  Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ' , , , . . D I f x u v y u v J dudv= ∫∫ 4. Tích phân trong tọa độ cực. DÊu. nằm trên biên của miền D. Page 2 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com (D) x y O ( ) ( ) 0 0 r r r r r ϕ ϕ =  → ⇒ ≤ ≤  =  Xác