Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 1 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP 1. Các tính chất. , , , , D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy . . , . , DD k f x y dxdy k f x y dxdy . Nếu 12 D D D với D 1 và D 2 không có điểm chung thì : 12 , , , D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy . 2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các. Trường hợp 1: , : , D M x y a x b c y d và , z f x y liên tục trên D thì: , . , , (1) b d b d D a c a c f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx . Hoặc: , . , , (2) d b d b D c a c a f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy . *) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính , d c f x y dy thì ta coi x là hằng số. - Trong biểu thức (2) khi tính , b a f x y dx thì ta coi y là hằng số. - Nếu ,. f x y g x h y và :, D a x b c y d thì: ,. bd D a c f x y dxdy g x dx h y dy Trường hợp 2: 12 , : , D M x y a x b y x y y x và , z f x y liên tục trên D thì: 22 11 , . , , (3) y x y x bb D a y x a y x f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx Trường hợp 3: 12 , : , D M x y x y x x y c y d và , z f x y liên tục trên D thì: 22 11 , . , , (4) x y x y dd D c x y c x y f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy 3. Đổi biến số trong hệ đề-các. Phương pháp: Bước 1: Đặt , , x x u v y y u v . Bước 2: Tính '' '' . uv uv xx J dxdy J du dv yy Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 2 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com Bước 3: Xác định ' ,, x y u v DD . Bước 4: Tính ' , , , . . D I f x u v y u v J dudv 4. Tích phân trong tọa độ cực. DÊu hiÖu nhËn biÕt: , D f x y dxdy mà D chứa biểu thức: 22 22 22 ; xy xy ab . Phương pháp: Đặt: cos sin xr yr Tính: '' '' cos sin . sin cos r r xx r J r dxdy rdr d yy r . Xác định ' ,, x y r DD . Tính ' cos , sin . . D I f r r rdrd Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D. Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 , 2 12 suy ra cận : 12 Thay cos sin xr yr vào biên D. 1 2 1 2 ,. r r r r r r suy ta cận r: 12 r r r . Vậy: 12 12 ': D r r r (Tính theo r trước, sau). Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D. Luôn có: 02 . Thay cos sin xr yr vào biên D rr . Khi đó: 0 rr Vậy 02 ': 0 D rr . Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D. Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 3 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com 0 0 r rr rr Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 , 2 12 suy ra cận : 12 Thay cos sin xr yr vào biên D Vậy: 12 ': 0 D rr
Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 1 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP 1. Các tính chất. , , , , D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy . . , . , DD k f x y dxdy k f x y dxdy . Nếu 12 D D D với D 1 và D 2 không có điểm chung thì : 12 , , , D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy . 2. Các tính chất tích phân kép trong tọa độ đề-các. Trường hợp 1: , : ,D M x y a x b c y d và ,z f x y liên tục trên D thì: , . , , (1) b d b d D a c a c f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx . Hoặc: , . , , (2) d b d b D c a c a f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy . *) Chú ý :-Trong biểu thức (1) khi tính , d c f x y dy thì ta coi x là hằng số. - Trong biểu thức (2) khi tính , b a f x y dx thì ta coi y là hằng số. - Nếu ,.f x y g x h y và :,D a x b c y d thì: ,. bd D a c f x y dxdy g x dx h y dy Trường hợp 2: 12 , : ,D M x y a x b y x y y x và ,z f x y liên tục trên D thì: 22 11 , . , , (3) y x y x bb D a y x a y x f x y dxdy dx f x y dy f x y dy dx Trường hợp 3: 12 , : ,D M x y x y x x y c y d và ,z f x y liên tục trên D thì: 22 11 , . , , ( 4) x y x y dd D c x y c x y f x y dxdy dy f x y dx f x y dx dy 3. Đổi biến số trong hệ đề-các. Phương pháp: Bước 1: Đặt , , x x u v y y u v . Bước 2: Tính '' '' . uv uv xx J dxdy J du dv yy Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 2 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com Bước 3: Xác định ' ,,x y u v DD . Bước 4: Tính ' , , , . . D I f x u v y u v J dudv 4. Tích phân trong tọa độ cực. DÊu hiÖu nhËn biÕt: , D f x y dxdy mà D chứa biểu thức: 22 22 22 ; xy xy ab . Phương pháp: Đặt: cos sin xr yr Tính: '' '' cos sin . sin cos r r xx r J r dxdy rdr d yy r . Xác định ' ,,x y r DD . Tính ' cos , sin . . D I f r r rdrd Trường hợp 1: Gốc cực O nằm ngoài miền D. Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 , 2 12 suy ra cận : 12 Thay cos sin xr yr vào biên D. 1 2 1 2 ,.r r r r r r suy ta cận r: 12 r r r . Vậy: 12 12 ':D r r r (Tính theo r trước, sau). Trường hợp 2: Gốc cực O nằm trong miền D. Luôn có: 02 . Thay cos sin xr yr vào biên D rr . Khi đó: 0 rr Vậy 02 ': 0 D rr . Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D. Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 3 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com 0 0 r rr rr Xác định hai tia xuất phát từ O giới hạn miền (D). Giả sử là: 1 , 2 12 suy ra cận : 12 Thay cos sin xr yr vào biên D Vậy: 12 ': 0 D rr . Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 1 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN KÉP 1. Các tính chất đề -các. Phương pháp: Bước 1: Đặt , , x x u v y y u v . Bước 2: Tính '' '' . uv uv xx J dxdy J du dv yy Các dạng bài tập về Tích phân. 02 ': 0 D rr . Trường hợp 3: Gốc cực O nằm trên biên của miền D. Các dạng bài tập về Tích phân kép. Email: caotua5lg3@gmail.com Page 3 BS: Cao Văn Tú Blog: www.caotu28.blogspot.com