Bài giảng Giải tích 2 – Chương 7 – Phương trình vi phân (TS.Nguyễn Văn Quang) năm học 2020-2021 – UET

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số Phương trình không thuần nhất vế phải có dạng đặc biệt:

1 Phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp TailieuVNU.com Tổng hợp & Sưu tầm Một số bài toán dẫn tới phương trình vi phân Cho vật khối lượng 𝑚 rơi tự không khí Giả sử sức cản không khí tỷ lệ với vận tốc rơi là 𝑣(𝑡) vào thời điểm 𝑡 với hệ số tỷ lệ là 𝑘 > Tìm 𝑣(𝑡) Khi vật rơi thì lực tác dụng lên vật gồm: lực hút trái đất 𝑚𝑔, lực cản không khí 𝑘𝑣(𝑡) Theo định luật Newton: 𝑚𝑎 = 𝐹, với 𝑎 là gia tốc vật rơi Do đó: 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑡 Hay: 𝑚𝑣 ′ = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 Đây là phương trình vi phân để tìm hàm 𝑣(𝑡) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Một số bài toán dẫn tới phương trình vi phân Cho đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) Tìm phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết tiếp tuyến điểm trên đường cong cắt trục Oy điểm có tung độ lần tung độ tiếp điểm Pt tiếp tuyến với 𝑦 = 𝑓(𝑥) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ): 𝑦 = 𝑦0 + 𝑓 ′ 𝑥0 (𝑥 − 𝑥0 ) Giao điểm tiếp tuyến này với trục Oy (𝑥 = 0): 𝑦1 = 𝑦0 − 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥0 Vì: 𝑦1 = 2𝑦0 → 𝑦0 = −𝑓 ′ 𝑥0 𝑥0 Do 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm bất kỳ, nên ta ′ có phương trình vi phân: 𝑦 𝑥 = 25-Mar-21 𝑦(𝑥) 𝑥 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Phương trình vi phân là phương trình mà đối tượng phải tìm là hàm số và hàm số phải tìm có mặt phương trình đó dạng đạo hàm vi phân các cấp Phương trình vi phân thường (gọi tắt là phương trình vi phân) là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số biến số PTVP thường: ′ 𝑦 =𝑥 +𝑦 25-Mar-21 2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 = TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 = −𝑎2 𝑦 Định nghĩa Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình vi phân với hàm số phải tìm là hàm số nhiều biến số PTVP đạo hàm riêng: 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢 +𝑦 𝜕𝑦 =𝑢 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 =0 Trong khuôn khổ chương trình này, chúng ta xét PTVP thường, và ta gọi tắt là PTVP 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Cấp cao đạo hàm (hoặc vi phân) phương trình vi phân gọi là cấp phương trình vi phân y( x) y( x)   x sin x x phương trình vi phân cấp 2 d y d y 2x 3 e dx dx phương trình vi phân cấp  2u  2u  1 x xy phương trình đạo hàm riêng cấp 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n:   (n)  F x, y, y , , y 0 Ví dụ:    y x  e y y  y  x  Nếu giải y Ví dụ:  (1)  (n) : y     x, y, y, , y (n)  ( n 1)   x  xy dy  x  y dx dy x  y Giải được: y   dx x  xy 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Nghiệm phương trình (1) trên tập X là hàm y   ( x) xác định trên X cho thay vào (1) ta đồng thức Đồ thị nghiệm y   ( x) gọi là đường cong tích phân Ví dụ: phương trình vi phân y  y  có nghiệm là: x y  Cx, C  R vì thỏa mãn phương trình vi phân đã cho 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp 1: F  x, y , y    Nếu giải y : y    x, y  (2) (3) Ví dụ: các phương trình vi phân cấp x  y  y  xe x  dạng (3)  y  xy    y  25-Mar-21   y dy  xy  y dx  2 dạng (3) dạng (2) TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa Bài toán Cauchy Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm phương trình (2) (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) y  x0   y0 (4) Nghiệm phương trình (2) (3) là họ đường cong tích phân phụ thuộc số C Nghiệm bài toán Cauchy là đường cong tích phân qua điểm cho trước  x0 , y0  25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 10 Ví dụ Phương trình vi phân: y  y  x nghiệm phương trình là họ đương cong tích phân: y  Cx , C  R Xét bài toán Cauchy: Ta có: y  y  0, y (1)  x  C 13  C  Nghiệm bài toán Cauchy: 25-Mar-21 y  3x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 11 y  x y  x3 Đường cong tích phân số trường hợp cụ thể Nghiệm bài y  3x toán Cauchy là đường cong màu đỏ Đường cong qua điểm (1,3) yx 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 12 Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Nghiệm ptvp cấp phụ thuộc vào số C tùy ý Nghiệm tổng quát phương trình cấp 1: y   ( x, C ) Nghiệm riêng là nghiệm thu từ nghiệm tổng quát cách cho số C giá trị cụ thể (ví dụ nghiệm bài toán Cauchy) Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy giá trị nào Giải phương trình vi phân là tìm tất các nghiệm ptvp 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 13 Nghiệm - Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP Chú ý Khi giải PTVP không phải nhận nghiệm tổng quát dạng 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶), mà nói chung nhận hệ thức Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶 = (nghiệm tổng quát viết dạng hàm ẩn) Khi đó Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶 = gọi là tích phân tổng quát; 𝐶 = 𝐶0 ta có tích phân riêng Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶0 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 14 Định lý (tồn và nghiệm bài toán Cauchy) Nếu hàm y  f ( x ) liên tục miền mở D  R , thì với điểm  x0 , y0   D , bài toán Cauchy (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định lân cận x0 f Ngoài đạo hàm riêng liên tục D, thì nghiệm này y là 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 15 Phương trình tách biến (phân ly biến số) Dạng tổng quát phương trình: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = Tích phân tổng quát phương trình: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 25-Mar-21 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 16 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 𝑦 ′ = 𝑥(1 + 𝑥 ) Phương trình có dạng tách biến: 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = Tích phân tổng quát ptvp: 𝑦 𝑑𝑦 − 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 Suy ra: 𝑦3 𝑥2 𝑥4 − − =𝐶 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 17 Đường cong tích phân số trường hợp cụ thể: Đường màu xanh: C  Đường màu đỏ: C 1 Đường màu đen: C  25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 18 Phương trình tách biến (phân ly biến số) Chú ý Phương trình có dạng: 𝑋1 𝑥 𝑌1 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑋2 (𝑥)𝑌2 (𝑦)𝑑𝑦 = Nếu 𝑌1 𝑦 𝑋2 𝑥 ≠ → 𝑋1 𝑥 𝑋2 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑌2 𝑦 𝑌1 𝑦 𝑑𝑦 = 0: đây là pt tách biến Nếu 𝑋2 𝑥 = 𝑥 = 𝑎, thì 𝑥 = 𝑎 là nghiệm PTVP Nếu 𝑌1 𝑦 = 𝑦 = 𝑏, thì 𝑦 = 𝑏 là nghiệm PTVP Các nghiệm đặc biệt này không chứa nghiệm tổng quát PTVP trên 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 19 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = Chia vế cho (1 + 𝑥 )(1 + 𝑦 ) ta được: 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 + = 2 1+𝑥 1+𝑦 Tích phân tổng quát ptvp: 𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 + = 𝐶 2 1+𝑥 1+𝑦 ln + ln Suy ra: 1+𝑥 + 𝑦2 = 𝐶 Vậy tích phân tổng quát ptvp là: + 𝑥 + 𝑦 = 𝐶1 , 𝐶1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐶1 > 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 20 Phương trình tách biến (phân ly biến số) Chú ý Phương trình có dạng: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) 𝑑𝑥 Đặt: 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐, đó: 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑎 Suy 25-Mar-21 𝑑𝑦 +𝑏 𝑑𝑥 và 𝑑𝑧 𝑎+𝑏𝑓(𝑧) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 𝑓 𝑧 → 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑓(𝑧) − 𝑑𝑥 = 0: đây là phương trình tách biến TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′ = 2𝑥 + 𝑦 Đặt 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 Khi đó: 𝑧 ′ = + 𝑦′, mà 𝑦 ′ = 2𝑥 + 𝑦, Do đó: 𝑧 ′ = + 𝑧 Suy ra: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 2+𝑧 Đây là pt tách biến Vậy tích phân tổng quát ptvp là: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 2+𝑧 Suy ra: ln 𝑧 + = 𝑥 + 𝐶1 → 𝑧 = 𝐶𝑒 𝑥 − 2, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Thay 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 ta tích phân tổng quát: 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 − 2(𝑥 + 1) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 22 Đường cong tích phân số trường hợp cụ thể: Đường màu xanh: C  Đường màu đỏ: C 1 Đường màu đen: C  25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23 Phương trình đẳng cấp Dạng: y  f  x, y  với f ( x, y ) là hàm đẳng cấp (bậc 0): f (t  x, t  y )  f ( x, y ), t x  xy là hàm đẳng cấp (bậc 0) f ( x, y )  xy  y tx    tx  ty   f (tx, ty )   tx  ty    ty  25-Mar-21 x  xy   f ( x, y ) xy  y TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 24 Phương trình đẳng cấp PTVP đẳng cấp: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), đó 𝑓(𝑥, 𝑦) có thể viết lại dạng 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜑 𝑥 ′ Do đó, ta có ptvp đẳng cấp: 𝑦 = 𝜑 𝑦 𝑥 Vì: hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) có tính chất 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , ∀𝑡, nên ta chọn: 𝑡= , 𝑥 đó 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 Đặt: 𝑢 𝑥 = → 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑥 25-Mar-21 𝑦 𝑥 𝑦 1, 𝑥 =𝜑 𝑦 𝑥 → 𝑦 = 𝑢 𝑥 → 𝑦 ′ = 𝑢 + 𝑥 𝑢′ = 𝜑 𝑢 = 𝜑 𝑢 − 𝑢 hay 𝑑𝑢 𝜑 𝑢 −𝑢 = 𝑑𝑥 , 𝑥 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≠ TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 25 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = Ptvp có dạng: 𝑦 𝑥 𝑦 =− − 𝑥 𝑦 𝑦 Đây là phương trình đẳng cấp, đặt 𝑢 𝑥 = → 𝑦 = 𝑢 𝑥 𝑥 Do đó: 𝑦 ′ = 𝑢 + 𝑥 𝑢′ Thay vào ptvp ban đầu ta có: ′ 𝑢 + 𝑥 𝑢 = −𝑢 − 𝑢 Hay: 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 =− 𝑥 + 2𝑢2 ′ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 26 Ví dụ Tích phân pt này ta thu tích phân tổng quát ptvp: 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑢 =− 𝑥 + 2𝑢2 Hay: 𝑥 𝑙𝑛 = − ln + 2𝑢2 𝐶 Thay 𝑢 = 𝑦 𝑥 vào đẳng thức này ta tích phân tổng quát: 𝐶 𝑥 𝑥 = 𝑥 + 2𝑦 với 𝐶 ≠ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 27 Phương trình đẳng cấp Chú ý Phương trình có dạng: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑦 =𝑓 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 ′ 𝑎1 𝑏1 Nếu 𝑑𝑒𝑡 = 0, thì đặt 𝑧 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 Đưa pt tách biến 𝑎2 𝑏2 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 𝑎1 𝑏1 Nếu 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0, thì hệ có nghiệm 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = (𝛼, 𝛽) Khi đó đặt: 𝑥 =𝑢+𝛼 , đưa phương trình đẳng cấp theo 𝑢, 𝑣 𝑦 =𝑣+𝛽 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 28 Ví dụ ′ Giải phương trình: 𝑦 = ′ Ta có 𝑦 = 𝑥−𝑦 +1 𝑥−𝑦+1 𝑥−𝑦 ′ ′ Đặt 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 + Khi đó: 𝑧 = − 𝑦′, mà 𝑦 = ′ Do đó: 𝑧 = − 𝑧 𝑧−1 = − 𝑧−1 𝑥−𝑦+1 𝑥−𝑦 = 𝑧 𝑧−1 , Suy ra: (1 − 𝑧)𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 Đây là pt tách biến Vậy tích phân tổng quát ptvp là: (1 − 𝑧)𝑑𝑧 = Do đó: 𝑧 25-Mar-21 𝑧2 − = 𝑥 + 𝐶 hay − y 𝑑𝑥 (𝑥−𝑦+1)2 − = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 29 Ví dụ ′ Giải phương trình: 𝑦 = 𝑥−𝑦+1 𝑥+𝑦−3 Hệ phương trình: 𝑥−𝑦+1=0 𝑥+𝑦−3=0 có nghiệm: 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑥 =𝑢+1 Đặt: 𝑦 =𝑣+2 Khi đó: 𝑦𝑥′ = 𝑣𝑥′ = 𝑣𝑢′ 𝑢𝑥′ = 𝑣𝑢′ Vậy ta có: 𝑥−𝑦+1 𝑢−𝑣 ′ ′ 𝑦 = → 𝑣𝑢 = 𝑥+𝑦−3 𝑢+𝑣 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 30 Ví dụ Thực phép đổi biến: 𝑧 = 𝑣 𝑢 Khi đó: 𝑣 ′ = 𝑧 + 𝑧 ′ 𝑢 Ta phương trình: 1−𝑧 ′ 𝑧 + 𝑧 𝑢 = 1+𝑧 Hay: − 2𝑧 − 𝑧 (1 + 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑢 ′ 𝑧 𝑢 = ↔ = 1+𝑧 − 2𝑧 − 𝑧 𝑢 Tích phân tổng quát có dạng: (1 + 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑢 = − 2𝑧 − 𝑧 𝑢 Giải pt tách biến này, và thay biến ta tích phân tổng quát: 𝑥 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 + 2𝑥 + 6𝑦 = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 31 Ví dụ Giải phương trình: 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 − 𝑑𝑦 = Ptvp viết lại dạng: 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑦 =− 𝑥+𝑦−3 ′ Hệ phương trình: 2𝑥 − 4𝑦 + = 𝑥+𝑦−3=0 có nghiệm 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑥 =𝑢+1 Đặt: 𝑦 =𝑣+2 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 32 Ví dụ Khi đó phương trình đã cho có dạng: 2𝑢 − 4𝑣 ′ 𝑣 =− 𝑢+𝑣 Đây là pt đẳng cấp theo 𝑢 và 𝑣 Đặt 𝜉 = 𝑣 𝑢 → 𝑣 = 𝜉 𝑢 Do đó: 𝑣 ′ = 𝜉 + 𝜉 ′ 𝑢 Thay vào ptvp trên ta được: − 4𝜉 ′ 𝜉 + 𝜉 𝑢 = − 1+𝜉 Hay: −𝜉 + 3𝜉 − ′ 𝜉 𝑢 = 1+𝜉 Bằng cách thay trực tiếp vào ptvp ta thấy: 𝜉 = 1, 𝜉 = là nghiệm 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 33 Ví dụ Để tìm nghiệm tổng quát ptvp ta chia vế cho (𝜉 − 3𝜉 + 2): (1 + 𝜉)𝑑𝜉 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + =0↔ − 𝑑𝜉 + =0 𝜉 − 3𝜉 + 𝑢 𝜉−2 𝜉−1 𝑢 Đây là pt tách biến, đó tích phân tổng quát có dạng: 𝑑𝑢 − 𝑑𝜉 + = 𝐶1 𝜉−2 𝜉−1 𝑢 Hay: |𝜉 − 2|3 (𝜉 − 2)3 𝑙𝑛 + ln 𝑢 = 𝐶1 → 𝑢 = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2 (𝜉 − 1) (𝜉 − 1) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 34 Ví dụ Trở lại biến 𝑥, 𝑦 ban đầu ta có tích phân tổng quát: (𝑦 − 2𝑥)3 = 𝐶(𝑦 − 𝑥 − 1)2 cùng với hai nghiệm: 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 2𝑥, tương ứng với 𝑢 = 1, 𝑢 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 35 Phương trình tuyến tính Dạng tổng quát phương trình tuyến tính cấp 1: 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 (1) đó: 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) là các hàm liên tục cho trước  Nếu 𝑞(𝑥) ≠ thì (1) là PTVP tuyến tính cấp không  Nếu 𝑞 𝑥 = 0, ∀𝑥 thì (1) là PTVP tuyến tính cấp (tương ứng)  Nếu 𝑝 𝑥 , 𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, thì (1) là PTVP tuyến tính cấp hệ số số (otonom) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 36 Phương trình tuyến tính Dạng: y  p ( x)  y  q ( x) (1) p ( x ) dx  Cách giải: nhân hai vế (1) với e p ( x ) dx p ( x ) dx p ( x ) dx    y  e  p( x)  y  e  q( x)  e  p ( x ) dx  y  e   q ( x)  e  p ( x ) dx     p ( x ) dx p ( x ) dx   y e  C   q( x)  e dx 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 37 Phương trình tuyến tính • Nghiệm tổng quát PTVP (1) có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝐶+ 𝑞 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 , 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Chú ý: Một số PTVP cấp xem 𝑦 = 𝑦(𝑥) là nghiệm phải tìm thì không phải là pt tuyến tính Nhưng xem 𝑥 = 𝑥(𝑦) thì ta có pt tuyến tính: 𝑥′ + 𝑝 𝑦 𝑥 = 𝑞 𝑦 Khi đó nghiệm tổng quát có dạng: 𝑥 𝑦 = 𝑒− 25-Mar-21 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 𝐶 + 𝑞 𝑦 𝑒 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑑𝑦 , 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 38 Ví dụ Tìm nghiệm phương trình vi phân: 𝑦 ′ + 3𝑥𝑦 = 𝑥, qua điểm (0,4) Ta có 𝑝 𝑥 = 3𝑥 nên dạng: 𝑦 𝑥 =𝑒 −3𝑥 /2 = + 𝐶𝑒 𝐶+ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 3𝑥 /2 3𝑥 Do đó tích nghiệm tổng quát có 𝑑𝑥 = 𝑒 −3𝑥 /2 3𝑥 /2 𝑒 +𝐶 = −3𝑥 /2 Thay: 𝑥 = 0, 𝑦 = vào đẳng thức trên ta có 𝐶 = 11/3 Do đó nghiệm 11 −3𝑥 /2 riêng cần tìm là: 𝑦 𝑥 = + 𝑒 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 39 Phương trình Bernoulli Dạng tổng quát phương trình: 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦𝛼 (2) đó: 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) là các hàm liên tục cho trước, 𝛼 ∈ 𝑅  Nếu 𝛼 = 𝛼 = thì (2) là PTVP tuyến tính cấp  Nếu 𝛼 ≠ 0, 𝛼 ≠ 1: Ta thấy 𝑦 𝑥 = là nghiệm (2) 𝑦(𝑥) ≠ 0: chia vế (2) cho 𝑦 𝛼 ta có: 𝑦 ′ 𝑦 −𝛼 + 𝑝 𝑥 𝑦1−𝛼 = 𝑞(𝑥) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 40 Phương trình Bernoulli Đặt 𝑧 = 𝑦1−𝛼 → 𝑧 ′ = − 𝛼 𝑦 −𝛼 𝑦′ Khi đó ta có PTVP tuyến tính cấp biến 𝑧: 𝑧′ + − 𝛼 𝑝 𝑥 𝑧 = − 𝛼 𝑞 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 41 Ví dụ 2/3  y  x y  3( x  x ) y , y (0)  Giải phương trình: Phương trình Bernoulli   2/ 2/3 y  y  z   y y Đặt z  y  Ptvp có dạng: z  x z  x  x 1 1 /  xe x z  e    1/ 3  2e x x3   C      Ce  3  3  x x3    Ce  Nghiệm tổng quát ptvp: y     3  25-Mar-21  x3  x3 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 42 Ví dụ Điều kiện đầu: y(0) = 1, suy C = 5/3 Nghiệm bài toán Cauchy:  x x3  y     e   3  25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 43 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥𝑦 ′ − 4𝑦 = 𝑥 𝑦 Đây là pt Bernoulli với 𝛼 = 1/2 và 𝑦 = là nghiệm riêng pt đã cho Giả sử 𝑦 ≠ 0, chia vế cho 𝑥𝑦1/2 ta được: 𝑦 −1/2 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥 𝑥 Đặt: 𝑧 = 𝑦 1/2 ′ →𝑧 = −1/2 𝑦 𝑦′ Khi đó pt đã cho trở thành ptvp tuyến tính cấp biến 𝑧: 𝑥 𝑧 − 𝑧= 𝑥 ′ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 44 Ví dụ Giải phương trình này ta tìm nghiệm: 𝑧=𝑥 ln 𝑥 + 𝐶 Do đó pt đã cho có nghiệm tổng quát: 𝑦=𝑥 ln 𝑥 + 𝐶 2 và nghiệm 𝑦 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 45 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦 Đây là pt Bernoulli với 𝛼 = và 𝑦 = là nghiệm riêng pt đã cho Giả sử 𝑦 ≠ 0, chia vế cho 𝑦 ta được: 𝑦 −3 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 −2 = 𝑥 Đặt: 𝑧 = 𝑦 −2 → 𝑧 ′ = −2𝑦 −3 𝑦′ Khi đó pt đã cho trở thành ptvp tuyến tính cấp biến 𝑧: 𝑧 ′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑥 Do đó nghiệm tổng quát có dạng: 𝑧 = 𝐶𝑒 𝑥2 + 𝑥 + Đổi lại biến ta có tích phân tổng quát: 𝑦 𝐶𝑒 25-Mar-21 𝑥2 + 𝑥 + = 1, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 46 Phương trình Bernoulli Chú ý Trong số trường hợp, ta phải coi 𝑥 là hàm số 𝑦, thì đó phương trình trở thành pt Bernoulli Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 ′ (𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦) = Phương trình đã cho có dạng: 𝑑𝑦 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑑𝑥 Ta coi 𝑥 là hàm số 𝑦, đó đưa pt trở thành: 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 ↔ − 𝑦𝑥 = 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Đây là pt Bernoulli với hàm số phải tìm 𝑥(𝑦) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 47 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Dạng tổng quát phương trình: 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (3) đó 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp 1, và 25-Mar-21 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄 𝜕𝑥 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 48 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Định lý PTVP hoàn chỉnh luôn ∃ 𝐹(𝑥, 𝑦) cho: 𝑑𝐹 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Hay: 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝜕𝐹 , 𝜕𝑦 = 𝑄(𝑥, 𝑦) Khi đó tích phân tổng quát PTVP hoàn chỉnh có dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝐶 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 49 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Có cách để tìm hàm 𝑭(𝒙, 𝒚):  Cách 1: Tìm hàm 𝐹(𝑥, 𝑦) từ hệ pt: 𝜕𝐹 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝐹 = 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦  Cách 2: Tìm hàm 𝐹(𝑥, 𝑦) dạng: 𝑥 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥0 hoặc: 𝑦 𝑄(𝑥0 , 𝑦)𝑑𝑦 , 𝑦0 𝑥 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦0 )𝑑𝑥 + 𝑥0 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 , 𝑦0 đó (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm nào đó cho các tích phân trên tồn 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 50 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦 = Cách 1: Ta có: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 và 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑦 nên: 𝜕𝑃 𝜕𝑄 = = 2𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Do đó đây là ptvp hoàn chỉnh với hàm 𝐹(𝑥, 𝑦) có dạng: 𝑥 𝑦 (𝑥 + 𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + 𝐹 𝑥, 𝑦 = (0 𝑦 + 𝑦 )𝑑𝑦 , hay 𝑥 𝑥 2𝑦2 𝑦4 𝐹 𝑥, 𝑦 = + + 4 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 51 Ví dụ Vậy tích phân tổng quát pt đã cho là: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝐶1 Hay (𝑥 + 𝑦 )2 = 4𝐶1 ≔ 𝐶 Hoặc 𝑥 + 𝑦 = 𝐶, 𝐶 ≥ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 52 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑑𝑦 = Cách 2: Ta có: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 và 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑦 nên: 𝜕𝑃 𝜕𝑄 = = 2𝑥𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Do đó đây là ptvp hoàn chỉnh, nên tồn hàm 𝐹(𝑥, 𝑦) cho: 𝜕𝐹 𝜕𝐹 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , = 𝑄 𝑥, 𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Từ phương trình: Suy ra: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 25-Mar-21 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥𝑦 𝑥 2 + 𝑥 𝑦 +𝐶 𝑦 → 𝜕𝐹 𝜕𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN = 𝑥 2𝑦 + 𝐶 ′ 𝑦 53 Ví dụ mà 𝜕𝐹 𝜕𝑦 ′ = 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑦 , đó 𝐶 𝑦 = 𝑦 → 𝐶 𝑦 = 𝑦 Vậy ta có: 2 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦 4 Do đó tích phân tổng quát phương trình đã cho là: 2 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑦 = 𝐶1 4 Hay 𝑥 + 𝑦 = 𝐶, 𝐶 ≥ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 54 Ví dụ Giải phương trình: 3𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 − 𝑥3 𝑦 𝑑𝑦 = Ta có: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 và 𝑄 𝑥, 𝑦 = −(2𝑦 − 𝑥3 ) 𝑦 Nên 𝜕𝑃 𝜕𝑄 3𝑥 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑦 Do đó đây là ptvp hoàn chỉnh với hàm 𝐹 𝑥, 𝑦 có dạng: 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 −(2𝑦 − )𝑑𝑦 = 𝑥 − 𝑦 + + 𝑥 𝑙𝑛𝑦 𝑦 Vậy tích phân tổng quát pt là: 𝑥 − 𝑦 + + 𝑥 𝑙𝑛𝑦 = 𝐶 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 55 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Định lý PTVP cấp có dạng: 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (4) không phải là PTVP hoàn chỉnh Tuy nhiên, tìm hàm 𝛼(𝑥, 𝑦) ≠ cho: 𝛼 𝑥, 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝛼 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = (5) trở thành PTVP hoàn chỉnh, thì nghiệm tổng quát (5) trùng với nghiệm tổng quát (4) 𝛼 𝑥, 𝑦 : gọi là thừa số tích phân 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 56 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Chú ý Nói chung không phải tồn thừa số tích phân Hơn biết thừa số tích phân tồn không phải lúc nào tìm Trong khuôn khổ chương trình, nêu trường hợp có thể tìm thừa số tích phân 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 57 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) 𝜕𝑃  𝑄 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝜑(𝑥) là hàm phụ thuộc vào biến 𝑥 Khi đó: 𝛼 𝑥 =𝑒 𝜕𝑄  𝑃 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜓(𝑦) là hàm phụ thuộc vào biến 𝑦 Khi đó: 𝛼 𝑦 =𝑒 25-Mar-21 𝜑 𝑥 𝑑𝑥 𝜓 𝑦 𝑑𝑦 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 58 Ví dụ Giải phương trình: 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 + Ta có: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑦3 + 𝑦3 𝑑𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = và 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Nên 𝜕𝑃 𝜕𝑄 2𝑥 + 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 − = = 2 𝑄 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑥 +𝑦 Do đó thừa số tích phân là: 𝛼 𝑥 = 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 Và ta xét ptvp hoàn chỉnh sau: 𝑦 𝑒 𝑥 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 59 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Tồn hàm 𝐹 𝑥, 𝑦 : 𝜕𝐹 𝜕𝑥 =𝑒 𝑥 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑦3 + (1) và 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 (2) Từ (2) suy ra: 𝑦 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑥 𝑦 + 𝑒 𝑥 𝑦 + 𝐶(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑥 𝑦 + + 𝐶(𝑥) 3 𝜕𝐹 𝑦 → = 𝑒 𝑥 𝑥 2𝑦 + + 𝑒 𝑥 2𝑥𝑦 + 𝐶 ′ 𝑥 𝜕𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 60 Phương trình vi phân toàn phần (hoàn chỉnh) Từ (1) suy ra: 𝐶 ′ 𝑥 = → 𝐶 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Vậy tích phân tổng quát phương trình là: 𝑦𝑒 𝑥 25-Mar-21 𝑦 𝑥2 + = 𝐶 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 61 Định nghĩa Dạng tổng quát PTVP cấp 2: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ = hay 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) Bài toán Cauchy: tìm nghiệm 𝑦 = 𝑦(𝑥) PTVP cấp trên, và thỏa mãn điều kiện đầu: 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 , 𝑦 ′ 𝑥0 = 𝑦1 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 62 Bài toán Cauchy Định lý (tồn và nghiệm bài toán Cauchy) Cho PTVP cấp có dạng 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) Giả sử: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ 𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑦 ′ ) 𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑦 ′ ) , , 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ′ liên tục trên miền 𝐷 ⊂ 𝑅 và (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦′0 ) ⊂ 𝐷, thì lân cận điểm 𝑥 = 𝑥0 tồn nghiệm 𝑦 = 𝑦(𝑥) PTVP cấp thỏa mãn điều kiện đầu 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 63 Nghiệm tổng quát - Nghiệm riêng PTVP • Nghiệm tổng quát PTVP cấp là hàm số 𝑦 = Φ(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ), đó 𝐶1 , 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 • Từ nghiệm tổng quát 𝑦 = Φ(𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 ) ta cho các giá trị cụ thể 𝐶1 = 𝐶′1 , 𝐶2 = 𝐶′2 ta có nghiệm riêng 𝑦 = Φ(𝑥, 𝐶 ′1 , 𝐶 ′ ) Chú ý: Nếu nghiệm tổng quát tìm dạng hàm ẩn: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶1 , 𝐶2 = 0, thì nghiệm riêng dạng hàm ẩn Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶 ′1 , 𝐶 ′ = ta cho các giá trị cụ thể 𝐶1 = 𝐶′1 , 𝐶2 = 𝐶′2 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 64 Phương trình tuyến tính Dạng tổng quát: 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) (1) đó 𝑝 𝑥 , 𝑞 𝑥 , 𝑓(𝑥) là các hàm liên tục 𝑓(𝑥) ≠ thì (1) gọi là PTVP tuyến tính cấp không Phương trình vi phân tuyến tính cấp tương ứng với (1) có dạng: 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = (2) Nếu 𝑝 𝑥 , 𝑞(𝑥) là số thì (1) gọi là PTVP tuyến tính cấp hệ số số 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 65 Định lý cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính cấp Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 là nghiệm riêng phương trình (2) thì 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 là nghiệm riêng phương trình (2), đó 𝐶1 , 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 là nghiệm riêng độc lập tuyến tính PTVP (2) thì 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑦2 𝑥 là nghiệm tổng quát phương trình (2), đó 𝐶1 , 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 66 Định lý cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính cấp Chú ý: giả sử 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 là các nghiệm riêng PTVP (2) Khi đó chúng độc lập tuyến tính với và khi: 𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 ≠ 𝑦′1 𝑥 𝑦′2 𝑥 Nhận xét: Đối với PTVP tuyến tính cấp (2), không có phương pháp chung để tìm riêng nghiệm độc lập tuyến tính Tuy nhiên ta có thể tìm nghiệm riêng thứ độc lập tuyến tính với nghiệm riêng khác (không đồng 0) cho trước 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 67 Định lý cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính cấp Giả sử biết nghiệm riêng 𝑦1 (𝑥) (2), đó 𝑦1 (𝑥) không đồng 0, thì ta có thể tìm nghiệm riêng thứ hai 𝑦2 (𝑥) (2) độc lập tuyến tính với 𝑦1 (𝑥) cách đặt: 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 𝑢 𝑥 Chú ý: 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 𝑥 là độc lập tuyến tính trên (𝑎, 𝑏) và 𝑦1 𝑥 𝑦2 𝑥 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 trên (𝑎, 𝑏) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 68 Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát phương trình: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0, biết phương trình trên có nghiệm riêng 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑥 Tìm nghiệm riêng thứ độc lập tuyến tính với 𝑦1 (𝑥) dạng: 𝑦2 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑒 𝑥 Suy ra: 𝑦′2 = 𝑢𝑒 𝑥 + 𝑢′𝑒 𝑥 , 𝑦′′2 = 𝑢𝑒 𝑥 + 2𝑢′𝑒 𝑥 + 𝑢′′𝑒 𝑥 Thay vào pt đã cho ta có: 𝑒 𝑥 𝑢′′ + 2𝑢′ + 𝑢 − 2𝑒 𝑥 𝑢′ + 𝑢 + 𝑒 𝑥 𝑢 = → 𝑢′′ 𝑥 = → 𝑢 𝑥 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ; 𝐶1 ≠ 0, 𝐶2 là số Vậy nghiệm tổng quát pt đã cho có dạng: 𝑦 𝑥 = ℂ1 𝑒 𝑥 + ℂ2 𝑥𝑒 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 69 Định lý cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính cấp Nghiệm tổng quát phương trình (1) tổng nghiệm tổng quát phương trình (2) và nghiệm riêng phương trình (1) Nguyên lý chồng chất nghiệm: Nếu vế phải (1) có dạng: 𝑓 𝑥 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥), đó: 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) Giả sử 𝑦1 (𝑥) là nghiệm riêng của: 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) và 𝑦2 (𝑥) là nghiệm riêng của: 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑓2 𝑥 , thì 𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥) là nghiệm riêng phương trình (1) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 70 Định lý cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính cấp Phương pháp biến thiên số Lagrange Nếu 𝑦1 𝑥 , 𝑦2 (𝑥) là nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình (2) thì nghiệm riêng phương trình (1) có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑦2 𝑥 đó 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 𝑥 là nghiệm hệ phương trình: C1  y1  C2  y2    C1  y1  C2  y2 25-Mar-21   f  x TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 71 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥 , biết phương trình tương ứng có nghiệm riêng 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 𝑥 = không phải là nghiệm PTVP trên nên ta có: ′ ′′ 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 = 𝑥 𝑥 Phương trình tương ứng có dạng: ′ ′′ 𝑦 + 𝑦 − 𝑦 = 𝑥 𝑥 Vì 𝑦1 (𝑥) = 𝑥 là nghiệm riêng pt nhất, nên ta tìm nghiệm riêng 𝑦2 (𝑥) độc lập tuyến tính với 𝑦1 (𝑥) dạng: 𝑦2 𝑥 = 𝑥 𝑢 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 72 Ví dụ → 𝑦′2 = 𝑢 + 𝑥𝑢′ ; 𝑦′′2 = 2𝑢′ + 𝑥𝑢′′ Thay vào pt ta có: ′′ 2𝑢 + 𝑥𝑢 ′ + 𝑥 ′ 𝑢 + 𝑥𝑢 − 𝑥𝑢 𝑥 = → 𝑥𝑢′′ + 3𝑢′ = 0: đây là PTVP cấp hạ cấp Đặt 𝑢′ = 𝑝: ′ ′ 𝑥𝑝 + 3𝑝 = → 𝑝 + Suy ra: 𝑝 = 𝐶𝑒 Vậy 𝑦2 𝑥 = − 𝐶2 𝑥 3𝑑𝑥 𝑥 𝑝 𝑥 = = 𝐶 𝑥 ′ Do đó: 𝑢 = 𝐶 𝑥3 →𝑢= 𝐶2 𝑥2 𝑥 , 𝐶2 ≠ là số Cho 𝐶2 = thì 𝑦2 𝑥 = Vậy nghiệm tổng quát pt có dạng: 𝐶2 ∗ 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 73 Ví dụ Tìm nghiệm riêng pt không phương pháp biến 𝐶2 (𝑥) thiên số Lagrange, dạng: 𝑦 = 𝐶1 𝑥 𝑥 + 𝑥 Với 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥) thỏa mãn hệ pt sau: ′ ′ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 = 𝑥 → ′ ′ 𝐶1 − 𝐶2 = 𝑥 𝑥 Do đó: 𝐶1 𝑥 = + 𝐶1 , 𝐶2 𝑥 = 𝑥3 − = 2 𝑥 𝐶2′ = − 𝐶1′ + 𝐶2 𝐶1 , 𝐶2 là các số Vì cần tìm nghiệm riêng pt không nên ta chọn 𝐶1 = 𝐶2 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 74 Ví dụ Vậy nghiệm riêng pt không là: 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑦= − = Do đó nghiệm tổng quát phương trình ban đầu là: 𝑥 𝐶2 ∗ 𝑦 =𝑦+𝑦 = + 𝐶1 𝑥 + 𝑥 𝐶1 , 𝐶2 là các số 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 75 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = đó 𝑝, 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (3) Theo định lý cấu trúc nghiệm, ta tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính pt (3), từ đó tìm nghiệm tổng quát pt (3) Ta tìm nghiệm riêng dạng: 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 , đó 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 cần xác định Thay vào (3) ta có: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 𝑒 𝑘𝑥 = → 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = (phương trình đặc trưng) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 76 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Nghiệm phương trình đặc trưng có trường hợp: • Có nghiệm thực phân biệt: 𝑘1 ≠ 𝑘2 𝑦1 = 𝑒 𝑘1 𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝑘2 𝑥 là nghiệm riêng độc lập tuyến tính PTVP (3) Do đó nghiệm tổng quát PTVP (3) có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 +𝐶2 𝑒 𝑘2 𝑥 , 𝐶1 , 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 • Có nghiệm thực kép: 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 𝑦1 = 𝑒 𝑘𝑥 , 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑘𝑥 là nghiệm riêng độc lập tuyến tính PTVP (3) Do đó nghiệm tổng quát PTVP (3) có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑘𝑥 +𝐶2 𝑥 𝑒 𝑘𝑥 , 𝐶1 , 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 77 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số • Có nghiệm phức liên hợp: 𝑘1 = 𝛼 + 𝑖𝛽, 𝑘2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 𝑦1 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 , 𝑦2 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 là nghiệm riêng độc lập tuyến tính PTVP (3) Do đó nghiệm tổng quát PTVP (3) có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 78 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ − 4𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + 3𝑘 − = 0, có nghiệm: 𝑘1 = 1, 𝑘2 = −4 Vậy nghiệm tổng quát pt là: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −4𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 79 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 4𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 4𝑘 + = 0, có nghiệm: 𝑘1 = 𝑘2 = Vậy nghiệm tổng quát pt là: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 80 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 13𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + 6𝑘 + 13 = 0, có nghiệm: 𝑘 = −3 ± 2𝑖 Vậy nghiệm tổng quát pt là: 𝑦 𝑥 = 𝑒 −3𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 81 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình không nhất: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) (4) đó 𝑝, 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, với phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0, và phương trình đặc trưng: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = (5) Nhận xét: Ta đã có nghiệm tổng quát phương trình tương ứng, và dùng phương pháp biến thiên số Lagrange ta có thể tìm nghiệm riêng (4), đó tìm nghiệm tổng quát phương trình (4) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 82 Ví dụ Giải phương trình: 𝑥 𝑒 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥 𝑒 +1 Phương trình liên kết tương ứng: 𝑦 ′′ − 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − = 0, có nghiệm: 𝑘 = ±1 Do đó nghiệm tổng quát pt có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 Nghiệm riêng pt không có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑒 −𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 83 Ví dụ Trong đó 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥)là nghiệm hệ: 𝑒 𝑥 𝐶1′ 𝑥 + 𝑒 −𝑥 𝐶2′ (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑒 𝑥 𝐶1′ 𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝐶2′ 𝑥 = 𝑥 𝑒 +1 Giải hệ này ta thu được: 𝑥 = 2(𝑒 𝑥 + 1) 2𝑥 𝑒 𝐶2′ 𝑥 = − 2(𝑒 𝑥 + 1) 𝐶1′ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 84 Ví dụ Suy ra: 𝐶1 𝑥 = 𝐶2 𝑥 = − 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑒 𝑥 + = − 𝑥 𝑒 +1 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 ln 𝑒 𝑥 + =− + 𝑥 𝑒 +1 2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình đã cho có dạng: 1 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑥 − ln(𝑒 + 1) 𝑒 − − 𝑒 −𝑥 ln 𝑒 𝑥 + + 2 +𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 85 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 +𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ′′ Phương trình liên kết tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = 0, có nghiệm: 𝑘 = ±𝑖 Do đó nghiệm tổng quát pt có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Nghiệm riêng pt không có dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 86 Ví dụ Trong đó 𝐶1 𝑥 , 𝐶2 (𝑥)là nghiệm hệ: 𝐶1′ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2′ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = ′ ′ −𝐶1 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 Giải hệ này ta thu được: 𝑥 =− 𝑐𝑜𝑠𝑥 ′ 𝐶2 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝐶1′ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 87 Ví dụ Suy ra: 𝐶1 𝑥 = − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 − 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 2 𝐶2 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑡𝑔 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vậy nghiệm tổng quát phương trình đã cho có dạng: 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 + 𝑐𝑜𝑠 − 𝑙𝑛 𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 + 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 2 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑡𝑔 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 88 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình không vế phải có dạng đặc biệt: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 (𝑥), 𝛼 là số, 𝑃𝑛 (𝑥) là đa thức bậc 𝑛 Nếu 𝛼 là nghiệm bội 𝑠 pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑥 𝑠 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 𝑥 , đó 𝑄𝑛 (𝑥) là đa thức bậc 𝑛 cùng bậc với đa thức 𝑃𝑛 (𝑥) Các hệ số 𝑄𝑛 (𝑥) xác định phương pháp hệ số bất định Chú ý: 𝛼 không là nghiệm pt đặc trưng (5) thì 𝑠 = 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 89 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Phương trình không vế phải có dạng đặc biệt: 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 ; 𝛼, 𝛽 là số, 𝑃𝑛 (𝑥), 𝑄𝑚 (𝑥) là các đa thức bậc 𝑛, 𝑚 Nếu (𝛼 ± 𝑖𝛽) không là nghiệm pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐻𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐿𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 , đó 𝐻𝑠 𝑥 , 𝐿𝑠 𝑥 là các đa thức có bậc 𝑠 = max(𝑚, 𝑛), và có các hệ số cần xác định phương pháp đồng thức 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 90 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số Nếu (𝛼 ± 𝑖𝛽) là nghiệm pt đặc trưng (5), thì ta tìm nghiệm riêng pt (4) dạng: 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝐻𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐿𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥 đó 𝐻𝑠 𝑥 , 𝐿𝑠 𝑥 là các đa thức có bậc 𝑠 = max(𝑚, 𝑛), và có các hệ số cần xác định phương pháp đồng thức 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 91 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = 3𝑒 2𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ − 4𝑦 ′ + 3𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 4𝑘 + = có nghiệm thực: 𝑘1 = 1, 𝑘2 =3 Do đó nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 Vì 𝛼 = không là nghiệm phương trình đặc trưng, và 𝑃𝑛 𝑥 = (đa thức bậc 0) nên tìm nghiệm riêng pt không dạng: 𝑦 𝑥 = 𝐴 𝑒 2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 92 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt đã cho ta có: 4𝐴𝑒 2𝑥 − 8𝐴𝑒 2𝑥 + 3𝐴𝑒 2𝑥 = 3𝑒 2𝑥 → 𝐴 = −3 Do đó 𝑦 𝑥 = −3𝑒 2𝑥 Vậy nghiệm tổng quát PTVP tuyến tính cấp không với hệ số số là: 𝑦 𝑥 = 𝑦 ∗ 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 − 3𝑒 2𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 93 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 −𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = có nghiệm phức: 𝑘 = ±𝑖 Do đó nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vì vế phải là tổng hàm 𝑓1 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 , 𝑓2 𝑥 = 2𝑒 −𝑥 , nên ta tìm nghiệm riêng PTVP không ứng với vế phải là 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 94 Ví dụ Với 𝑓1 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 , 𝛼 = không là nghiệm pt đặc trưng, và 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑥, nên ta tìm nghiệm riêng PTVP không có vế phải là 𝑓1 𝑥 dạng: 𝑦1 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑥 Với 𝑓2 𝑥 = 2𝑒 −𝑥 , 𝛼 = −1 không là nghiệm pt đặc trưng, và 𝑃𝑛 𝑥 =2, nên ta tìm nghiệm riêng PTVP không có vế phải là 𝑓2 𝑥 dạng: 𝑦2 = 𝐶𝑒 −𝑥 Vậy nghiệm riêng pt đã cho có dạng: 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑒 𝑥 + 𝐶𝑒 −𝑥 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 95 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt đã cho và đồng thức vế ta có: 𝐴= ,𝐵 = − ,𝐶 = Vậy nghiệm tổng quát pt đã cho có dạng: 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 ∗ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 96 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ + 𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + = 0, có nghiệm phức: 𝑘 = ±𝑖 Do đó nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 Vì 𝛼 = 0, 𝛽 = nên 𝛼 ± 𝑖𝛽 = ±𝑖 là nghiệm pt đặc trưng Mặt khác 𝑃𝑛 𝑥 = 0, 𝑄𝑚 𝑥 = 1, nên 𝑠 = Vậy ta tìm nghiệm riêng pt không dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥) 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 97 Ví dụ Thay nghiệm riêng 𝑦 𝑥 vào pt đã cho và đồng thức vế ta có: 𝐴= − ,𝐵 = Vậy nghiệm tổng quát pt đã cho có dạng: 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 98 Ví dụ Giải phương trình: 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = 𝑥𝑒 3𝑥 Phương trình tương ứng: 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 9𝑦 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 6𝑘 + = 0, có nghiệm kép: 𝑘 = Do đó nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: 𝑦 ∗ 𝑥 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 3𝑥 Ta tìm nghiệm riêng pt không dạng: 𝑦 𝑥 = 𝑥 𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵 25-Mar-21 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 99 Ví dụ ′ Ta có: 𝑦 = 3𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝑒 3𝑥 3𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 ′′ 𝑦 = 9𝑒 3𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 6𝑒 3𝑥 3𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 + 𝑒 3𝑥 6𝐴𝑥 + 2𝐵 Thế vào phương trình đã cho ta được: 𝑒 3𝑥 6𝐴 − 10𝐵 𝑥 + 2𝐵 = 𝑥𝑒 3𝑥 𝐴 = 1/6 6𝐴 − 10𝐵 = Suy ra: → 𝐵=0 𝐵=0 Do đó nghiệm riêng pt không là: 𝑦 𝑥 = 3𝑥 𝑥 𝑒 Vậy nghiệm tổng quát pt đã cho có dạng: ∗ 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑥 = 𝐶1 𝑒 25-Mar-21 3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 TS Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 3𝑥 3𝑥 + 𝑥 𝑒 100