Giải tích 1 bài 2 giới hạn hàm số

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§1.6 - §1.8) §1.6 Giới hạn hàm số  Đặt vấn đề x a) lim  ? x 1 b) lim  ? x 0 x c) lim  ? x  x I Định nghĩa  ĐN1 Cho X   , x0 điểm tụ X  ( U(x0)\ {x0})  X   ,   > Ở U ( x0 )  ( x0   ; x0   ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ĐN2 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f  x  a thuộc R   (xn)  X, xn  x0, xn  x0  xx0 f(xn)  a  ĐN3 f(x) xác định X, x0 điểm tụ X Ta bảo lim f  x   a thuộc R    > bé tuỳ ý, x  x0  () > 0: < |x  x0| < ()  |f(x)  a| <  Chú ý ĐN2  ĐN3 Ví dụ lim  x   x 2 GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)   xn  : lim xn   lim (3 xn  2)  lim xn  n  n  +)      lim  x    x 2 Ví dụ lim cos x 0 x GIẢI n  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n  +)  xn , xn    lim cosxn  n  2n  lim cos(2n )=1 n  n  +) y n , y n    lim cosy n  n  (2n  1)  lim cos(2n+1) =-1   lim cos xn  n  n  không tồn giới hạn lim cos x 0 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn II Tính chất phép tốn 1) Tính chất a) lim f  x   a, lim f  x   b  a = b x  x0 x  x0 b) lim f  x   a  lim  f  x   a   x  x0 x  x0 c) f(x) = c  lim f  x   c x  x0 d) f(x)  h(x)  g(x), x  U  x0 ; lim f  x   a  lim g  x   lim h  x   a x  x0 x  x0 x  x0 e) lim f  x   a, f(x)  c, x  U  x0  \ x0   a  c x x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f) lim f  x   a , a > p  f(x) > p, x  x0 x  U  x0  \  x0  Phép toán a) lim f  x   a, lim g  x   b x  x0 x  x0  lim  f  x   g  x    a  b x  x0 b) lim f  x   a, lim g  x   b x  x0 x  x0 x a f  lim  f  x  g  x    a.b lim  , (b  0) x  x0 g  x  x  x0 b PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ (K65) Cho hàm số f :  \ 0  (0;  ), thỏa mãn lim [f ( x )  ]  Tính lim f ( x ) (1) x 0 x 0 f (x) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)Từ giả thiết có f(x)>0   0,  ( )  :  x   ( )   f ( x )   2 f (x)    f ( x )  f ( x )  2f ( x )  f ( x )  +)    f  ( x )   (2   )f ( x ) f ( x )   2  f (x)   [f ( x )  1]  f  ( x )  (2   )f ( x )   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2      4      4   f (x)  2     4     4   f (x)  1 2  lim f ( x )  x 0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Khử dạng vô định a) Các dạng vô định   0 ; ; 0. ;    ; ; ;   b) Khử dạng vô định Sử dụng phép biến đổi đại số giới hạn đặc biệt x sin x 1  lim  ; lim     e x   x 0 x x x 4 2 Ví dụ lim x 0 x  x Ví dụ lim   x  tan x 2 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn lim a  x  a  x 1 arccos x   +) xlim 1 hàm số liên tục x  a    a  f) (K64) Tìm a để hàm số sau liên tục :  x  3, x  a ( 2) f (x)    x  1, x  a GIẢI 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Dễ thấy hàm số liên tục với x  a, a   +) Hàm số liên tục x  a 2  lim ( x  3)  lim (4 x  1)  a   4a  xa xa  ( a  2)   a  +) Hàm số liên tục   a  2 Tính liên tục hàm sơ cấp Mọi hàm số sơ cấp liên tục khoảng mà hàm số xác định Phép tốn Cho f(x), g(x) liên tục x0  47 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f(x)  g(x) liên tục x0, f(x)g(x) liên tục x0 f x liên tục x0 g(x0)  g x Ý nghĩa f(x) liên tục [a ; b]  đồ thị đường liền nét Tính chất Định lí (Weierstrass 1) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) bị chặn [a ; b] Định lí (Weierstrass 2) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) đạt giá trị lớn bé [a ; b] Định lí f(x) liên tục [a ; b], M = max f , a ; b  m= f ,   [m ; M]   c  [a ; b]: f(c) =  a ; b  48 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hệ f(x) liên tục [a ; b], f(a)f(b) <   c  (a ; b): f(c) = Điểm gián đoạn Định nghĩa f(x) xác định U (x0), gián đoạn x0  f(x) không liên tục x0 f(x) xác định U (x0)\{x0} ta bảo f(x) gián đoạn x0 Định nghĩa Điểm gián đoạn x0 hàm f(x) điểm gián đoạn loại   lim f  x  ,  lim f  x  x  x0 x  x0 49 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nếu thêm lim f  x   lim f  x  x0 điểm gián x  x0 x  x0 đoạn bỏ Các điểm gián đoạn lại gọi điểm gián đoạn loại ex sin x Ví dụ f  x   Ví dụ f  x   x Ví dụ (K54) Phân loại điểm gián đoạn hàm số a) f ( x )  (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) x 1 1 x 50 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) f ( x )  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 1 1 x (x = 1, loại 2; x = 0, loại 1) Ví dụ (K56) Các điểm sau điểm gián đoạn loại hàm số a) x = ; f ( x )  (loại 1)  3cot x  b) x  , f ( x )  (loại 2)  2tan x Ví dụ a)(K60) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số 51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 1) y  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2 x 2 sin x (x=0 đgđ loại 1, x=2 đgđ  x loại ) 2) y  21 x e x x (x=0 x=1 đgđ loại 2) b)(K61) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số 52 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    log x x  0, 9 1) y   (x=0 đgđ bỏ a  x  0, 9  được, x  9 đgđ loại ) 2) Tìm điểm gián đoạn f ( x )  lim , x   n   x 2n ( x  1) 53 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c)(K64) Tìm phân loại điểm gián đoạn hàm số x  1  y   arctan  x   đgđ loại ) 1 (x=0 đgđ loại 1, x  1 GIẢI 54 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) TXĐ : x  1, x  Hàm y liên tục TXĐ 2 +) lim y  , lim y    x  điểm gián  x 0   x 0  đoạn loại +) lim y    x  1 điểm gián đoạn loại x 1 Định nghĩa f(x) liên tục khúc [a;b] [a;b] chia thành hữu hạn đoạn hàm f(x) liên tục đoạn II Hàm số liên tục 55 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định nghĩa f(x) liên tục X    > bé tuỳ ý  () > 0,  x1, x2  X, |x1  x2| < ()  |f(x1)  f(x2)| <  Ví dụ a) y = x + 1  , x  (0 ; 1] b) y   x 0, x  GIẢI a) 56 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  +)   0,  ( )  , x1, x2   : x1  x2   ( )  +) y ( x1)  y ( x2 )  ( x1  2)  ( x2  2)   x1  x2   ( )     hàm số liên tục  b) 57 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)   ,  ( )  0, bé tùy ý, tồn dãy 1 x1  , x2   (0;1)  x1  x2  n n 1 n(n  1)    ( ) n +)  f ( x1)  f ( x2 )  n  (n  1)     Do hàm số khơng liên tục [0;1] c)(K65) Xét tính liên tục y  sinx  GIẢI 58 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   ,   0, xn xn  y n    2n , y n  2n     2n  2n   xn  y n    0, n    +) f ( xn )  f ( y n )  sin(2n )  sin(  2n )    Do hàm số không liên tục  59 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí (Cantor) f(x) liên tục [a ; b]  f(x) liên tục [a ; b] HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 60 ... lim  x  20 09 x  x  x  20 09 Ví dụ Tính giới hạn : cot( x ? ?1) a) (K54) lim (2  x ) (e  2) x ? ?1 cot (1? ?? x ) lim (2  x ) x ? ?1 lim x 0 lim x 0 (1  x )ln (1  x ) x  2x x (1  )ln (1  x ) 3x... bậc) GIẢI 25 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( x ? ?1)   +) x  tan( ( x  1) )  e   x  x ? ?1  1? ??   x ? ?1  x +)   x   2cos  ln [1  ( x  1) ]  x ? ?1     x  2sin... x ) (2) x 1x lim ( x  ) g)(K65) x GIẢI 15 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Dạng 0 2x  x 1x 2x x  2 (1  x )  lim  (1  x )  +)  xlim  x  2 x    2? ?? e 