Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §1.11 CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặt vấn đề I Hàm số y = f(x) 1) Điểm uốn Định nghĩa Điểm I(c ; f(c)) điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) điểm phân chia phần lồi, lõm đồ thị hàm số Cách tìm Tìm (c ; f(c)) cho f’’(x) đổi dấu x biến thiên qua x = c PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2) Tiệm cận Định nghĩa x = x0 tiệm cận đứng đồ thị y = f(x) lim f x x x0 y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị y = f(x) lim (f(x), ax + b) = x f (x) Khi ta có a lim , b lim f ( x ) ax x x x Khi a = ta có tiệm cận ngang PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tìm tiệm cận x2 a) y , x 1 1 c) y x ln e , x x2 , x 1 e) y x x 1 0, b) y d) y x4 x2 xe x , 1 PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 3x a (K51) y x 4 (x = 2, y = 3x phải ; y = 3x trái) 2x y (x = 1, y = 2x phải ; y = 2x trái) x 1 x arccot x b (K54) y (x = 1, y = 1, y = x + ) x 1 x arccot x y (x = 1, y = 1, y = x ) 1 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c (K57) y y x arccot x (y = 1, y = x + 1) 1 x2 x arccot x 1 x (y = 1, y = x + 1) d (K59) 1) y xe x 1 (x = bên phải, y = x + 2) 2) y xe x 1 (x = bên phải, y = x) e (K60) y x (y=x) ln x g (K61) y (Tcđ bên phải x=0, Tcn bên phải x y=0) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo h (K62) 1) y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2 x2 (Tcn bên phải y=1, Tcn bên trái y = -1) 2) y xarc cot (y x ) x GIẢI 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) TXĐ tiệm cận đứng +) 1, x x2 x2 lim y lim lim x x 1, x x x x x Do có tiệm cận ngang bên phải y=1, tiệm cận ngang bên trái y=-1 x 3x i (K63) y x 1 (Tc xiên y=x+4, Tc đứng x=1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo j (K64) y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x ex (Tc ngang bên phải y=0,Tc xiên bên trái y=x) GIẢI PGS TS Nguyễn Xn Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) TXĐ khơng có tiệm cận đứng +) Ta tìm tiệm cận xiên 0, x y a lim lim x x x x e 1, x x b1 lim ( y x ) lim x y tiệm x x e cận ngang bên phải x e x b2 lim ( y x ) lim x x lim x x x x e x e 1 x lim x x y x tiệm cận xiên bên x e e 1 trái PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Lược đồ khảo sát đồ thị a) Tập xác định b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên c) Đồ thị 4x3 Ví dụ y x4 3 Ví dụ y x Ví dụ y ex x GIẢI 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 1 t 1) ( y 2x ) y 2t 1 t x 1 t 2) (y = 3x + 1) y 3t 1 t 1 t x x 1 1 t 1 t 3) ( y x ) 4) (y = x + ) 3 y 1 t y 3 1 t 1 t c) (K58) 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2t x 3 1 t (y = - x + ) y 2t 1 t 3 t x t d (K63) (TC xiên y x ) t y 1 t 32 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo t x t 1 y 3t x t e (K64) y 2t t 8 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (tc đứng x=1, tc xiên y = 2) (TC xiên y x ) GIẢI 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) y 2t thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t x khơng có tiệm t 8 cận đứng tiệm cận ngang +) Ta tìm tiệm cận xiên y 2t a lim lim : lim(2t ) x x t 2 t t t 2 2t 2t b lim ( y ax) lim lim x t 2 t t t 2 t 34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo (L ) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn lim t 2 3t Do tiệm cận xiên y x III Đường cong cho hệ toạ độ cực 1) Hệ toạ độ cực Hệ gồm điểm O, trục Ox gọi hệ toạ độ cực O gốc cực, Ox trục cực M(r ; ), r OM , r < , = Ox ; OM , < 2 Ví dụ a) b) r cos 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo c) r sin thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d) r cos e) r sin Liên hệ với hệ toạ độ Descartes: (r ; ) (x ; y), x = r cos, y = r sin y (x ; y) (r ; ), r x y , arctan , lấy : sin x dấu với y 2 GIẢI b) r cos 36 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) r cos r r cos 12 2 +) x y x ( x ) y Chú ý Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có < r < , < < +, r1 < định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ; + ) 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3 Ví dụ ( 1; ) (1; ) (1; ) 2 2 Lược đồ khảo sát đường cong r = f() a) Tìm tập xác định b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (Đồ thị đối xứng qua trục cực), lẻ (Đồ thị đối xứng qua ), tuần hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên, r tanV , V góc dương OM vectơ r phương tiếp tuyến với đồ thị điểm M c) Đồ thị 38 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ r = a(1 + cos), a > Ví dụ r = a sin(3), a > GIẢI +) Tập xác định 2 Hàm r lẻ tuần hoàn với chu kỳ T xét [0; ] +) Chiều biến thiên r 3a cos(3 ) 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn r a sin(3 ) tanV tan(3 ) r 3a cos(3 ) Bảng biến thiên Đồ thị 40 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Gợi ý Ví dụ r = a(1 + cos), a > 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 43 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ r = a sin(2), a > 2 2 2 Ví dụ (x + y ) = a (x y ), a > Ví dụ r = a(1 + 2cos), a > Ví dụ r = a sin(n), n , a > Ví dụ r = a cos(n), n , a > Nhận xét : Từ đồ thị r = a sin(n) , suy đồ thị r = a cos(n) hay không ? GIẢI 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) r a cos(n ) a sin( n ) +) a sin n( ) Nhận đồ thị 2n r a cos(n ) cách quay đồ thị r a sin n( ) quay góc dương sau lấy đối 2n xứng qua trục cực xong HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 45 ... ) 12 t 4t +) f ( x ) t x (t ) 3t y (t )x (t ) x (t )y (t ) f ( x ) ( x (t ))3 (36t 4)(3t 1) 6t (12 t 4t ) (3t 1) 3 2 4(3t 1) (3t 1) 3 3t 26 36t... 1) b) (K 56) 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 1? ?? t 1) ( y 2x ) y 2t 1? ?? t x 1? ?? t 2) (y = 3x + 1) y 3t 1? ?? t 1? ?? t x x 1. .. < , < < +, r1 < định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ; + ) 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3 Ví dụ ( ? ?1; ) (1; ) (1; ) 2 2 Lược đồ khảo sát đường cong r =