PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §11 CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặt vấn đề I Hàm số y = f(x) 1) Điểm uốn Định nghĩa Điểm I(c ; f(c)) điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) điểm phân chia phần lồi, lõm đồ thị hàm số Cách tìm Tìm (c ; f(c)) cho f’’(x) đổi dấu x biến thiên qua x = c 2) Tiệm cận Định nghĩa x = x0 tiệm cận đứng đồ thị y = f(x) lim f x x x0 y = ax + b tiệm cận xiên đồ thị y = f(x) lim (f(x), ax + b) = x f (x ) , b lim f ( x ) ax x x x Khi ta có a lim Khi a = ta có tiệm cận ngang Ví dụ Tìm tiệm cận a) y d) y x2 x 1 xe x , 1 b) y x4 x 4 , x2 , e) y x 0, c) 1 y x ln e , x x 1 x 1 Ví dụ Tìm tiệm cận đồ thị hàm số 3x2 a) y (x = 2, y = 3x phải ; y = 3x trái) x 4 2x b) y (x = 1, y = 2x phải ; y = 2x trái) x2 x arccot x c) y (x = 1, y = 1, y = x + ) x 1 x arccot x d) y (x = 1, y = 1, y = x ) 1 x x arccot x x arccot x e) y (y = 1, y = x + 1) f) y (y = 1, y = x + 1) 1 x2 1 x4 g) 1) y x 2arctan x (tc xiên bên phải y =x- , bên trái y = x + ) 27 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2) y xe x thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (tc đứng bên phải x=0 ; y=x+2) Lược đồ khảo sát đồ thị a) Tập xác định b) Chiều biến thiên: tăng giảm, cực trị, lồi lõm, tiệm cận, bảng biến thiên c) Đồ thị Ví dụ y Ví dụ y 4x3 x ex Ví dụ y x Ví dụ y ln 1 e x x x f (t ) II Đường cong cho dạng tham số , t [ ; ] y g (t ) Tương tự y = f(x), khác khảo sát gián tiếp y theo x qua biến trung gian t, ý dy y t ; dx x t d 2y dx y t x t y t x t x 2t t Ví dụ y 3t t x t 3 Ví dụ 2 x3 y3 a3 ,a>0 Ví dụ x3 + y3 3axy = 0, a > (lá Descarter) x 3t 2t Ví dụ a) 1) Cho y f ( x ) , , tính f ( x ), f ( x ) t2 y te 2 et et (f , f ) 2 2t x t et 2et t 2) Cho y f ( x ) , , tính f ( x ), f ( x ) ( f e , f ) t 2t e y 2t e x t t b) 1) Cho y f ( x ) , , tính f ( x ), f ( x ) ( f 4t , f ) t y t t x t 3t t 1 10t 2) Cho y f ( x ) , , tính f ( x ), f ( x ) ( f , f ) t 1 y t 5t Ví dụ Tìm tiệm cận 28 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo t x t a) y 2t t3 1 x 1 t3 c) 1) y 2t 1 t3 x 1 t3 3) y 1 t 1 t3 2t x t d) y 2t 1 t thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ( y 2 x ( y 2x (y x t x t b) (y = 3x 1) t y t3 1 x 1 t3 2) (y = 3x + 1) t y 1 t3 ) ) 1 t x 1 t3 4) y 1 t3 ) (y = x + ) 3 (y x ) III Đường cong cho hệ toạ độ cực 1) Hệ toạ độ cực Hệ gồm điểm O, trục Ox gọi hệ toạ độ cực M(r ; ), r OM , r < , = Ox ; OM , 2 Ví dụ a) b) r cos c) r sin d) r cos e) r sin Liên hệ với hệ toạ độ Descartes: (r ; ) (x ; y), x = rcos, y = rsin y (x ; y) (r ; ), r x y , arctan , lấy : sin dấu với y x Chú ý Trong hệ toạ độ cực suy rộng ta có < r < , < < +, r1 < định nghĩa (r1 ; ) = (r1 ; + ) Lược đồ khảo sát đường cong r = f() a) Tìm tập xác định b) Chiều biến thiên: Xét tính chẵn (thì đồ thị đối xứng qua trục cực), lẻ (thì đồ thị đối xứng qua ), tuần hoàn, chiều biến thiên, cực trị, bảng biến thiên, r tanV , V góc dương OM vectơ phương tiếp tuyến r với đồ thị điểm M c) Đồ thị Ví dụ r = a(1 + cos), a > Ví dụ r = a sin3, a > 29 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ r = a sin2, a > Ví dụ (x + y2)2 = a2(x2 y2), a > Ví dụ r = a(1 + 2cos), a > Ví dụ r = a sinn, n , a > Ví dụ r = a cosn, n , a > HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 30