Bài giảng Giải tích 1 – Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Bài giảng Giải tích 1 – Chương 5: Lý thuyết chuỗi trình bày các khái niệm chung, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Để nắm chắc kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

CHƯƠNG 5:

LÝ THUYẾT CHUỖI

Mục tiêu

- Định nghĩa sự hội tụ và phân kỳ của một chuỗi số vôhạn

- Xác định xem một chuỗi số là hội tụ hay phân kỳ

Nội dung: Chuỗi số

- Các khái niệm chung

- Chuỗi số dương

- Chuỗi đan dấu

- Chuỗi có dấu bất kỳ

5.1 CHUỖI SỐ THỰC

5.1 Các khái niệm chung

Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số , ∈ ℝ tức là,

, , … , , …Biểu thức có dạng

Được gọi là một chuỗi số vô hạn (hay còn gọi tắt là chuỗisố) và được ký hiệu là

hoặc gọi là số hạng tổng quát của chuỗi

2 hoặc với =

12

5.1: Ví dụ

Để xét sự hội tụ/phân kỳ của chuỗi số thì ta sẽ xét sự hội tụ/phân

kỳ của dãy tổng riêng phần ! Quay trở lại ví dụ 1 ∑ , nếu ta đặt:

5.1: Tổng riêng phần

Tổng quát hóa ý tưởng trên, ta đặt

=

= +

= + +

= + + +

… = + + + + ⋯ + =

Dãy được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi

∑ ( có thể hội tụ hoặc không).

5.1: Tổng riêng phần

Dãy tổng riêng phần có thể hội tụ hoặc không

Trong trường hợp hội tụ và có giới hạn là ( <

5.1: Định nghĩa: Chuỗi hội tụ/phân kỳ

Định nghĩa: Gọi là tổng riêng phần thứ của chuỗi

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi sau và tính tổng (nếu có).

1 ( + 1) Gợi ý: Phân tích

1 ( + 1) =

1

( + 1) Rồi xét tổng riêng phần.

Định lý 5.2: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ thì

Ví dụ: Chứng minh rằng chuỗi ∑ phân kỳ.

Tính chất 5.1 (chuỗi hội tụ) Giả sử các chuỗi số

= ; = Khi đó

1.∑ ( ± ) = ∑ ± ∑ = ±

2.∑ ( ) = ∑ =

3.Chuỗi số ∑ = − ∑ Hơn nữa, ∑ hội tụ

⟺ ∑ hội tụ.

Định lý 5.3 Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng phần của nó bị chặn trên

A Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương

- Nếu chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ.

- Nếu chuỗi (a) phân kỳ thì chuỗi (b) phân kỳ.

3 Tiêu chuẩn D’Alembert

Cho chuỗi số dương

4 Tiêu chuẩn Cauchy

Cho chuỗi số dương

5 Tiêu chuẩn tích phân

Cho ( ) dương, liên tục và đơn điệu giảm trên [ , +∞ ) thỏa mãn

Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số

+ +

Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số