Bài giảng Giải tích 1 – Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Bài giảng Giải tích 1 – Chương 5: Lý thuyết chuỗi trình bày các khái niệm chung, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Để nắm chắc kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT CHUỖI Mục tiêu - Định nghĩa hội tụ phân kỳ chuỗi số vô hạn - Xác định xem chuỗi số hội tụ hay phân kỳ Nội dung: Chuỗi số - Các khái niệm chung - Chuỗi số dương - Chuỗi đan dấu - Chuỗi có dấu 5.1 CHUỖI SỐ THỰC 5.1 Các khái niệm chung Định nghĩa chuỗi số Cho dãy số , ∈ ℝ tức là, , ,…, ,… Biểu thức có dạng + + + ⋯+ +⋯ Được gọi chuỗi số vô hạn (hay gọi tắt chuỗi số) ký hiệu gọi số hạng tổng quát chuỗi 5.1: Ví dụ Ví dụ 1: Chuỗi số 1 1 + + + ⋯+ +⋯ 2 2 Được viết gọn lại thành 1 với = 2 5.1: Ví dụ Để xét hội tụ/phân kỳ chuỗi số ta xét hội tụ/phân kỳ dãy tổng riêng phần! Quay trở lại ví dụ ∑ , ta đặt: = = = 0.5 = + = + = = 0.75 = + + = + + = = 0.875 = + + + = + + + = + + + + = = 0.984375, = = + + + = 0.992188, = 0.9375 + = = 0.996094, = 0.9687 = 0.998047, … 0.5, 0.75, 0.875, 0.9375, 0.96, 0.98, 0.992, 0.996, 0.998 … 5.1: Ví dụ Ta nhận thấy rằng, ta cộng nhiều số hạng vào, tổng (riêng phần) gần Thật vậy, ta cộng lượng đủ lớn số hạng tổng riêng phần gần Do đó, ta thấy hợp lý ta nói chuỗi vơ hạn có giá trị ta viết =1 5.1: Tổng riêng phần Tổng quát hóa ý tưởng trên, ta đặt = = + = + + = + + + … = Dãy ∑ ( + + + + ⋯+ = gọi dãy tổng riêng phần chuỗi hội tụ không) 5.1: Tổng riêng phần Dãy tổng riêng phần Trong trường hợp ∞), tức hội tụ khơng hội tụ có giới hạn ( < lim = → Thì ta nói tổng chuỗi ∑ 5.1: Định nghĩa: Chuỗi hội tụ/phân kỳ Định nghĩa: Gọi ∑ , tức = + tổng riêng phần thứ + + + ⋯+ chuỗi = Nếu dãy hội tụ có giới hạn ( < ∞), tức lim = , ta nói chuỗi ∑ hội tụ có → tổng Khi ta viết = Nếu dãy phân kỳ ta nói chuỗi ∑ phân kỳ 5.1: Ví dụ Xét lại Ví dụ 1: Chuỗi số ∑ Ta có tổng riêng phần thứ n 1 1 = + + + ⋯+ =1− 2 2 Ta có lim → 1 = lim − = − lim =1−0=1 → → 2 Vậy ta kết luận chuỗi ∑ hội tụ có tổng 1: =1 Ví dụ 2: Xét hội tụ chuỗi sau tính tổng (nếu có) ( + 1) Gợi ý: Phân tích 1 = − ( + 1) ( + 1) Rồi xét tổng riêng phần Định lý 5.2: Nếu chuỗi số ∑ lim =0 hội tụ → Chú ý: - Nếu lim → ≠ chuỗi số ∑ phân kỳ - Nếu lim = khơng suy chuỗi số → ∑ hội tụ Ví dụ: Chứng minh chuỗi ∑ Ta nhận thấy phân kỳ 1 lim = lim = = ≠0 → → +4 + 5+ Suy chuỗi phân kỳ Tính chất 5.1 (chuỗi hội tụ) Giả sử chuỗi số = ; = ±∑ = ± Khi 1.∑ ( 2.∑ ( ± )=∑ )= ∑ 3.Chuỗi số ∑ = ⟺∑ hội tụ = −∑ Hơn nữa, ∑ hội tụ 5.1.2 Chuỗi số dương Định nghĩa Chuỗi số = + + ⋯+ Được gọi chuỗi số dương +⋯ > , ∀ ∈ ℕ Định lý 5.3 Chuỗi số dương hội tụ dãy tổng riêng phần bị chặn ≤ , ∀ ∈ℕ A Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh Cho chuỗi số dương ; ( ) Giả sử ≤ , ∀ ≥ , ∈ ℕ∗ Khi đó: - Nếu chuỗi (b) hội tụ chuỗi (a) hội tụ - Nếu chuỗi (a) phân kỳ chuỗi (b) phân kỳ 2 Tiêu chuẩn so sánh Cho chuỗi số dương ; ( ) Và lim → = , Khi đó: - Nếu < < +∞ hai chuỗi (a) (b) hội tụ phân kỳ - Nếu = chuỗi (b) hội tụ chuỗi (a) hội tụ - Nếu = +∞ chuỗi (b) phân kỳ chuỗi (a) phân kỳ 3 Tiêu chuẩn D’Alembert Cho chuỗi số dương (∗) Và lim → Khi đó: - Nếu - Nếu < > = ì chuỗi (*) hội tụ chuỗi (*) phân kỳ , Tiêu chuẩn Cauchy Cho chuỗi số dương (∗) Và lim Khi đó: - Nếu C< - Nếu C> → ì chuỗi (*) hội tụ chuỗi (*) phân kỳ = , Tiêu chuẩn tích phân Cho ( ) dương, liên tục đơn điệu giảm [ , +∞ ) thỏa mãn điều kiện = , lim = , chuỗi số → (∗)  hội tụ tích phân suy rộng Và ngược lại  k f ( x) d x hội tụ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số + + Ta có + = + → < Theo tiêu chuẩn Cauchy, suy chuỗi xét hội tụ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số ! Ta có + = = → + ! + ! = ! + ! = ( + ) + = + = − ! + + > Theo tiêu chuẩn D’Alembert, suy chuỗi xét phân kỳ  ... thứ n 1 1 = + + + ⋯+ =1? ?? 2 2 Ta có lim → 1 = lim − = − lim =1? ??0 =1 → → 2 Vậy ta kết luận chuỗi ∑ hội tụ có tổng 1: =1 Ví dụ 2: Xét hội tụ chuỗi sau tính tổng (nếu có) ( + 1) Gợi ý: Phân tích 1 =...CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT CHUỖI Mục tiêu - Định nghĩa hội tụ phân kỳ chuỗi số vô hạn - Xác định xem chuỗi số hội tụ hay phân kỳ Nội dung: Chuỗi số - Các khái niệm chung - Chuỗi số dương - Chuỗi. .. số) ký hiệu gọi số hạng tổng quát chuỗi 5 .1: Ví dụ Ví dụ 1: Chuỗi số 1 1 + + + ⋯+ +⋯ 2 2 Được viết gọn lại thành 1 với = 2 5 .1: Ví dụ Để xét hội tụ/phân kỳ chuỗi số ta xét hội tụ/phân kỳ dãy