Bài giảng Giải tích 1: Chương 2.1 - ĐH Bách Khoa Tp.HCM

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm, vi phân, định lý giá trị trung bình, công thức Taylor, công thức Maclaurint. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Giải tích Chương 2: Đạo hàm vi phân • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung - – Đạo hàm – Vi phân – Định lý giá trị trung bình – Cơng thức Taylor, Maclaurint I Đạo hàm Định nghĩa (đạo hàm) Hàm số y = f(x) xác định lân cận điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  x ' ' f ( x0 ) gọi đạo hàm f điểm x0 Ví dụ Tìm đạo hàm hàm f ( x)  cos x điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f ( x0 )  lim x  x cos( x0  x)  cos x0  lim x  x x  x  sin  x0    sin     lim x  x   sin( x0 ) ' Ví dụ  1  x sin   , x  '  x Tìm f (0) , biết f ( x)    0, x0  f (0  x)  f (0) f (0)  lim x  x '  lim x   x  sin 1/ x   x      lim  x  sin    x   x    (bị chặn x vô bé) Định nghĩa (đạo hàm phải) Hàm số y = f(x) xác định lân cận điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) ' f  ( x0 )  lim x  x ' f  ( x0 ) gọi đạo hàm phải f điểm x0 Định nghĩa (đạo hàm trái) Hàm số y = f(x) xác định lân cận điểm x0 f ( x0  x)  f ( x0 ) f  ( x0 )  lim x  x ' f ' ( x0 ) gọi đạo hàm trái f điểm x0 Định lý Hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 , có đạo hàm trái đạo hàm phải điểm x0 hai đạo hàm Định nghĩa (đạo hàm vô cùng) Nếu f ( x0  x)  f ( x0 ) lim   , ta nói hàm x  x có đạo hàm vơ điểm x0 Ví dụ Tìm f ' (0); f ' (0) , biết e1/ x , x  f ( x)    0, x  1/ x f (0   x )  f (0) e 0 '   f  (0)  lim  lim x  x  x x f (0  x)  f (0) f (0)  lim x  x '  e1/ x   lim x  x 0 Đạo hàm trái đạo hàm phải không nhau, nên đạo hàm x = khơng tồn Ví dụ Tìm f ' ( x) , biết f ( x)  x  | x | 2  x  3x  2, x  f ( x)    x  x  2, x   x  3, x   f ( x)    x  3, x  ' ' ' f (0)   3; f Tại điểm x = 0:   (0)  Đạo hàm trái đạo hàm phải không nhau, suy không tồn đạo hàm x = Ví dụ Tìm f ' (0); f ' (0) , biết f ( x)  sin x f (0  x)  f (0) sin 2x f (0)  lim  lim x  x x  x 2 f (0  x)  f (0) f (0)  lim x  x  2 '  '   lim x  sin 2x x Đạo hàm trái đạo hàm phải không nhau, nên đạo hàm x = không tồn Ví dụ Tính giới hạn x sin x  x    x 3!   tan x  sin x I  lim x 0 x x3 tan x  x    x      x3 x 3  tan x  sin x   x    ( x )    x    ( x )  3!     x3 tan x  sin x    ( x3 ) x  (x ) tan x  sin x  ( x ) I  lim  lim   lim   3 x 0 x 0 x x x 0 x I  lim Ví dụ Tính giới hạn   ln  x3  2sin x  x cos x x x 0 3 3 ln(1  x )  x   ( x ) x sin x  x    x 3!   x2 cos x     x3 2!      x x 3  x   ( x )   x    x   x 1    x  3! 2!     I  lim x 0 x3   x3   ( x3 )  lim 3 x 0 x   (x )   lim  0 x 0 x    tan x  e x  x Ví dụ Tính giới hạn I  lim x 0 arcsin x  sin x x3 sin x  x    x 3! x tan x  x    x     x3 arcsin x  x    x3 x x x e  1 x     (x ) 2! 3!   3    x 5x x x 3    ( x )   1  x     ( x )   x 1  x   2! 3!     I  lim x 0    x3 x   x   x   x   x  3!     x3 /   ( x3 ) I  lim  x 0 x /   ( x )     x ln x   x  x  Ví dụ Tính giới hạn I  lim x 0 x  x   sinh x x3 x   x    x4 cosh x   ln  x  1 x    ln x   x ' x  1   x 2 1 x  x  x   x I  lim x 0   x  x /   (x )  x  x /  x  x  x /   (x )   18   Ví dụ Tính gần A  cos  0.2  với độ xác 107 Phần dư khai triển Maclaurint hàm y = cos x f (2 n  2)   n  Rn ( x)  x ,0    x  n  ! 2n2 cos  x  (n  1)  n     0.2  Rn ( x)  x  n  !  n  ! 1 7 n2  n  10  Tìm n để Rn  (2n  2)! 10000000 x2 x4 (0.2) (0.2) cos x     cos(0.2)    =0.9800666667 2! 4! 2! 4! I Tìm đạo hàm cấp n 1) (x  1)2  x 1 3 x 2) x ln 3 x  ln n1 2 x 1 ((ln 2)( x  1)  n) (n  2)!((3n  x)(3  x) n  (1) n (3n  x)(3  x)  n )  3) x ln x  x  2 4) ( x  x) cos x 5)   x  e 3 x  (1) n (n  2)!(( x  n)( x  1)  n  ( x  2n)( x  2)  n ) n  2n3 ((4 x  x  n  n)cos  x    n     n x  sin x           (3)n2 36 x  12(9  2n) x  81  32n  4n e 23 x I Tìm khai triển Maclaurint đến cấp n x  3e x 1) ,n  2x e 5 3  3x  x  x   ( x3 )  3x 2) ln ,n  3  2x 13 65 793 ln(2 / 3)  x  x  x   ( x3 ) 72 648   3) ln x  x  , n  17 ln  x  x  x3  x   ( x ) 8 64 4) (1- x) ln(1  x) - (1  x)ln(1- x), n  x4 5) x  5x  x  x  x   ( x5 ) 10 13 53 187  x x  x   ( x3 ) 18 108 648 x  5x  6) ,n  x  x2 7) x cosh x, n  x4  8) , n  x 1 5 17  x  x  x   ( x3 ) 16 27 x x  x   ( x5 )  x2  2x4   ( x4 ) 9) ln x  x  , n  3 x  x  x   ( x5 ) 40 10) sinh x  cosh x, n  13 121 x x  x   ( x5 ) 120   11) x  cosh x, n  x  x  x   ( x5 ) 12) 13)  x  x  sinh x, n  x 2  2- x ,n  14) ,n  x  x 1 16) ,n  1 x  x  x 17)   x2 2  x  x   ( x8 ) 128 8192  x  x3  x  x  x  x9   ( x9 ) 11  x  x  x  x   ( x4 ) 24 15) e x cos x , n  1 1 x 10 8x  x   ( x4 ) ,n   x  x  x5   ( x5 ) 1  x2  x4  x6   ( x6 ) 64 I Tìm khai triển Taylor x0 đến cấp n 2x 1) (x  1)e , x  1, n    e 2  x  1   x  1   x  1   (( x  1)3 ) 2) ln  x  1 , x  1/ 2, n  1 1  1 1 1   ln   x     x     x      x   2 2  3 2 2   2x  3) ln x, x  1, n  x -1 1 4   x  1   x  1   x  1    x  1 12 10 x  3x 4) , x  1, n  x 1 5) e x  x 1 , x  1, n  1 3   x  1   x  1   x  1    x  1 18 e 4  x   x    x            2  6) ln(2  x  x ), x  1, n  2x 7) , x  2, n  1 x 8) 2x - x 9) 10) x  x2 2 x   x   x          (( x  1)3 ) 24 10 28 82 3    x  2   x  2   x  2    x  2 27 81 , x  1, n  1 4 x   x    x        , x  1/ 2, n  x2 ln  x  4x  , x  2, n  1 1   4   ln   x      x   2 2   3 5 x   x   x   x          I Tính giới hạn x2 cos x   1) lim x 0 x 24 arctan x  arcsin x 2) lim x 0 tan x  sin x 1  x cos x   x 3) lim x 0 ln(1  x)  x 1 4) 1 x  lim 1 earctan x  ln(1  x)  x 0 5) lim x 0 x x 2 4 x I Tính giới hạn esin x  ln(1  x)  6) lim x 0 arcsin x  sin x tan x 1 xe  sin x  x 7) lim x 0 x  x3  tan x x x e  ln(1  x )  arcsin x 8) lim x 0 x sin x  x  x3  cos x 9) lim x 0 tan x  x e x /(1 x )  sinh x  cos x 10) lim x 0 1 x  1 x  6 72 1/ cosh x  (1  x) x 11) lim x 0 x /  ln(1  tan x )  arcsin x sin x e   x  arcsin x 12) lim x 0 sinh( x  x )  ln  x sin arctan x  tan x 13) lim sinh x 1/ 2 x 0 e  (1  x)  x 14) lim x 0 arcsin x  xe 28 x x  x  tan x tan x  ln( x   x ) 15) lim x 0 sin x  x cos x e x   x  x2 16) lim x 0 x  tan x  sin x ex  x  x 1 17) lim x 0 sin x cosh x  sinh x e x  ln(1  sin x)  1 18) lim x 0  x4  sin  x3  sin1 19) lim x 0  x ln cos x  cos x cos1 2 e  e 1 4x 20) lim x 0 (1/ x )arcsin x  2cosh x 5e ... sai số không 0.05cm Hỏi sai số lớn thể tích hình cầu đo so với thể tích thực bao nhiêu? r  21, r  0.05 Thể tích hình cầu là: V   r Sai số lớn thể tích V  dV   21  0.05  277 (cm ) V... pháp tính đạo hàm cấp cao 1) Sử dụng đạo hàm cấp cao số hàm biết 2) Phân tích thành tổng hàm “đơn giản” 3) Phân tích thành tích hai hàm: f.g, f hàm đa thức, có vài đạo hàm khác khơng, sau sử dụng... hàm f ( x)  x  x3 ' f(x) hàm 1-1 R, đạo hàm f ( x )   x  0, x dx 1  '  dy y ( x)  x Ví dụ y y e  e ' y Tìm ( x ) , biết x  sinh y  x = sinh(y) hàm 1-1 , đạo hàm x ' ( y )  1/ cosh